Os gráficos são representações que facilitam a análise de dados, os quais costumam ser dispostos em tabelas quando se realiza pesquisas estatísticas. Eles trazem muito mais praticidade, principalmente quando os dados não são discretos, ou seja, quando são números consideravelmente grandes. Além disso, os gráficos também apresentam de maneira evidente os dados em seu aspecto temporal. Leia também: O que é a margem de erro em uma pesquisa? Elementos do gráficoAo construirmos um gráfico em estatística, devemos levar em consideração alguns elementos que são essenciais para sua melhor compreensão. Um gráfico deve ser simples devido à necessidade de passar uma informação de maneira mais rápida e coesa, ou seja, em um gráfico estatístico, não deve haver muitas informações, devemos colocar nele somente o necessário. As informações em um gráfico devem estar dispostas de maneira clara e verídica para que os resultados finais sejam dados de modo coeso com a finalidade da pesquisa. Tipos de gráficosEm estatística é muito comum a utilização de diagramas para representar dados, diagramas são gráficos construídos em duas dimensões, isto é, no plano. Existem vários modos de representá-los, as principais são: gráfico de pontos, gráfico de linha, gráfico de barra, gráfico de coluna e gráfico de setor. Leia mais: Moda, média e mediana: números que resumem informações de listas de dados Também conhecido como Dotplot, é utilizado quando possuímos uma tabela de distribuição de frequência, sendo ela absoluta ou relativa. O gráfico de pontos tem por objetivo apresentar os dados das tabelas de forma resumida e que possibilite a análise das distribuições desses dados. Exemplo Suponha uma pesquisa, realizada em uma escola de educação infantil, na qual foram coletadas as idades das crianças. Nessa coleta foi organizado o seguinte rol: Rol: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6} Podemos organizar esses dados utilizando um Dotplot Observe que a quantidade de pontos corresponde à frequência de cada idade e o somatório de todos os pontos fornece-nos a quantidade total de dados coletados. É utilizado em casos que existe a necessidade de analisar dados ao longo do tempo, esse tipo de gráfico é muito presente em análises financeiras. O eixo das abscissas (eixo x) representa o tempo, que pode ser dado em anos, meses, dias, horas etc., enquanto o eixo das ordenadas (eixo y) representa o outro dado em questão. Uma das vantagens desse tipo de gráfico é a possibilidade de realizar a análise de mais de uma tabela, por exemplo. Exemplo Uma empresa deseja verificar seu faturamento em determinado ano, os dados foram dispostos em uma tabela:
Veja que nesse tipo de gráfico é possível ter uma melhor noção a respeito do crescimento ou do decrescimento dos rendimentos da empresa. Tem como objetivo comparar os dados de determinada amostra utilizando retângulos de mesma largura e altura. Altura essa que deve ser proporcional ao dado envolvido, isto é, quanto maior a frequência do dado, maior deve ser a altura do retângulo. Exemplo Imagine que determinada pesquisa tem por objetivo analisar o percentual de determinada população que acesse ou tenha: internet, energia elétrica, rede celular, aparelho celular ou tablet. Os resultados dessa pesquisa podem ser dispostos em um gráfico como este: Seu estilo é semelhante ao do gráfico de barras, sendo utilizado para a mesma finalidade. O gráfico de colunas então é usado quando as legendas forem curtas, a fim de não deixar muitos espaços em branco no gráfico de barra. Exemplo Este gráfico está, de forma genérica, quantificando e comparando determinada grandeza ao longo de alguns anos. É utilizado para representar dados estatísticos com um círculo dividido em setores, as áreas dos setores são proporcionais às frequências dos dados, ou seja, quanto maior a frequência, maior a área do setor circular. Exemplo Este exemplo, de forma genérica, está apresentando diferentes variáveis com frequências diversas para determinada grandeza, a qual pode ser, por exemplo, a porcentagem de votação em candidatos em uma eleição. Leia também: Área do setor circular: como calcular Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Fuvest - 1999) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico: Qual das alternativas representa melhor a média de idade dos alunos? a) 16 anos e 10 meses b) 17 anos e 1 mês c) 17 anos e 5 meses d) 18 anos e 6 meses e) 19 anos e 2 meses Solução Alternativa c. Note que o eixo x do gráfico fornece-nos a idade dos alunos e o eixo y fornece-nos a frequência de cada uma das idades, ou seja, a quantidade de vezes que a idade aparece. Assim, devemos utilizar a média ponderada para calcular a média das idades. Sabemos que 17,43333… = 17 + 0,4333… . Para transformar 0,43333… em meses devemos multiplicá-lo por 12, logo: 0,4333 · 12 = 5 meses Portanto, a média de idade desses alunos é de 17 anos e 5 meses. Por Robson Luiz
Observe a figura. Pela análise do gráfico é correto afirmar corretamente que, no Brasil,
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é a medida de EBC? Fonte: Elaborado para fins didáticos Fonte: Elaborado para fins didáticos 154 | MATEMÁTICA A ,.. ,.. 6. Se a soma das medidas dos arcos APB e CQD é 160º, então o ângulo a mede a. 60º . b. 65º . e. 70º . d. 75º . e. 80º . 7. Considere a figura abaixo. A medida x do ângulo assinalado é: a. 90º . b. 85º . e. 80º . d. 75º . e. 70º . @_jANOTACÕES MATEMÁTICA 1 99 Fonte: Elaborado para fins didáticos Fonte: Elaborado para fins didáticos 98 I MATEMÁTICA 3. (IFCE-2012) Na figura abaixo, R, S e Tsão pontos sobre a circunferência de centro O. Se x é o número real, tal que a = Sx e b = 3x + 42º são as medidas dos ângulos RTS e RÔS, respectivamente, pode-se dizer que: a. a = 30º e b = 60º . b. a = 80º e b = 40º . c. a = 60º e b = 30º . d. a = 40º e b = 80º . e. a = 30º e b = 80º . T 4. Na figura da circunferência de centro O, se o ângulo agudo  mede 27° e o arco ÁB mede 156 º, então qual será a medida do ângulo indicado por x? / _ .. ' 5.':.-- . . . ••, ' A: 5. Na figura, tem-se (BÂD )= 108° e (ADC)=112º. Qual é a medida de EBC? Fonte: Elaborado para fins didáticos Fonte: Elaborado para fins didáticos MATEMÁTICA | 155 MATEMÁTICA 1101 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES 4 AULAS 1 E 2 - DISTÂNCIAS OBJETIVOS DAS AULAS: • Representar pontos no plano cartesiano; • Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano; • Calcular a distância entre dois pontos; • Analisar as coordenadas dos pontos em um plano cartesiano e determinar a distância entre eles. 1. (ENEM-2016-Adaptado) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. 20 ··-.-·-··"""T··-··"T"··-··r-··-·�----..--··-r·-··-r·-··"T"··-·7 12 ·-·· ··-· 16 ----!--- · ! ·· - ·i· --- A g 8 ··-· .....,_ B � 4 : : : ··-· 1 � 1 1 1 , o 3 4 6 10' Tempo(s) -4 ·-·· ··-·· ··-···t---+--+---+--;-- ··-·-l -8 --·· ··-·· ··--· ··-· -··- ·-·· ·-·· ··-·· ' ·---� 1 ____ J -12 ---- ·-·· ··-·· ----- ---- --·- O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis, em função do tempo, nas simulações realizadas. A partir do que foi dito e da análise do gráfico, determine: a. Os pares ordenados com coordenadas inteiras do foguete A que representam sua altura de acordo com o tempo. A seguir, interprete o significado de cada ponto. b. Os pares ordenados com coordenadas inteiras do foguete B que representam sua altura de acordo com o tempo. A seguir, interprete o significado de cada ponto. 156 | MATEMÁTICA MATEMÁTICA 1101 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES 4 AULAS 1 E 2 - DISTÂNCIAS OBJETIVOS DAS AULAS: • Representar pontos no plano cartesiano; • Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano; • Calcular a distância entre dois pontos; • Analisar as coordenadas dos pontos em um plano cartesiano e determinar a distância entre eles. 1. (ENEM-2016-Adaptado) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. 20 ··-.-·-··"""T··-··"T"··-··r-··-·�----..--··-r·-··-r·-··"T"··-·7 12 ·-·· ··-· 16 ----!--- · ! ·· - ·i· --- A g 8 ··-· .....,_ B � 4 : : : ··-· 1 � 1 1 1 , o 3 4 6 10' Tempo(s) -4 ·-·· ··-·· ··-···t---+--+---+--;-- ··-·-l -8 --·· ··-·· ··--· ··-· -··- ·-·· ·-·· ··-·· ' ·---� 1 ____ J -12 ---- ·-·· ··-·· ----- ---- --·- O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis, em função do tempo, nas simulações realizadas. A partir do que foi dito e da análise do gráfico, determine: a. Os pares ordenados com coordenadas inteiras do foguete A que representam sua altura de acordo com o tempo. A seguir, interprete o significado de cada ponto. b. Os pares ordenados com coordenadas inteiras do foguete B que representam sua altura de acordo com o tempo. A seguir, interprete o significado de cada ponto. MATEMÁTICA | 157 3. (Saresp) Representando no plano cartesiano os pontos M(-2, 3), N(0,-1) e P(2,0), obtém-se o triângulo MNP da figura 4. (ENEM -2011 -Adaptado) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação, descrita no gráfico, representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P=(-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou, ao comitê de planejamento, que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. -8 -6 MATEMÁTICA 1103 -4 -2 -2 -4 -6 -8 Desejando atender ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso poderia ser satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação em algum dos pontos (0,4), (-3, 1) e (2,6). Qual desses pontos seria o mais conveniente para ser instalada a estação do metrô? Justifique sua resposta. a. b. c. d. 102 I MATEMÁTICA c. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Por qual ponto a trajetória do projétil B deveria passar, com certeza? d. Sabendo o que o objetivo proposto foi alcançado, qual é a distância entre a origem do sistema cartesiano e o ponto de máximo atingido pelos foguetes A e B. 2. Observe a figura a seguir. a. o ponto C tem abscissa 5. b. o ponto A tem abscissa 3 e ordenada 5. c. o ponto D é representado pelo par ordenado (0,7). d. o ponto C é representado pelo par ordenado (0,5). Analisando os dados apresentados no gráfico, é correto o que se afirma em: Fonte: Elaborado para fins didáticos 158 | MATEMÁTICA 3. (Saresp) Representando no plano cartesiano os pontos M(-2, 3), N(0,-1) e P(2,0), obtém-se o triângulo MNP da figura 4. (ENEM -2011 -Adaptado) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação, descrita no gráfico, representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P=(-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou, ao comitê de planejamento, que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. -8 -6 MATEMÁTICA 1103 -4 -2 -2 -4 -6 -8 Desejando atender ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso poderia ser satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação em algum dos pontos (0,4), (-3, 1) e (2,6). Qual desses pontos seria o mais conveniente para ser instalada a estação do metrô? Justifique sua resposta. a. b. c. d. 102 I MATEMÁTICA c. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Por qual ponto a trajetória do projétil B deveria passar, com certeza? d. Sabendo o que o objetivo proposto foi alcançado, qual é a distância entre a origem do sistema cartesiano e o ponto de máximo atingido pelos foguetes A e B. 2. Observe a figura a seguir. a. o ponto C tem abscissa 5. b. o ponto A tem abscissa 3 e ordenada |
Observe a figura a seguir analisando os dados apresentados no gráfico e correto o que se afirma em
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