Hitunglah selisih luas dari dua lingkaran yang berjari jari 2 cm dan 4cm ?

Pada postingan sebelumnya sudah memposting tentang luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) =πr2 = ¼ π d2 dan keliling (K) = πd = 2πr. Apabila nilai r atau d kita ubah, maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan itu?

Perhatikan uraian berikut. Misalkan lingkaran berjari-jari r1, diperbesar sehingga jari-jarinyamenj di r2, dengan r2 > r1. Jika luas lingkaran semula adalah L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah

L2 - L1 = πr22 – πr12

L2 - L1 = π(r22 – r12)

L2 - L1 = π(r2 – r1) (r2+ r1)

Jika keliling lingkaran semula adalah K1 dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah

K2 - K1 = 2πr2 - 2πr1

K2 - K1 = 2π(r2 - r1)

Kamu juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah. Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut.

L2 : L1 = πr22 : πr12

L2 : L1 = r22 : r12

Adapun perbandingan kelilingnya adalah

K2 : K1 = 2πr2 : 2πr1

K2 : K1 = r2 : r1

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dengan r2 > r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut.

L2 - L1 = π(r2 – r1) (r2+ r1)

K2 - K1 = 2π(r2 - r1)

L2 : L1 = r22 : r12

K2 : K1 = r2 : r1

Contoh Soal Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

Contoh Soal 1

Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm.

Penyelesaian:

Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r1 = 2.

Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r2 = 4.

Selisih keliling = K2 - K1
Selisih keliling = 2π(r2 - r1)Selisih keliling = 2π(4 cm- 2 cm)Selisih keliling = 2π x 2 cmSelisih keliling = 4π cm
Perbandingan luas = L2 : L1
Perbandingan luas = r22 : r12Perbandingan luas = (4 cm )2 : (2 cm)2Perbandingan luas = 16 cm2 : 4 cm2
Perbandingan keliling = K2 : K1
Perbandingan keliling = r2 : r1Perbandingan keliling = 4 cm : 2 cmPerbandingan keliling = 2 : 1

Contoh Soal 2

Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi

a. dua kalinya;

b. (r + 2) cm.

Jawab:

a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:

L1 = πr2 cm2

K1 = 2πr cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 2r adalah:

L2 = π(2r)2= 4πr2 cm2

K2 = 2π(2r) = 4πr cm

Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

L2 - L1 = 4πr2 - πr2

L2 - L1 = 3πr2 cm2

Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

K2 - K1= 4πr - 2πr

K2 - K1= 2πr cm

Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

L2 : L1 = 4πr2 cm2 : πr2 cm

L2 : L1 = 4 : 1

Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

K2 : K1 = 4πr cm : 2πr cm

K2 : K1 = 2 : 1

b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:

L1 = πr2 cm2

K1 = 2πr cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari (r + 2) cm adalah:

L2 = π((r + 2) cm)2

L2 = π (r2 + 4r + 4) cm2

L2 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2

K2 = 2π((r + 2) cm)

K2 = (2πr + 4π)cm

Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

L2 - L1 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2 - πr2 cm2

L2 - L1 = (4πr + 4 π) cm2

Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

K2 - K1= (2πr + 4π)cm - 2πr cm

K2 - K1= 4π cm

Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

L2 : L1 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2 : πr2 cm

L2 : L1 = (r2 + 4r + 4) : r2

L2 : L1 = (1 + 4/r + 4 r2) : 1

Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

K2 : K1= (2πr + 4π)cm : 2πr cm

K2 : K1= (r + 2) : r

K2 : K1= (1 + 2/r) : 1

Contoh soal 3

Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas dan keliling lingkaran setelah jari-jarinya

a. diperbesar tiga kalinya;

b. diperkecil 1/2 kalinya.

Jawab:

a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cmadalah:

L1 = πr2

L1 = π x (7 cm) 2

L1 = 22/7 x 49 cm 2

L1 = 154 cm 2

K1 = 2πr

K1 = 2π x 7 cm

K1 = 2x22/7x 7 cm

K1 = 44 cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali (jari-jarinya menjadi 3 x 7 cm = 21 cm) adalah:

L2 = π(21 cm)2

L2 = 22/7 x 441 cm2

L2 = 1.386 cm2

K2 = 2π(21 cm)

K2 = 2x 22/7 x 21 cm

K2 = 132 cm

Selisih luas untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

L2 - L1 = 1.386 cm2 - 154 cm 2

L2 - L1 = 1.232 cm2

Selisih keliling untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

K2 - K1= 132 cm - 44 cm

K2 - K1= 88 cm

Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

L2 : L1 = 1.386 cm2: 154 cm

L2 : L1 = 9 : 1

Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

K2 : K1 = 132 cm: 44 cm

K2 : K1 = 3 : 1

b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cmadalah:

L1 = πr2

L1 = π x (7 cm) 2

L1 = 22/7 x 49 cm 2

L1 = 154 cm 2

K1 = 2πr

K1 = 2π x 7 cm

K1 = 2x22/7x 7 cm

K1 = 44 cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil 1/2 kali (jari-jarinya menjadi 7 cm/2 = 7/2 cm) adalah:

L2 = π(7/2 cm)2

L2 = 22/7 x 12,25 cm2

L2 = 38,5 cm2

K2 = 2π (7/2 cm)

K2 = 2 x 22/7 x 7/2 cm

K2 = 22 cm

Selisih luas untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

L1 – L2 = 154 cm2 – 38,5 cm 2

L1 – L2 = 115,5 cm2

Selisih keliling untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

K1 – K2= 44 cm - 22 cm

K1 – K2= 22 cm

Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

L2 : L1 = 38½ cm2 : 154 cm

L2 : L1 = 77: 308

L2 : L1 = 1: 4

Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

K2 : K1 = 22 cm: 44 cm

K2 : K1 = 1 : 2

Contoh Soal 4

Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 616 cm2: 2.464 cm2. Hitunglah

a. perbandingan keliling kedua lingkaran

b. selisih keliling kedua lingkaran;

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

Jawab:

Terlebih dahulu cari jari-jari untuk kedua lingkaran terebut. Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 616 cm2 adalah:

L1 = πr2

616 cm2 = π x r1 2

616 cm2 = 22/7 x r1 2

r1 2 = 196 cm 2

r1 = √196 cm 2

r1 = 14 cm

Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 2.464 cm2adalah:

L2 = πr2

2.464 cm2 = π x r2 2

2.464 cm2 = 22/7 x r2 2

r2 2 = 784 cm 2

r2 = √784 cm 2

r2 = 28 cm

a. untuk mencari perbandingan keliling kedua lingkaran, terelebih dahulu cari kedua keliling lingkaran tersebut. Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 14 cm adalah

K1 = 2πr

K1 = 2π x 14 cm

K1 = 2x22/7x 14 cm

K1 = 88 cm

Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 28 cm adalah:

K2 = 2πr

K2 = 2π x 28 cm

K2 = 2 x 22/7 x 28 cm

K2 = 176 cm

Maka perbandingan keliling kedua lingkaran adalah:

K1 : K2 = 88 cm : 176 cm

K1 : K2 = 1 : 2

b) Selisih keliling kedua lingkaran adalah:

K2 – K1 = 176 cm - 88 cm

K2 – K1 = 90 cm

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran adalah:

r1 : r2 = 14 cm : 28 cm

r1 : r2 = 1 : 2 cm

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

r2 - r1 : = 28 cm - 14 cm

r2 - r1 : = 14 cm

Contoh Soal 5

Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah a cm dan 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan

a. nilai a;

b. perbandingan luas dan kelilingnya;

c. selisih luas dan kelilingnya.

Jawab:

Diketahui:

r1 = a cm

r2 = 3a cm

r1 + r2 = 28 cm

ditanyakan:

a) nilai a = ?

b) L2 : L1 = ? dan K2 : K1 = ?

c) L2 – L1 = ? dan K2 – K1 = ?

Penyelesaiannya:

a) a cm + 3a cm = 28 cm

4a cm = 28 cm

a = 28 cm/4 cm

a = 7

b) untuk mencari perbandingan luas dan kelilingnya terlebih dahulu mencari jari-jari untuk kedua lingkaran tersebut, kemudian mencari luas dan keliling masing-masing lingkaran tersebut.

r1 = a cm = 7 cm

L1 = πr2

L1 = π(7 cm)2

L1 = 22/7 x 49 cm2

L1 = 154 cm2

K1 = 2πr

K1 = 2π (7 cm)

K1 = 2 x 22/7 x 7 cm

K1 = 44 cm

r2 = 3a cm = 3 x 7 cm = 21 cm

L2 = πr2

L2 = π(21 cm)2