Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah : Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1….Materi StudioBelajar.com lainnya: Show
Apakah induksi matematika merupakan teknik pembuktian?Induksi Matematika adalah suatu teknik pembuktian yang baku dalam matematika sehingga hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis (Manullang dkk., 2017). Untuk lebih jelas kita lihat contoh soal dan pembahasan induksi matematika berikut ini. Bagaimana cara mengetahui prinsip kerja induksi matematika? Cara yang paling gampang untuk mengetahui bagaiman prinsip kerja induksi matematika yaitu dengan cara mengamati efek domino. Kita bisa mulai dengan mengajukan pertanyaan “kapan seluruh domino akan jatuh”. Terdapat dua keadaan yang harus dipenuhi supaya seluruh domino di atas terjatuh. Apakah induksi matematika tidak menurunkan rumus? Dan induksi matematika tidak untuk menurunkan rumus. Induksi matematika tidak bisa dipakai untuk menurunkan atau menemukan rumus. Berikut ini adalah beberapa contoh dari pernyataan matematika yang bisa dibuktikan kebenarannya pada induksi matematika: P (n): 6 n + 4 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli. Apakah pernyataan induksi matematika benar untuk semua bilangan bulat positif?Oleh karena itu, berdasarkan prinsip pembuktian induksi matematika terbukti pernyataan P ( n) benar untuk semua bilangan bulat positif n, yaitu 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1) 2. ◼ Sebagai informasi untuk Anda, induksi matematika bukan merupakan suatu alat untuk menemukan sifat, lemma ataupun teorema yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif n.
Induksi matematika adalah sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah. Suatu induksi matematika dibedakan menjadi tiga jenis yaitu deret, pembagian dan pertidaksamaan. Kalian pasti pernah mempelajari tentang induksi matematika pada sekolah menengah atas. Seperti yang kita ketahui, induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika. Dalam penerapannya, logika matematika digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai salah atau benar, ekivalen atau ingkaran serta penarikan kesimpulan. Konsep Dasar Induksi MatematikaInduksi matematika merupakan sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah. Pada prosesnya, kesimpulan ditarik berdasarkan kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus juga dapat berlaku benar juga. Selain itu, suatu variabel dalam induksi matematika juga dianggap sebagai sebuah anggota dari himpunan bilangan asli. Pada dasarnya, terdapat tiga langkah dalam induksi matematika agar dapat membuktikan apakah suatu rumus atau pernyataan dapat bernilai benar atau justru sebaliknya. Langkah-langkah tersebut adalah :
Dari langkah di atas, dapat kita asumsikan bahwa sebuah pernyataan harus dapat dinyatakan kebenarannya untuk n=k dan n=k+1. Jenis Induksi MatematikaTerdapat berbagai macam permasalahan matematis yang dapat diselesaikan melalui induksi matematika. Oleh karena itu, induksi matematika dibedakan menjadi tiga jenis yaitu deret, pembagian dan pertidaksamaan. 1. DeretPada jenis deret, biasanya persoalan induksi matematika ditemui dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, pada persoalan deret haruslah dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k+1). 2. PembagianJenis induksi matematika pembagian dapat kita jumpai di berbagai soal yang menggunakan kalimat sebagai berikut :
Keempat ciri tersebut menunjukkan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian. Hal yang perlu diingat adalah, jika bilangan a habis dibagi dengan b maka a = b.m dengan m adalah bilangan bulat. 3. PertidaksamaanJenis pertidaksamaan ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari yang ada di pernyataannya. Terdapat sifat-sifat yang sering digunakan dalam penyelesaian induksi matematika jenis pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah :
Contoh Soal Induksi MatematikaBerikut merupakan contoh soal agar kalian dapat lebih memahami mengenai bagaimana cara menyelesaikan suatu pembuktian rumus dengan menggunakan induksi matematika. DeretContoh 1Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli. Jawab :P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) Akan dibuktikan n = (n) benar untuk setiap n ∈ N Langkah Pertama :Akan ditunjukkan n=(1) benar2 = 1(1 + 1) Jadi, P(1) benar Langkah Kedua :Asumsikan n=(k) benar yaitu 2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N Langkah Ketiga Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu Dari asumsi :2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1) Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : 2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)Jadi, n = (k + 1) benar Contoh 2Gunakanlah induksi matematika untuk membuktikan persamaan Sn = 1 + 3 + 5 +7 +…+ (2n-1) = n2 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1. Jawab : Langkah Pertama :Akan ditunjukkan n=(1) benarS1 = 1 = 12 Langkah Kedua Asumsikan bahwa n=(k) benar, yaitu1 + 3 + 5 +7 +...+ 2(k)-1 = k2 1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2 Langkah Ketiga Buktikan bahwa n=(k+1) adalah benar1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)2 ingat bahwa 1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2 maka k2 + [2(k+1) - 1] = (k+1)2 k2 + 2k + 1 = (k+1)2 (k+1)2 = (k+1)2 maka persamaan di atas terbukti Contoh 3Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 benar, untuk setiap n bilangan asli Jawab : 1 = 12 Jadi, P(1) benar Langkah Kedua:Asumsikan n=(k) benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2, k ∈ N Langkah Ketiga : Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k2 Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 : 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1) 1 + 3 + 5 +...+ (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k +1 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2Jadi, n=(k + 1) juga benar PembagianContoh 4Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli Baca juga: Penjelasan Sistem Pencernaan Manusia (Fungsi dan Anatominya) Jawab : 13 + 2.1 = 3 = 3.1 Jadi, n=(1) benar Langkah Kedua: Asumsikan n=(k) benar, yaitu k3 + 2k = 3m, k ∈ NN Langkah Ketiga: Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu (k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2) Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat. PertidaksamaanContoh 5
Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku Jawab : Langkah Pertama:Akan ditunjukkan n=(2) benar 32 = 9 > 1 + 2.2 = 5 Jadi, P(1) benar Langkah Kedua:Asumsikan n=(k) benar, yaitu 3k > 1 + 2k, k ≥ 2 Langkah Ketiga: Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu 3k+1 > 3(1 + 2k) (karena 3k > 1 + 2k) 3k+1 = 3 + 6k 3k+1 > 3 + 2k (karena 6k > 2k) 3k+1 = 1 + 2k + 2 3k+1 = 1 + 2(k + 1) Jadi, n=(k + 1) juga benar Contoh 6Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku Jawab : Langkah Pertama:Akan ditunjukkan n=(4) benar (4 + 1)! > 34 ruas kiri : 5! = 5.4.3.2.1 = 120ruas kanan : 34 = 81 Jadi, n=(4) benar Langkah Kedua:Asumsikan n=(k) benar, yaitu (k + 1)! > 3k , k ≥ 4 Langkah Ketiga: Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu (k + 1 + 1)! > (k + 2)(3k) (karena (k + 1)! > 3k) (k + 1 + 1)! > 3(3k) (karena k + 2 > 3) (k + 1 + 1)! = 3k+1 Jadi, n=(k + 1) juga benar Referensi:
|