Rumus un yang menyatakan banyaknya garis yang membentuk pola ke-n pada barisan segitiga adalah

Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar, ya!

Pada artikel kali ini, Quipper Blog akan membahas tentang pola bilangan. Pola bilangan penting untuk kamu pelajari karena materi ini bisa diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya cara menata gelas bertumpuk agar tidak saling jatuh, menyusun formasi penerjun bebas dan cheerleader, mendesain gedung pertunjukan, dan masih banyak lainnya. Lalu, seperti apa pembahasan selanjutnya? Check this out!

Pengertian Pola Bilangan

Pola bilangan adalah susunan angka-angka yang membentuk pola tertentu, misalnya segitiga, garis lurus, persegi, dan masih banyak lainnya.

Macam-Macam Pola Bilangan

Adapun macam-macam pola bilangan adalah sebagai berikut.

1 . Pola bilangan persegi panjang

Pola bilangan jenis ini akan menghasilkan bentuk menyerupai persegi panjang. Contohnya susunan angka 2, 6, 12, 20, 30, dan seterusnya. Untuk menentukan pola ke-n, kamu bisa menggunakan persamaan Un = n (n + 1) di mana n merupakan bilangan bulat positif. Jika digambarkan, pola bilangannya berbentuk seperti berikut.

Gambar di atas menunjukkan bahwa, susunan bilangan yang sedemikian sehingga memenuhi persamaan Un = n (n + 1) bisa membentuk suatu pola persegi panjang.

2. Pola bilangan persegi

Pola persegi adalah susunan bilangan yang dibentuk oleh bilangan kuadrat. Secara matematis, pola bilangan ini mengikuti bentuk Un = n2. Contoh susunan bilangan yang menghasilkan pola persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, 36, dan seterusnya. Jika dijabarkan dalam bentuk gambar, akan menjadi seperti berikut.

3. Pola bilangan segitiga

Dari namanya saja sudah bisa ditebak, kira-kira pola bilangannya akan membentuk bangun apa? Ya benar, segitiga. Segitiga yang dibentuk adalah segitiga sama sisi. Ada dua cara yang bisa Quipperian gunakan untuk membentuk pola ini, yaitu sebagai berikut.

a. Cara penjumlahan bilangan di mana selisih bilangan setelahnya + 1 dari bilangan sebelumnya. Perhatikan contoh berikut.

Bilangan pada baris kedua (di dalam kotak berbingkai merah) merupakan selisih dari pola bilangan sebelum dan setelahnya. Quipperian bisa melihat bahwa selisihnya selalu + 1 dari selisih sebelumnya. Kira-kira, bilangan setelah 15 berapa ya? Untuk memudahkan kamu menjawab, tentukan dulu selisih antara bilangan 15 dan setelahnya, yaitu +6. Jadi, bilangan setelah 15 adalah 15 + 6 = 21.

b. Cara kedua menggunakan rumus Un di mana Un = n⁄2 (n + 1).

Dengan cara ini, Quipperian bisa menentukan suku ke-n dengan lebih mudah.

Secara umum, pola segitiga ditunjukkan oleh gambar berikut.

4. Pola bilangan Pascal

Pola bilangan Pascal ini ditemukan oleh ilmuwan asal Prancis, yaitu Blaise Pascal. Jika dituliskan, pola bilangan Pascal akan membentuk suatu segitiga. Segitiga tersebut dinamakan segitiga Pascal. Ada beberapa ketentuan yang harus Quipperian tahu terkait pola bilangan Pascal, yaitu sebagai berikut.

• Baris paling atas (baris ke-1) diisi oleh angka 1.
• Setiap baris diawali dan diakhiri dengan angka 1.
• Setiap bilangan yang ditulis di baris ke-2 sampai ke-n merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan diagonal di atasnya (kecuali angka 1 pada baris ke-1).

• Setiap baris berbentuk simetris.
• Banyaknya bilangan di setiap barisnya merupakan kelipatan dua dari jumlah angka pada baris sebelumnya. Misalnya, baris ke-1 banyaknya bilangan = 1 maka baris ke-2 banyaknya bilangan = 2.

Adapun bentuk pola bilangan Pascal adalah sebagai berikut.

Gambar di atas menunjukkan bahwa pola bilangan Pascal itu sangat unik dan mudah sekali untuk dipahami. Untuk menentukan bilangan ke-n kamu bisa menggunakan persamaan 2n-1. Apakah Quipperian bisa melanjutkan bilangan ke-9?

Menentukan Barisan Bilangan

Sebelumnya, Quipperian sudah dikenalkan dengan macam-macam pola bilangan. Kali ini, kamu akan diajak untuk menentukan bagaimana sih cara menentukan barisan/ urutan bilangan jika tidak memenuhi pola-pola seperti di atas.

Contoh soal 1

Diketahui barisan bilangan 4, 6, 9, 13, 18, …, …

Kira-kira, berapa kelanjutan bilangan di atas?

Pembahasan:

Pertama, Quipperian lihat selisih antarbilangannya.

• Selisih 4 ke 6 = 2
• Selisih 6 ke 9 = 3
• Selisih 9 ke 13 = 4
• Selisih 13 ke 18 = 5

Artinya, antarbilangan memiliki selisih + 1 dari selisih antarbilangan sebelumnya.

Dengan demikian, bilangan selanjutnya adalah sebagai berikut.

• Selisih 18 ke bilangan selanjutnya pasti 6, sehingga 18 + 6 = 24
• Selisih 24 ke bilangan selanjutnya pasti 7, sehingga 24 + 7 = 31.

Jadi, kelanjutan bilangannya adalah 24 dan 31.

Contoh soal 2

Andi diberi tugas oleh Pak Marno untuk meletakkan buku di rak perpustakaan. Di rak pertama ia harus meletakkan 6 buah buku, di rak kedua 11 buah buku, di rak ketiga 16 buah buku, di rak keempat 21 buah buku. Jika banyaknya rak di perpustakaan adalah 10, tentukan banyaknya buku yang harus disusun Budi di rak terakhir!

Pembahasan:

Rak ke-1 = 6

Rak ke-2 = 11

Rak ke-3 = 16

Rak ke-4 = 21

Artinya, selisih buku antara rak satu dan lainnya adalah 5 buku.

Untuk mencari banyaknya kursi pada rak ke-n, gunakan persamaan berikut.

Un  = banyaknya buku di rak ke-2 + {(n – 1)× selisih buku antarrak}

Banyaknya buku di rak ke-10 dirumuskan sebagai berikut.

U10 = rak ke-1 + {(10 – 1) × 5}

U10 = 6 + {(10 – 1) × 5}

U10 = 6 + 45

U10 = 51

Jadi, banyaknya buku di rak terakhir/ rak ke-10 adalah 51 buah buku.

Itulah pembahasan Quipper Blog tentang pola bilangan serta bagaimana cara menentukan suatu barisan bilangan. Semoga artikel ini bermanfaat bagi Quipperian. Jangan lupa untuk tetap belajar meskipun di rumah saja. Tetap produktif bersama Quipper Video. Jadikan Quipper Video sebagai mitra belajar yang menyenangkan. Buruan daftar, ya!

Penulis: Eka Viandari

Materi Pola bilangan adalah salah satu materi dasar dari materi baris dan deret. Sebagai materi dasar tentu pola bilangan ini harus dipahami agar materi lainnya mudah untuk dipelajari.

Pada bab pola bilangan yang terdiri dari dua materi pola bilangan, yaitu materi pola bilangan menentukan persamaan dari suatu barisan bilangan dan materi pola bilangan menentukan persamaan dari suatu konfigurasi objek serta contoh soal pola bilangan.

Menentukan Persamaan dari Suatu Barisan Bilangan

Bilangan-bilangan yang membentuk barisan adalah barisan bilangan. Suatu barisan bilangan akan membentuk pola bilangan tertentu seperti pola bilangan ganjil, pola bilangan genap, pola bilangan fibonacci, dan pola lainnya yang dapat diketahui dengan melihat beberapa bilangan yang berurutan.

Beberapa bilangan pada barisan bilangan akan membentuk pola yang menunjukkan persamaan dari suatu barisan bilangan. Berikut adalah beberapa contoh barisan bilangan dan persamaannya.

Barisan Bilangan Ganjil

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33

Barisan bilangan ganjil dibentuk oleh bilangan ganjil, sehingga persamaan dari barisan bilangan ganjil untuk suku ke-n adalah Un = 2n – 1.

Baca juga: Koordinat Kartesius: Contoh Soal Serta Pembahasan

Barisan Bilangan Genap

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34

Barisan bilangan genap dibentuk oleh bilangan genap, sehingga persamaan dari barisan bilangan genap untuk suku ke-n adalah Un = 2n.

Barisan Bilangan Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

Barisan bilangan fibonacci dibentuk oleh penjumlahan kedua suku sebelum bilangan tersebut, sehingga persamaan dari barisan bilangan fibnacci untuk suku ke-n adalah Un = Un-2 + Un-1.

Barisan Bilangan Lainnya

3, 6. 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51

Barisan bilangan tersebut dibentuk oleh pola penjumlahan +3 atau kelipatan 3, sehingga persamaan dari barisan bilangan tersebut untuk suku ke-n adalah Un = 3n.

Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi Objek

Suatu konfigurasi objek yang berurutan membentuk barisa yang memiliki pola bilangan. Cara untuk menentukan pola bilangan tersebut adalah dengan memperhatikan baris konfigurasi objek tersebut, temukan perubahannya dan buatlah persamaan. Beberapa contoh dari pola bilangan tersebut adalah pola bilangan segitiga dan pola bilangan persegi.

Pola Bilangan Segitiga

Persamaan pada pola bilangan segitiga untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

Un = ½ × n × (n + 1)

Pola seperti di atas dinamakan pola bilangan segitiga karena konfigurasi objek membentuk segitiga.

Persamaan untuk pola bilangan segitiga dapat berbeda untuk setiap segitiga karena konfigurasi objek yang memiliki perbedaan panjang dan lebar. Misalnya pada pola bilangan segitiga berikut ini:

Persamaan pada pola bilangan segitiga untuk suku ke-n adalah sebagai berikut ini:

Un = n  + Un-1

Pola seperti di atas dinamakan pola bilangan segitiga sama sisi karena konfigurasi objek membentuk segitiga sama sisi.

Pola Bilangan Persegi

Persamaan pada pola bilangan persegi untuk penjumlahan hingga suku ke-n  adalah seperti berikut ini:

Sn = n2

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan persegi karena konfigurasi objek membentuk persegi.

Pola Bilangan Persegi Panjang

Persamaan untuk pola bilangan persegi berbeda dari pola bilangan persegi panjang dengan mengalikan panjang dan lebar dari kedua sisi persegi panjang pada konfigurasi objek, sehingga persamaan pada pola bilangan persegi panjang tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

Un = n × (n + 1)

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan persegi panjang karena konfigurasi objek membentuk persegi panjang.

Pola Bilangan Belah Ketupat

Persamaan pada pola bilangan belah ketupat tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

Un = n2 + (n – 1)2

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan belah ketupat karena konfigurasi objek membentuk belah ketupat.

Pola Bilangan Segienam

Persamaan pada pola bilangan segienam tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

Un = 6 (n – 1) + Un-1

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan segienam karena konfigurasi objek membentuk segienam.

Pola Bilangan Cross

Persamaan pada pola bilangan cross tersebut untuk suku ke-n adalah seperti berikut ini:

Un = 4 + Un-1

Pola seperti di atas dinamakan pola barisan bilangan cross karena konfigurasi objek membentuk cross.

Contoh Soal Pola Bilangan

Untuk lebih memahami mengenai materi pola bilangan, perhatikanlah contoh soal dan pembahasan pola bilangan berikut ini:

1. Tentukanlah persamaan suke ke-n dari barisan bilangan berikut ini !

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34

Pembahasan:

Diketahui:

a = U1 = 1

b = Un – Un-1 = 4 – 1 = 10 – 7 = 3

Menentukan persamaan suku ke-n

Un = a + (n – 1) × b

Un = 1 + (n – 1) × 3

Un = 1 + 3n – 3

Un = 3n – 2

Jadi persamaan suke ke-n dari barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34 adalah Un = 3n – 2.

2. Tentukanlah suku ke-100 dari konfigurasi objek berikut ini!

Pembahasan:

Diketahui:

a = U1 = 4

U2 = 8

U3 = 12

b = Un – Un-1 = 8 – 4 = 12 – 8 = 4

Menentukan persamaan suku ke-n

Un = a + (n – 1) × b

Un = 4 + (n – 1) × 4

Un = 4 + 4n – 4

Un = 4n

U100 = 4 × 100 = 400

Jadi suku ke-100 dari konfigurasi objek tersebut adalah 400.

3. Setiap siswa diwajibkan untuk menggambar segitiga sebanyak nomor urut absennya yang digabungkan memanjang seperti berikut ini:

Jika Budi memiliki nomor absen 25, berapa banyak garis yang harus ditarik untuk membentuk gambar tersebut ?

Pembahasan:

Diketahui:

a = U1 = 3

U2 = 5

U3 = 7

U4 = 9

b = Un – Un-1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2

Menentukan persamaan suku ke-n

Un = a + (n – 1) × b

Un = 3 + (n – 1) × 2

Un = 3 + 2n – 2

Un = 2n + 1

Un = 2n + 1

U25 = 2 × 25 + 1 = 51

Jadi banyak garis yang harus ditarik oleh Budi untuk membentuk gambar segitiga sebanyak nomor urut 25 adalah 51 garis.

Yuk baca juga materi sekolah lainnya yang ada di tambahpinter.com

Demikianlah pembahasan mengenai materi pola bilangan. Materi yang tidak begitu sulit jika kamu sudah memahaminya. Untuk itu terus rajin belajar dan jangan lupa untuk belajar materi lainnya juga.

Daftar Pustaka

As’ari, Abdur Rahman dkk. 2017. Matematika kelas VIII. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.