O diâmetro de uma circunferência tem extremidades nos pontos A(-2,-6) e B(4,0) do plano cartesiano. A equação reduzida dessa circunferência é
Dizemos que a circunferência é uma seção cônica pois é obtida pela interseção de um plano com a superfície lateral de um cone. Além disso, a partir da geometria plana, sabemos que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto dado (onde a distância é o raio da circunferência). 📚 Você vai prestar o Enem 2020? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 A expressão abaixo representa a equação reduzida de centro (a; b) e raio R: \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\) Exemplo 1: determine a equação reduzida da circunferência de centro (1; 2) e raio 3. Resolução: utilizando a fórmula dada, temos: \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2}\) Exemplo 2: determine a equação da circunferência que tem diâmetro \(\overline{AB}\) tal que A(2; 4) e B(6; -2). Resolução: ilustrando a situação, temos: Sabemos que o centro O é o ponto médio de \(\overline{AB}\), então: \(a=\frac{2+6}{2}=4 \ e \ b=\frac{4-2}{2}=1\rightarrow O(4;1)\) \(R=\sqrt{(4-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\sqrt{13}\) Assim: \((x-4)^{2}+(y-1)^{2}=(\sqrt{13})^{2}\) O desenvolvimento da forma reduzida da equação da circunferência se torna a equação geral: \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-R^{2}=0\) Lembre-se que é comum os problemas fornecerem a equação geral enquanto precisamos determinar o centro e o raio da circunferência. Para obtermos a forma reduzida a partir da equação geral, devemos encontrar os dois quadrados perfeitos. Exemplo 3: determine o centro e o raio das circunferências abaixo.
Resolução:
Como adicionamos o termo \(5^{2}\), devemos subtrair 25 a fim de que a equação continue igual como estava antes: \(x^{2}+(y+5)^{2}=5^{2}\)
A partir da equação reduzida da circunferência, podemos escrever outras duas expressões que indicam quando um ponto está dentro ou fora da circunferência:
circunferência, ou seja, pontos cujas distâncias até o centro são menores ou iguais ao raio
circunferência, ou seja, pontos cujas distâncias até o centro são maiores ou iguais ao raio Observe o esquema abaixo das possíveis posições entre as retas r e a circunferência \(\alpha\): Sabemos que a equação da reta (equação do primeiro grau) é do formato ax+by+c=0 e a equação geral da circunferência é do formato \(x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0\). Assim, observamos os possíveis casos, em relação ao sistema S, entre essas duas equações:
Repare que a condição para que uma reta r seja tangente a uma circunferência é que a distância do centro à reta r deve ser igual ao raio da circunferência. Exemplo 4: determinar a equação da tangente à circunferência \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\), pelo ponto P(-1; 2). Resolução: encontrar onde está o ponto P em relação à circunferência: \((-1)^{2}+2^{2}-2\cdot (-1)-4\cdot 2+1=0\rightarrow 1+4+2-8+1=0\rightarrow 0=0\) Assim, percebemos que P pertence à circunferência. Vamos, então, determinar o centro da circunferência: \((x^{2}-2x+1)-1+(y^{2}-4y+4)-4+1=0\rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\) Temos, então, centro (1; 2) e R=2. Ilustrando: Assim, a reta \(\overline{OT}\) possui equação y=2. Então, a reta r possui equação x+1=0. 🎓 Você ainda não sabe qual curso fazer? Tire suas dúvidas com o Teste Vocacional Grátis do Quero Bolsa 🎓 As circunferências podem ser secantes, tangentes, exteriores ou interiores. Observe: Os problemas envolvendo este tipo de conceito são resolvidos de forma semelhante ao caso das posições relativas entre reta e circunferência. Neste caso, usa-se as equações das duas circunferências em questão para solucionar o sistema S, a fim de que seja determinado os pontos de interseção entre elas. Lembre-se: para circunferências tangentes exteriores, a distância entre seus centros é a soma do raio de uma circunferência com o raio da outra. No caso das tangentes interiores, essa distância será dada pela diferença entre um raio e o outro. Exercício de fixação ENEM/2013 Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? A. B. C. D. E. |