MATERI 1 ~ Fungsi Kuadrat Dan Grafik ~ Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: bentuk u Sedangkan mum dari fungsi kuadrat adalah: Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta . Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya: Pengertian Integral, Integral Tak Tentu, Integral Trigonometri Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau: Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi. Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola. Jenis grafik fungsi kuadrat lain 1. Grafik fungsi Jika pada fungsi memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya: Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh , maka grafiknya adalah: 2. Grafik fungsi Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau . Sebagai contoh = + 2, maka grafiknya adalah: 3. Grafik fungsi Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat a. Grafik terbuka Grafik dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika maka grafik terbuka ke atas, jika maka grafik terbuka kebawah. b. Titik Puncak Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum. c. Sumbu Simetri Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik berada pada: d. Titik potong sumbu y e. Titik potong sumbu x Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut: • Jika , grafik memotong sumbu x di dua titik • Jika , grafik menyinggung sumbu x • Jika , grafik tidak memotong sumbu x Jika digambarkan, sebagai berikut: Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat: 1. Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik: Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan sebagai koefisien. 2. Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui Jika titik potong sumbu x adalah dan , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah: Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui. 3. Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui Jika titik puncaknya adalah , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah: Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui. SOAL 1. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah… A. y = x2 − 2x + 1 B. y = x2 − 2x + 3 C. y = x2 − 2x − 1 D. y = x2 + 2x + 1 E. y = x2 − 2x − 3 Pembahasan : Diketahui titik balik (xp, yp) = (1, 2) dan melalui titik (x, y) = (2, 3) y = a(x − xp)2 + yp 3 = a(2 − 1)2 + 2 3 = a + 2 ⇒ a = 1 y = 1 (x − 1)2 + 2 y = x2 − 2x + 1 + 2 y = x2 − 2x + 3 Jawaban : B 2. Jika m > 0 dan grafik f(x) = x2 − mx + 5 menyinggung garis y = 2x + 1, maka nilai m = … A. −6 B. −2 C. 6 D. 2 E. 8 Pembahasan : Misalkan : y1 = x2 − mx + 5 y2 = 2x + 1 y1 = y2 x2 − mx + 5 = 2x + 1 x2 − mx − 2x + 5 − 1 = 0 x2 − (m + 2)x + 4 = 0 a = 1 b = −(m + 2) c = 4 Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0 b2 − 4ac = 0 (−(m + 2))2 − 4 (1) (4) = 0 m2 + 4m + 4 − 16 = 0 m2 + 4m − 12 = 0 (m + 6)(m − 2) = 0 m = −6 atau m = 2 Karena m > 0, maka m = 2 Jawaban : D 3. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah… A. −4 B. −3 C. 0 D. 3 E. 4 Pembahasan : Misalkan : y1 = x2 + bx + 4 y2 = 3x + 4 y1 = y2 x2 + bx + 4 = 3x + 4 x2 + bx − 3x = 0 x2 + (b − 3)x = 0 a = 1 b = b − 3 c = 0 Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0 b2 − 4ac = 0 (b − 3)2 − 4(1)(0) = 0 (b − 3)2 = 0 b = 3 Jawaban : D 4. Grafik y = px2 + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah… A. p < −2 atau p > −25 B. p < 25 atau p > 2 C. p < 2 atau p > 10 D. 25 < p < 2 E. 2 < p < 10 Pembahasan : a = p b = p + 2 c = −p + 4 Parabola memotong sumbu-x di dua titik : D > 0 b2 − 4ac > 0 (p + 2)2 − 4(p)(−p + 4) > 0 p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0 5p2 − 12p + 4 > 0 Pembuat nol : 5p2 − 12p + 4 = 0 (5p − 2)(p − 2) = 0 p = 25 atau p = 2 Pertidaksamaan bertanda “>”, maka : Jawaban : B 5. Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x2 − 2mx + m − 3 definit negatif adalah… A. m < −32 B. m < −1 C. m > 32 D. m > 1 E. 1 < m < 32 Pembahasan : a = m + 1 b = −2m c = m − 3 Syarat definit negatif : a < 0 m + 1 < 0 m < −1 …………………..(1) D < 0 b2 − 4ac < 0 (−2m)2 − 4(m + 1)(m − 3) < 0 4m2 − 4(m2 − 2m − 3) < 0 4m2 − 4m2 + 8m + 12 < 0 8m + 12 < 0 8m < −12 2m < −3 m < −32 …………………..(2) Irisan (1) dan (2) : Jawaban : A 6. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu adalah … A. f(x) = 2×2 – 12x + 16 B. f(x) = x2 + 6x + 8 C. f(x) = 2×2 – 12x – 16 D. f(x) = 2×2 + 12x + 16 E. f(x) = x2 – 6x + 8 PEMBAHASAN : misal : f(x) = ax2 + bx + c substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga : f(0) = a(0)2 + b(0) + c 16 = c … (i) Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga : f(3) = a(3)2 + b(3) + c -2 = 9a + 3b + c … (ii) f'(x) = 2ax + b substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f'(x) = 0, sehingga : 0 = 2a(3) + b b = -6a … (iii) substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh : -2 = 9a + 3b + c -2 = 9a + 3(-6a) + 16 -2 = 9a – 18a + 16 -18 = -9a 2 = a b = -12 f(x) = ax2 + bx + c substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16 f(x) = 2×2 – 12x + 16 JAWABAN : A 7. Titik puncak dari parabola {(x,y)| y = 2×2 – 12x + 14} adalah. . . . .A. (3 , 4) B. (3 , -4) C. (6 , 4) D. (6 , -4) E. (3, 6) Pembahasan:y = 2×2 – 12x + 14 dengan a = 2, b = -12, dan c = 14 Titik puncak (xp , yp):xp = −b2a = −(−12)2(2) = 124 = 3 yp = b²−4ac−4a = (−12)²−4(2)(14)−4(2) = 144−112−8 = 32−8 = -4 Jadi, titik puncaknya adalah (3 , -4) (Jawaban: B) 8. Jika parabola y = x2 – px + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka ordinatnya adalah…..A. -9 B. -8 C. 0 D. 8 E. 9 Pembahasan: y = x2 – px + 7, maka a = 1, b = -p, c = 7 Absis (x) = −b2a Karena absisnya = 4, maka:⇔ −b2a = 4 ⇔ −(−p)2(1) = 4 ⇔ p2 = 4 ⇔ p = 4 x 2 ⇔ p = 8 Jadi, b = -p = -8 Kordinat (y) = b²−4ac−4a = (−8)²−4(1)(7)−4(1) = 64−28−4 = 36−4 = 9 Jadi, ordinatnya adalah -9 (Jawaban: A) 9. Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3, sumbu simetrinya adalah x = ……A. -2 B. -1 C. -½ D. 2 E. 4 Pembahasan: f(x) = ax2 + 4x + a f.maks = b²−4ac−4a = 3, syarat a < 0 ⇔ 4²−4a.a−4a = 3 ⇔ 16 – 4a² = 3 x (-4a) ⇔ 16 – 4a² = -12a ⇔ 16 – 4a² + 12a = 0 ⇔ 4a2- 12a – 16 = 0 ⇔ a2- 3a – 4 = 0 ⇔ (a + 1)(a – 4) = 0 ⇔ a = -1 atau a = 4 (tidak memenuhi) Sumbu simetri = −b2a = −42(−1) = −4−2 = 2 (Jawaban: D) 10. Nilai k yang harus diambil supaya f(x) = kx2 + 16x + 4k selalu mempunyai nilai positif adalah…… A. k < -4 atau k > 4 B. -4 < k < 4 C. 0 < k < 4 D. k > 4 E. k < 4 Pembahasan: Selalu mempunyai nilai positif = definit positif, syarat: 1) D < 0 ⇔ b2- 4ac < 0 ⇔ 162- 4(k)(4k) < 0 ⇔ 162- 16k2 < 0 ⇔ 16 – k2 < 0 ⇔ (4 – k)(4 + k) < 0 ⇔ k < -4 atau k > 4 ——————–(1) 2) a > 0 k > 0 ———————————-(2) Dari (1) dan (2) diperoleh k > 4 (Jawaban: D) MATERI 2 ~Pertidaksamaan Kuadrat ~ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat : ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≤ 0 dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. Himpunan Penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1 : Tentukan pembuat nol dengan merubah tanda pertidaksamaan menjadi “sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh adalah pembuat nol. Langkah 2 : Gambar pembuat nol pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda untuk masing-masing interval dengan mensubstitusi sembarang bilangan yang terletak pada tiap-tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) jika hasil substitusi bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi bernilai negatif. Catatan : Tips : Langkah 3 : Tentukan daerah penyelesaian (arsiran). Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥”, daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif (+). Untuk pertidaksamaan “<” atau “≤”, daerah pernyelesaian berada pada interval yang bertanda negatif (−). Langkah 4 : Tulis himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian. HP terletak pada ujung-ujung interval Contoh 1 Tentukan HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0 Penyelesaian : Pembuat nol.: x² − 2x − 3 = 0 (x + 1)(x − 3) = 0 x = −1 atau x = 3 Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0 Karena pertidaksamaan bertanda “≥” , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+). Contoh 2 Penyelesaian : Pembuat nol : −x² − 3x + 4 = 0 x² + 3x − 4 = 0 (x + 4)(x − 1) = 0 x = −4 atau x = 1 Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0 Karena pertidaksamaan bertanda “>” , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+). SOAL 1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – x – 12 ≤ 0 adalah: a. {x ≤ -3} b. {x ≤ 4} c. {x ≤ -3 atau x ≥ 4} d. {3 ≤ x ≤ – 4) e. {-3 ≤ x ≤ 4) Jawab: e. {-3 ≤ x ≤ 4) Pembahasan x2 – x – 12 ≤ 0 (x + 3)(x – 4) ≤ 0 Hp = {x|-3 ≤ x ≤ 4} 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 9(x – 2)2 ≤ (x + 2)2 adalah: [adsense1] a. {x|-4 ≤ x -1} b. {x|-4 ≤ x 1} c. {x|1 ≤ x 4} d. {x|x ≤ -1 atau x ≥ 1} e. {x|x ≤ 1 atau x ≥ 4} Jawab: c. {x|1 ≤ x 4} Pembahasan: 9(x – 2)2 ≤ (x + 2)2 9(9×2 – x + 4) ≤ x2 + 4x + 4 9×2 – 36x + 36 ≤ x2 + 4x + 4 8×2 – 40x + 32 ≤ 0 x2 – 5x + 4 ≤ 0 (x – 1)(x – 4) ≤ 0 1 ≤ x ≤ 4 3. Himpunanan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 5x – 14 ≤ 0, x ɛR adalah: a. {x|x < 2 atau x > 7, x ɛR} b. {x|x < -2 atau x > 7, x ɛR} c. {x|x < -7 atau x > -2, x ɛR} d. {x|-2 < x < 7, x ɛR} e. {x|-2 < x ≤ 7, x ɛR} Jawab: e. {x|-2 < x ≤ 7, x ɛR} Pembahasan: x2 – 5x – 14 ≤ 0 x2 – 5x – 14 = 0 (x – 7)(x + 2) = 0 x1 = 7 atau x2 = -2 Ambil x = 0 x2 – 5x – 14 = 0 = -14 (negatif) + + -2 7 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah: {x|-2 < x ≤ 7, x ɛR} 4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2×2 + 5x + 15 < 3×2 + 5x – 1, untuk x ɛR adalah: a. {x|x < 4 atau x > 4, ɛR} b. {x|x < -4 atau x > 4, ɛR} c. {x|x < -4 atau x > 1, ɛR} d. {x|x -4 < x > 1, ɛR} e. {x|x -4 ≤ x > 1, ɛR} Jawab: b. {x|x < -4 atau x > 4, ɛR} Pembahasan: 2×2 + 5x + 15 < 3×2 + 5x – 1 2×2 + 5x + 15 – 3×2 – 5x + 1 < 0 -x2 + 16 < 0 x2 – 16 > 0 pembuat nol: (x – 4)(x + 4) = 0 x = 4 atau x = -4 ambil x = 0 x2 – 16 = 02 – 16 = -16 (negatif) + – + -2 7 Jadi himpunan penyelesaian adalah: {x|x < -4 atau x > 4, ɛR} 5. Penyelesaian pertidaksamaan 3×2 – 13x – 10 > 0 adalah: a. x < atau x > 10 b. x < atau x > c. x < atau x > 5 d. < x < 5 e. < x < 10 Jawab: c. x < atau x > 5 Pembahasan: 3×2 – 13x – 10 > 0 (3x + 2)(x – 5) > 0 x < atau x > 5 6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3×2 – 2x – 8 > 0, untuk x ɛ R adalah: a. {x|x > 5 atau x < } b. {x|x > 2 atau x < } c. {x|x > atau x < 2 } d. {x| < x < 2 } e. {x| < x < 2 } Jawab: b. {x|x > 2 atau x < } Pembahasan: 3×2 – 2x – 8 > 0 (3x + 4)(x – 2) > 0 (positif) x = 2 + – + 2 Jadi Hp = {x|x > 2 atau x < } 7. Himpunan penyelesaian dari 24 + 5x – x2 ≤ 0 adalah: a. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 8} b. {x|x ≤ -3 atau x ≥ -8} c. {x|x ≤ 3 atau x ≥ 8} d. {x|x ≤ 1/3 atau x ≥ 8} e. {x|x ≤ -1/3 atau x ≥ 8} Jawab: a. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 8} Pembahasan : 24 + 5x – x2 ≤ 0 x2 – 5x – 24 ≥ 0 (x + 3)(x – 8) ≥ 0 X ≤ -3 atau x ≥ 8 8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x + 1)(2x + 3) ≥ 1 adalah: a. {x|x ≤ -1/2 atau c ≥ 2} b. {x|x ≤ -2 atau c ≥ -1/2} c. {x|-2 ≤ atau c ≥ -1/2} d. {x|-2 ≤ x ≤ -1/2} e. {x|-1/2 ≤ x ≤ 2} Jawab: b. {x|x ≤ -2 atau c ≥ -1/2} Pembahasan: (x + 1)(2x + 3) ≥ 1 x = – ½ x = -2 + – + -2 -½ Jadi Hp = {x|x ≤ -2 atau c ≥ -1/2} 9. Himpunan penyelesaian pertidaksaman 2(x + 1)2 < 3×2 + 6(x – 1) adalah: a. {x|-4 < x < 2, x ɛ R} b. {x|-2 < x < 4, x ɛ R} c. {x|2 < x < 4, x ɛ R} d. {x|x < -4 atau x > 2, x ɛ R} e. {x|x < -2 atau x > 4, x ɛ R} Jawab: d. {x|x < -4 atau x > 2, x ɛ R} Pembahasan: 2(x + 1)2 < 3×2 + 6(x – 1) 2(x2 + 2x + 1) < 3×2 + 6x – 6 2×2 + 4x + 2 < 3×2 + 6x – 6 – x2 – 2x + 8 <0 x2 + 2x – 8 > 0 (x + 4)(x – 2) > 0 x < – 4 atau x > 2 10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan –2×2 – 5x + 3 ≤ 0, x ɛ R adalah: a. {x|x ≤ -3 atau x ≥ ½} b. {x|x ≤ -½ atau x ≥ 3} c. {x|-3 ≤ x atau x ≥ ½} d. {x|½ ≤ x ≥ 3} e. {x|x ≤ -3 atau x ≥ -½} Jawab: a. {x|x ≤ -3 atau x ≥ ½} Pembahasan: –2×2 – 5x + 3 ≤ 0 (dikalikan – 1) 2×2 + 5x – 3 ≥ 0 (2x – 1)(x + 3) ≥ 0 (positif) Pembuat nol adalah (2x – 1)(x + 3) = 0 x = ½ x = -3 + – + -3 ½ Jadi, Hp = {x|x ≤ -3 atau x ≥ Telah Terbit 14 Desember 2018 |