INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES Show
Num jogo de cara ou coroa, qual a probabilidade de a moeda cair do lado cara? O cálculo é bastante simples: o número de resultados esperados (1, exatamente o resultado cara) dividido pelo número de resultados possíveis (2, cara e coroa). Ou seja, a probabilidade é de 1/2, isto é um resultado satisfatório a cada dois lances (nesse caso, podemos dizer ainda que a probabilidade é de "um para dois", ou que temos "50% de chance"). Isso pode ser traduzido enganosamente como: terei um resultado cara a cada dois lances. Mas não é tão simples assim. Se você espera cara e, no primeiro lance, você obteve coroa, o lance seguinte tende a resultar em cara? NÃO. Dizemos que os lances sucessivos são independentes, o que significa que a cada lance o cálculo deve ser refeito. Se no primeiro lance deu coroa, no segundo, a probabilidade de obter cara continua sendo de 1/2. Esse número significa que, após a opbservação de um número imenso de lances (um número que tende ao infinito), você terá aproximadamente a mesma quantidade de resultados cara e de resultados coroa. É por isso que a teoria das probabilidades é conhecida como teoria dos grandes números. No máximo, podemos dizer que essa teoria sugere que, se você apostar um número muito grande de vezes nesse jogo, você tende a ganhar em 50% dos casos e perder nos outros 50%. Algumas pessoas, quando apostam na loto, observam os últimos sorteios e constatam que há um conjunto de números que ocorreu poucas vezes, ou nenhuma vez. Se a probabilidade diz que todos os números tem as mesmas chances de serem sorteados, essa pessoa conclui que no próximo sorteio, esses números têm maiores chances de ocorer. Essa idéia é equivocada, pois cada sorteio é independente, e a probabilidade de cada número ser sorteado continua sendo a mesma do dia em que a loto foi inventada. Se quisermos saber as probabilidades de tirarmos cara duas vezes, em dois lances consecutivos, as probabilidades se multiplicam ("multiplicar" aqui não tem nada a ver com "obter um número maior", pois estamos multiplicando frações). Então, se quero ter cara em dois lances, o cálculo é 1/2 x 1/2 = 1/4 ou 25%. Cara em três lances: 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 ou 12,5%.Se o jogo consiste em obter o resultado cara, pelo menos uma vez, lançando simultaneamente duas moedas podemos ter a ilusão de que as probabilidades se somam: 50% para uma moeda + 50% para outra = 100%. Isso está errado! Para efetuar esse cálculo, é preciso voltar à definição básica de probabilidade: o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. Quais são os casos possíveis no lançamento de duas moedas (chamaremos cada uma de moeda A e moeda B): 1) cara na moeda A e cara na moeda B (favorável) 2) cara na moeda A e coroa na moeda B (favorável) 3) coroa na moeda A e cara na moeda B (favorável) 4) coroa na moeda A e coroa na moeda B (não favorável) Temos 3 casos favoráveis dentro de 4 casos possíveis. Ou seja, a probabilidade em questão é de 3/4 ou 75%. Vamos pensar agora num outro jogo, um pouco mais complexo. Se alguém joga um dado, a probabilidade de obter o número 6 é de 1/6. Suponha que o jogo consista em obter a soma 12 no lançamento de 2 dados, o que só é possível com dois números 6. Qual é o número de combinações possíveis no lançamento de dois dados? Podemos anotar um a um e contar: 1 e 2, 1 e 3, 1 e 4 ... 2 e 1, 2 e 2 ... 3 e 1, 3 e 2 etc. Mas existe uma conta simples para isso: basta multiplicar os resultados possíveis em um dado, pelos resultados possíveis em outro dado: 6 x 6 = 36. Temos 36 combinações possíveis. Se a probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis, a probabilidade de termos a soma 12 (6 e 6, em cada dado) é de 1/36. Mas se a soma for 10, isso pode acontecer atrvés de 3 combinações diferentes: 4 e 6, 5 e 5 ou 6 e 4. Temos três resultados favoráveis em 36 resultados possíveis. As probabilidades são portanto de 3/36 = 1/12. Há uma regrinha aqui que podemos apreender. Se esperamos o resultado 6 num dado e 6 no outro, dizemos que esses eventos são compatíveis, porque podem acontecer ao mesmo tempo. Nesse caso, simplesmente multiplicamos a probabilidade referente a cada dado: 1/6 x 1/6 = 1/36. Multiplicamos as probabilidades quando se espera um "e" outro evento, ao mesmo tempo. Se jogo consiste no lançamento de um único dado, onde eu ganho se o resultado for 1 ou 6, dizemos que esses resultados são incompatíveis, pois não podem acontecer simultaneamente. esses números são incompatíveis porque não podem ocorrer ao mesmo tempo. Neste caso, somamos a probabilidade de cada evento: 1/6 para o número 1 + 1/6 para o número 6 = 2/6 ou 1/3. As probabilidades nos jogos Há ainda um outro dado a ser considerado, no caso das loterias, bingos, jogos de cassinos e coisas do gênero. Eles são feitos de tal forma que a probabilidade de o jogador ganhar é menor do que a de perder. Vejamos, a esse respeito, dois argumentos diversos: "O prazer de se entregar aos jogos do puro acaso, oscila entre a vertigem do desconhecido e o cálculo de combinações sutis, entre a subjetividade humana e a ciência exata das estatísticas. O jogador tem prazer em elaborar suas combinações originais. Ele desafia as leis do destino, ele sabe convenientemente que, se as probabilidades de ganhar são pequenas, há sempre essa possibilidade mágica de faturar o grande prêmio e, assim, se tornar rico instantaneamente, sem esforço! Com sorte, o feliz evento ocorre, mesmo que suas probabilidades de realização sejam pequenas".Este parágrafo exprime bem as motivações que muitos tem para apostar seu dinheiro na esperança de ficar rico, mas observemos bem a sua origem: trata-se do fragmento de um texto publicado pela Associação Européia das Loterias e Lotos Estatais, que representa a única parte que sempre sai ganhando. Em contrapartida, o físico David Ruelle observa: "As loterias são uma forma de imposto livremente consentida pelas camadas menos favorecidas da sociedade. O usuário compra não muito caro um pouco de esperança de ficar rico. Mas a probabilidade de ganhar o grande prêmio é muito pequena: é o gênero de probabilidades que costumamos negligenciar (como a de receber na cabeça um objeto mortífero enquanto caminhamos pela rua). De fato, os ganhos, grandes ou pequenos, não compensam em média o preço dos bilhetes, e o cálculo das probabilidades mostra que temos praticamente certeza de perder dinheiro se jogarmos regularmente. Tomemos o exemplo de uma loteria um pouco simplificada, em que a probabilidade de ganhar é de 10% e em que se ganha cinco vezes a aposta. Num grande número de extrações, a proporção de vezes em que se ganha é próxima de 1/10 e, como ganhamos cinco vezes a aposta, o ganho total é de cerca de metade da despesa total. Assim, quanto mais bilhetes compramos, mais dinheiro perdemos, e isto continua a ser verdade para as loterias mais complicadas, já que todas as loterias são feitas para depenar o jogador em proveito do organizador.(...) De fato, comprar um bilhete de loteria de vez em quando pode não ser loucura, se obtivermos com isso um prazer adequado. Os tratados de economia discutem a lógica da coisa (e também por que é bom subscrever contratos de seguros, mesmo se as companhias tem lucros indecentes). O que vimos é que não devemos esperar enriquecer comprando bilhetes de loteria" (David Ruelle, Acaso e Caos, São Paulo, Editora da Unesp, 1993. pp. 31-32). Em todo o caso, se você quiser arriscar, e se lhe faltar alguma grande intuição, obtenha um palpite na seção "Jogos e números ao acaso", e aproveite para ver como funciona a simulação de um sorteio por um programa de computador. Respondendo essa primeira pergunta aí! Nós vimos que a distribuição binomial vai ser válida para toda vez que que existerem n tentativas de um evento que tem somente dois resultados possíveis, um de sucesso, e outro de fracasso. Não podemos esquecer que essas n tentativas devem ser independentes, que os eventos de sucesso e fracasso são mutuamente exclusivos e que a probabilidade p de sucesso deve ser constante. Denonando cara como um sucesso, sabemos que a probabilidade de sucesso p é: p = P K = 1 2 = 0,5 Se temos 5 lançamentos... n = 5 Agora lembrando da fórmula da Binomial: P X = k = n k p k 1 - p n - k Queremos descobrir a probabilidade de termos 3 caras, então: P X = 3 = 5 3 0,5 3 1 - 0,5 5 - 3 = 5 ! 3 ! × 5 - 3 ! × 0,03125 = 0,3125 Passo 3Agora nós queremos: P ( X < 3 ) Mas isso aí nada mais é que: P X < 3 = P X = 2 + P X = 1 + P ( X = 0 ) Aplicando a fórmula da binomial para cada uma dessas três probabilidades e somando: P X < 3 = 5 2 0,5 2 1 - 0,5 5 - 2 + 5 1 0,5 1 1 - 0,5 5 - 1 + 5 0 0,5 0 1 - 0,5 5 - 0 P X < 3 = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5 RespostaExercícios de Livros RelacionadosUma vez que nem todos os passageiros de aviões comparecem na Ver Mais Se X ~ b ( n ,p ) , prove que E X = n p eV a r ( X ) = n p q Ver Mais A variável aleatória X tem uma distribuição binomial, com n= Ver Mais Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A prob Ver Mais Ver Também Grátis 6 pág. Pré-visualização | Página 1 de 2Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 1 1. a. Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial? b. Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? c. Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? Solução a. A distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou sucessos de um evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando (1) existirem somente 2 resultados mutuamente exclusivos, (2) as n tentativas são independentes, e (3) a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa b. ܲሺܺሻ ൌ ݊ܥሺ1 െ ሻି ൌ ൫൯ሺ1 െ ሻି ൌ ! !ሺିሻ! ሺ1 െ ሻି Em muitos livros, 1 – p(a probabilidade de fracasso) é definida como q. Aqui n = 5, X = 3, p = ½, e q = ½. Substituindo estes valores na equação acima, obtemos: ܲሺ3ሻ ൌ 5! 3! ሺ5 െ 3ሻ! ൬ 1 2 ൰ ଷ ൬ 1 2 ൰ ହିଷ ൌ 5! 3! 2! ൬ 1 2 ൰ ଷ ൬ 1 2 ൰ ଶ ൌ 5.4.3.2.1 3.2.1.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 10 ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,3125 No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim 1 2 3 4 5 6 A B C Dados Descrição 3 O número de tentativas bem-sucedidas 5 O número de tentativas independentes 0,5 A probabilidade de sucesso em cada tentativa Fórmula Descrição (resultado) 0,312500 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO) A probabilidade de exatamente 3 de 5 tentativas serem bem-sucedidas (0,312500) Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 2 O link1 é: //www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/DistribuicaoProbabilidades/binomial.htm c. P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2) ܲሺ0ሻ ൌ 5! 0! ሺ5 െ 0ሻ! ൬ 1 2 ൰ ൬ 1 2 ൰ ହି ൌ 5! 0! 5! ൬ 1 2 ൰ ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 5.4.3.2.1 1.5.4.3.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,03125 ܲሺ1ሻ ൌ 5! 1! ሺ5 െ 1ሻ! ൬ 1 2 ൰ ଵ ൬ 1 2 ൰ ହିଵ ൌ 5! 1! 4! ൬ 1 2 ൰ ଵ ൬ 1 2 ൰ ସ ൌ 5.4.3.2.1 1.4.3.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 5 ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,15625 ܲሺ2ሻ ൌ 5! 2! ሺ5 െ 2ሻ! ൬ 1 2 ൰ ଶ ൬ 1 2 ൰ ହିଶ ൌ 5! 2! 3! ൬ 1 2 ൰ ଶ ൬ 1 2 ൰ ଷ ൌ 5.4.3.2.1 2.1.3.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 10 ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,3125 Então, P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2)= 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,5 Numa planilha Excel teríamos: 2. a. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filhoሺaሻ com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? b. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? Solução a. Aqui n = 6, X = 3, p = 1/4, e q = 3/4. Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos ܲሺ3ሻ ൌ 6! 3! ሺ6 െ 3ሻ! ൬ 1 4 ൰ ଷ ൬ 3 4 ൰ ିଷ ൌ 6! 3! 3! ൬ 1 4 ൰ ଷ ൬ 3 4 ൰ ଷ ൌ 6.5.4.3.2.1 3.2.1.3.2.1 ൬ 1 64 ൰ ൬ 27 64 ൰ ൌ 20 ൬ 27 4096 ൰ ൌ 540 4096 ≅ 0,13 No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: 1Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: //www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html 1 2 3 4 5 6 7 A B C D 0 1 2 5 0,5 0,03125 0,15625 0,3125 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 0,5 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Dados Cálculo Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 3 Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim O link2 é: //www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/DistribuicaoProbabilidades/binomial.htm b. Aqui n = 4, X ≥ 3, p = 0,3 e 1 – p = 0,7 P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) ܲሺ3ሻ ൌ 4! 3! ሺ4 െ 3ሻ! ሺ0,3ሻଷሺ0,7ሻସିଷ ൌ 4.3.2.1 3.2.1.1 ሺ0,27ሻሺ0,7ሻ ൌ 4ሺ0,0189ሻ ൌ 0,0756 ܲሺ4ሻ ൌ 4! 4! ሺ4 െ 4ሻ! ሺ0,3ሻସሺ0,7ሻ ൌ ሺ0,3ሻସሺ0,7ሻ ൌ ሺ0,3ሻସ ൌ 0,0081 P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) = 0,0756 + 0,0081 = 0,0837 2Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: //www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html 1 2 3 4 5 6 A B Dados 3 6 0,25 Fórmula 0,131836 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO) Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 4 3. a. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos? b. Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis? Solução a. Aqui n = 10, X ≤ 2, p = 0,2 e 1 – p = 0,8 P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) ܲሺ0ሻ ൌ 10! 0! ሺ10 െ 0ሻ! ሺ0,2ሻሺ0,8ሻଵ ൌ 0,1074 ܲሺ1ሻ ൌ 10! 1! ሺ10 െ 1ሻ! ሺ0,2ሻଵሺ0,8ሻଽ ൌ 10 ሺ0,2ሻሺ0,1342ሻ ൌ 0,2684 ܲሺ2ሻ ൌ 10! 2! ሺ10 െ 2ሻ! ሺ0,2ሻଶሺ0,8ሻ଼ ൌ 45 ሺ0,04ሻሺ0,1677ሻ ൌ 0,3020 Assim, P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 = 0,6778 ou 6,78% b. Aqui n = 15, X = 10, p = 0,85 e 1 – p = 0,15. A probabilidade de X = 10 itens aceitáveis com p = 0,85 é igual a probabilidade de X = 5 itens defeituosos com p = 0,15. Mas fazendo os cálculos encontramos: ܲሺ5ሻ ൌ ଵହ! ହ!ሺଵହିହሻ! ሺ0,15ሻହሺ0,85ሻଵ ൌ 3003 ሺ0,00007594ሻሺ0,1968744ሻ ൌ 0,0449 ou 4,5% 3. a. Se 4 moedas honestas forem lançadas simultaneamente ሺou 1 moeda honesta for lançada 4 vezesሻ, calcule a distribuição de probabilidade completa e desenhe‐a num gráfico b. Calcule e trace o gráfico da distribuição de probabilidade para uma amostra de 5 itens tomada aleatoriamente de um processo de produção sabido produzir 30% de itens defeituosos Solução a. Usando n = 4; X = 0Ca, 1Ca, 2Ca, 3Ca ou 4Ca; P = 1/2, obtemos: 1 2 3 4 5 6 7 A B C D 0 1 2 10 0,2 0,107374182 0,268435456 0,301989888 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 0,67779953 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Dados Cálculo 1 2 3 4 5 6 A B Dados 10 15 0,85 Fórmula 0,044895 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO) Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 5 b. Usando n = 5; X = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 defeituosas; p = 0,3, obtemos 4. Calcule o valor esperado e o desvio padrão e determine a simetria ou assimetria da distribuição de probabilidade de a. Exercício 2 a. b. Exercício 2 b. c. Exercício 3 a. d. Exercício 3 b. Solução a. E(X) = μ = n.p = 6.(1/4) = 3/2 = 1,5 filhos loiros. σX = ඥ݊ሺ1 െ ሻ ൌ ට6ቀଵସቁ ቀ ଷ ସ ቁ ൌ ටଵ଼ ଵ ൌ ඥ1,125 ≅ 1,06 ݂݈݄݅ݏ ݈݅ݎݏ 2 3 4 5 6 7 A B C D E F 0 1 2 3 4 4 0,5 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 1 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Cálculo 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 1 2 3 4 5 Pr ob ab ili da de Número de Caras 1 2 3 4 5 6 7 A B C D E F G 0 1 2 3 4 5 5 0,3 0,16807 0,36015 0,3087 0,1323 0,02835 0,00243 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 1 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Dados Cálculo 0,16807 0,36015 0,3087 0,1323 0,02835 0,00243 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 1 2 3 4 5 6 Pr ob ab ili da de Número de Caras Figura – Distribuição de Probabilidades de Caras no Lançamento de 4 Moedas Honestas. Note na figura que quando p ൌ 0,5, a distribuição de probabilidade é simétrica. Figura – Distribuição de Probabilidades de Itens Defeituosos numa amostra de 5 itens extraídos aleatoriamente de um processo de produção que se sabe produzir 30% de itens defeituosos. Note na figura que quando p ൏ 0,5, a distribuição de probabilidade é assimétrica para a direita. Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 6 Como p < 0,5, a distribuição de probabilidade de crianças loiras é assimétrica à direita. Página12 Simplificando, a gente tem 5 em 16 como chance, como probabilidade de ter exatamente 3 caras. A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/ 4, ou 0,25, ou ainda 25%. Num jogo de cara ou coroa, qual a probabilidade de a moeda cair do lado cara? O cálculo é bastante simples: o número de resultados esperados (1, exatamente o resultado cara) dividido pelo número de resultados possíveis (2, cara e coroa). Qual é o número total de possibilidades de resultado no lançamento de 5 moedas? Portanto, são 32 possibilidades diferentes. |
Ao efetuarmos cinco lançamentos de uma moeda honesta Qual a probabilidade de sair três caras
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