Sisa pembagian suku banyak f x x³ 7x² 2x 4 dibagi oleh x 2 dengan cara skema horner adalah

Pembagian Polinomial (Suku Banyak) dengan Pembagi Berbentuk Linier dan Kuadrat − Pada blog kali ini, sahabat akan membahas pembagian polinomial (suku banyak) dengan pembagi berbentuk linier dan kuadrat. Pada blog sebelumnya, sahabat telah membahas polinomial secara umum dan operasinya, seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Selain itu, sahabat juga membahas pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk kuadrat yang bisa difaktorkan dan tidak bisa difaktorkan dengan metode Horner. Sebelum itu, sahabat harus mengetahui hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian. Mari sahabat bahas satu per satu dalam pembahasan berikut ini.

Hubungan antara yang Dibagi, Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian

Misalkan 4.536 dibagi dengan 17 dapat diselesaikan dengan metode bersusun pendek seperti pada bagan di bawah ini. Dari bagan ini terlihat bahwa 4.536 dibagi 17 memberi hasil bagi 266 dengan sisa pembagian 14.

Dengan demikian, dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.

Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa pembagian

Ternyata, pembagian bilangan dengan metode bersusun pendek dapat diaplikasikan pada pembagian polinomial (suku banyak). Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 1

1. Dengan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial f(x) = x³ − 3x² + 6x − 9 oleh (x + 3).
2. Hitunglah nilai f(−3), kemudian bandingkan nilai sisa yang diperoleh pada soal nomor 1) dengan nilai f(−3).

Jawab:

1. Pembagian polinomial f(x) = x³ − 3x² + 6x − 9 oleh (x + 3) dengan metode bersusun pendek diperlihatkan pada bagan di bawah ini.

   

   Perhatikan bahwa kotak hijau menyatakan yang dibagi, kotak jingga menyatakan pembagi, kotak biru muda menyatakan hasil bagi, dan kotak kuning menyatakan sisa pembagian. Berdasarkan bagan tersebut, diperoleh hasil baginya x² − 6x + 24 dengan sisa pembagian −81.

2. Jika diketahui f(x) = x³ − 3x² + 6x − 9, maka

   f(−3) = (−3)³ − 3(−3)² + 6(−3) − 9 = −27 − 27 − 18 − 9 = −81.

   Jadi, f(−3) = −81.

   Nilai sisa pada soal nomor 1) adalah −81 dan nilai f(−3) = −81.

   Dengan demikian, sisa = f(−3) = −81.

Pembagian Polinomial (Suku Banyak) dengan Pembagi Berbentuk Linier

Cara yang akan digunakan untuk membagi polinomial (suku banyak) dengan pembagi berbentuk linier dikenal sebagai metode Horner. Ada dua macam pembagi berbentuk linier yang akan dibicarakan di sini, yaitu pembagi berbentuk (x − k) dan (ax + b).

Pembagian Polinomial dengan Pembagi Berbentuk (x − k)

Jika persamaan yang menghubungkan polinomial yang dibagi f(x) dengan polinomial pembagi (x − k), maka polinomial hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S adalah

f(x) = (x − k) ∙ H(x) + S

Untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S, sahabat bisa menggunakan metode bagan atau metode skema yang dikenal sebagai metode Horner atau metode pembagian sintetik.

Agar lebih memahami cara menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial oleh pembagi berbentuk linier dengan metode pembagian sintetik atau metode Horner, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 2

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial f(x) = x⁴ − 5x³ + 10x² + 4x + 8 oleh (x − 4).

Jawab:

Jika diketahui f(x) = x⁴ − 5x³ + 10x² + 4x + 8, maka a₄ = 1, a₃ = −5, a₂ = 10, a₁ = 4, dan a₀ = 8. Pembagian x − 4 berarti k = 4.

Bagan atau skemanya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan bagan di atas, diperoleh hasil bagi H(x) = x³ − x² + 6x + 28 dan sisa S = 120.

Jadi, pembagian polinomial f(x) = x⁴ − 5x³ + 10x² + 4x + 8 memberikan hasil bagi H(x) = x³ − x² + 6x + 28 dan sisa pembagian S = 120.

Pembagian Polinomial dengan Pembagi Berbentuk (ax + b)

Misalkan k adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh k = − b/a, sehingga bentuk x − k = x − (− b/a) = x + b/a. Jika polinomial f(x) dibagi dengan (x + b/a) memberikan hasilnya H(x) dan sisa pembagian S, maka diperoleh hubungan:

Berdasarkan persamaan tersebut terlihat bahwa hasil bagi H(x) dan sisa S dapat ditentukan dengan metode sintetik atau metode Horner, namun nilai k harus diganti dengan − b/a.

Selanjutnya, persamaan di atas dapat diubah dalam bentuknya sebagai berikut:

Persamaan di atas menunjukkan bahwa polinomial f(x) dibagi dengan (ax + b) memberikan hasil bagi H(x)/a dan dan sisa pembagian S. Koefisen-koefisien dari H(x) dan sisa S dapat ditentukan dengan metode pembagian sintetik atau metode Horner, namun nilai k harus diganti dengan − b/a.

Deskripsi di atas menjelaskan bahwa metode pembagian sintetik atau metode Horner dapat digunakan sebagai alat bantu untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial f(x) dengan (ax + b).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 3

1. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial f(x) = 6x⁴ − x³ − 5x² + 5x − 15 oleh (2x + 3).
2. Hitunglah f(−3/2) dari fungsi polinomial di atas, kemudian tunjukkan bahwa sisa yang diperoleh pada soal nomor (1) sama dengan f(−3/2).

Jawab:

1. Jika diketahui f(x) = 6x⁴ − x³ − 5x² + 5x − 15, maka a₄ = 6, a₃ = −1, a₂ = −5, a₁ = 5, dan a₀ = −15.

   Bentuk (2x + 3) dapat ditulis menjadi 2(x + 3/2), berarti a = 2 dan k = −3/2. Bagan atau skemanya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

   

   Berdasarkan bagan di atas, diperoleh hasil bagi (6x³ − 10x² + 10x − 10) / 2 = 3x³ − 5x² + 5x − 5 dan sisa S = 0.

   Jadi, pembagian polinomial f(x) = 6x⁴ − x³ − 5x² + 5x − 15 dengan (2x + 3) memberikan hasil bagi H(x) = 3x³ − 5x² + 5x − 5 dan sisa pembagian S = 0.

2. f(−3/2) = 6(−3/2)⁴ − (−3/2)³ − 5(−3/2)² + 5(−3/2) − 15

   = 6(81/16) − (−27/8) − 5(9/4) − 5(3/2) − 15

   = (243/8) + (27/8) − (45/4) − (15/2) − 15

   = (135/4) − (45/4) − (15/2) − 15

   = (45/2) − (15/2) − 15

   = 15 − 15

   = 0

   Dari hasil jawaban soal nomor (1), sisa pembagian S = 0.

   Jadi, terbukti bahwa S = f(−3/2) = 0.

Catatan:

Jika polinomial f(x) dibagi, baik dengan bentuk (x − k) maupun bentuk (ax + b) menghasilkan sisa S = 0, maka dikatakan f(x) habis dibagi, baik oleh bentuk (x − k) maupun bentuk (ax + b). Dengan kata lain, baik bentuk (x − k) maupun bentuk (ax + b) adalah faktor dari f(x). Hal ini akan dibicarakan lebih lanjut dalam blog selanjutnya.

Pembagian Polinomial (Suku Banyak) dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat

Misalkan polinomial f(x) dibagi dengan px² + qx + r (p ≠ 0 dan bentuk px² + qx + r dapat difaktorkan atau tidak dapat difaktorkan), maka hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial tersebut dapat ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek.

Sebelum itu, perhatikan persamaan di bawah ini.

f(x) = (px² + qx + r) ∙ H(x) + (ax + b)

Sebagai contoh, jika polinomial f(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ dibagi dengan px² + qx + r, maka diperoleh hasilnya dengan metode pembagian bersusun pendek sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 4

Gunakan metode pembagian bersusun pendek untuk menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial f(x) = 6x⁴ − 12x³ + 7x² − 10x − 15 dengan 2x² + 4x − 5.

Jawab:

CARA PERTAMA

Perhatikan bagan metode pembagian bersusun pendek di bawah ini.

Pembagian berhenti di sini, sebab (−210x + 160) berderajat lebih rendah dibandingkan dengan pembagi (2x² + 4x − 5).

Berdasarkan bagan tersebut, polinomial 6x⁴ − 12x³ + 7x² − 10x − 15 dapat dituliskan sebagai:

Jadi, pembagian polinomial f(x) = 6x⁴ − 12x³ + 7x² − 10x − 15 dengan 2x² + 4x − 5 memberikan hasil bagi 3x² − 12x + 35 dan sisa pembagian −210x + 160.

CARA KEDUA

Dengan rumus hasil bagi dan sisa pembagian di atas, diperoleh hasilnya sebagai berikut.

Selain itu, ada metode yang lebih cepat dari metode pembagian bersusun pendek, yaitu metode Horner atau metode pembagian sintetik. Tidak hanya itu, ada metode yang lebih cepat dari metode Horner, yaitu metode Horner − Kino. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 5

Gunakan ketiga metode untuk menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian polinomial f(x) = 8x⁴ + 14x³ − 7x² − 12x + 20 dengan 2x² − 3x − 5.

1. Metode pembagian bersusun pendek
2. Metode Horner biasa
3. Metode Horner − Kino.

Jawab:

1. Perhatikan bagan metode pembagian bersusun pendek di bawah ini.

   

   Pembagian berhenti di sini, sebab (131x + 150) berderajat lebih rendah dibandingkan dengan pembagi (2x² − 3x − 5).

   Jadi, pembagian polinomial f(x) = 8x⁴ + 14x³ − 7x² − 12x + 20 dengan 2x² − 3x − 5 memberikan hasil bagi 4x² − 13x + 26 dan sisa pembagian 131x + 150.

2. Pembagi 2x² − 3x − 5 dapat difaktorkan menjadi (2x − 5)(x + 1). Perhatikan bagan metode Horner di bawah ini.

   

   Jadi, pembagian polinomial f(x) = 8x⁴ + 14x³ − 7x² − 12x + 20 dengan 2x² − 3x − 5 memberikan hasil bagi 4x² − 13x + 26 dan sisa pembagian 131x + 150.

3. Sahabat mula-mula membagi pembagi 2x² − 3x − 5 dengan 2 agar koefisien dari x² bernilai 1 sehingga diperoleh x² − 3x/2 − 5/2. Selanjutnya, baris pertama hasil pembagi dengan koefisien dari x² bernilai 1 diwakili oleh negatif dari konstanta, sedangkan baris kedua diwakili oleh negatif dari koefisien dari x. Perhatikan bagan metode Horner − Kino di bawah ini.

   

   Selanjutnya, kalikan baris paling bawah dengan faktor baris kedua. Misalnya, 8 dikalikan dengan 3/2 sama dengan 12. Demikian juga, kalikan baris paling bawah dengan faktor baris pertama. Misalnya, 8 dikalikan dengan 5/2 sama dengan 20. Proses ini berulang kali. Perhatikan tanda * yang meminta sahabat untuk melewatinya.

   Jadi, pembagian polinomial f(x) = 8x⁴ + 14x³ − 7x² − 12x + 20 dengan 2x² − 3x − 5 memberikan hasil bagi 4x² − 13x + 26 dan sisa pembagian 131x + 150.

Pembagian polinomial dengan pembagi berbentuk linier dapat diselesaikan dengan metode Horner atau metode pembagian sintetik. Untuk pembagi berbentuk (ax + b), hasil baginya harus dibagi dengan a. Selain itu, pembagian polinomial dengan pembagi berbentuk kuadrat dapat diselesaikan dengan metode pembagian bersusun pendek, metode Horner biasa, dan metode Horner − Kino. Untuk metode Horner bisa pada pembagi yang bisa difaktorkan, sahabat bisa menentukan nilai a yang merupakan koefisiien dari x setelah mendefinisikan ax + b sebagai sisa terlebih dahulu untuk nilai x yang pertama. Untuk metode Horner − Kino, sahabat harus membuat koefisien dari x² bernilai 1 kalau koefisien dari x² tidak bernilai 1. Selain itu, sahabat harus meletakkan baris pertama yang diwakili oleh negatif dari konstanta, sedangkan baris kedua diwakili oleh negatif dari koefisien dari x. Demikian pembahasan tentang pembagian polinomial (suku banyak) dengan pembagi berbentuk linier dan kuadrat. Semoga blog ini bermanfaat.

Jika teman-teman Anda ingin memberi kritik, saran, dan pertanyaan yang belum jelas atau dianggap sulit seputar Matematika, silakan kritik, saran, dan pertanyaan Anda di media sosial:

Facebook: NadjaBheemSofia
Twitter: RianSofiaBheem
Instagram: widodorianto16