Um poliedro convexo tem 9 faces sendo 7 quadrangulares e 2 triangulares quantos são os seus vértices

23 2  VOLUME DE UM POLIEDRO: Para cada poliedro, devemos considerar suas faces e sua base. Nos exemplos acima, temos base hexagonal, base triangular e base quadrangular. O volume de um poliedro é sempre calculado através do produto da área da base pela altura do poliedro. Por exemplo, vamos calcular o volume da 1ª e da 3ª figuras: Como a figura tem todas as arestas (lados) com a mesma medida (a), o cálculo do volume se torna bem simples: 33 cm altura x base da Área Volume aaaa  Nesse caso, todos os lados tinham a mesma medida, pois a figura em questão é um hexaedro ou um cubo, como é mais conhecido. Mas será que em todos os poliedros o cálculo do volume é semelhante a esse? Vamos verificar: cba  altura x base da Área Volume Agora que já conhecemos os Poliedros, vamos estudar como calcular o seu volume? 24 Nesse caso, como as arestas têm medidas diferentes, o volume é dado pelo produto das medidas das arestas. 3  ÁREA TOTAL E ÁREA LATERAL DE UM POLIEDRO: Para calcularmos as áreas laterais e as áreas totais de cada poliedro, temos que conhecer as figuras geométricas pelas quais o poliedro é formado. Por exemplo, a pirâmide de vidro do Museu do Louvre é formada por faces triangulares; os dois prédios do Senado Federal são formados por faces retangulares. Nas próximas aulas, aprofundaremos mais nesse assunto Então, tudo bem até aí? Podemos prosseguir? 4  CORPOS REDONDOS: São sólidos geométricos cujas superfícies têm ao menos uma parte arredondada (não plana). É comum irmos ao mercado comprar algo para nossa mãe ou para nós mesmos e nem sempre nos damos conta de que o que estamos comprando está diretamente ligado com a matemática. Os utensílios abaixo, por exemplo: Fonte: http://www.zonasulatende.com.br/Produto Note que alguns desses utensílios estão diretamente relacionados aos tipos de corpos redondos exemplificados abaixo: Fonte: Matemática Ciência e Aplicações http://www.zonasulatende.com.br/Produto 25 01. Diferencie poliedros e corpos redondos: 02. Na figura ao lado temos um poliedro. Identifique: a) Quais são as arestas: b) Quais são as faces: c) Quais são os vértices: 03. De acordo com o início da aula, os poliedros e os corpos redondos estão muito presentes na arquitetura, obras de engenharia, nas artes etc. Correlacione as fotos abaixo com a estrutura correspondente: a) Estrututas formadas somente por poliedros: _____________________________________________________________ Atividade 5 26 b) Estrututas formadas somente por corpos redondos: _____________________________________________________________ c) Estrututas formadas somente por poliedros e copos redondos: _____________________________________________________________ 04. Calcule o volume das figuras abaixo: a) b) 27 Caro aluno, na aula anterior você viu a diferença entre poliedros e corpos redondos. Nessa aula daremos continuidade ao tema poliedros, falando de uma relação muito importante, que envolve faces, arestas e vértices: a relação de Euler. 1 – POLIEDROS CONVEXOS E NÃO CONVEXOS: Os poliedros são definidos em dois grupos: convexos e não convexos. São chamados de poliedros convexos quando há um segmento que liga dois pontos quaisquer contidos no interior do poliedro. Os poliedros são chamados não convexos quando existem dois pontos tais que os segmentos que os une tenham ponto fora do poliedro. Fonte:http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imprimir&titulo=Imprimir%20Art%C 3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_294.Kes 2 - A RELAÇÃO DE EULER: A relação de Euler é utilizada somente em poliedros convexos. Essa relação diz que a quantidade de vértices de um poliedro somado ao número de faces é igual ao número de arestas desse poliedro mais duas unidades, ou seja: V + F = A + 2 EXEMPLO 01: Sem desenhá-lo nesse primeiro momento, vamos utilizar como exemplo um paralelepípedo que possui 8 vértices e 6 faces. Quantas arestas possui esse poliedro? Aula 6: Relação de Euler http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imprimir&titulo=Imprimir%20Art%C3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_294.Kes http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imprimir&titulo=Imprimir%20Art%C3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_294.Kes http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imprimir&titulo=Imprimir%20Art%C3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_294.Kes 28 Utilizando a relação de Euler, temos que 2 AFV . Considerando-se o número de vértices e de faces dados no enunciado do problema, temos: 12214214268  AAA Então, chegou a hora de verificar se você acertou. Agora, temos abaixo uma figura de um paralelepípedo, pela qual você pode conferir se seus cálculos estão corretos: EXEMPLO 02: Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces ele tem? Nesse caso, temos V = 6 e A = 12. Pela relação de Euler, temos: 861414621262  FFFAFV EXEMPLO 03: Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadrangulares e 2 triangulares. Quantos são os seus vértices? Nesse caso, temos F = 9. Cada face quadrangular tem 4 arestas e cada face triangular tem 3 arestas. O número de arestas das 7 faces quadrangulares é 7 x 4 = 28 e o número de arestas das 2 faces triangulares é 2 x 3 = 6. Cada aresta pertence a duas faces. Por isso, na soma 28 + 6= 34, cada aresta foi contada duas vezes. Sendo assim, devemos dividir a quantidade por 2, resultando em 17 arestas. Utilizando a relação de Euler, temos: 29 1091919921792  VVVVAFV Hora de exercitar o que estudamos! Se tiver dúvidas, retome a leitura do texto!! 01. Um poliedro convexo de 7 faces possui 10 vértices. Quantas arestas possui esse poliedro? 02. Um poliedro convexo tem 8 faces, sendo 4 quadrangulares e 4 triangulares. Quantos são os seus vértices? 03. Um poliedro regular possui 30 arestas e 20 vértices. Quantas faces possui esse poliedro? E qual é o nome desse poliedro? 04. Utilizando a relação de Euler, complete a tabela abaixo: Nº LADOS VÉRTICES FACES ARESTAS TETRAHEDRO 4 4 6 HEXAEDRO 6 6 12 OCTAEDRO 8 6 8 DODECAEDRO 12 20 12 ICOSAEDRO 20 12 30 Atividade 6 30 Caro aluno, chegou a hora de avaliar tudo o que nós estudamos nas aulas anteriores. Leia atentamente cada uma das questões e faça os cálculos necessários. Vamos lá, vamos tentar? 01. Resolvendo a equação exponencial U = R, 1255 x , temos como solução: (A) X = 3 (B) X= 4 (C) X= -3 (D) X= 0 (E) X = 1/3 02. Resolvendo o logaritmo 625log 5 , temos como resultado: (A) 10 (B) 5 (C) 15 (D) 25 (E) 30 03. Resolvendo o logaritmo 100log 10 1 , temos como resultado: (A) -2 (B) 2 (C) 1 (D) -1 (E) 0 Avaliação 31 04. Quais das afirmativas abaixo são verdadeiras? (A) Três pontos podem pertencer a uma mesma reta. (B) Três pontos distintos são sempre colineares. (C) A reta é um conjunto de dois pontos. (D) Ligando dois pontos distintos, há uma só reta. (E) Por um ponto passa uma única reta. 05. São semelhantes a prismas e a corpos redondos, respectivamente: (A) Casquinha de sorvete e pirâmide.