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Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a Relação de Euler, todos retirados dos últimos concursos públicos. Não deixe de ler primeiro o nosso conteúdo para saber mais sobre esta importante fórmula matemática. Bom estudo! Questão 1 (CODEGI – Consulplan 2013). O número de arestas dos poliedros convexos A, com 4 vértices e 4 faces; B, com 8 vértices e 6 faces; e C, com 12 vértices e 8 faces, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. O valor de r, tal que r ∈ R , é A.2. B.4. C.6. D.8. E.10. Resolução Vamos utilizar a Relação de Euler para calcular o número de arestas. Poliedro A V + F = A + 2 4 + 4 = A + 2 8 = A + 2 A = 6 Poliedro B V + F = A + 2 8 + 6 = A + 2 14 = A + 2 A = 12 Poliedro C V + F = A + 2 12 + 8 = A + 2 20 = A + 2 A = 18 Percebe-se que o número de arestas está na sequência 6, 12, 18, ou seja, uma progressão aritmética de razão 6. Resposta: C Questão 2 (MGS – IBFC 2016 – adaptada). Um poliedro convexo é formado por dois triângulos e três retângulos. Desse modo, o número de vértices desse poliedro é: a) 6 b) 5 c) 8 d) 9 Resolução Vamos resolver a questão utilizando a Relação de Euler. O número de faces do poliedro convexo é 5. O enunciado fala que é formado por 2 triângulos e 3 retângulos. Calculando o número de arestas: 2 triângulos x 3 arestas = 6 3 retângulos x 4 arestas = 12 Total: 6 + 12 = 18 Observe que nosso cálculo considerou a mesma aresta duas vezes, portanto o número real de arestas é 9. Temos: V + F = A + 2 V + 5 = 9 + 2 V = 11 – 5 V = 6 Resposta: A Questão 3 (Vassouras RJ – IBFC 2015). Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é: a) 12 b) 9 c) 15 d) 11 e) 10 Resolução Utilizando a relação de Euler: V + F = A + 2 V + 9 = 16 + 2 V = 18 – 9 V = 9 Resposta: B Espero que gostem dos nossos exercícios resolvidos sobre a Relação de Euler. Saber Matemática, o melhor site de matemática para concursos.
Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões que envolvem a aplicação da fórmula de Euler para poliedros convexos. Nesse tipo de questão, você irá trabalhar com a quantidade de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo, usando a seguinte relação demonstrada por Euler: V + F = A + 2 As questões são provenientes de vestibulares e concursos para você que está se preparando para exames deste ano. Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos as questões e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso na sua preparação para vestibulares e concursos nesta disciplina da matemática. >> Lista de Exercícios sobre a Relação de EulerExercício 1 - (EEAR CFS 2/2021) Um poliedro convexo possui 20 faces, das quais 7 são pentagonais e 13 triangulares. Dessa forma, é correto afirmar que a) o número de arestas é 39.b) o número de arestas é 74.c) o número de vértices é 19. d) o número de vértices é 23. >> Link para a solução da questão Exercício 2 - (EEAR CFS 1/2021) Um poliedro convexo de 32 arestas tem apenas 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Dessa forma, o valor de x é a) 8b) 10c) 12 d) 14 >> Link para a solução da questão Exercício 3 - (EsPCEx 2020) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que poliedro possui é igual a [A] 12. [B] 22. [C] 32. [D] 42. [E] 52. >> Link para a solução da questão Exercício 4 - (ENEM PPL 2019) No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares. Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura? A) V + F = A B) V + F = A − 1 C) V + F = A + 1 D) V + F = A + 2 E) V + F = A + 3 >> Link para a solução da questão Exercício 5 - (FUVEST 2022) Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12
>> Link para a solução da questão
1) O matemático suíço Leonhard Euler descobriu uma importante relação entre o número de faces, vértices e arestas de um poliedro convexo. Esta relação é: a) F - V = A + 2 b) F + V = A + 2 c) F - V = A – 2 d) F + V = A – 2 e) F + V + A = 2 2) Entre os poliedros a seguir assinale aquele que não é de Platão. a) Ortoedro. b) Hexaedro regular. c) Octaedro regular. d) Dodecaedro regular. e) Icosaedro regular. 3) (FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule: a) O total de faces desse poliedro descritas no enunciado. b) O total de arestas considerando 3.4 + 2.3 +4.5. c) O número de vértices desse poliedro usando V + F = 2 + A 4).Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro? (Use:V + F = A + 2) 5.)Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Calcule: a) Quantidade total de faces pentagonais ( 5 lados). b) Quantidade total de faces hexagonais ( 6 lados). c) Quantidade total de faces pentagonais e hexagonais.
d)
Se temos 90 arestas, calcule o
número de vértices. 6) .Temos um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.A partir dele determine: a) O número de faces quadrangulares ( 4 lados) b) O número de faces triangulares ( 3 lados) c) Se o poliedro possui 18 arestas pela relação de Euler V – A + F = 2 , calcule o número de vértices. 7) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.( Use: A + 2 = V + F ) 8).A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 2520º . Sabendo que ele possui 17 arestas. Calcule: (Use: S = (V – 2)●3600 e V + F = A + 2 ) a) O número de vértices. b) O número de arestas 9) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: S= (V – 2).360º a) tetraedro (4 vértices) b) hexaedro (8 vértices) c) octaedro (6 vértices) d) dodecaedro (20 vértices) e) icosaedro (12 vértices) 10) Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro? . 21) Assinale a alternativa falsa: a) Um tetraedro regular possui 4 faces. b) Um hexaedro regular possui 12 arestas. c) Um octaedro regular possui 8 vértices. d) Um dodecaedro regular possui 30 arestas. e) Um icosaedro regular possui 20 vértices. 22) A soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1.4400. O número de vértices desse poliedro é: (Use: S = (V – 2)●3600 e V + F = A + 2 ) a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 20 |