Hai, bagaimana kabarmu hari ini? Semoga dalam keadaan baik ya. Kali ini kita akan bahas mengenai Vektor. Sebenarnya apa sih vektor itu? Untuk mengetahui lebih dalam mengenai vektor, maka kamu simak ya pembahasan kali ini. Show
Dalam bidang fisika, terdapat dua macam besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor.
VektorRuas garis berarah disamping adalah sebuah vektor. Ruas garis dengan titik pangkal P dan titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor Cara penulisan vektor yang lain, dapat dituliskan sebagai berikut: 1. Huruf kecil yang di bold atau dicetak tebal, seperti a, b, c. Misalnya, vektor 2. Huruf kecil yang diatasnya dibubuhi tanda panah. Kamu bebas memilih penulisan vektor tersebut. Pada artikel ini saya akan menggunakan penulisan vektor dengan huruf kecil yang dicetak tebal. Baca juga: Dimensi Tiga Matematika Panjang VektorSekarang perhatikan, titik A dan B pada bidang kartesius di bawah ini. Bidang kartesius diatas menunjukkan vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0,0) ke titik A(a1, a2). Oleh karena itu, vektor a dapat dituliskan dalam bentuk pasangan terurut a = (a1, a2). Ada juga vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0,0) ke titik B (b1, b2). Vektor b dapat kamu tuliskan sebagai b = (b1, b2). Dengan menggunakan rumus jarak, kamu dapat menentukan panjang vektor a dan b, yaitu: Dengan menarik ruas garis dari titik A ke titik B, kamu dapat mendapatkan vektor c. dengan menggunakan rumus jarak, vektor c ini dapat dituliskan sebagai sehingga panjang vektor c adalah: Apabila vektor c arahnya dibalik, maka didapat vektor –c, yaitu vektor yang memiliki panjang sama dengan panjang vektor c dengan arah berlawanan. Vektor ini disebut invers dari vektor c. Bentuk pasangan terurut untuk vektor -c adalah vektor –c = (a1 – b1, a2 – b2). Panjangnya adalah: Vektor SatuanUntuk setiap vektor a dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor a dengan syarat vektor a yang bukan vektor nol, yang dilambangkan dengan Jika vektor Vektor-vektor satuan dan dapat dinyatakan dengan vektor kolom, seperti dibawah ini: Panjang Vektor R3Dengan pemahaman yang sama seperti vektor dibidang (R2), kamu dapat memahami vektor pada ruang (R3). Ambil sebarang titik A(a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3) pada ruang (R3), maka kamu dapat menuliskan vektor a yang mewakili vektor Vektor Satuan Pada Ruang (R3)Jika vektor Vektor-vektor satuan ContohDiketahui sebuah segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0,3,5), B(2,4,6), dan C(4,3,1). Tentukan: a. Panjang dari vektor x yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B b. Panjang vektor y yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C c. Panjang vektor z yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C d. Keliling segitiga ABC Penyelesaian: a. Vektor x yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka x = b. Vektor y yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka y = Panjang vektor y adalah c. Vektor z yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka z = Panjang vektor z adalah d. Keliling segitiga ABC adalah Operasi VektorPenjumlahan dan Pengurangan VektorPerhatikan titik A(a1, a2), B(b1, b2), dan C(c1, c2), pada koordinat Cartesius di bawah ini! Pada gambar di atas, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut: 1. a = (b1 – a1, b2 – a2) Dapat pula ditulis, 2. b = (c1 – b1, c2 – b2) Dapat pula ditulis, 3. c = (c1 – a1, c2 – a2) Dapat pula ditulis, Sekarang, jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor di atas dalam bentuk matriks kolom, maka kamu dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan diperoleh: Perhatikan bahwa Uraian di atas menunjukkan bahwa a + b + c. Secara geometris, penjumlahan vektor a dan b, dapat kamu kerjakan dengan dua cara, yaitu: 1. Cara Segitiga Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung dari vektor a. Jumlah dari vektor a dan vektor b didapat dengan cara menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. akibatnya, a + b + c. 2. Cara Jajargenjang Ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B ditunjukkan oleh vektor a, dan vektor b adalah ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dengan cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C. Dengan membuat jajargenjang ABED, akan diperoleh Oleh karena Kemudian, jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b (-b), maka kamu mendapatkan penjumlahan vektor a + (-b) sebagai berikut. Seperti pada bilangan real, kamu dapat menuliskan a + (-b) = a – b . Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kamu dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut. Perhatikan gambar berikut! Dari gambar di atas, kalian dapat menyatakan:
Baca juga: Statistika Matematika Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan VektorMisalkan diketahui vektor-vektor sebarang a, b, dan c. Maka sifar-sifat operasi penjumlahan vektor seperti dibawah ini.
ContohDiketahui vektor a = (0, -2, -1), vektor b = (2, 3, 4), dan vektor c = (-3, 0, 3), tentukan: Penyelesaian: 1. a + b = (0, -2, -1) + (2, 3, 4) = (0 + 2, -2 + 3, -1 + 4) = (2, 1,3) Jadi, a + b = (2, 1,3) 2. b – c = (2, 3, 4) + (-3, 0, 3) = (2 – (-3), 3 – 0, 4 – 3) = (5, 3, 1) Jadi, b – c = (5, 3, 1) 3. (a + b) + c = (2, 1,3)+ (-3, 0, 3) =(2 + (-3), 1 + 0, 3 + 3) = (-1, 1, 6) Jadi, (a + b) + c = (-1, 1, 6) Perkalian Skalar dengan VektorDalam operasi penjumlahan di atas, kamu akan mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan cara mengalikan k dengan setiap komponen-komponen vektor u. Hal ini mengakibatkan vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang Jika k skalar tidak sama dengan nol dan vektor u = (u1, u2, …, un), maka ku = (ku1, ku2, …, kun). Dalam perkalian skalar dengan vektor, jika k > 0, maka vektor ku memiliki arah yang sama dengan vektor u. Begitu juga sebaliknya, jika k < 0, maka vektor ku memiliki arah yang berlawanan dengan arah vektor u. ContohDiketahui vektor a = (1,4,5) dan vektor b = (2,3,2), tentukan vektor c = 2a + 3b. Penyelesaian: Jadi, vektor c = 2a + 3b = (8, 17, 16) Sifat-Sifat Operasi Hitung pada VektorJika a, b, dan c merupakan vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l adalah skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut: Perbandingan VektorPada gambar di atas, titik C berada di ruas garis AB sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n. Diperoleh hubungan sebagai berikut: AC : CB = m : n atau dapat juga dituliskan AC : AB = m : (m + n) Tanda pada m dan n ditentukan dengan aturan:
Rumus perbandingan vektor Misalkan vektor posisi titik A adalah a dan vektor posisi titik B adalah b. Titik C berada pada ruas garis AB sehingga didapat perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor posisi C adalah c ditentukan dengan rumus: ContohVektor posisi titik A dan vektor posisi titik B berturut-turut adalah a dan b. Titik C dan titik D pada ruas garis AB sehingga AC : CB = 1 : 3. Tentukan vektor posisi titik C. Penyelesaian: Perhatikan gambar dibawah ini. Titik C pada ruas garis AB sehingga diperoleh perbandingan AC : CB = 1 : 3 sehingga didapat m = 1 dan n = 3. Vektor posisi titik C adalah vektor c ditentukan dengan cara: Jadi, vektor posisi titik C adalah Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi VektorJika vektor a dan vektor b merupakan vektor-vektor tak nol dan sudut di antara vektor a dan b, maka perkalian skalar dan vektor a dan vektor b didefinisikan oleh Perkalian skalar dua vektor ini didefinisikan dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut: Jika a = (a1, a2, …, an) dan b = (b1, b2, …, bn) adalah sebarang vektor pada R3, maka hasil kali dalam atau perkalian skalarnya adalah a.b = a1b1 + a2b2 + … + anbn Dalam perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat sebagai berikut: Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau R3 dan k skalar tak nol, maka: Perhatikan gambar dibawah ini. Vektor c adalah proyeksi dari vektor a pada vektor b. Perhatikan segitiga AOB! Pada segitiga AOB, Jadi, panjang proyeksi vektor c adalah Setelah mengetahui panjang vektor c, kamu dapat juga menentukan vektor proyeksi dari vektor c yaitu: Karena vektor c berimpit dengan b maka vektor satuan c adalah Jadi, Secara matematis, proyeksi vektor a pada vektor b dapat dituliskan sebagai berikut: vektor ContohDiketahui vektor a = (1, -1, 0) dan vektor b = (-1, 2, 2). Tentukanlah: a. Besar sudut yang berada di antara vektor a dan vektor b b. Panjang proyeksi a pada vektor b c. Vektor proyeksi a pada vektor b Penyelesaian: a. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b, tentukan terlebih dahulu a . b, Misalkan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah Didapat b. Misalkan vektor proyeksi a pada vektor b adalah c, maka: Jadi panjang proyeksi vektor c adalah 1. c. Vektor proyeksi a pada vektor b Baca juga: Materi Permutasi dan Kombinasi Untuk lebih mendalami materi, coba latih kemampuan kamu dengan mengerjakan beberapa soal. Demikian akhir dari artikel ini, semoga bermanfaat dan dapat membantu memahami materi vektor ini ya! Daftar Pustaka: Pesta dan Anwar, Cecep.2008.Matematika Kelas 12.Jakarta:Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional |