Dado um triângulo equilátero, cujo lado mede 6 cm, calcule

O triângulo equilátero é uma figura geométrica plana que possui como principal característica os três lados congruentes, ou seja, a medida desses três lados é a mesma.

Esse fato gera uma consequência imediata, os três ângulos internos desse triângulo também são iguais entre si. Além disso, esse triângulo possui importantes propriedades geométricas que facilitam a resolução de determinadas situações-problemas.

Leia também: Qual é a condição de existência de um triângulo?

Propriedades dos triângulos equiláteros

O triângulo equilátero possui algumas propriedades que facilitam a resolução de algumas situações-problemas.

Propriedade 1 – Todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°.

Propriedade 2 – A altura (segmento perpendicular a um dos lados), a mediana (segmento que divide um lado ao meio) e a bissetriz (segmento que divide um ângulo ao meio) coincidem-se.

Perímetro do triângulo equilátero

Sabemos que o perímetro de um polígono qualquer é dado pela soma das medidas de todos os lados, e no triângulo equilátero, a ideia não é diferente. Pelo fato do triângulo equilátero possuir todos os lados iguais, podemos determinar uma fórmula que facilite o cálculo do perímetro.

Considere um triângulo equilátero de lado l:

Como o perímetro é dado pela soma de todos os lados, então:

2P = l + l + l

2P = 3 · l

Lembre-se: a notação para perímetro é 2P. Utilizamos a letra P para representar o semiperímetro. A fórmula afirma que para calcular o perímetro de um triângulo equilátero basta multiplicar a medida do lado por 3.

Determine o perímetro do triângulo equilátero cujo lado é de 4 cm.

Substituindo o valor do lado na fórmula deduzida, temos:

2P = 3 · l

2P = 3 · 4

2P = 12 cm

Portanto, o perímetro é de 12 centímetros.

Leia também: Semelhança de triângulos: quais são os casos?

Área do triângulo equilátero

Para calcular a área de um triângulo equilátero, inicialmente traçamos a altura relativa a um dos lados. Pelas propriedades sabemos que a altura coincide com a mediana, ou seja, ao traçar a altura, divide-se o lado pela metade.

Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada pela multiplicação da base com a altura, e isso dividido por 2.

Observe que o valor da base é conhecido no caso l, entretanto o valor da altura é desconhecido. Desse modo, para determinar a área do triângulo equilátero, é necessário, antes, encontrar a altura dele. Para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras:

Como agora conhecemos a medida da altura, podemos substituir na fórmula da área de um triângulo.

Determine a área do triângulo equilátero cujo lado mede 4 cm.

Para calcular a área de um triângulo equilátero, basta substituir a medida do lado na fórmula, sabendo que, nela, l representa essa medida. Assim temos:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um fazendeiro precisou construir um cercado para que sua criação de galinhas não fugisse. Ao fazer o projeto, notou que o cercado ficaria em forma de um triângulo equilátero com 3 metros de comprimento de lado. Quantos metros de cerca esse fazendeiro terá que comprar? Sabendo que cada metro custa 4 reais e 50 centavos, quanto ele gastará?

Resolução

O terreno do fazendeiro pode ser representado por:

O perímetro é dado por:

2P = 3 · 3

2P = 9 m

Como cada metro custa 4,50 reais, o fazendeiro gastará 9 vezes esse valor:

gasto = 4,5 · 9

gasto = 40,5

Portanto, o fazendeiro gastará 40 reais e 50 centavos.

Questão 2 – Uma empresa de azulejos precisa cobrir o fundo de uma piscina com azulejos de 1 m2. A piscina tem o formato de um triângulo equilátero de lado de 6 metros. Determine a quantidade de azulejos a ser utilizada.

(Dado: Use √3 = 1,7)

Resolução

Inicialmente determinamos a área da piscina.

Como cada azulejo tem 1 m2, então terão que ser comprados 16 azulejos, uma vez que não se vende 0,3 azulejo.

Dado um triângulo equilátero, cujo lado mede 6 cm, calcule o raio da circunferência circunscrita.

EXERÍIO OMPLEMENTRES - MTEMÁTI - 1ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - ª ETP ============================================================================================== 01- ssunto: Função Logarítmica Determine a condição de eistência da função f() = log + +, sendo U = R 1 0- ssunto: Equações Eponenciais Determine o conjunto solução da equação 5 10-10 5 5-5 = - 0, sendo = R 0- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação log = log + log ( + ), sendo U = R 0- ssunto: Logarítmos alcule o valor de S, sendo S = log 81 - log 1000 + log 5 15 - log 0,001 05- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação + 1 + - 1 = 90, sendo U = R 06- ssunto: Função Logarítmica Determine o campo de eistência (E) da função f() = log ( - 5 + 6) 07- ssunto: Equações Eponenciais Saendo que - - = 8, calcule o valor de (15 - ) 08- ssunto: Equações Eponenciais Determine o valor de que satisfaça a equação 5 5 = 1 5, sendo U = R 09- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação + = 19, sendo U = R 10- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação -1 + +1 = 90, sendo U = R 11- ssunto: Equações Eponenciais Determine o conjunto solução da equação 5-1 + 5 - + 5 - = 155, sendo U = R 1- ssunto: Logaritmo Saendo que log = 8, log a c = e log = 1, calcule a log 5 c 1- ssunto: Equações Logarítmicas Resolva a equação log ( - 1) + 1 = log ( + ) + log (7 - ) - log, sendo U = R 1- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação 5-1 + 5 - = 0, sendo U = R 15- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação 5 + = 0, sendo U = R 16- ssunto: Logaritmo solução da equação 8-1 = é o número real K alcule o logarítmo de K na ase 10 16 17- ssunto: Logaritmo Dado um triângulo eqüilátero, cujo lado mede 6 cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita; ) a medida do apótema Página 1 de 11 /11/09 15:15

18- ssunto: Semelhança No triângulo da figura aaio, tem-se DE // alcule as medidas dos lados e do triângulo 5 + 0-5 D E + 10 19- ssunto: Potenciação Simplifique + 5 + 0- ssunto: Polígonos Regulares Inscritos Uma circunferência tem 10cm de raio Determine as medidas do lado e do apótema do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência 1- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação = + 1 + 8 - ssunto: Logaritmo Dê a condição de eistência de log 5 ( + - 5) - ssunto: Equações Logarítmicas Resolva a equação log ( - ) = - ssunto: Teorema de Tales Oservando as figuras, calcule o valor das incógnitas s unidades estão em cm a) ) MN // r s - 8 a M - 5 N 1-6 c a // // c 5- ssunto: Logaritmo Saendo que log = 0,01 e log = 0,77, calcule: a) log 5 ) log,5 6- ssunto: Equações Logarítmicas Resolva a equação log + log + log 16 = 7 7- ssunto: Polígonos Regulares Inscritos Determine a área de um quadrado inscrito numa circunferência de 5cm de raio 8- ssunto: Polígonos Regulares Inscritos Dado um triângulo eqüilátero, cujo lado mede 6cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita ) a medida do apótema Página de 11 /11/09 15:15

9- ssunto: Potenciação Determine o valor de 81 0,7 : 81 0, 0- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação + - 1 - - = 11 1- ssunto: Potenciação Sendo = ( ), y = e z =, qual é a potência que representa a epressão yz? - ssunto: Inequações Eponenciais Resolva a inequação (0,1) 5-1 (0,1) + 8 - ssunto: Logaritmo Dê a condição de eistência de log 5 ( + - 5) - ssunto: Relações Métricas no Triângulo Retângulo No triângulo retângulo da figura seguinte, determine as medidas indicadas c 1,8, H 5- ssunto: Semelhança de Triângulos Na figura são dados = 1cm e D = 6cm omo a Δ ~ Δ D, determine a medida, em centímetros, do segmento D D 6 1 6- ssunto: Semelhança Na figura temos que MN // Determine + M N 5 8 Página de 11 /11/09 15:15

7- ssunto: Teorema de Tales Na figura seguinte, temos a // // c Determine as medidas e y, saendo que = 1, = 5, MP = 6, MN = e NP = y r s M a N P c 8- ssunto: Potenciação Simplifique a epressão n + + n n + + + n 1 n 1 9- ssunto: Equações Eponenciais alcule os valores reais de para que se tenha 5 + 155 - = 0 0- ssunto: Logaritmo Saendo que log a = 5, log = e log c = -1, calcule o valor de log a c 1- ssunto: Equações Logarítmicas Resolva as equações logarítmicas: a) log (a - ) - log (a ) ) log 7 = log 7 + log 7 6 1 = - ssunto: Potenciação 1 + alcule o valor da epressão 5, para = -1 - ssunto: Potenciação Simplifique + 5 + - ssunto: Equações Eponenciais Determine o conjunto solução da equação 5 5 - = 5- ssunto: Equações Eponenciais 1 Resolva a inequação + 1 1 9 1 1 6- ssunto: Semelhança Na figura seguinte, // D Se = 16, D = 50 e E = 75, quanto mede o segmento E? D E Página de 11 /11/09 15:15

7- ssunto: Teorema de Tales Na figura aaio, as retas t, r e s são paralelas, as, determine as medidas de a e, saendo que a + = 0 r a s t 8- ssunto: Teorema de Tales Na figura temos que a // // c // d Nessas condições, calcule o valor de + y 15 10 1 9 y a c d 9- ssunto: Potenciação alcule o valor da epressão ( n : n - 1 ) ( n + 1 : n ) 50- ssunto: Equações Eponenciais 8 + + Resolva a equação = 16 51- ssunto: Equações Logarítmicas = Qual o conjunto verdade da equação log ( )? 5- ssunto: Equações Logarítmicas Qual a raiz da equação log ( + 1) + 1 = log ( + 5)? 5- ssunto: Logaritmo Dados log = 0,01 e log = 0,77, calcule: a) log 50 ) log 1 5- ssunto: Equações Eponenciais Resolva as equações eponenciais: + 1 1 a) 8 = ) - - = 0 55- ssunto: Logaritmo Qual é o valor de y = log (log 9) + log (log 1000)? 56- ssunto: Inequações Eponenciais Determine o conjunto solução da inequação + 5 + 1 57- ssunto: Logaritmo Dê a condição de eistência de log 5 ( - 1) Página 5 de 11 /11/09 15:15

58- ssunto: Função Polinomial do º Grau Dado um triângulo eqüilátero, cujo lado mede 6cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita; ) a medida do apótema 59- ssunto: Potenciação Encontre o valor da epressão 1 11 + 11 10 + 10 10 60- ssunto: Relações Métricas no Triângulo Retângulo Na figura aaio, calcule os valores indicados 6 y t 61- ssunto: Relações Métricas no Triângulo Retângulo No triângulo retângulo aaio, determine os valores indicados: y 1 z H 15 6- ssunto: Polígonos Regulares Inscritos alcule o lado e o apótema de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência de raio igual a cm 6- ssunto: Equações Eponenciais Se 5 y = 6, calcule o valor de 5 -y 6- ssunto: Potenciação Qual o valor de (10 ) : (0,1) 5? 65- ssunto: Semelhança Os tampos de duas mesas retangulares são semelhantes razão de semelhança do maior para o menor é 1,5 Se as dimensões do tampo da mesa menor são,5m e,5m, determine o perímetro do tampo da mesa maior 66- ssunto: Teorema de Tales alcule a e, saendo que r // s // t e que a - = m n r a s t 67- ssunto: Equações Eponenciais Qual é a solução real da equação - - = 0? 81 Página 6 de 11 /11/09 15:15

68- ssunto: c Eponenciais Qual o conjunto solução da equação - - 17 - + 1 = 0? 69- ssunto: Logaritmo ( ) ( 1) Determine os valores de para os quais eista log 70- ssunto: Logaritmo Qual o valor da epressão E = 1 0,01 log + log10 1 6 8 log log? 71- ssunto: Equações Logarítmicas (10 1) = Determine o conjunto solução da equação log + log 1 7- ssunto: Equações Logarítmicas Determine o conjunto verdade da equação log = log + log 7- ssunto: Equações Logarítmicas Determine o conjunto solução da equação log ( + - 7) - log ( - 1) =, sendo U = R 7- ssunto: Logaritmo y log Resolva o sistema 5 + log5 = 1 y = 16 75- ssunto: Equações Logarítmicas 8 Resolva a equação log + log log = 1, sendo U = R 76- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação 10 + 7 = 6, sendo U = R 77- ssunto: Logaritmo Sendo log = 0,, log = 0, e log5 = 0,7, calcule log 600 78- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação log ( + - 7) - log ( - 1) =, sendo U = R 79- ssunto: Logaritmo Saendo que log a = 5, log = e log c = 1, calcule o valor de log a c 80- ssunto: Funções Logarítmicas Determine o campo de eistência da função f() = log + 1 ( + - 18) 81- ssunto: Logaritmo Determine os valores de para os quais está definido o logaritmo: log ( + ) (5-6 + 5) 8- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação eponencial + 1 + - - - + - = 750, sendo U = R 8- ssunto: Funções Logarítmicas Determine o campo de eistência da função y = log ( - 5 + 6) 8- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação - 9 + 8 = 0, sendo U = R 85- ssunto: Equações Eponenciais Resolva a equação 5-1 + 5 - = 0, sendo U = R Página 7 de 11 /11/09 15:15

86- ssunto: Inequações Logorítmicas Resolva a inequação log 1 ( - 1) + log 1 ( - ) 1, sendo U = R 87- ssunto: Funções Logarítmicas Determine a condição de eistência da função f() = log 5 ( + - 1) 88- ssunto: Funções Eponenciais onstrua o gráfico da função f() = 89- ssunto: Funções Logarítmicas 8 Resolva a equação = 51, sendo U = R 90- ssunto: Funções Logarítmicas alcule o valor de m, de modo que m = log 1000 - log + log 81 91- ssunto: Potenciação alcule o valor numérico da epressão algérica y y, para = 1 1 e y = 10 100 9- ssunto: Potenciação alcule o valor numérico da epressão -1 1 1 + 6 GRITO 01- { R / < - ou > -1} 0- S = {1} 0- S = {6} 0- S = 7 05- S = {} 06- { R / < ou > } 07-11 08- S = {1} 09- S = {} 10- S = {} 11- S = {} 1- S = {} 1- S = { } 1- S = {} 15- S = {0, } 16- k = 10 log k = 1 17- a) r = ) a = 18- = 0 e = 80 19-8 0- l = 10 e a = 5 1- S = {} Página 8 de 11 /11/09 15:15

- { R / < -5 ou > 1} - S = {0, 1 } - a) = 1cm ) = 8cm 5- a) 0,699 ) 0,98 6- S = {} 7-50cm 8- a) cm ) a = cm 9-9 0- S = {} 1- - { R / } - { R / < -5 ou > 1} - = e c = 5- = 18cm 0 6- = 11 7- = 16 e y = 10 8-8 9- S = {1, } 0-0 1- a) ) S = {0, 18} - 11-8 - S = {} 5- { R / } 6- E = 0 7- a = 90 10 e = 7 7 8- = 16, e y = 6 9-50- S = {0, } 51- S = { 1 } 5- S = {5} Página 9 de 11 /11/09 15:15

5- a) 1,699 ) 1,079 5 5- a) S = { } ) S = {1} 55- y = 56- { R / 0 5} 57- { R / > } 58- a) cm ) cm 59-5 60- = ; t = 16 ; y = 1 61- y = 9 ; = 7, ; z = 5, 6- l = cm e a = 6-1 6-10 7 65-18m 66- a = 6 e = 67- S = {} 68- S = {0, } 69- { R / 1 < < } 70-9 71- S = { 1 } 7- S = {1} 7- S = {} 7- S = {(5, 1)} 75- S = {1} 76- S = {5 + 19 ; 5-19 } 77-,7 78- S = {} 79-1 80- { R / > } 81- S = { R / - < < -1 ou -1 < < 5 1 ou > 5} Página 10 de 11 /11/09 15:15

8- S = {5} 8- { R / 0 < < ou > e 1} 8- S = {0, } 85- S = {} 86- { R / < 5} 87- { R / < - OU X > } 88-89- S = {-1, 9} 90- m = 11 91 = 100 9-17 FM/0809/DOUMENTOS/EXERIIOS OMPLEMENTRES - MTEMTI - 1a SERIE - ENSINO MEDIO- 008 - a ETPDO Página 11 de 11 /11/09 15:15