Nilai maksimum dari fungsi objektif dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah

Selain metode "uji titik pojok", terdapat metode lain yang digunakan sebagai alternatif untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsi tujuan. Metode alternatif tersebut dikenal sebagai metode garis selidik. Pada artikel ini kita akan membahas Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik. Untuk memudahkan mempelajari materi Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan", dan "Menyusun Model Matematika".

Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan $ \, ax + by = k , $ dengan $ \, k \in R \, $ dimana $ k \, $ sembarang bilangan yang kita pilih. Garis selidik $ ax + by = k (k \in R) $ merupakan himpunan garis-garis yang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar jika memiliki gradien yang sama. Pada dasarnya, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggeser garis selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah sampai garis tersebut memotong titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk fungsi tujuan maksimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian dari kendala-kendala sistem pertidaksamaan linear dua variabel berada di bawah atau sebelah kiri garis selidik. Adapun untuk fungsi tujuan minimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian berada di atas atau sebelah kanan garis selidik dengan syarat koefisien $ y \, $ harus positif ($ b > 0 $). Jika koefisien $ y \, $ negatif ($b < 0$), maka berlaku sebaliknya.

Langkah-langkah Menentukan nilai Optimum dengan Garis Selidik : i). Buat model matematikanya yang teridiri dari kendala dan fungsi tujuan; ii). Tentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP); iii). Tentukan persamaan garis selidik dari fungsi tujuannya; Untuk mendapatkan nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kanan atau atas sampai memotong titik paling jauh dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling jauh tersebut merupakan titik yang memaksimumkan fungsi tujuan. iv). Untuk mendapatkan nilai minimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kiri atau bawah sampai memotong titik paling dekat dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling dekat tersebut merupakan titik yang meminimumkan fungsi tujuan. Perhatikan gambar ilustrasi garis selidik berikut ini :

Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimum kan fungsi tujuan (objektif ) dan titik D merupakan titik yang me maksimum kan tujuan.

Contoh soal nilai optimum dengan garis selidik : 1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan $ z = f(x, y) = 3x + 4y \, $ dan fungsi kendalanya adalah $ x + 2y \leq 10 , \, 4x + 3y \leq 24, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $ Penyelesaian : *). Menentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) :

Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", dan "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan".

*). Fungsi tujuannya : $ z = f(x, y) = 3x + 4y $, bentuk umum garis selidiknya adalah $ 3x + 4y = k $ . Untuk memudahkan menggambar, kita pilih nilai $ k = 12 \, $ sehingga persamaan garis selidiknya adalah $ 3x + 4y = 12 $. gambar garis selidiknya :

Berdasarkan gambar garis selidik di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui, yaitu titik B. Koordinat titik B setelah dicari adalah $(\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$. Artinya fungsi tujuannya maksimum pada titik pojok B. *). Menentukan nilai maksimumnya dengan substitusi titik B ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = f(\frac{18}{5}, \frac{16}{5}) = 3 \times \frac{18}{5} + 4 \times \frac{16}{5} = 23,6 $. Jadi, nilai maksimum dari fungsi tujuannya adalah 23,6. *). Bagaimana dengan nilai minimumnya? Perhatikan gambar garis selidiknya, garis selidik harus digeser ke kiri atau ke bawah seperti gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, titik O(0, 0) merupakan titik paling dekat dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuan yang diberikan dicapai pada titik O(0, 0), yaitu $ z = f(x, y) = 3x + 4y = 3(0) + 4(0) = 0 $ . Sehingga nilai minimum fungsi tujuannya adalah 0. 2). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ f(x,y) = 80x + 125y \, $ yang memenuhi kendala $ x + y \leq 350, \, 600x + 1.000y \leq 300.000 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $. Penyelesaian : *). Gambar grafik dan DHP nya :

*). Fungsi tujuan dari masalah program linear tersebut adalah $ 80x + 125y $. Bentuk umum garis selidiknya $ ax + by = k \, $ , kita pilih $ k = 10.000 , \, $ sehingga garis selidiknya menjadi $ 80x + 125y = 10.000 \, $ atau $ \, 16x + 25y = 2.000 $ . catatan : nilai $ k \, $ bebas kita pilih, tapi kita pilih yang mudah dalam menggambar. *). Oleh karena yang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan atau atas seperti pada gambar berikut. gambar garis selidik dan pergeserannya :

*). Berdasarkan gambar di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel di titik B (125, 225). Dengan demikian, nilai fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ maksimum dicapai di titik B (125, 225). *). Menentukan nilai maksimum dengan substitusi titik B ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 80x + 125y \rightarrow f(125,225) = 80 \times 125 + 125 \times 225 = 38.125 $. Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ adalah 38.125.

Catatan :

Dari dua contoh soal di atas, dapat disimpulkan bahwa metode garis selidik digunakan hanya untuk menentukan titik pojok mana yang menyebabkan fungsi tujuannya memiliki nilai optimum. Hanya saja metode garis selidik memerlukan ketelitian dalam menggambar dan menggeser garis selidiknya, jangan sampai salah.

Calon Guru belajar matematika dasar dari Cara Menentukan Nilai Optimum (Maksimum/Minimum) Fungsi Tujuan atau Fungsi Sasaran Pada Program Linear. Setelah mengenal atau mengetahui daerah penyelesaian pada program linear, selanjutnya akan diperkenalkan dengan fungsi tujuan atau fungsi sasaran.

Suatu fungsi tujuan atau fungsi sasaran dalam program linier bentuknya tergantung dari masalah yang disajikan, secara umum fungsi tujuan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk $f(x, y) = ax + by$ dimana $a$ dan $b$ anggota bilangan real.

Fungsi tujuan ini dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dalam suatu soal atau masalah. Sedangkan nilai optimum itu sendiri terdiri dari nilai maksimum (misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain) dan nilai minimum (misalnya menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain).

Secara umum nilai optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji atau menggunakan garis selidik. Pada diskusi kita kali ini kita fokuskan menentukan nilai optimum dengan cara menggunakan titik uji.

Untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi tujuan bukanlah suatu hal yang sulit apabila sudah diketahui daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Jika daerah penyelesaian sudah diketahui, selanjutnya hanya melakuakn titik uji ddari daerah himpunan penyelesaian. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat dari beberapa contoh berikut:

Daerah yang di arsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari fungsi objektif $f(x,y)=3x+5y$ adalah...

Pada soal di atas yang dikatakan dengan fungsi tujuan atau fungsi sasaran seperti penjelasan sebelumnya adalah fungsi objektif yaitu *$f(x,y)=3x+5y$ *. Selanjutnya kita menentukan nilai optimum dari $f(x,y)$ dan yang ditanyakan pada soal ini adalah nilai maksimum dari $f(x,y)=3x+5y$.

Berikutnya kita tinggal menguji titik $(x,y)$ yang kita pilih dari daerah penyelesaian ke fungsi tujuan $f(x,y)=3x+5y$. Tetapi pada Daerah Penyelesaian ada tak hingga banyak titik $(x,y)$ sehingga jika kita uji semua titik itu terhadap fungsi tujuan maka pekerjaan kita tidak akan pernah selesai.

Karea ada tak hingga banyak titik pada daerah penyelesaian, maka titik yang di uji ke fungsi tujuan hanya beberapa titik saja, yaitu titik-titik sudut pada daera penyelesaian. Pengujian titik-titik sudut daerah penyelesaian sudah mewakili interval nilai maksimum dan minimum, jika daerah penyelesaian tertutup.

Pada gambar di atas daerah penyelesaian adalah tertutup, dan titik sudutnya adalah $\left( 0,0 \right)$, $\left( 4,0 \right)$, $\left( 2,3 \right)$ dan $\left( 0,4 \right)$. Titik-titik inilah yang kita uji ke fungsi tujuan $f(x,y)=3x+5y$.

Titik $(x,y)$	Nilai Fungsi $f(x,y)=3x+5y$
$(0,0)$	$f =3(0)+5(0)=0$
$(4,0)$	$f =3(4)+5(0)=12$
$(2,3)$	$f =3(2)+5(3)=21$
$(0,4)$	$f =3(0)+5(4)=20$

Dari tabel di atas kita peroleh nilai $f(x,y)=3x+5y$ yang maksimum adalah $21$ dan nilai minimum adalah $0$ sehingga $0 \leq f(x,y) \leq 21$. Nilai maksimum $f(x,y)=3x+5y$ adalah $21$ dan terjadi saat $(2,3)$.

Jika kita pilih sebarang titik dari daerah penyelesaian selain empat titik di atas untuk kita uji ke $f(x,y)=3x+5y$ maka interval nilainya berada pada $0 \leq f(x,y) \leq 21$. Misal titik $\left( 3,1\right)$

$\begin{align} f(x,y) &= 3x+5y \\ f(3,1) &= 3(3)+5(1) \\ & = 9+5 \\ & = 14 \end{align}$

Nilai $f(x,y)=14$ terbukti berada pada interval $0 \leq f(x,y) \leq 21$, dan hal ini juga akan berlaku untuk sebarang titik yang dipilih dari daerah penyelesaian.

Kita coba perhatikan contoh soal kedua:

Daerah yang di arsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai minimum dari fungsi objektif $f(x,y)=4x+5y$ adalah...

Pada soal di atas yang dikatakan dengan fungsi tujuan atau fungsi sasaran seperti penjelasan sebelumnya adalah fungsi objektif yaitu *$f(x,y)=4x+5y$ *. Selanjutnya kita menentukan nilai optimum dari $f(x,y)$ dan yang ditanyakan pada soal ini adalah nilai minimum dari $f(x,y)=4x+5y$.

Pada gambar di atas daerah penyelesaian adalah tertutup, dan titik sudutnya adalah $\left( 2,2 \right)$, $\left( 4,3 \right)$, $\left( 5,4.5 \right)$, $\left( 3,6 \right)$, $\left( 1,5.5 \right)$ dan $\left( 0,4 \right)$. Titik-titik inilah yang kita uji ke fungsi tujuan $f(x,y)=4x+5y$.

Titik $(x,y)$	Nilai Fungsi $f(x,y)=4x+5y$
$(2,2)$	$f =4(2)+5(2)=18$
$(4,3)$	$f =4(4)+5(3)=31$
$(5,4.5)$	$f =4(5)+5(4.5)=42.5$
$(3,6)$	$f =4(3)+5(6)=42$
$(1,5.5)$	$f =4(1)+5(5.5)=26.5$
$(0,4)$	$f =4(0)+5(4)=20$

Dari tabel di atas kita peroleh nilai $f(x,y)=4x+5y$ yang maksimum adalah $42.5$ dan nilai minimum adalah $18$ sehingga $18 \leq f(x,y) \leq 42.5$. Nilai minimum $f(x,y)=4x+5y$ adalah $18$ dan terjadi saat $(2,2)$.

Untuk menentukan nilai optimum sedikit lebih mudah jika gambar daerah penyelesaian sudah diberitahu seperti beberapa contoh di atas. Permasalahan akan berbeda ketika soal yang diberikan hanya dalam bentuk sistem pertidaksamaan, seperti contoh berikut ini:

Nilai minimum dari $20-x-2y$ yang memenuhi $y-2x \geq 0$; $x+y\leq 8$; dan $x\geq 2$ adalah...

Untuk menyelesaikan soal di atas kita terlebih dahulu harus menggambar daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan, lalu menentukan titik sudut pada daerah penyelesaian.

Jika Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, maka daerah penyelesaian adalah daerah yang bersih (putih). Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Dari daerah penyelesaian di atas, untuk menentukan nilai minimum kita gunakan dengan titik uji;

Uji Titik
Titik	$F=20-x-2y$	Nilai
$A\ (2,6)$	$20-(2)-2(6)$	$6$
$B\ \left(\frac{8}{3}, \frac{16}{3} \right)$	$20-\left(\frac{8}{3} \right)-2\left( \frac{16}{3} \right)$	$\frac{20}{3}$
$C\ (2,4)$	$20-(2)-2(4)$	$10$

Dari tabel diatas nilai minimum $20-x-2y$ adalah $6$ pada saat $(2,6)$.

Pada beberapa contoh soal di atas daerah penyelesaian yang disajikan adalah tertutup, berikut ini contoh soal yang dimana daerah penyelesaian adalah terbuka.

Jika fungsi $f(x,y)=500+x+y$; dengan syarat $x\geq 0$; $y\geq 0$; $2x-y-2\geq 0$ dan $x+2y-6\geq 0$; maka nilai minimum dan nilai maksimum fungsi tersebut adalah...

Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;

Dari daerah HP diatas, terlihat bahwa daerah Himpunan Penyelesaian tidak tertutup ke daerah atas sehingga nilai maksimumnya tidak dapat ditentukan, dengan kata lain tidak mempunyai nilai masksimum.

Untuk nilai minimum kita coba uji titik sudut daerah penyelesaian yaitu $\left( 2,2 \right)$ dan$\left( 6,0 \right)$. Titik $\left( 2,2 \right)$ merupakan titik potong $2x-y-2=0$ dan $x+2y-6=0$ dan titik $\left( 6,0 \right)$ merupakan titik potong $x+2y-6=0$ dengan sumbu $x$.

Uji Titik
Titik	$f(x,y)=500+x+y$	Nilai
$(2,2)$	$500+2+2$	$504$
$(6,0)$	$500+0+6$	$506$

Nilai minimum $f(x,y)=500+x+y$ adalah $504$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Menentukan Nilai Optimum (Maksimum/Minimum) Fungsi Tujuan atau Fungsi Sasaran Pada Program Linear silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊