Contoh soal PERBANDINGAN Trigonometri kelas 10

Trigonometri merupakan materi Matematika yang berperan penting dalam pengembangan teknologi kedokteran, teori fisika hingga teknik. Untuk meningkatkan pemahaman terkait materi trigonometri, berikut ini soal trigonometri kelas 10 dan pembahasan yang bisa digunakan sebagai bahan latihan.

Daftar 14 Soal Trigonometri Kelas 10 dan Pembahasan

1. Tentukan besar konversi nilai radian dan derajat di bawah ini:

a. 1/4 π rad = … ⁰

b. 225⁰ = … rad

c. 2/3 π rad = … ⁰

d. 315⁰ = … rad

Jawab:

a. 1/4 π rad

= ¼ x 180⁰ = 45⁰

b. 225⁰

= 225⁰ x (π/180⁰) rad = 5/4 π rad

c. 2/3 π rad

= 2/3 x 180⁰ = 120⁰

d. 315⁰

= 315⁰ x (π/180⁰) rad = 7/4 π rad

2. Sebuah bangun segitiga siku-siku ABC dimana sisi hipotenusa (sisi miring) sebesar 2, sisi tegak 1 yang berhadapan dengan sudut C. Tentukan nilai-nilai berikut ini:

a. cos C

b. sin C

c. sec C

d. tan C

e. cosec C

f. 1 – cot C

Jawab:

Untuk menentukan nilai cos C, pertama-tama harus dihitung terlebih dahulu panjang sisi alas segitiga siku-siku ABC. Untuk menghitungnya dengan menggunakan rumus Phytagoras.

BC² = AC² - AB²

BC² = 2² - 1²

BC² = 4 – 1 = 3

BC = √3

a. cos C = BC/AC = √3/2

cos C = ½ √3

b. sin C = AB/AC

sin C = ½

c. sec C

= 1/cos C

= 1/ (½ √3)

= 2/√3

= (2/3) √3

d. tan C

= AB/BC

= 1/√3

= (1/3) √3

e. cosec C

= 1/sin C

= 1/(½) = 2

f. 1 – cot C

= 1 – 1/tan C

= 1 – 1(1/3 √3)

= 1 – 3/√3

3. √3 sin x – 2 = 0

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas

Jawab:

Untuk mengetahui nilai x yang memenuhi persamaan di atas bisa diperoleh dengan pertama-tama menyederhanakan pecahan terlebih dulu:

√8 sin x – 2 = 0

2√2 sin x – 2 = 0

sin x = 2 / (2√2) = ½

Cari besar x yang memenuhi persamaan sin x = ½ √2 yakni x = 45 o dan x = 135 o

4. (sin x)² – 2.sin x = -1

Tentukan nilai x? (Catatan: 0 o x 360 o)

Jawab:

Persamaan trigonometri di atas merupakan persamaan kuadrat sehingga untuk mendapatkan nilai x harus dibuat akar-akar persamaan kuadratnya. Untuk mempermudah dalam membayangkan bentuk akar persamaan kuadrat, sin x dapat diubah menjadi variabel y dahulu sehingga persamaannya menjadi:

y² – 2y = -1

y² – 2y + 1 = 0

(y – 1) (y – 1) = 0

atau (y – 1)² = 0, sehingga:

y – 1 = 0

y = 1, karena y = sin x maka

sin x = 1

Nilai yang memenuhi persamaan sin x = 1 adalah x = 90 o

5. Suatu perusahaan memproduksi lampu dengan hasil penjualan bulanannya dalam satuan ribuan unit selama 2 tahun berturut-turut diprediksi sesuai dengan persamaan berikut:

S = 23,1 + 0,442t + 4,3 cos (πt/6)

dimana t menunjukkan waktu (bulan). Nilai t = 1 untuk hasil penjualan pada bulan Januari 2022. Tentukan prediksi penjualan di bulan Juni 2022 dan juga di bulan Desember 2022.

Jawab:

Apabila pada bulan Januari tahun 2022 adalah t = 1, maka pada bulan Juni 2022 nilai t = 6 dan pada bulan Desember 2022 maka nilai t = 12.

a. Prediksi penjualan lampu di bulan Juni 2022

S = 23,1 + 0,442t + 4,3 cos (πt/6)

S = 23,1 + 0,442 x 6 + 4,3 cos (π6/6)

S = 23,1 + 2,652 + 4,3 cos (1π)

S = 23,1 + 2,652 + 4,3 cos (180 o)

S = 25,752 + 4,3 (-1)

S = 25,752 - 4,3

S = 21,452

b. Prediksi penjualan lampu di bulan Desember 2022

S = 23,1 + 0,442t + 4,3 cos (πt/6)

S = 23,1 + 0,442 x 12 + 4,3 cos (π12/6)

S = 23,1 + 5,304 + 4,3 cos (2π)

S = 23,1 + 5,304 + 4,3 cos (360 o)

S = 28,404 + 4,3 x 1

S = 32,704

6. Di daerah perkambungan yang jauh dari bandara udara di ibukota, banyak anak-anak yang sedang berkumpul di tengah sawah untuk bermain. Tiba-tiba sebuah pesawat melintas di langit atasnya dan diamati oleh anak-anak.

Salah satu anak mengamati gerakan pesawat udara yang terbang di ketinggian 20 km. Sudut elevasi pengamat terhadap pesawat sebesar θ. Tentukan jarak pengamat ke pesawat terbang apabila:

a. θ = 30 o

b. θ = 60 o

c. θ = 90 o

Jawab:

8. Tentukan nilai y yang memenuhi persamaan berikut ini:

sin y + √3 = - sin y, y [0, 2π]

Jawab:

sin y + √3 = - sin y

sin y + sin y = - √3

2 sin y = - √3

sin y = - ½ √3

Nilai y yang memenuhi persamaan sin y = - ½ √3 adalah saat y bernilai sebesar 225o dan 315o

9. Diketahui bahwa nilai cos θ adalah sebesar -4/5 dimana besar θ berada di antara 90o sampai 180o. Tentukan berapa nilai:

a. sin θ

b. tan θ

c. cosec θ

d. cotan θ

Jawab:

Nilai sudut θ yakni 90 o < θ < 180 o menandakan bahwa sudut ini terletak di kuadran II. Penempatan tempat sudut θ sangat menentukan tanda nilai perbandingan pada trigonometri. Pada bangun segitiga siku-siku, apabila sudut θ diletakkan di antara ruas garis alas dan garis miring (hipotenusa), maka:

besar alas segitiga (a) = -4

sisi miring (m) = 5

Besar sisi tegak (t) bisa dihitung dengan rumus Phytagoras:

t² = m² - a²

t² = 5² - (-4)²

t² = 25 – 16

t² = 9

t = 3

a. sin θ

= t/m

= 3/5

b. tan θ

= t/a

= 3/(-4)

= -3/4

c. cosec θ

= 1/sin θ

= 5/3

d. cotan θ

= 1/tan θ

=-4/3

11. Seorang petani sedang duduk di sebuah tempat (titik E) di tepi selokan yang lurus. Petani tersebut mengamati dua buah pohon di depannya, yakni pohon F dan pohon G berada di seberang selokan. Pohon F lurus berada di seberang titik E. Jarak pohon F dan G adalah 10 m.

Besar sudut FEG adalah 30 o. Tentukan berapa lebar selokan.

Diketahui bahwa ruas garis FG = 10 √8 m dan besar sudut FEG = 30o.

Ditanya: lebar selokan (EF)?

Jawab:

Pertama-tama buatlah segitiga siku-siku dimana sudut F adalah sudut siku-siku dan ruas garis EG adalah hipotenusa (garis miring). Sudut G sebesar = 90o - 30o = 60o.

Dengan menggunakan aturan sinus bisa diperoleh lebar selokan (EF):

FG/sin E = EF/sin G

(10 /sin 30o = EF/sin 60o

EF = (sin 60o /sin 30o) x 10 √8

EF ={ (½ )/ ½} x 10 √8

EF = 10 √8 √3

EF = 10 x 2 √3 x √2

EF = 20 m

12. Seorang tukang menaiki tangga untuk memperbaiki atap rumah orang. Tangga tersebut disandarkan pada tembok dengan panjang tangga 6 m serta besar sudut tangga di lantai sebesar 30 o. Tentukan berapa tinggi ujung tangga diukur dari permukaan lantai.

Jawab:

Ilustrasi persoalan di atas bisa dilihat pada gambar di bawah ini. Ruas garis AC diibaratkan tangga yang bersandar pada tembok. Besar sudut A = 30o sehingga besar sudut C = 60o dan sudut B adalah sudut siku-siku dengan besar sudut 90 o

Untuk mengukur ruas garis BC menggunakan rumus aturan sinus seperti yang tertulis di bawah ini:

BC/sin A = AC/sin B

BC/sin 30o = 6/sin 90o

BC = {sin 30o /sin 90o } x 6

BC = {½/1} x 6

BC = 3 m

13. Tentukan berapa nilai dari sec 330⁰?

14. Diketahui sebuah segitiga memiliki panjang sisi h 12 cm, sisi i sepanjang 9 cm dan sisi j sebesar 11 cm. Tentukan berapakah nilai cos c?

Pembahasan:

Untuk menghitung nilai cos C dengan aturan cosinus:

j² = h² + i² - 2.hi.cos j

11² = 12² + 9² - (2 x 12 x 9 x cos j)

121 = 144 + 81 – 216 cos j

-104 = – 216 cos j

cos j = 13/27

Soal trigonometri kelas 10 dan pembahasan di atas membahas mengenai hubungan panjang dan juga sudut segitiga. Trigonometri juga mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga sudut istimewa.