A planificação de sólidos geométricos é muito útil para o cálculo da área e também para a criação de moldes para realizar a montagem desses sólidos. Os principais sólidos são o cubo, o paralelepípedo, o prisma, a pirâmide, o cilindro e o cone. Existem diferentes formas de planificação de um sólido, que é a representação em duas dimensões. Para montar um dado, por exemplo, precisamos construir, o molde desse dado, ou seja, a sua planificação. Show
Veja também: Congruência de figuras geométricas – quais são os critérios? O que é planificação?Planificação de um dadoConhecemos como planificação de um sólido geométrico a representação de todas as suas faces em forma bidimensional, permitindo visualizar o todo do sólido. Utilizamos a planificação também como molde para a criação desses sólidos. O cubo é uma das formas bastante comuns no nosso dia a dia. O dado, por exemplo, possui formato de um cubo, assim como o cubo mágico e caixas. O cubo é composto por 12 arestas, 6 faces quadradas e 8 vértices. Planificação do cuboPlanificação de paralelepípedosO paralelepípedo pode ser identificado em caixas de sapato, tijolos, entre outros. Ele possui 6 faces (formadas por quadriláteros no formato de paralelogramos), 12 arestas e 8 vértices. Planificação do paralelepípedoLeia também: Soma dos ângulos internos de um polígono Planificação de prismasDe forma geral, o prisma é um poliedro que possui duas bases iguais, ligadas pelas faces laterais. Essas bases podem ter vários formatos, como triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, entre outros. O número de faces, arestas e vértices depende da base. Ele também é muito comum no nosso dia a dia, já que existem caixas que possuem formatos diferentes em suas bases. Planificação de um prisma de base hexagonalPlanificação de pirâmidesAs pirâmides também podem possuir bases diferentes, que podem ser triangulares, quadradas, pentagonais, entre outras. A planificação também depende da base da pirâmide, assim como o número de faces, vértices e arestas. As pirâmides do Egito, por exemplo, possuem base quadrada. Planificação de uma pirâmide de base quadradaPlanificação de cilindrosO cilindro é um corpo redondo e é igualmente comum no nosso dia a dia. Essa é a forma geométrica de latas de refrigerante, canos, entre outros objetos. O cilindro possui duas bases no formato de círculo, e sua face lateral tem o formato de um retângulo. Em sólidos arredondados, não faz sentido falarmos de números de faces e arestas, já que elas são arredondadas. Planificação do cilindroAcesse também: Polígonos convexos e seus elementos Planificação do coneO cone possui uma base circular, e sua área lateral possui formato de um arco. Objetos como casquinha de sorvete, chapéu de aniversário, entre outros, possuem formato de um cone. Planificação do coneExercícios resolvidosQuestão 1 - (Enem 2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão a planificação dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir da planificação? A) Cilindro, primas de base pentagonal e pirâmide. B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. E) Cilindro, prisma e tronco de cone. Resolução Alternativa A. Analisando as características de cada uma das planificações, notamos que a primeira possui duas bases circulares e área lateral retangular, logo é um cilindro. Já a segunda planificação possui duas bases pentagonais, e as áreas laterais são retângulos, o que indica que ele é um prisma de base pentagonal. Por fim, a terceira figura possui uma base triangular ao meio, o que faz com que ela seja uma pirâmide de base triangular. Questão 2 - (Enem 2015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotip o seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura: A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas: Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa? A) I B) II C) III D) IV E) V Resolução Alternativa C. Analisando as planificações, a alternativa que possui duas faces opostas pintadas é a III, que, ao construir o cubo, respeita as características solicitadas pela empresa. Quanto às demais, ao formarem a caixa, as faces pintadas ficariam uma ao lado da outra, contrariando o pedido da empresa. Os paralelepípedos são uma classe especial de prisma, cujas bases são paralelogramos. Assim, um paralelepípedo é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional da seguinte maneira: Tome dois planos paralelos α e β e uma reta r qualquer que os intercepte. O paralelepípedo é o sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta paralelos à reta r que partem de um paralelogramo contido em α e findam no plano β. Como resultado dessa definição, obtemos figuras parecidas com a imagem a seguir: Faces de um paralelepípedo Um dos resultados dessa definição é que a figura projetada no plano β é congruente à figura inicial no plano α. Assim, a face superior e inferior do paralelepípedo acima são congruentes. Observe que as arestas laterais desse prisma possuem o mesmo comprimento, uma vez que os planos α e β são paralelos e equidistantes em qualquer ponto. Portanto, na figura a seguir, os segmentos GC e HE são congruentes e paralelos. Observe também, na figura acima, que os segmentos CE e GH são congruentes e paralelos, pois são correspondentes e pertencem a figuras congruentes. Como todo quadrilátero formado por segmentos opostos paralelos e congruentes é um paralelogramo, então, a face lateral do paralelepípedo é um paralelogramo. Podemos generalizar esse resultado para todas as faces do paralelepípedo, pois podemos tomar qualquer uma de suas faces para “exemplificar” esse resultado. Arestas do paralelepípedo As arestas do paralelepípedo possuem a seguinte propriedade: Se duas arestas estão contidas no mesmo plano, elas são paralelas. Esse plano não necessariamente é α ou β. Pode ser qualquer plano definido a partir de uma das arestas. Observe:
Classificação de paralelepípedos Os paralelepípedos podem ser classificados de acordo com sua forma, dependendo dos ângulos em suas bases e em suas faces laterais.
O paralelepípedo é um sólido geométrico com faces paralelas. O paralelepípedo é uma figura tridimensional e é uma das figuras geométricas estudas pela geometria espacial. DefiniçãoPodemos definir o paralelepípedo como uma figura tridimensional em que suas faces são paralelogramos. Dessa forma, existem três maneiras de defini-lo:
ElementosUm paralelepípedo é formado pelos seguintes elementos:
Tipos de ParalelepípedoPodemos classificar os paralelepípedos conforme sua disposição no espaço: Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo. Oblíquos: é oblíquo quando não são retos, ou seja, quando as faces laterais não formam ângulos retos e assim elas não são perpendiculares. Isósceles: é quando todas as faces são quadradas, quando isso acontece chamamos o paralelepípedo de cubo. PlanificaçãoSe “abrirmos” o paralelepípedo veremos que suas faces são formadas por outas figuras geométricas. Isso é o que se chama de planificação. É importante para entendermos como calcular a área desse hexaedro. Pela figura percebemos que as bases e as faces são formadas por retângulos, mas dependendo do tipo podem ser formadas por quadrados também. Como Calcular a Área?Para calcular a área do paralelepípedo devemos entender que ele é uma figura geométrica espacial. Assim, a área será de uma figura tridimensional. Área da BaseA base é formada por uma figura geométrica plana. Então, para calcular devemos multiplicar a base pela altura dessa figura. Temos a seguinte fórmula: Ab = b . h Onde:
Área LateralPara calcular a área lateral, temos que entender que o sólido possui quatro faces laterais formando pares. Então, para calcular a área lateral, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
Área TotalPara calcular a área total, temos que olhar para a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Temos a seguinte fórmula: At = 2(ab + ac + bc) Onde:
Volume do ParalelepípedoPara calcular o volume devemos proceder da mesma forma que calculamos o volume do cubo. O volume do cubo é o produto do comprimento, da largura e altura. Então, temos a seguinte fórmula para o volume do paralelepípedo: V = a . b . c Onde:
Que é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura. ExercíciosAcesse os exercícios no link a seguir:
|