Sebuah kubus ABCD EFGH memiliki rusuk sepanjang 4 cm Berapakah jarak dari titik B ke garis EG?

Home / DIMENSI TIGA / Matematika Wajib Kelas 12

Table of Contents Show

A. Definisi Jarak Titik ke Garis
B. Contoh Soal dan Pembahasan
C. Soal Latihan
Video yang berhubungan

A. Definisi Jarak Titik ke Garis

Jarak titik A ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A ke garis g. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik A tegak lurus terhadap garis g seperti gambar berikut:

B. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.
Pembahasan: Lukis garis dari titik B yang tegak lurus dengan DT (perhatikan gambar). Dari gambar diperoleh bahwa jarak titik B ke garis DT adalah panjang ruas garis BE. Untuk itu perhatikan segitiga BDT.

Kemudian lukis garis tinggi dari titik T ke garis BD (seperti gambar di atas). TB = TD = 6 cm, maka garis tinggi TO membagi dua sama panjang garis BD (OB = OD). $\begin{align} BD &=\sqrt{AB^2+AD^2} \\ &=\sqrt{3^2+3^2} \\ BD &=3\sqrt{2} \end{align}$ $OB=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}\sqrt{2}$ Perhatikan segitiga TOB: $\begin{align} OT &=\sqrt{TB^2-OB^2} \\ & =\sqrt{6^2-\left( \frac{3}{2}\sqrt{2} \right)^2} \\ & =\sqrt{36-\frac{9}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{63}{2}} \\ OT &=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \end{align}$ Dengan menggunakan luas segitiga TDB maka: $\begin{align} \frac{1}{2}.TD.BE &=\frac{1}{2}.BD.OT \\ TD.BE &= BD.OT \\ 6.BE &= 3\sqrt{2}.\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ BE &= \frac{9\sqrt{7}}{6} \\ BE &= \frac{3\sqrt{7}}{2} \end{align}$ Jadi, jarak titik B ke garis DT adalah $\frac{3\sqrt{7}}{2}$.

Contoh 2. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.
Pembahasan: Perhatikan gambar berikut!

Jarak titik B ke garis TE adalah panjang ruas garis BP. Perhatikan segitiga TBE

Karena ABCDEF adalah segi-6 beraturan, maka BE = 20 cm. $OB=\frac{1}{2}BE=10$ TB = TE = AT = 13 Perhatikan segitiga BOT: $\begin{align} OT &=\sqrt{TB^2-OB^2} \\ &=\sqrt{{13}^2-{10}^2} \\ OT &=\sqrt{69} \end{align}$ Dengan menggunakan luas segitiga TBE, maka: $\begin{align} \frac{1}{2}.TE.BP &=\frac{1}{2}.OT.BE \\ 13.BP &= \sqrt{69}\times 20 \\ BP &= \frac{20}{13}\sqrt{69} \end{align}$ Jadi, jarak titik B ke garis TE adalah $\frac{20}{13}\sqrt{69}$.

Contoh 3. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10 cm. Tentukan: a. jarak titik F ke garis AC. b. jarak titik H ke garis DF.

Pembahasan:

a. jarak titik F ke garis AC

Perhatikan gambar di atas, jarak titik T ke garis AC adalah panjang garis OF. Perhatikan segitiga AOF: $AF=10\sqrt{2}$ $\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ & =\frac{1}{2}.10\sqrt{2} \\ OA &= 5\sqrt{2} \end{align}$ $\begin{align} OF &= \sqrt{AF^2-OA^2} \\ &=\sqrt{(10\sqrt{2})^2-(5\sqrt{2})^2} \\ &=\sqrt{200-50} \\ &=\sqrt{150} \\ &=\sqrt{25\times 6} \\ OF &=5\sqrt{6} \end{align}$

b. jarak titik H ke garis DF

perhatikan gambar berikut!

Jarak titik H ke garis DF adalah panjang garis PH. Perhatikan segitiga DHF:

Menggunakan luas DHF, maka: $\begin{align} \frac{1}{2}.DF.PH &=\frac{1}{2}.HF.DH \\ 10\sqrt{3}.PH &=10\sqrt{2}.10 \\ PH &=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ PH &=\frac{10}{3}\sqrt{6} \end{align}$ Jadi, jarak titik H ke garis DF adalah $\frac{10}{3}\sqrt{6}$.

Contoh 4. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG.
Pembahasan:

Jarak titik M ke garis EG adalah panjang garis MN. Perhatikan segitiga EBM siku-siku di B: $\begin{align} EM &=\sqrt{BE^2+BM^2} \\ & =\sqrt{(8\sqrt{2})^2+4^2} \\ & =\sqrt{128+16} \\ EM &=12 \end{align}$ Perhatikan segitiga MCG siku-siku di C: $\begin{align} MG &=\sqrt{CM^2+CG^2} \\ &=\sqrt{4^2+8^2} \\ &=\sqrt{80} \\ MG &= 4\sqrt{5} \end{align}$ Lihat segitiga EGM, berlaku aturan cosinus: $\begin{align} \cos \angle EGM &= \frac{EG^2+MG^2-EM^2}{2.EG.MG} \\ &=\frac{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+(4\sqrt{5})-{{12}^{2}}}{2.8\sqrt{2}.4\sqrt{5}} \\ &=\frac{128+80-144}{64\sqrt{10}} \\ \cos \angle EGM &=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{\sqrt{(\sqrt{10})^2-1}}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{3}{\sqrt{10}} \end{align}$ Dengan menggunakan luas segitiga EGM, maka: $\begin{align} \frac{1}{2}.EG.MN &= \frac{1}{2}.EG.MG.\sin \angle EGM \\ MN &= MG.\sin \angle EGM \\ &= 4\sqrt{5}.\frac{3}{\sqrt{10}} \\ &=\frac{12}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ MN &= 6\sqrt{2} \end{align}$ Jadi, jarak titik M ke garis EG adalah $6\sqrt{2}$.

Contoh 5. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.

Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!

Pembahasan:

Berdasarkan gambar! Jarak titik T ke garis PQ adalah panjang garis TR. Perhatikan segitiga TAB:

$\begin{align}TP &= \sqrt{AT^2-AP^2} \\ &= \sqrt{12^2-6^2} \\ &= \sqrt{108} \\ TP &= 6\sqrt{3} \end{align}$ Perhatikan segitiga QAP siku-siku di titik A.

$\begin{align}PQ &= \sqrt{AQ^2+AP^2} \\ &= \sqrt{6^2+6^2} \\ PQ &= 6\sqrt{2} \end{align}$ Perhatikan segitiga TQP segitiga sama kaki TQ = TP.

$\begin{align}TR &= \sqrt{TP^2-PR^2} \\ &= \sqrt{(6\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{108-18} \\ &= \sqrt{90} \\ TR &= 3\sqrt{10} \end{align}$ Jadi, jarak titik T ke garis PQ adalah $3\sqrt{10}$ cm.

C. Soal Latihan

Diketahui kubus ABCD.EFGH, rusuk-rusuknya 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah … cm.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik H ke garis DF adalah … cm.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah rusuk BC. Jarak titik M ke garis EG adalah … cm.
Limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak $12\sqrt{2}$ cm. Jarak titik A ke garis TC adalah ... cm.
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 24 cm, BC = 8 cm dan CG = 6 cm. Tentukan jarak titik B ke garis AG.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami: