(1) D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 1 PERSAMAAN LINGKARAN a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R x2 + y2 = R2 atau R x2 y2 Contoh : 1 Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan : a. Berjari-jari 6 b. Melalui tiik (6, 8) Jawab : a. Berjari-jari r = 6 b. Melalui titik (6, 8) x2 + y2 = 62 x2 + y2 = 36 R = 62 82 = 3664 = 100 = 10 x2 + y2 = 102 x2 + y2 = 100 b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R A (x, y) PA = R R (xa)2 (yb)2 R atau : P (a, b) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Contoh : 2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut : a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 c. x2 + (y – 5)2 = 36 c. x2 + y2 = 64 Jawab : a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 Pusat = (4, -2) dan R = 49 = 7 Pusat = (-3, 0) dan R = 25 = 5 c. x2 + (y – 5)2 = 36 d. x2 + y2 = 64 Pusat = (0, 5) dan R = 36 = 6 Pusat = (0, 0) dan R = 64 = 8 Contoh 3 : Tentukan persamaan lingkaran dengan : a. Pusat (2, 5) dan R = 7 b. Pusat (3, -1) dan menyinggung sumbu y Jawab : a. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 b. Karena menyinggung sumbu y, maka R = 3 (x – 2)2 + (y – 5) = 72 (x – 3)2 + (y – (-1))2 = 32 (x – 2)2 + (y – 5)2 = 49 (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9 Contoh 4 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 3) dan menyinggung garis 3x + 4y + 1 = 0. Jawab : 3x + 4y + 1 = 0 2 2 1 1 B A C By Ax R (4, 3) R = 2 2 4 3 1 ) 3 . 4 ( ) 4 . 3 ( (2)D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 2 c. Persamaan Umum Lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Dengan pusat lingkaran P { 2 Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari R = 5 Jawab : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran : a. x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0 b. x2 + y2– 2x + 10y – 23 = 0 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari : a. Pusat = (3, -2) dan R = 4 b. Pusat (0, 0) dan R = 10 Jawab : ……… ……… 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran : a. (x + 5)2 + (y – 3)2 = 9 b. x2 + (y + 1)2 = 25 Jawab : ……….. ……….. 3. Tentukan persamaan lingkaran yang perpusat di titik (4, -2) dan menyinggung : a. sumbu x b. sumbu y Jawab : ……….. ……….. 4. Tentukan persamaan umum lingkaran jika : (3)D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 3 Jawab : ……….. ……….. 5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran : a. x2 + y2– 4x + 8y – 5 = 0 b. x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 Jawab : ……….. ……….. E. Persamaan Garis Singgung a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = R2 di titik (x1, y1) adalah : x1 x + y1 y = r2 Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 52 di titik (4, 6) Jawab : x1 x + y1 y = r2 x1 = 4 dan y1 = 6 4x + 6y = 52 Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang ordinatnya 4. Jawab : x1 x + y1 y = r2 y1 = 4 x2 + 42 = 25 x2 = 25 – 16 = 9 x = 3 untuk x = 3 3x + 4y = 25 untuk x = –3 –3x + 4y = 25 b. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 dan melalui titik (x1, y1) adalah : (x1– a) (x – a) + (y1– b ) (y – b) = R2 Contoh 3 : Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 yang melalui titik (4, 2). Jawab : Persamaan garis yang melalui titik (4, 2) : (x1 + 2) (x + 2) + (y1– 3 ) (y – 3) = 25 (4 + 2) (x + 2) + (2 – 3) (y – 3) = 25 6x + 12 – y + 3 – 25 = 0 6x – y – 10 = 0 c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y1) adalah : x1x +y1y + 2 1 Ax1 + 2 1 Ax + 2 1 By1 + 2 1 By + C = 0 Contoh : 4 Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 4 = 0 melaui titik (3, 5). Jawab : x1x +y1y + 2 1 (-4)x1 + 2 1 (-4)x + 2 1 (8)y1 + 2 1 (8)y + 4 = 0 (4)D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 4 x + 9y – 6 + 20 + 4 = 0 x + 9y + 18 = 0 Soal latihan 1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 40 di titik dengan absis = 2. Jawab : ……….. 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 65 di titik (7, -4). Jawab : ……….. 3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (2, 0). Jawab : ……….. 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan menyinggung lingkaran (x – 4)2 + (y + 1)2– 32 = 0. Jawab : ……….. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 di titik (4, -1) Jawab : ……….. EVALUASI 7 A. Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0, 0) dan melaui titik (3, 5) adalah …. a. x2 + y2 = 4 c. x2 + y2 = 8 e. x2 + y2 = 34 b. x2 + y2 = 34 d. x2 + y2 = 16 2. Persamaan lingkarran yang pusatnya (4, 3) dan menyinggung sumbu x adalah …. a. x2 + y2 = 9 c. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9 e. (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 b. x2 + y2 = 16 d. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 16 3. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, -1) dan menyinggung sumbu y adalah …. a. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 c. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 1 e. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4 b. (x2– 2)2 + (y + 1)2 = 1 d. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 4 4. Pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y –11 = 0 adalah …. a. P (3, 4) dan R = 6 c. P (3, -4) dan R = 6 e. P (4, -3) dan R = 6 b. P (-3, 4) dan R = 6 d. P (-3, -4) dan R = 6 5. Bentuk baku dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y –12 = 0 adalah …. a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 c. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 25 e. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 b. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 d. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 6. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jari-jari 7 adalah …. a. x2 + y2 + 6x – 4y + 36 = 0 d. x2 + y2– 6x + 4y – 36 = 0 b. x2 + y2– 6x + 4y + 36 = 0 e. x2 + y2– 6x – 4y – 36 = 0 c. x2 + y2 + 6x + 4y + 36 = 0 7. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 20 di titik (4, -2) adalah …. a. 4x – 2y – 20 = 0 c. 2x – 4y – 20 = 0 e. 4x + 2y + 20 = 0 b. 4x + 2y - 20 = 0 d. 4x – 2y + 20 = 0 8. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 45 pada titik dengan ordinat = 6 adalah …. a. 6x2 + 3y2 = 45 c. 6x2– 3y2 = 45 e. –3x2– 6y2 = 45 b. 3x2– 6y2 = 45 d. –3x2 + 6y2 = 45 9. Persamaan garis yang menyingung lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (5, 7) adalah …. (5)D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 5 10. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2– 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) adalah …. a. 4x + 3y – 19 = 0 c. 3x + 4y – 19 = 0 e. 3x – 4y + 19 = 0 b. 4x – 3y – 19 = 0 d. 3x + 4y + 19 = 0 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 1. Tentukan bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (-5, 2) dan jari-jari = 4. Jawab : ………... 2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x2 + y2– 10x + 2y + 17 = 0. Jawab : ……….. 3. Ubah bentuk baku persamaan lingkaran (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 ke bentuk umum. Jawab : ……….. 4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16 di titik (1, 1). Jawab : ……….. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 di titik (7, 1). Jawab : (1) PERSAMAAN LINGKARAN a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R x2 + y2 = R2 atau R x2 y2 Contoh : 1 Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan : a. Berjari-jari 6 b. Melalui tiik (6, 8) Jawab : a. Berjari-jari r = 6 b. Melalui titik (6, 8) x2 + y2 = 62 x2 + y2 = 36 R = 62 82 = 3664 = 100 = 10 x2 + y2 = 102 x2 + y2 = 100 b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R A (x, y) PA = R R (xa)2 (yb)2 R atau : P (a, b) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Contoh : 2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut : a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 c. x2 + (y – 5)2 = 36 c. x2 + y2 = 64 Jawab : a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 Pusat = (4, -2) dan R = 49 = 7 Pusat = (-3, 0) dan R = 25 = 5 c. x2 + (y – 5)2 = 36 d. x2 + y2 = 64 Pusat = (0, 5) dan R = 36 = 6 Pusat = (0, 0) dan R = 64 = 8 Contoh 3 : Tentukan persamaan lingkaran dengan : a. Pusat (2, 5) dan R = 7 b. Pusat (3, -1) dan menyinggung sumbu y Jawab : a. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 b. Karena menyinggung sumbu y, maka R = 3 (x – 2)2 + (y – 5) = 72 (x – 3)2 + (y – (-1))2 = 32 (2)Contoh 4 : c. Persamaan Umum Lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Dengan pusat lingkaran P { 2 Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari R = 5 Jawab : (3)Soal laihan : 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari : a. Pusat = (3, -2) dan R = 4 b. Pusat (0, 0) dan R = 10 Jawab : ……… ……… 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran : a. (x + 5)2 + (y – 3)2 = 9 b. x2 + (y + 1)2 = 25 Jawab : ……….. ……….. 3. Tentukan persamaan lingkaran yang perpusat di titik (4, -2) dan menyinggung : a. sumbu x b. sumbu y Jawab : ……….. ……….. 4. Tentukan persamaan umum lingkaran jika : a. Pusat = (1, 3) dan R = 4 b. Pusat (-4, 1) dan R = 6 Jawab : ……….. ……….. 5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran : a. x2 + y2– 4x + 8y – 5 = 0 b. x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 Jawab : ……….. ……….. E. Persamaan Garis Singgung a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = R2 di titik (x1, y1) adalah : x1 x + y1 y = r2 Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 52 di titik (4, 6) Jawab : x1 x + y1 y = r2 x1 = 4 dan y1 = 6 4x + 6y = 52 Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang ordinatnya 4. Jawab : x1 x + y1 y = r2 y1 = 4 x2 + 42 = 25 x2 = 25 – 16 = 9 x = 3 (4)b. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 dan melalui titik (x1, y1) Persamaan garis yang melalui titik (4, 2) : (x1 + 2) (x + 2) + (y1– 3 ) (y – 3) = 25 (5)EVALUASI 7 A. Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0, 0) dan melaui titik (3, 5) adalah …. a. x2 + y2 = 4 c. x2 + y2 = 8 e. x2 + y2 = 34 b. x2 + y2 = 34 d. x2 + y2 = 16 2. Persamaan lingkarran yang pusatnya (4, 3) dan menyinggung sumbu x adalah …. a. x2 + y2 = 9 c. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9 e. (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 b. x2 + y2 = 16 d. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 16 3. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, -1) dan menyinggung sumbu y adalah …. a. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 c. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 1 e. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4 b. (x2– 2)2 + (y + 1)2 = 1 d. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 4 4. Pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y –11 = 0 adalah …. a. P (3, 4) dan R = 6 c. P (3, -4) dan R = 6 e. P (4, -3) dan R = 6 b. P (-3, 4) dan R = 6 d. P (-3, -4) dan R = 6 5. Bentuk baku dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y –12 = 0 adalah …. a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 c. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 25 e. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 b. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 d. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 6. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jarai-jari 7 adalah …. a. x2 + y2 + 6x – 4y + 36 = 0 d. x2 + y2– 6x + 4y – 36 = 0 b. x2 + y2– 6x + 4y + 36 = 0 e. x2 + y2– 6x – 4y – 36 = 0 c. x2 + y2 + 6x + 4y + 36 = 0 7. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 20 di titik (4, -2) adalah …. a. 4x – 2y – 20 = 0 c. 2x – 4y – 20 = 0 e. 4x + 2y + 20 = 0 b. 4x + 2y - 20 = 0 d. 4x – 2y + 20 = 0 8. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 45 pada titik dengan ordinat = 6 adalah …. a. 6x2 + 3y2 = 45 c. 6x2– 3y2 = 45 e. –3x2– 6y2 = 45 b. 3x2– 6y2 = 45 d. –3x2 + 6y2 = 45 9. Persamaan garis yang menyingung lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (5, 7) adalah …. a. 4x + 3y + 43 = 0 c. 4x + 3y + 43 = 0 e. 3x + 4y – 43 = 0 b. 4x – 3y + 43 = 0 d. 3x + 4y – 43 = 0 10. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) adalah …. a. 4x + 3y – 19 = 0 c. 3x + 4y – 19 = 0 e. 3x – 4y + 19 = 0 b. 4x – 3y – 19 = 0 d. 3x + 4y + 19 = 0 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 1. Tentukan bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (-5, 2) dan jari-jari = 4. Jawab : ………... 2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x2 + y2– 10x + 2y + 17 = 0. Jawab : ……….. 3. Ubah bentuk baku persamaan lingkaran (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 ke bentuk umum. Jawab : (6)4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16 di titik (1, 1). Jawab : ……….. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2– 4x – 2y – 20 = 0 di titik (7, 1). Jawab : |