Como resolver contas dentro da raiz quadrada

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.  

Leia também: Potenciação e radiciação de frações

Videoaula sobre radiciação

Como representar a radiciação?

Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:

\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)

Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:

• √: radical.

• n: índice.

• a: radicando.

• b: raiz.

Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:

\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)

A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:

\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)

Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.

Exemplo 1:

\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)

Exemplo 2:

\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)

Exemplo 3:

\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)

Propriedades da radiciação

As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.

→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a

Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.

\(\sqrt[n]{a^n}=a\)

→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes

Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.

\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)

→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes

Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)

Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente

Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)

→ Raiz de uma raiz

Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)

→ Potência de uma raiz

Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:

\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)

→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação

Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.

\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)

Confira nossa videoaula: Propriedades de potência

Simplificação de radicais

Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.

Exemplo:

Simplifique \(\sqrt{392}\):

Resolução:

Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:

Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:

392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)

Assim, temos que:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)

Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)

Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:

\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)

Então, temos que:

\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)

Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).

Operações com radicais

→ Adição e subtração

Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.

Exemplo:

\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)

Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.

Exemplo:

\(5\sqrt3-2\sqrt2\)

\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)

\(8,5-2,8\)

\(5,7\)

→ Multiplicação e divisão

Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)

Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)

 Para igualar os índices, temos que:

\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)

\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)

\(\sqrt[6]{256∶8}\)

\(\sqrt[6]{32}\)

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.

A) 50

B) \( 6\sqrt[3]{10}\)

C) \( 10\sqrt[3]{6}\)

D) 720

Resolução:

Alternativa B

Fazendo a fatoração:

Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:

2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)

Logo:

\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)

Questão 2

Qual é a raiz cúbica de 4.096?

A) 26

B) 24

C) 16

D) 14

Resolução:

Alternativa C

Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:

Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).

Portanto:

\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)

\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)

\(\sqrt[3]{4096}=16\)

A divisão de raízes quadradas é basicamente igual à simplificação de uma fração. É claro que a presença de raízes quadradas complica um pouco o processo, mas algumas regras permitem que trabalhemos com frações de forma relativamente simples. O segredo é lembrar que é preciso dividir coeficientes por coeficientes, e radicandos por radicandos. Além disso, não se pode ter uma raiz quadrada no denominador.

1. 1

   Monte a fração. Se a expressão ainda não estiver montada em forma de fração, monte-a dessa forma. Fazê-lo facilita na hora de seguir os passos necessários para realizar a divisão pela raiz quadrada. Lembre-se que a barra de fração também é a barra de divisão. [1] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Por exemplo, se estiver calculando
     
     , reescreva o problema da seguinte forma:
     
     .

2. 2

   Use um sinal de radical. Se o problema tiver uma raiz quadrada no numerador e denominador, você pode colocar ambos os radicandos sobre um único sinal de radical [2] X Fonte de pesquisa Ir à fonte — um radicando é o número sob o sinal de radical, ou raiz quadrada. Fazê-lo vai simplificar o processo de simplificação.

   • Por exemplo, pode ser reescrito por
     
     .

3. 3

   Divida os radicandos. Divida os números assim como você faria com qualquer número inteiro. Lembre-se de colocar os quocientes sob um novo sinal de radical.

4. 4

   Simplifique, se necessário. Se o radicando (ou um de seus fatores) for um quadrado perfeito, é preciso simplificar a expressão. Um quadrado perfeito é o produto de um número inteiro multiplicado por ele mesmo. [3] X Fonte de pesquisa Ir à fonte Por exemplo, 25 é uma raiz perfeita, pois

   
   .
   • Por exemplo, 4 é uma raiz perfeita, pois
     
     . Portanto:
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     Sendo assim,
     
     .

1. 1

   Expresse o problema como uma fração. A expressão provavelmente já vira escrita desta forma; caso contrário, mude-a. Resolver o problema como uma fração facilita na hora de seguir os passos necessários, principalmente ao fatorar raízes quadradas. Lembre-se que a barra de fração também é a barra de divisão. [4] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Por exemplo, se estiver calculando
     
     , reescreva o problema da seguinte forma:
     
     .

2. 2

   Fatore cada radicando. Fatore o número assim como você faria com qualquer número inteiro. Mantenha os fatores sob o sinal de radical. [5] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

3. 3

   Simplifique o numerador e denominador da fração. Para simplificar uma raiz quadrada, retire cada fator que forme um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito é o resultado de um número inteiro multiplicado por ele mesmo. [6] X Fonte de pesquisa Ir à fonte Agora, o fator vai se tornar o coeficiente fora da raiz quadrada.

   • Por exemplo:
     
     
     
     
     
     
     Sendo assim,
     

4. 4

   Racionalize o denominador, se necessário. Como regra, uma expressão não pode ter uma raiz quadrada no denominador. Se isso acontece, é preciso racionalizá-la. Em outras palavras, é preciso cancelar a raiz quadrada no denominador. Para fazê-lo, multiplique o numerador pelo denominador da fração pela raiz quadrada que precisar cancelar. [7] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Por exemplo, se a expressão for
     
     , é preciso multiplicar o numerador e denominador por
     
     para cancelar a raiz quadrada no denominador:
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     .

5. 5

   Continue simplificando, se necessário. Às vezes, vai sobrar um coeficiente que não pode ser simplificado, ou reduzido. Simplifique os números inteiros no numerador e denominador ao simplificar qualquer fração.

   • Por exemplo,
     
     pode ser reduzido para
     
     , então pode ser reduzido para
     
     , ou apenas
     
     .

1. 1

   Simplifique os coeficientes. Os coeficientes são os números fora do sinal de radical. Para simplificá-los, divida-os ou reduza-os, ignorando as raízes quadradas por enquanto.

   • Por exemplo, se estiver calculando
     
     , comece simplificando
     
     . Tanto o numerador quanto o denominador podem ser divididos por um fator de 2. Portanto, você pode reduzir:
     
     .

2. 2

   Simplifique as raízes quadradas. Se o numerador for igualmente divisível pelo denominador, basta dividir os radicandos. Caso contrário, simplifique cada raiz quadrada normalmente.

   • Por exemplo, como 32 é igualmente divisível por 16, você pode dividir as raízes quadradas:
     
     .

3. 3

   Multiplique o(s) coeficiente(s) simplificado(s) pela raiz quadrada simplificada. Lembre-se de que não é possível ter uma raiz quadrada em um denominador; então, ao multiplicar uma fração por uma raiz quadrada, coloque a raiz quadrada no numerador.

4. 4

   Cancele a raiz quadrada no denominador, se necessário. O procedimento é conhecido por racionalização do denominador. Como regra, uma expressão não pode ter uma raiz quadrada no denominador. Para racionalizar o denominador, multiplique o numerador e o denominador pela raiz quadrada que precisar cancelar. [8] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Por exemplo, se a expressão for
     
     , é preciso multiplicar o numerador e denominador por
     
     para cancelar a raiz quadrada no denominador:
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     .

1. 1

   Verifique se existe um binômio no denominador. O denominador será o divisor do problema. Um binômio é um polinômio de dois termos. [9] X Fonte de pesquisa Ir à fonte Este método somente se aplica à divisão de raízes quadradas envolvendo um binômio.

   • Por exemplo, se estiver calculando
     
     , existe um binômio no denominador, já que
     
     é um binômio de dois termos.

2. 2

   Encontre o conjugado do binômio. Os pares conjugados são binômios que possuem os mesmos termos, mas operações opostas. [10] X Fonte de pesquisa Ir à fonte Usar um par conjugado permite que você cancele uma raiz quadrada no denominador.

   • Por exemplo, e
     
     são pares conjugados, já que possuem os mesmos termos, mas operações opostas.

3. 3

   Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Fazê-lo permite que você cancele a raiz quadrada, pois o produto de um par conjugado é a diferença do quadrado de cada termo no binômio. [11] X Fonte de pesquisa Ir à fonte Ou seja,

   
   .

• Muitas calculadoras possuem um botão de fração. Tente digitar o coeficiente do numerador, pressionar o botão de fração e depois digitar o coeficiente do denominador. Ao pressionar o sinal "=", a calculadora deverá reescrever os coeficientes em termos mais baixos.
• Ao trabalhar com raízes quadradas, é melhor usar frações impróprias do que números mistos.
• Diferentemente da adição e subtração de radicais, na divisão, os radicandos não precisam ser simplificados para remover os quadrados perfeitos antes de começar. Na verdade, geralmente é melhor não o fazer.

• Nunca deixe um radical no denominador de uma fração; em vez disso, simplifique-o ou racionalize-o.
• Nunca coloque ou tire um decimal ou número misto em frente a um radical; em vez disso, mude a fração ou simplifique toda a expressão.
• Nunca coloque um decimal em uma fração. Isso seria uma fração dento de uma fração.
• Se o denominador inclui qualquer tipo de adição ou subtração, use um método de par conjugado para remover radicais do denominador.

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Categorias: Matemática

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