Jika z adalah sisi miring, maka rumus yang benar berdasarkan dalil pythagoras adalah ….

Dalil PythagorasDalam ilmu Matematika, salah satu rumus yang paling di kenal dan sangat berguna adalah rumus Pythagoras. Rumus ini dinamai oleh Matematikawan Yunani yaitu Pythagoras (582 SM-496 SM). Walaupun fakta didalam rumus ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun rumus ini dipatenkan oleh Pythagoras karena beliau lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Ide dalam rumus Pythagoras ini adalah mengungkapkan panjang serta hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga siku-siku. Dimana jika diketahui dua buah sisi (a) dan (b), maka kita dapat menemukan jarak terpendek antara kedua sisi dengan menghitung  hipotenusa atau sisi miring (c) dari segitigsa siku-siku. Oleh krena itu, penggunaan rumus Phytagoras sangat penting bagi ilmu Matematika terutama pada Geometri. Rumus umum Pythagoras adalah: c2 = a2 + b2

Sejarah Teorema Pythagoras

Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut:

1. pengetahuan dari Triple Pythagoras,
2. hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan, 3. bukti dari teorema.

Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden menghipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790-1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.

Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri.

Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan “Gougu Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan

Selama Dinasti Han (202 SM – 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai ‘theorem Gougu’, dan di India dinamakan “Bhaskara theorem”.

Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.

Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras mengungkapkan hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga siku-siku. Banyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan segitiga siku-siku atau sudut siku-siku, misalnya:

1. Menentukan sisi miring dari sisi miring suatu kuda-kuda rumah.
2. Membuat pojok-pojok suatu lapangan bola volly agar betul-betul siku-siku.

Melalui penerapan dalil Pythagoras permasalahan itu akan dapat diselesaikan

Bunyi Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras berbunyi:

pada suatu segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Secara umum, jika segitiga ABC siku-siku di C maka teorema Pythagoras dapat dinyatakan AB² = AC² + BC². Banyak buku menuliskan teorema ini sebagai c² = a² + b². Dengan c adalah sisi miring.

Rumus Pythagoras

Rumus Pythagoras didefinisikan dengan AB2 = BC2 + AC2 atau c2 = a2 + b2. Rumus tersebut dapat diinterpretasikan sebagai segitiga siku-siku ABC yang memiliki hipotenusa atau sisi miring (AB), sisi alas (BC) dan sisi tegak (AC). Pada Rumus Pythagoras berlaku panjang hipotenusa atau sisi miring (AB) dikuadratkan sama dengan penjumlahan kuadrat sisi alas (BC) dan sisi tegak (AC). Secara ilustrasi, Rumus Pythagoras dapat digambarkan seperti berikut:

Pembuktian Rumus Pythagoras

Berikut ini terdapat beberapa pembuktian rumus pythagoras, terdiri atas:

1. Teorema Pythagoras

Jika ABC adalah segitiga siku-siku, maka panjang kuadrat sisi miring AC sama dengan penjumlahan panjang kuadrat dari sisi lainnya (AB dan BC)

AB2 = BC2 + AC2 atau c2 = a2 + b2

Bukti:

Teorema Pythagoras dapat dibuktikan tanpa menggunakan konsep similaritas. Diberikan ABC, dengan sisi kaki a, b dan sisi miring c. ambil □DEFG, dengan sisi a+b. didalam persegi tersebut bangun 4 segitiga yang kongruen, seperti gambar dibawah.

Maka KHI sudut siku-siku, karena sudut DHK dan sudut EHI adalah komplemennya. Semua sudut di □HIJK adalah siku-siku dan □HIJK adalah persegi.

Dengan menggunakan additivity postulate untuk luas area dari □DEFG sama dengan luas daerah □HIJK ditambah dengan luas dari 4 segitga siku-siku didalam persegi.

2. Teorema Converse Pythagoras

Jika segigitiga mempunyai sisi a, b dan c. a2 + b2 = c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Bukti: a

Diberikan segitiga ABC dengan sisi a, b, dan c dengan c2 = a2 + b2. Akan dibuktikan ABC adalah segitiga siku-siku. Perhatikan XYZ dengan sisi kaki a dan b.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras a2 + b2 = z2

Tetapi di berikan a2 + b2 = c2

Dengan substitusi z2 = c2

Ambil akar positif di setiap sisi z = c

Maka, dengan SSS kongruen, ABC = XYZ jadi dengan menggunakan teorema  CPCF, sudut C adalah sudut siku-siku dan ABC adalah segitiga siku-siku.

Contoh Soal Teorema Pythagoras

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal teorema pythagoras, terdiri atas:

Soal No. 1

Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Tentukan panjang sisi miring segitiga!

Pembahasan:

AB = 6 cm BC = 8 cm

AC = ……

Rumus Phytagoras merupakan salah satu rumus yang dijumpai dalam pembahasan Matematika. Pembahasan mengenai rumus yang satu ini juga mencakup triple atau Tigaan Phytagoras ini membahas tentang segitiga serta bilangan bulat positif.

Berdasarkan catatan sejarah, teorema Phytagoras pertama kali ditemukan oleh seorang filsuf sekaligus ahli matematika bernama Phytagoras. Kendati demikian, rumus teorema Phytagoras pertama kali digunakan oleh masyarakat China dan Babylonia sejak 1900-1600 SM.

Pemilihan nama Phytagoras sebagai teori perhitungan tersebut tak lepas dari peranannya yang berhasil membuktikan rumus itu secara matematis. Perlu diketahui bahwa rumus Phytagoras dapat diterapkan untuk mengukur jarak dan ruang, misalnya dalam perencanaan dan pelaksanaan pembangunan sebuah gedung.

Untuk memahami rumus Phytagoras lebih lanjut, simak penjelasan selengkapnya berikut ini.

Bagaimana Bunyi Tripel Phytagoras?

Dalam buku Inti Materi Matematika SMP/MTS 7, 8, 9 oleh Tim Maestro Genta, tripel Phytagoras adalah bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat bilangan lainnya.

Lebih dari itu, tripel Phytagoras juga dapat dipahami sebagai tiga bilangan asli yang tepat menyatakan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Lalu, bagaimana bunyi tripel Phytagoras?

Dikutip dari sumber yang sama, bunyi tripel Phytagoras adalah sebagai berikut:

"Kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain."

Sementara itu, teorema phytagoras merupakan bagian dari ilmu matematika yang pasti dipelajari saat duduk di bangku SMP. Teorema phytagoras merupakan sebuah aturan matematika yang bisa dipakai dalam menentukan panjang salah satu sisi dari suatu segitiga siku-siku.

Dengan kata lain, teorema Phytagoras secara umum menyatakan jumlah kuadrat sisi-sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku yang besarnya sama dengan kuadrat sisi miringnya.

Dalil teorema phytagoras mengatakan bahwa bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90°) adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi lainnya.

Bagaimana Rumus Phytagoras?

Dalam phytagoras ada tiga bagian yang disimbolkan dengan a,b, dan c. Sisi a dan b adalah sisi tegak dan sisi mendatar nsegitiga siku-siku, sedangkan sisi c adalah sisi miring atau sudut terpanjang dari segitiga siku-siku.

Rumus phytagoras untuk menghitung sisi miring adalah sebagai berikut:

Sedangkan untuk menghitung sisi tegak dan sisi mendatarnya berlaku rumus:

Kapan Rumus Phytagoras Digunakan?

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa penerapan rumus Phytagoras digunakan untuk mengetahui nilai sisi yang berseberangan dengan siku-siku atau sisi miring. Kedua sisi tersebut juga dikenal dengan sisi hipotenusa.

Dengan kata lain, penting bagi kamu untuk mengetahui konsep dasar sesuai dengan hukum yang telah disebutkan sebelumnya. Adapun pengaplikasian teorema Phytagoras dapat digunakan untuk menentukan tinggi segitiga sama sisi, menentukan panjang diagonal persegi, persegi panjang, belah ketupat, diagonal balok, kubus garis pelukis kerucut dan sebagainya.

Apakah Teorema Pythagoras Berlaku untuk Semua Segitiga?

Menurut Budi Suryatin dan R. Susanto Dwi Nugroho dalam buku Kumpulan Soal MATEMATIKA SMP/MTs KELAS VIII, teorema Phytagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Hal itu seperti yang dijelaskan dalam Modul Teorema Phytagoras yang menyebutkan bahwa setiap segitiga siku-siku berlaku luas persegi pada hipotenusa sama besarnya dengan jumlah luas persegi pada sisi yang lain atau sisi siku-sikunya.

Sementara itu, terdapat kebalikan dari teorema Pythagoras yang berfungsi untuk menentukan jenis segitiga jika panjang sisi-sisinya diketahui. Adapun jenis segitiga tersebut di antaranya:

• Segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang salah satu sudutnya berbentuk siku-siku atau sebesar 90 derajat.

• Segitiga lancip, yakni segitiga yang ketiga sudutnya lancip atau berukuran kurang dari 90 derajat.

• Segitiga tumpul, yaitu segitiga yang salah satu sudutnya tumpul, atau berukuran lebih dari 90 derajat.

Jenis segitiga bisa ditentukan berdasarkan panjang sisinya. Apabila kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.

Menurut sumber yang sama, dalam teorema Phytagoras menyatakan: segitiga ABC memiliki sisi A sebagai siku-siku, maka a2 = b2 + c2. Sementara itu, kebalikan teorema Phytagoras berlaku jika a2 = b2 + c2, maka sudut A merupakan siku-siku.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan phytagoras:

Suatu segitiga siku- siku memiliki sisi tegak (AB) panjangnya 15 cm ,dan sisi mendatarnya (BC) 8 cm, berapakah cm kah sisi miringnya (AC) ?

Suatu balok memiliki panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut yaitu 12 cm, 9 cm, dan 8 cm. Tentukanlah panjang salah satu diagonal ruangnya!

⇒ dr2 = 122 + 9sup>2 + 82

Sehingga, panjang diagonal ruangnya yaitu 17 cm.

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku berada di B. Apabila panjang sisi AB = 16 cm serta Panjang sisi BC = 12 cm. Maka hitunglah panjang sisi AC pada segitiga tersebut!

Sebuah tangga yang panjangnya 5 meter bersandar pada tembok, yang kemudian disebut dengan AB. Sementara itu, jarak ujung bawah tangga terhadap tembok 3 meter, yang kemudian disebut dengan AC. Berapakah tinggi ujung atas tangga dari lantai (BC)?

Jadi, tinggi ujung atas tangga dari lantai atau BC adalah 4 meter.

Itulah penjelasan terkait rumus Phytagoras. Semoga bermanfaat dan menambah pemahamanmu terkait materi yang satu ini, ya.