Show
Berikut ini adalah kumpulan beberapa soal mengenai komposisi dan invers fungsi (tingkat SMA/Sederajat) disertai pembahasannya. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 222 KB). Catatan: Setiap fungsi dalam hal ini selalu terdefinisi untuk $x$ tertentu. Sebagai contoh, jika suatu fungsi $f(x) = \dfrac{a} {bx}$ diberikan, maka syarat fungsi tersebut terdefinisi adalah $x \neq 0$. Syarat ini biasanya ditulis di samping rumus fungsinya (untuk menekankan syarat fungsi itu agar terdefinisi). Kadang pula tidak ditulis karena dianggap sudah lazim untuk mengetahui bahwa nilai variabel yang bersangkutan sudah pasti di luar domain. Quote by Maria RobinsonTidak ada seorang pun yang bisa kembali ke masa lalu dan memulai awal yang baru lagi, tetapi semua orang bisa memulai hari ini dan membuat akhir yang baru. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1Diketahui $f = \{(2,4), (3,7), (5,13), (7,19)\}$, $g = \{(5,20), (7,28), (13,52)\}$, dan $h = \{(20,-15), (28,-23), (52,-47)\}$. Hasil dari $(h \circ g \circ f) (5)$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa pada fungsi $f$, bilangan $5$ dipetakan ke $13$ sehingga menjadi $(5,13)$. Soal Nomor 2Diketahui fungsi $f(x) = 3x-1$ dan $g(x) = 2x^2-3$. Fungsi komposisi $(g \circ f)(x) = \cdots \cdot$
Diketahui $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x-1).$ Soal Nomor 3Diketahui $f(x) = x^2-4x + 2$ dan $g(x) = 3x + 5$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = \cdots \cdot$
Diketahui $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5)$ Soal Nomor 4Diketahui $g(x) = 2x- 4$ dan $(f \circ g) (x) = \dfrac{7x+3}{5x-9}$. Nilai dari $f(2)= \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $5$ B. $1$ D. $4$
Diketahui $g(x) = 2x-4$ sehingga Soal Nomor 5Diketahui $f(x) = 2x-1$ dan $(g \circ f) (x) = 4x^2-10x + 5$. Nilai $g(-1)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $3$ E. $7$ B. $1$ D. $5$
Diketahui $f(x) = 2x- 1$ sehingga dapat ditulis Soal Nomor 6Jika $g(x- 2) = 2x-3$ dan $(f \circ g) (x-2) = 4x^2-8x + 3$, maka $f(-3) = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $3$ E.$7$ B. $1$ D. $5$
Alternatif 1: Soal Nomor 7Diketahui fungsi $f(x) = \dfrac{2x-4}{5-x}, x \neq 5,$ dan $g(x) = 3x + 7$. Fungsi invers dari $(g \circ f) (x)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{-1+x}$ B. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x+23}{-1+x}$ C. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x+23}{1+x}$ D. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{1+x}$ E. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{-5x-23}{1+x}$
Akan dicari $(g \circ f) (x)$ sebagai berikut. Soal Nomor 8Diketahui $f(x) = 2-x$ dan $g(x) = 2x + a + 1$. Jika $(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x) $, berapa nilai $a$? A. $-4$ C. $0$ E. $4$ B. $-2$ D. $2$
Informasi pada soal memberikan Soal Nomor 9Jika $f(x) = 2p + 8$ dan $g(x) = 3x-6$, serta $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac52$ C. $-\dfrac12$ E. $\dfrac52$ B. $-\dfrac32$ D. $\dfrac32$
Informasi pada soal memberikan Soal Nomor 10Diketahui fungsi $g(x) = \dfrac{x+1}{2x-3}, x \neq \dfrac{3}{2}$. Invers fungsi $g$ adalah $g^{-1}(x) = \cdots \cdot$
Misalkan $g(x) = y$ sehingga fungsi $g$ di atas dapat ditulis menjadi Soal Nomor 11Diketahui $f(x) = 4x + 2$ dan $g(x) = \dfrac{x-3}{x+1}, x \neq-1$. Invers dari $(g \circ f)(x)$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $\begin{aligned} y & = \dfrac{4x-1}{4x+3} \\ y(4x+3) & = 4x-1 \\ 4xy + 3y & = 4x-1 \\ 4xy-4x & =-3y-1 \\ x(4y-4) & =-3y-1 \\ x& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(y)^{-1}& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{-3x-1}{4x-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{3x+1}{4-4x} \end{aligned}$ Jadi, invers dari $(g \circ f)(x)$ adalah $\boxed{(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1}$ (Jawaban D) Soal Nomor 12Jika $g^{-1}$ adalah invers dari $g(x) = \dfrac{8-3x} {4-x}, x \neq 4$, maka nilai $g^{-1}(4) = \cdots \cdot$ A. $-8$ C. $4$ E. $16$ B. $0$ D. $8$
Akan dicari invers dari fungsi $g$. Misalkan $g(x) = y$, maka diperoleh Soal Nomor 13Diketahui $f(x) = \dfrac{5-4x} {7x-3}$. Bila $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x)$, maka $f^{-1}(x)= \cdots \cdot$ A. $\dfrac{5+3x}{7x+4}$ D. $\dfrac{3x-5}{7x+4}$ B. $\dfrac{5-3x}{7x+4}$ E. $\dfrac{3x-5}{7x-4}$ C. $\dfrac{5-3x}{7x-4}$
Misalkan $f(x) = y$, maka diperoleh $\begin{aligned} y & = \dfrac{5-4x} {7x-3} \\ y(7x-3) & = 5-4x \\ 7xy-3y + 4x & = 5 \\ x(7y + 4) & = 5 + 3y \\ x = f^{-1}(y) & = \dfrac{5+3y} {7y+4} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{5+3x} {7x+4} \end{aligned}$ Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{5+3x}{7x+4}} $ (Jawaban A) Soal Nomor 14Diketahui fungsi $f = \{(1, 2), (2,3), (3,4), (4,5)\}$, dan $(g \circ f) = \{(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)\}$, maka $g^{-1}(7) = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $4$ E. $7$ B. $3$ D. $6$
Pembahasan
Perhatikan bahwa fungsi $f$ memasangkan $1$ ke $2$, sedangkan fungsi komposisi $g \circ f$ memasangkan $1$ ke $5$. Ini berarti fungsi $g$ memasangkan $2$ ke $5$. Analog dengan ini, fungsi $g$ memasangkan $3$ ke $6$, $4$ ke $7$, dan $5$ ke $8$. $\color{blue}{1 \longrightarrow 2 \longrightarrow 5}$ $\color{blue}{2 \longrightarrow 3 \longrightarrow 6}$ $\color{blue}{3 \longrightarrow 4 \longrightarrow 7}$ $\color{blue}{4 \longrightarrow 5 \longrightarrow 8}$ atau ditulis $g = \{(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)\}$ sehingga $g^{-1} = \{(5,2), (6,3), \color{red}{(7,4)}, (8,5)\}$. Jadi, $\boxed{g^{-1}(7) = 4}$ (Jawaban C) [collapse] Soal Nomor 15Jika $f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}$, maka nilai $f^{-1}(1)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-5$ C. $-1$ E. $5$ B. $-3$ D. $3$
Pembahasan
Misalkan $f^{-1}(1) = a$, maka $f(a) = 1$. Diketahui $f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}$ [collapse] Soal Nomor 16Diketahui $(g^{-1} \circ f^{-1}) (x) =-2x + 4$ dengan $f^{-1}$ dan $g^{-1}$ berturut-turut adalah invers fungsi $f$ dan $g$. Jika $f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}, x \neq 5$, maka $g(6)=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $16$ E. $24$ B. $12$ D. $18$
Pembahasan
Diketahui bahwa [collapse] Soal Nomor 17Diketahui fungsi $f(x) = 3x+4$ dan $g(x) = \dfrac{4x-5}{2x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2}$. Invers $(f \circ g) (x)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10$ B. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{2x+20}, x \neq -10$ C. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{2x-20}, x \neq 10$ D. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-x+11}{-2x+20}, x \neq 10$ E. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-x-11}{-2x+20}, x \neq 10$
Pembahasan
Akan dicari $(f \circ g) (x) $ sebagai berikut. [collapse] Soal Nomor 18Diketahui $f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}$, $g(x) = x-2$, dan $(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \dfrac{7}{2}$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $8$ E. $12$ B. $4$ D. $10$
Pembahasan
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)^{-1}(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)\left(\dfrac{7}{2}\right) &= 2 \\ f\left(g\left(\dfrac{7}{2}\right)\right) & = 2 \\ f\left(\dfrac{7}{2}-2\right) & = 2 && (\text{Ingat}~g(x) = x-2) \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right) & = 2 \\ \dfrac{\dfrac{3}{2}a + 1}{3\left(\dfrac{3}{2}\right)-1} & = 2 && \left(\text{ Ingat}~f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}\right)\\ \dfrac{3}{2}a + 1 & = 9-2 = 7 \\ a & = 6 \times \dfrac{2}{3} \\ a & = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{4}$ (Jawaban B) [collapse] Soal Nomor 19Diketahui $f(x^2+x) = 2x + 1$ dan $g(x) = \dfrac{3x-1}{x-1}$. Nilai $x$ yang memenuhi $(f \circ g^{-1})(x) = 3$ adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Tinjau fungsi $f(x^2 + x) = 2x + 1$. Misalkan $y = x^2 + x$, berarti diperoleh [collapse] Soal Nomor 20Jika fungsi $f$ dan $g$ memiliki invers dan memenuhi $f(2x) = g(x-3)$, maka $f^{-1}(x) =\cdots \cdot$
Pembahasan
Diketahui: $f(2x) = g(x-3).$ Ini berarti, $f^{-1}(g(x-3)) = 2x$. [collapse] Soal Nomor 21Jika fungsi $f$ dan $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f(x+2) = g(x-3)$, maka $f^{-1}(x)= \cdots \cdot$
Pembahasan
Diketahui bahwa $f(x+2) = g(x-3).$ Persamaan ini ekuivalen dengan $f(x) = g(x-5)$. [collapse] Soal Nomor 22Jika diketahui $f(x) = \dfrac{1}{x+a},$ $g(x) = x^2+b$, dan $(f \circ g) (1) = \dfrac{1}{2}$, serta $(g \circ f) (1) = 2$, maka nilai dari $ab$ adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Dari persamaan $(f \circ g) (1) = \dfrac{1}{2}$, diperoleh [collapse] Soal Nomor 23Dua fungsi $f$ dan $g$ memenuhi
Pembahasan
Dengan menggunakan metode eliminasi pada penyelesaian SPLDV, diperoleh [collapse] Soal Nomor 24Diberikan dua fungsi real $f(x) = x^2-2|x|$ dan $g(x) = x^2+1$. Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(f \circ g)(x) = 0$ adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Diketahui: [collapse] Soal Nomor 25Diketahui suatu fungsi $f$ bersifat $f(-x) =-f(x)$ untuk setiap bilangan real $x$. Jika $f(3) =-5$ dan $f(-5) = 1$, maka $f(f(-3)) = \cdots \cdot$
Pembahasan
Diketahui $f(-x) =-f(x), x \in \mathbb{R}$. [collapse] Soal Nomor 26Jika $f(2x+4) = x$ dan $g(3-x) = x$, maka nilai $f(g(1)) + g(f(2)) = \cdots \cdot$
Pembahasan
Tinjau fungsi $g(3-x) = x$. [collapse] Soal Nomor 27Gambar berikut merupakan grafik fungsi dari $f(x)$ dan $g(x)$.
Pembahasan
Grafik fungsi $g$ berupa garis lurus yang melalui titik $(-2, 0)$ dan $(2, 0)$. Persamaan garisnya adalah $-2y + 2x = (-2)(2)$ atau ekuivalen dengan $g(x) = y = x + 2$. [collapse] Soal Nomor 28Diketahui $f(x) = x^2-1$ dan $g(x) = \sqrt{x-3}$. Jika $a$ dan $b$ bilangan real sehingga $(g \circ f)(a) = (f \circ g)(b) = 0$, maka maksimum selisih nilai $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Diketahui: [collapse] Soal Nomor 29Penghasilan per bulan seorang karyawan terdiri atas gaji pokok dan bonus penjualan. Gaji pokok karyawan tersebut adalah Rp4.500.000,00. Bonus penjualannya sebesar $g(x) = 5.000x$ rupiah dengan $x$ menyatakan banyaknya unit barang yang laku dijual olehnya selama sebulan. Jika $f(x)$ menyatakan penghasilan total karyawan tersebut, rumus invers $f$ adalah $\cdots \cdot$ C. $f^{-1}(x) = 900-\dfrac{1}{5.000}x$ D. $f^{-1}(x) =\dfrac{1}{900}x-5.000$ E. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{900}x+5.000$
Pembahasan
Penghasilan total karyawan itu sama dengan gaji pokoknya ditambah bonus penjualan. Oleh karena itu, fungsi $f$ dinyatakan oleh $f(x) = 4.500.000 + 5.000x$. [collapse] Soal Nomor 30Suatu pabrik tepung dengan bahan dasar beras $(x)$ memproduksi tepung beras melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan tepung beras setengah jadi $(y)$ dengan mengikuti fungsi $y = f(x) = \dfrac19x^2-x+5$. Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan tepung beras dengan fungsi $g(y) = 7y+3$, dengan $x, y$ dalam satuan ton. Jika beras yang tersedia untuk suatu produksi sebanyak $9$ ton, banyak tepung beras yang dihasilkan adalah $\cdots \cdot$ ton.
Pembahasan
Banyak tepung beras yang diproduksi bergantung kepada banyak beras yang tersedia. [collapse] Soal Nomor 31Nilai $(n)$ peserta diklat dipengaruhi oleh keaktifan selama kegiatan di dalam kelas, ditentukan oleh rumus $n(A)=\dfrac{3A+22}{4}$. Keaktifan peserta diklat bergantung pada banyaknya program kegiatan ($P$), ditentukan oleh rumus $A(P) = 4P+6$. Jika Denih adalah seorang peserta diklat yang mampu melaksanakan $80\%$ dari $25$ kegiatan yang ada dalam diklat tersebut, maka nilai yang diperoleh Denih adalah $\cdots \cdot$ A. $60$ C. $70$ E. $80$ B. $65$ D. $75$
Pembahasan
Masalah di atas melibatkan dua fungsi yang saling terkait. Fungsi komposisi yang terbentuk oleh masalah di atas adalah $(n \circ A)(P) = n(A(P))$, yang merepresentasikan nilai yang didapat peserta diklat. [collapse] Soal Nomor 32Untuk mencetak $x$ eksemplar novel dalam sehari, diperlukan $f(x) = \dfrac{1}{500}(x+100)$ unit mesin cetak. Padahal jika digunakan $x$ unit mesin cetak, biaya perawatan harian yang harus dikeluarkan adalah $g(x) = 10x + 5$ (dalam ribuan rupiah). Jika pengeluaran untuk perawatan mesin hari ini sebesar Rp65.000,00, maka banyak eksemplar novel yang dicetak adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Pengeluaran untuk perawatan mesin sebesar Rp65.000,00 (ditulis $65$, karena menggunakan satuan ribu rupiah) dan diketahui biaya perawatannya ditentukan oleh $g(x) = 10x + 5$ untuk $x$ banyak mesin cetak. Untuk itu, harus dicari invers dari $g(x)$ terlebih dahulu, yaitu $g^{-1}(x) = \dfrac{x-5}{10}.$ [collapse] Soal Nomor 33Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan kertas jadi. Dalam produksinya, mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi $f(x) = 2x-1$ dan mesin II mengikuti fungsi $g(x)=x^2-3x$, dengan $x$ merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. Fungsi yang menyatakan jumlah kertas yang dihasilkan oleh produksi tersebut adalah $\cdots \cdot$
Pembahasan
Diketahui: $f(x) = 2x-1$ dan $g(x) = x^2-3x$. Ini berarti, [collapse] Soal Nomor 34Jika $f(x) = (ax^2 + b)^3,$ maka fungsi $g(x)$ yang memenuhi $f(g(x)) = g(f(x))$ dinyatakan oleh $\cdots \cdot$
Pembahasan
Perhatikan bahwa jika $f(x) = y,$ maka menukarkan posisi $x$ dan $y$ memunculkan bentuk invers, yakni $f^{-1}(y) = x.$ Substitusi kembali pada bentuk pertama sehingga diperoleh $f(f^{-1}(y)) = y$ yang setara dengan $f(f^{-1}(x)) = x.$ Hal demikian juga berlaku sedemikian sehingga $f^{-1}(f(x)) = x.$ [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1Misalkan fungsi $f, g$, dan $h$ dinyatakan dalam bentuk pasangan berurut sebagai berikut:
Pembahasan
Jawaban a)
[collapse] Soal Nomor 2Diketahui $(f \circ g)(x) = 9x^2-12x + 5$. Tentukan:
Pembahasan
Jawaban a) [collapse] Soal Nomor 3Diketahui $(f \circ g)(x) = x^2-5x + 10$. Tentukan:
Pembahasan
Jawaban a) [collapse] Soal Nomor 4Jika $f(x) = 3x-5, g(x) = \dfrac{1}{x-2}$, dan $h(x)=x^2+4$, tentukan $(g \circ f \circ h)(x)$ dan $(h \circ f \circ g)(x).$
Pembahasan
Akan ditentukan rumus fungsi dari $(g \circ f \circ h)(x)$. [collapse] Soal Nomor 5Tentukan $(f \circ h \circ g)(x)$ dan $(g \circ f \circ h)(x)$ jika $f(x) = \dfrac{1}{x^2-1}, g(x) = \dfrac{3}{x+2}$, dan $h(x) = \dfrac{1}{x-5}.$
Pembahasan
Akan ditentukan rumus fungsi dari $(f \circ h \circ g)(x)$. [collapse] Soal Nomor 6Tentukan $(f \circ g \circ g)(x)$ jika $f(x) = x^2+2$ dan $g(x) = 5x-1.$
Pembahasan
Diketahui $f(x) = x^2 + 2$ dan $g(x) = 5x-1.$ Kita peroleh [collapse] Soal Nomor 7Diketahui fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dan $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dengan $f(x) = x + 2, g(x) = 3-2x$, dan $h(x)=x^2+3x-4$. Tentukan $x$ jika:
Pembahasan
Jawaban a) [collapse] Soal Nomor 8Diketahui $f: x \mapsto \mathbb{R}$ (baca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke himpunan bilangan real) dengan $f(x) = 5^{2x} +3$. Tentukan invers fungsi $f(x)$.
Pembahasan
Ingat konsep logaritma dan invers berikut. [collapse] Soal Nomor 9Misalkan $f(x) = ax+b$ dengan $a \neq 0$ dan $g(x) = cx + d$ dengan $c \neq 0$.
Pembahasan
Jawaban a) [collapse] Soal Nomor 10Diberikan fungsi $(f \circ g) (x)$ untuk beberapa titik dengan aturan:
Pembahasan
Diberikan $g(x) = x + 1$. Dengan demikian, [collapse] Soal Nomor 11Diketahui $f(x) = x^2-1$ dan $g(x) = ^5 \log x$, tentukan nilai dari $(f \circ g)^{-1}(3)$ dan $(f \circ g)^{-1}(3)$.
Pembahasan
Menentukan $(f \circ g)^{-1}(3)$ [collapse] Soal Nomor 12Jika $f^{-1}(x^3) = g(2x-1)$, tentukan rumus $f(x)$ bila dinyatakan dalam $g^{-1}(x)$.
Pembahasan
Diketahui $f^{-1}(x^3) = g(2x-1)$ sehingga $x^3 = f(g(2x-1)).$ [collapse] Soal Nomor 13Suatu pabrik kain berbahan dasar kapas memproduksi kain melalui dua tahap. Tahap pertama dengan bahan dasar kapas menggunakan mesin I menghasilkan benang bahan kain yang banyaknya dinyatakan dengan $\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right)$, kemudian bahan dasar benang diproses pada tahap selanjutnya menggunakan mesin II menghasilkan kain yang banyaknya dinyatakan dengan $\left(\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}\right)$, dengan $x$ merupakan banyak bahan yang diproses oleh mesin dalam satuan ton.
Pembahasan
Jawaban a) [collapse] Soal Nomor 14Diketahui $f(x) = \dfrac{2x-4}{x}, x \neq 0$. Dinotasikan $f^2(x) = f(f(x))$, $f^3(x) = f(f(f(x)))$, dan seterusnya. Tentukan nilai dari $f^{2020}(1)$.
Pembahasan
Diketahui $f(x) = \dfrac{2x-4}{x}$. [collapse] |