O esquema representa um triângulo inscrito num círculo de raio R. Na figura estão indicadas as medidas de dois arcos e um dos lados do triângulo. Determine: a) O valor do raio R; b) A medida do lado AC; c) Medida do lado maior do triângulo ABC.
Solução:
a) No triângulo ∆BOC: Por Teorema de Pitágoras:
b) No triângulo ∆AOC: Por lei dos cossenos: O ângulo AÔC = 120º (tem o mesmo valor que o arco AC)
c) No triângulo ∆AOB: Por lei dos senos: O ângulo AÔB = 150º (tem o mesmo valor que o arco AB) O arco AB = 150º, pois 360º = AB+90+120 → AB=150ºPor lei dos cossenos: Podemos notar que os resultados parecem diferentes, mas, são iguais. Prova-se com pequenas manipulações algébricas: Demonstração: Seja x o valor obtido pela lei dos senos:
E seja y o valor obtido pela lei dos cossenos:
Vamos demonstrar que x = y, partindo de y: Portanto, está demonstrado. Um triângulo tem dois lados medindo 3 m e 5 m. O ângulo formado por eles mede 120º. Assim sendo, calcular: a) A medida do terceiro lado é: b) O diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo mede: Solução:
a) Seja x a medida do terceiro lado, então, por lei dos cossenos tem-se:
b) Seja R o raio do círculo que circunscreve o triângulo, então, tem-se: O ângulo BÂC = 120º (pelo enunciado) → O arco BC = 120º → O ângulo BÔC = 120º. Portanto, aplicando lei dos senos no triângulo ∆BOC,
Os lados de um triângulo medem 5 m, 6 m e 7 m. Se x é o menor ângulo do triângulo, determinar o valor do cosseno de x? Solução
Por aplicação da lei dos cossenos:
Determinar o raio do círculo circunscrito ao triângulo, da questão anterior. Solução
Pela relação entre ângulo central e ângulo inscrito, tem-se: y = 2x Veja mais sobre ângulo central e inscrito: clique aqui Aplicando a lei dos cossenos em triângulo ∆AOB, tem-se,
No triângulo de desenho, determinar o lado x em função do lado (5) e dos ângulos dados (α e 2α).
Solução: Aplicando a lei dos senos:
Num retângulo, veja a figura, os lados medem 3 m e 6 m. Seja x é a medida do ângulo agudo, formado pelas diagonais. Determine sen(x), x e sen(y).
Pelo Teorema de Pitágoras (∆ABC), tem-se:
Cálculo do sen(x) e x: Pela lei dos cossenos (∆COD), tem-se:
Sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1
Cálculo do sen(y): Pegando o triângulo ∆ABD:
Em um triângulo ABC o lado AB mede 4√2 e o ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo. Solução Representando geometricamente o enunciado tem-se que:
Pela lei dos senos:
A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100 m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento da ponte.
Solução: Colocando os dados do enunciado no desenho, tem-se:
Pela lei dos senos (∆APB):
Calcule c, sabendo que a = 4, b = 3√2 e C = 45º.
Aplicando a lei dos cossenos, tem-se:
Num triângulo ABC, BC=a, AC=b, Â=45º e B=30º. Qual é o valor de a, sendo a+b=1+√2?
Aplicando a sei dos senos:
Como a+b=1+√2, então temos:
Porém. a=b√2, assim,
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Ex-01 (FUVEST 2000) Considere os pontos A=(-2,0), B=(2,0), C=(0,3) e P=(0, α), com 0 < α < 3. Pelo ponto P, traçamos as três... |