Volume do prisma triangular exercícios resolvidos

Rosimar Gouveia

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Fórmula: Como Calcular?
Você Sabia?
Princípio de Cavalieri
Exemplo: Exercício Resolvido
Exercícios de Vestibular com Gabarito
A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.
Exercícios de volume do prisma triangular resolvidos
Exercícios de volume do prisma triangular para resolver
Veja também

Professora de Matemática e Física

O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.

O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3 (centímetros cúbicos) ou m3 (metros cúbicos).

Fórmula: Como Calcular?

Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:

V = Ab.h

Onde,

Ab: área da base
h: altura

Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta. Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.

Você Sabia?

O paralelepípedo é um prisma de base quadrangular que tem como base os paralelogramos.

Leia também:

Princípio de Cavalieri

O Princípio de Cavalieri foi criado pelo matemático italiano (1598-1647) Bonaventura Cavalieri no século XVII. É utilizado até hoje para calcular áreas e volumes dos sólidos geométricos.

O enunciado do Princípio de Cavalieri é o seguinte:

“Dois sólidos nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais são sólidos de volume iguais.”

Segundo esse princípio, o volume de um prisma é calculado pelo produto da altura pela área da base.

Exemplo: Exercício Resolvido

Calcule o volume de um prisma hexagonal cujo lado da base mede x e sua altura 3x. Note que x é um número dado.

Inicialmente, vamos calcular a área da base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura.

Para isso, precisamos saber do apótema do hexágono, que corresponde à altura do triângulo equilátero:

a = x√3/2

Lembre-se que o apótema é o segmento de reta que parte do centro geométrico da figura e é perpendicular a um dos seus lados.

Logo,

Ab= 3x . x√3/2
Ab = 3√3/2 x2

Por conseguinte, calcula-se o volume do prisma pela fórmula:

V = 3/2 x2 √3 . 3x
V = 9√3/2 x3

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (UE-CE) Com 42 cubos de 1 cm de aresta formamos um paralelepípedo cujo perímetro da base é 18 cm. A altura deste paralelepípedo, em cm, é:

a) 4 b) 3 c) 2

d)1

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2. (UF-BA) Em relação a um prisma pentagonal regular, é correto afirmar:

(01) O prisma tem 15 arestas e 10 vértices. (02) Dado um plano que contém uma face lateral, existe uma reta que não intercepta esse plano e contém uma aresta da base. (04) Dadas duas retas, uma contendo uma aresta lateral e outra contendo uma aresta da base, elas são concorrentes ou reversas. (08) A imagem de uma aresta lateral por uma rotação de 72° em torno da reta que passa pelo centro de cada uma das bases é outra aresta lateral.

(16) Se o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 4,7 cm e 5,0 cm, então a área lateral do prisma é igual a 115 cm2.

(32) Se o volume, o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 235,0 cm3, 4,7 cm e 5,0 cm, então o raio da circunferência inscrita na base desse prisma mede 4,0 cm.

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Resposta: V, F, V, V, F, V

3. (Cefet-MG) De uma piscina retangular com 12 metros de comprimento por 6 metros de largura, foram retirados 10 800 litros de água. É correto afirmar que o nível de água baixou:

a) 15 cm b) 16 cm c) 16,5 cm d) 17 cm

e) 18,5 cm

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4. (UF-MA) Conta uma lenda que a cidade de Delos, na Grécia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica com aresta medindo 1 m, então o valor em que a mesmo deveria ser aumentado era:

a) 3√2 b) 1

c) 3√2 - 1

d) √2 -1

e) 1 - 3√2

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5. (UE-GO) Uma indústria deseja fabricar um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 cm e a outra meça 30 cm. Para que a capacidade desses galão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir no mínimo:

a) 11 cm b) 10,4 cm c) 10 cm

d) 9,6 cm

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Considerando que o triângulo da base possui arestas de 10 cm, temos assim um triângulo equilátero. Então, para calcular a área da base devemos utilizar a fórmula do triângulo em questão: A = (l²√3)/4

Logo: Ab = 10²√3 / 4 = 173,20 / 4 = 43,3

Temos, então, a área da base aproximada de 43,3 cm²

Com a área da base podemos calcular o volume do prisma, assim: V = Ab . h

Portanto, V = 43,3 x 40 = 1732 cm³

Determinar a área lateral do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm .

A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.

Resolução:

Resposta:

Determinar a área total e o volume do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm.

Resolução:
Área total =

Volume =

Resposta:

O apótema da base de um prisma triangular regular mede e a área lateral mede . Calcular a altura do sólido.

Resolução:
1. a base é um triângulo equilátero, então: altura do triângulo da base
apótema
e
2. Área lateral =
Sendo temos que
Resposta:

Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

aresta da base = altura do prismaárea da base, o triângulo equilátero
Resolução:1. Sabemos que a área lateral é igual a A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura) .
então
2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado em função da medida do lado do triângulo vale )
Então
3. Área total:

(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:

a) b)
c) d)
e) n.d.a

(C)

Um prisma triangular regular tem as arestas da base medindo 5 cm e 7 cm . Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume.

O volume de um prisma triangular pode ser encontrado multiplicando a área da base pelo comprimento da altura do prisma. A base desses prismas é um triângulo, então temos que encontrar a área do triângulo.

Lembre-se de que a área de qualquer triângulo é calculada multiplicando o comprimento da base pelo comprimento da altura pela metade. Portanto, podemos usar a seguinte fórmula para calcular o volume de um prisma triangular.

$latex V=\frac{1}{2}b\times a\times h$

onde,

b é o comprimento da base do triângulo
a é o comprimento da altura do triângulo
h é o comprimento da altura do prisma

Exercícios de volume do prisma triangular resolvidos

A fórmula para o volume de prismas triangulares é usada para resolver os seguintes exercícios. Cada exercício tem sua respectiva solução, onde são detalhados o processo e o raciocínio utilizado.

Um prisma tem uma altura de 5 m e sua base triangular tem uma altura de 3 m e uma base de 4 m. Qual é o seu volume?

Temos os seguintes comprimentos:

Altura do prisma, $latex h=5$
Altura do triângulo, $latex a=3$
Base do triângulo, $latex b=4$

Usando esses valores na fórmula de volume, temos:

$latex V=\frac{1}{2}bah$

$latex V=\frac{1}{2}(4)(3)(5)$

$latex V=30$

O volume é 30 m³.

Qual é o volume de um prisma que tem uma altura de 6 m e sua base triangular tem uma altura de 5 m e uma base de 6 m?

Temos os seguintes valores:

Altura do prisma, $latex h=6$
Altura do triângulo, $latex a=5$
Base do triângulo, $latex b=6$

Usando a fórmula do volume, temos:

$latex V=\frac{1}{2}bah$

$latex V=\frac{1}{2}(6)(5)(6)$

$latex V=90$

O volume é 90 m³.

Um prisma tem uma altura de 8 m e sua base triangular tem uma altura de 6 m e uma base de 7 m. Qual é o seu volume?

Temos os seguintes comprimentos:

Altura do prisma, $latex h=8$
Altura do triângulo, $latex a=6$
Base do triângulo, $latex b=7$

Substituímos esses valores na fórmula do volume:

$latex V=\frac{1}{2}bah$

$latex V=\frac{1}{2}(7)(6)(8)$

$latex V=168$

O volume é 168 m³.

Um prisma tem uma altura de 11 m e sua base triangular tem uma altura de 5 m e uma base de 4 m. Qual é o seu volume?

A partir da pergunta, obtemos os valores:

Altura do prisma, $latex h=11$
Altura do triângulo, $latex a=5$
Base do triângulo, $latex b=4$

Usando esses valores na fórmula de volume, temos:

$latex V=\frac{1}{2}bah$

$latex V=\frac{1}{2}(4)(5)(11)$

$latex V=110$

O volume é 110 m³.

Qual é o volume de um prisma que tem uma altura de 9 m e sua base triangular tem uma altura de 6 m e uma base de 8 m?

Temos os seguintes valores:

Altura do prisma, $latex h=9$
Altura do triângulo, $latex a=6$
Base do triângulo, $latex b=8$

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

$latex V=\frac{1}{2}bah$

$latex V=\frac{1}{2}(8)(6)(9)$

$latex V=216$

O volume é de 216 m³.

Exercícios de volume do prisma triangular para resolver

Pratique o uso da fórmula para o volume de prismas triangulares para resolver os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.