Perhatikan gambar dibawah ini mana yang merupakan garis singgung persekutuan dalamnya adalah *

1.Garis di bawah ini yang merupakan garis singgunglingkaran adalah....a.b.c.d.2.Perhatikan gambar berikut.Q24 cm10 cmOPAOBPanjangOPadalah....3.Pada gambar, panjang jari-jariOA= 10 cm danjarakOB= 26 cm. Luas ΔOABadalah....a.120 cm2b.140 cm2c.160 cm2d.180 cm24.Perhatikan gambar berikutCOABJika panjangOA= 2 cm dan panjangOB= 7 cmmaka luas bidangOABCadalah....5.Perhatikan gambar berikut ini.ARSBMQPNDua lingkaran bersinggungan seperti tampak padagambar. PanjangAP= 15 cm, panjangBR= 10 cm, danMN=30 cm. PerbandinganPNdanRNadalah....6.Perhatikan gambar berikutKedua lingkaran pada gambar di atas memiliki ...a.satu garis singgung persekutuan luar dan satugaris singgung persekutuan dalamb.satu garis singgung persekutuan luar dan duagaris singgung persekutuan dalamc.dua garis singgung persekutuan luar dan satugaris singgung persekutuan dalamd.dua garis singgung persekutuan luar dan duagaris singgung persekutuan dalamUji Kompetensi Bab 7A.Pilihlah satu jawaban yang benar.

7Bab Sumber: www.homepages.tescoGaris SinggungLingkaranLingkaran mungkin merupakan salah satu bentuk bangun datar yang A. Pengertian Garispaling terkenal. Konsep lingkaran yang meliputi unsur-unsur lingkaran, Singgungluas lingkaran, dan keliling lingkaran sudah kamu pelajari sejak SekolahDasar. LingkaranBanyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari sebenarnya B. Garismenggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda, katrol timba, Singgung Duasubwoofer, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing. LingkaranPada bab ini, kamu akan mempelajari salah satu konsep penting C. Lingkaran Luartentang lingkaran, yaitu garis singgung lingkaran. dan Lingkaran Dalam Segitiga 155Uji Kompetensi AwalSebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.1. H G Dari gambar di samping 2. A Hitunglah panjang AC. EF tentukanlah: D a. ruas garis yang sejajar, 16 cm AB C b. ruas garis yang B 12 cm C P berpotongan, 7 cm 3. Dari gambar di samping c. ruas garis yang saling tentukan: 60˚ a. keliling lingkaran, O tegak lurus. b. panjang busur PQ Q A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran 1. Sifat Garis Singgung Lingkaran Gambar 7.1 di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik OA g' dengan diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A maka akan diperoleh garis g' yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus AB.O g Garis g' disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung. Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran yaitu: B Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di Gambar 7.1 : garis singgung lingkaran satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.yang menyinggung lingkaran di titik A. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari [diameter] yang melalui titik singgungnya. Perhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2[a] memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Pada Gambar 7.2[b] , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran. [a] [b] l AGambar 7.2 : Memperlihatkan O P R Garis singgung yang g O melalui satu titik pada lingkaran dan di luar lingkaran. Q m Gambar 7.2 : Garis singgung melalui satu titik156 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII2. Melukis Garis SinggungSebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memilikijangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada LingkaranSebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegaklurus terhadap jari-jari [diameter] yang melalui titik singgungnya. Olehkarena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama sajadengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melaluisatu titik pada lingkaran berikut ini.1] Langkah 1 Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang diperpanjang hingga titik Q.OP Q2] Langkah 2 Buatlah busur dengan pusat P yang memotong ruas OP dan PQ di titik A dan B.O PB Q A3] Langkah 3 Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik C. Ingat, jari-jarinya harus sama. COA PB Q4] Langkah 4 Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran dengan pusat O. COA PB Q g Garis Singgung Lingkaran 157Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkarandi titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagiansebelumnya.b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar LingkaranSekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luarlingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.1] Langkah 1 Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang terletak di luar lingkaran. OT2] Langkah 2 Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempatkan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.OM T3] Langkah 3 Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B. A O MT B4] Langkah 4 Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T. A O MT B Ternyata, kamu dapat membuat dua buah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.158 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII3. Panjang Garis Singgung LingkaranSetelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitungpanjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut. A r Plus + OB P r r Q pR C Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di Berdasarkan teorematitik O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena Pythagoras, pada segitigagaris singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang siku-siku berlaku:garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema PQ2 + QR2 = PR2Pythagoras. atau r2 + p2 = q2Perhatikan Δ OAB pada . Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras, yaitu: OA2 + AB2 = OB2 AB2 = OB2 – OA2 AB = OB2 – OA2 AB = OB2 – r2 Pada ΔOCB juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu: OC2 + BC2 = OB2 BC2 = OB2 – OC2 BC = OB2 - OC2 BC = OB2 - r2 Ternyata, AB = BC = OB2 - r2 . Uraian tersebut menggambarkan definisiberikut. Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.ContSoohal 7.1 A B rPerhatikan gambar berikut. OJika diketahui jari-jari lingkaranr = 6 cm dan OB = 10 cm, tentukan:a. panjang garis singgung AB,b. luas ΔOAB.Jawab :a. Pada ΔOABberlaku teorema Pythagoras sehingga AB2 = OB2 – r2 AB = 102 - 62 = 100 - 36 = 64 = 8 Jadi, panjang AB adalah 8 cm. Garis Singgung Lingkaran 159b. Luas ΔOAB = 1 × OA × AB 2 = 1 ×6×8 2 = 24 Jadi, luas ΔOAB adalah 24 cm2Uji Kompetensi 7.1Kerjakanlah soal-soal berikut. 2. Perhatikan gambar berikut.1. Lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran berikut ini. a. OOPb. Q B O A Jari-jari lingkaran 6 cm dan panjang garis singgung AB 8 cm. Tentukan jarak titik pusat O ke titik B. 3. Jari-jari lingkaran yang berpusat di titik O adalah 2 cm. Titik T terletak di luar lingkaran dan berjarak 7 cm dari pusat lingkaran. Hitunglah panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik T. 4. Perhatikan gambar berikut.c. O 26 cm B O 10 cm A Hitung panjang garis singgung AB. R 5. Sebuah lingkaran yang berpusat di O memiliki jari- jari r. Jarak titik pusat ke titik P yang terletak di luar lingkaran adalah r + 8. Jika panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik P adalah 12 cm, tentukan panjang jari-jari r dan jarak O ke P B. Garis Singgung Dua Lingkaran Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran.160 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIIIDengan demikian, garis singgung O Ppersekutuan dapat diartikan sebagaigaris yang tepat menyinggung dualingkaran.1. Kedudukan Dua lingkaranSecara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tigajenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.a. Dua Lingkaran BersinggunganPerhatikan Gambar 7.3[a] k [b] l n A B AP D mC Gambar 7.3 : Dua lingkaran yang bersinggunganGambar 7.3[a] memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan didalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgungpersekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar 7.3[b] memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan diluar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgungpersekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu ldan m.b. Dua Lingkaran BerpotonganDua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 7.4mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s. rA B D sCGambar 7.4 : Dua lingkaran yang berpotongan.c. Dua Lingkaran Saling LepasGambar 7.5 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau terpisah.Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis persekutuan luar, yaituk dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m dan n. n m k B A D Garis Singgung Lingkaran 161 C l Gambar 7.5 : Dua lingkaran yang saling lepas.2. Garis Singgung Persekutuan Luar a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jari- jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut. Rr PQ 1] Langkah 1 Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r [r < R]. Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya. R r P QPlus + 2] Langkah 2 Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q denganGaris yang menghubung- jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehinggakan pusat lingkaran A dan berpotongan di titik M dan N.pusat lingkaran B, yaitu ABdisebut garis sentral dari Mkedua lingkaran tersebut danmerupakan sumbu simetri. Rr PQ N 3] Langkah 3 Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T. M Rr P TQ N162 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII4] Langkah 4 Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT. M R r P TQ N5] Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R – r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B. M A r PR TQ B6] Langkah 6 NHubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang keduagaris tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titikC dan D. M C r TQ A PR B D N Garis Singgung Lingkaran 1637] Langkah 7 Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F. C A E PR r TQ B F D 8] Langkah 8 Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. C E r A TQ PR B F D b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Perhatikan gambar berikut ini. A lB RS lr P kQPlus + • Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yangJika garis sejajar dipotong berpusat di P dan Q.oleh sebuah garis lain • R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama.maka pasangan sudut-sudut yang sehadap sama r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaranbesar kedua. • l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB. • k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. • SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l. Panjang SP = AP – BQ = R – r. • AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ [sehadap]164 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII• Sekarang, perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa SoMluasitematika menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ. ∆SPQ siku-siku di S sehingga Diketahui dua buah PQ2 = SQ2 + SP2 lingkaran dengan pusat SQ2 = PQ2 – SP2 A dan B dengan panjang l2 = k2 – [R – r] ; R > r jari-jari masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = l = k2 – [R – r ]2 13 cm maka panjang garisJadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah: singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut l = k2 – [R – r]2 , untuk R > r adalah .... a. 5 cmdengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar b. 6 cm k = jarak kedua titik pusat lingkaran c. 12 cm R = jari-jari lingkaran pertama d. 15 cm r = jari-jari lingkaran kedua Jawab: Kedua lingkaran pada soal dapat digambarkan sebagai berikut.ContSoohal 7.2 l A 7 cm 2 cmPada gambar di samping, AB adalah B A 13 cm Bgaris singgung persekutuan luar dualingkaran yang berpusat di P dan Q. 7 cm 13 cm 2 cm R = 7 cmHitunglah panjang AB. P Q r = 2 cm k = 13 cmJawab : Panjang garis singgungDari gambar diperoleh: persekutuan luar keduajarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm, lingkaran [l] adalahpanjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm,panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm, l = k - [R - r]2panjang garis singgung persekutuan luar = l. = 132 - 7 - 2 2 = 132 - 52l = k2 - [ R– r ]2 = 169 +25= 172 – [25 – 17]2 = 144 = 12= 172 - 82 Jawaban: c Soal UN, 2007 = 289 – 64 = 15 cmJadi, panjang garis singgung l adalah 15 cmContSoohal 7.3 A B O PPada gambar di samping, lingkaran O berjari-jari7 cm dan lingkaran P berjari-jari 5 cm. Tentukanpanjang garis singgung persekutuan luar AB.Jawab :Dari soal diketahui:AO = R = 7 cmBP = r = 5 cmKedua lingkaran bersinggungan di luar sehinggajarak kedua titik pusat lingkaran adalah. Garis Singgung Lingkaran 165Plus + OP = R + r = 7 + 5 = 12 cm makaPada bentuk akar berlakusifat: AB = [OP]2 – [R – r]2 = 122 – [7 – 5]2 a +b = a  b ; = 122 – 22a ≥ 0 dan b ≥ 0 = 144 – 4 = 140 = 2 35 Jadi, panjang garis singgung AB adalah 2 35 cm 3. Garis Singgung Persekutuan Dalam a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini. 1] Langkah 1 Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masing- masing R dan r [r < R], kemudian hubungkan kedua titik pusatnya. R r P Q 2] Langkah 2 Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang panjangnya sama dan harus lebih besar dari 1 PQ sehingga berpotongan 2 di titik M dan N. M R r P Q N 3] Langkah 3 Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.166 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIIIM R rP TQ N4] Langkah 4 Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT. M P TQ N5] Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B. APT Q B6] Langkah 6 Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D. Garis Singgung Lingkaran 167A C P Q D B7] Langkah 7 • Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E. • Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F. A C F P Q D E B8] Langkah 8 Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. C F PT Q D E168 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIIIb. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan DalamPerhatikan gambar berikut ini. S Ad Tugas 7.1 R Pernahkah kamu melihat d gerhana bulan? Tahukah kamu saat terjadi gerhana P kQ bulan, posisi antara Matahari r dan Bumi ini membentuk dua garis singgung B persekutuan. Sekarang, carilah informasi [gambar]• Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran mengenai kedudukan yang berpusat di P dan di Q. Matahari dan bumi saat ter- jadi gerhana bulan.• R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran Kemudian, coba kamu hitung pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau panjang garis lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r. singgung persekutuan itu• d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB.• k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.• SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang SQ = panjang AB = d.• Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚.• Sekarang perhatikan ΔPSQ. Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ = 90˚maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ. PQ2 = PS2 + SQ2 SQ2 = PQ2 – PS2 d2 = k2 – [R + r]2 d = k2 - [R+ r]2Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah d = k2 - [R+ r]2dengan:d = panjang garis singgung persekutuan dalamk = jarak kedua titik pusat lingkaranR = jari-jari lingkaran pertamar = jari-jari lingkaran keduaContSoohal 7.4Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garissinggung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titikpusatnya adalah 30 cm. Garis Singgung Lingkaran 169Problematika Jawab : Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut. A B 14 cm 30 cm Q2r P 4 cm rO PHitunglah keliling dan luas Diketahui k = 30 cmpersegipanjang jika R = 14 cmdiketahui panjang garis r = 4 cmsinggung persekutuan luar AB= 3 2 cm.SoMluasitematika sehingga d = k2 – [R + r]2 = 302 – [14 + 4]2A = 302 – 182 = 900 – 324 OB = 576 Q = 24Panjang PQ = 20 cm, Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cmAB = 25 cm, danAP = 9 cm. Perbandingan ContSoohal 7.5luas lingkaran yangberpusat di A dengan luas Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titiklingkaran yang berpusat di pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm,B adalah .... tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.a. 3 : 2 Jawab :b. 5 : 3 Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm.c. 9 : 4 Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.d. 9 : 7 Panjang jari-jari [R] salah satu lingkaran adalah 3 cm maka R = 3 cm.Jawab: d = k2 – [R + r]2 15 = 172 – [3 + r]2PQ = AB2 - AP + BQ 2 152 = 172 – [3 + r]2PQ2 = AB2 - AP + BQ 2 225 = 289 – [3 + r]2202 = 252 - 9 + BQ]2 [3 + r]2 = 289 – 225400 = 625 - 9 + BQ]2 [3 + r]2 = 64 9 + BQ 2 = 15 3+r =8BQ = 6 r =8–3LA : LB Jawaban: c r =5prA2 : prB2 Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cmp92 : p62 Soal UAN, 200381p: 36p 4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua9:4 Lingkaran Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau terlalu pendek?170 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIIIJika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dualingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuanluar. Perhatikan gambar berikut ini. RA B S αP r C Q T 360˚ – α D Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka besar Problematikasudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚. Kenapa demikian?Tahukah kamu alasannya? Gambar berikut ini adalah penampang sepuluh buah Berdasarkan uraian di atas, dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal paralon yang akan diikatuntuk menghubungkan dua lingkaran. dengan menggunakan tali. Berapakah panjang tali Oleh karena AB = CD maka terpendek agar dapat mengikat paralon- [ paralon itu jika diameter [ paralon 21 cm? [[ Panjang sabuk lilitan minimal = 2AB + ASC + BTDDengan, AB = [PQ]2 – [R – r]2 ASC = a ˚ × 2� R BTD 360˚ = 360˚–a ˚ × 2 � r 360˚ContSoohal 7.6Dua buah pipa air dengan jari-jari yang sama, yaitu P Q21 cm akan diikat menggunakan seutas kawat. A BBerapa panjang kawat minimal yang dibutuhkan? RJawab :Jari-jari = 21 cm sehingga R = r = 21 cm [ [ [PQ = RS = AB dan PS = QR Smaka panjang kawat minimal untuk mengikatdua pipa air, misalkan x, adalahx = 2AB + 2 PS 180˚  = 2 × [21 + 21] 360˚  + 2 × × 2 × 22 × 21 7 1  = 2 × 42 + 2 × 2 ×2 × 22 ×3  = 84 + 132 = 216Jadi, panjang kawat terpendek yang diperlukan adalah 216 cm Garis Singgung Lingkaran 171ContSoohal 7.7 Gambar di samping menunjukkan penampang 3 buah paralon yang terikat rapat oleh seutas tali. Jika ketiga paralon tersebut memiliki ukuran jari- jari yang sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali pengikatnya. Jawab : Jari-jari = r = 14 cm. PQ = RS = TU = MN = NO = MO = 2r = 2 × 14 = 28 cm ΔMNO sama sisi, sehingga MNO = MON OMN = 60˚ QNR = SOT =  PMU = 360˚ [MNQ + MNO + RNO] = 360˚ [90˚ + 60˚ + 90˚] A = 360˚ 240˚ = 120˚ QR = ST = PU = 120˚ × 2 p r 360˚ [ [ [ [[ [ [ = 1 × 2 × 22 ×14 = 88 cm P U 37 3 M sehingga x = panjang tali pengikat paralon = PQ + RS + TU + QR + ST + PU Q T O = 3PQ + 3QR B 60˚ SC = 3 × 28 + 3 × 88 N 3 R = 84 + 88 = 172 Jadi, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah 172 cmUji Kompetensi 7.2Kerjakanlah soal-soal berikut. 2. Perhatikan gambar berikut ini.1. Lukislah garis singgung persekutuan luar dan garis PS singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut A α˚ ß˚ B ini. a. RQ OP b. OP Berdasarkan pengamatanmu, jawablah benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut.c. a. AP sejajar BQ P b. panjang PQ = panjang RS O ┴c. PQ RS d. ABadalah sumbu simetri bangun tersebut e. α˚ = ß˚172 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII3. Perhatikan gambar berikut ini. C 6. Perhatikan gambar berikut. D P AB 2r 4r M Panjang AB = 25 cm, AD = 4 cm, dan BC = 11 cm. 5r N Berapakah panjang CD? r4. Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 8 cm dan 7 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 10 Q cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut. Panjang MP = 2r, PQ = 4r, dan MN = 5r. Jika5. Dua lingkaran masing-masing berpusat di titik O dan r = 2 cm, tentukan jarak antara kedua titik pusat P dengan panjang jari-jari 10 cm dan 6 cm. Jika jarak lingkaran dan panjang garis singgung persekutuan kedua titik pusat lingkaran adalah 34 cm, tentukan dalam kedua lingkaran tersebut. panjang garis singgung AB. 7. Tiga buah pipa paralon, akan diikat seperti tampak pada gambar di bawah. Jika jari-jari ketiga paralon A tersebut sama, yaitu 10 cm, tentukan panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat paralon tersebut.OP BC. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam SegitigaPada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran yang Cdikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatusegitiga.1. Lingkaran Luar Segitiga R OQa. Pengertian Lingkaran Luar SegitigaLingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semuatitik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi A P Bsegitiga. Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O.OA = OB = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garissumbu sisi-sisi segitiga.b. Melukis Lingkaran Luar SegitigaTelah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitigaadalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh karena itu, untukdapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbuketiga sisi segitiga tersebut.Perhatikan langkah-langkah berikut.1] Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukislah garis sumbu PQ.2] Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O. Garis Singgung Lingkaran 1733] Hubungkan O dan Q.4] Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR. [1] [2] R R OP QP Q[3] R [4] R O OP QP Q2. Lingkaran Dalam Segitigaa. Pengertian Lingkaran Dalam SegitigaLingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalamsegitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaranmerupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. Gambar berikutmenunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = ORadalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudutsegitiga. C Q RD E O A PF B174 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIIIb. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga Plus +Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis Garis bagi segitiga adalahbagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan garis yang membagiadalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara setiap sudut pada segitigamelukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di menjadi dua sudut yangKelas VII. sama besar. Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga, sebagai berikut.1] Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi P.2] Lukislah garis bagi Q sehingga memotong garis bagi P di titik O.3] Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.4] Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.[1] R [2] RP O Q R Q QP [3] R O [4]PA QP O A Garis Singgung Lingkaran 175Uji Kompetensi 7.3Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Lukislah lingkaran luar dan lingkaran dalam segitiga- 2. Lukislah lingkaran yang melalui titik-titik berikutsegitiga berikut ini. ini.a. a. C ABb. b. Oc. N M c. Rd. Q P d. K L M176 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIIIRangkuman1. Garis singgung lingkaran adalah garis yang l = k2 – [R + r]2 memotong lingkaran tepat di satu titik yang disebut titik singgung lingkaran. d = k2 – [R + r]22. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak di mana: lurus terhadap jari-jari [diameter] yang l = panjang garis singgung persekutuan luar melalui titik singgungnya. d = panjang garis singgung persekutuan dalam k = jarak kedua titik pusat lingkaran3. Dari satu titik pada lingkaran hanya dapat R = jari-jari lingkaran pertama dibuat satu garis singgung. r = jari-jari lingkaran kedua 8. Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang4. Dari satu titik di luar lingkaran dapat dibuat melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat dua garis singgung lingkaran. di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.5. Garis singgung persekutuan adalah garis yang 9. Lingkaran dalam suatu segitiga adalah tepat menyinggung dua lingkaran. lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga dan6. Dari dua lingkaran yang saling lepas dapat berpusat di titik potong ketiga garis bagi sudut dibuat dua garis singgung persekutuan luar segitiga. dan dua garis singgung persekutuan dalam.7. Panjang garis singgung persekutuan luar [l] dan garis singgung persekutuan dalam [d] dapat dicari dengan:• Pabdaab Garis Singgung Lingkaran ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipela- jari?• Setelmahempelajari bab ini, apakah kamu merasa kesulitan memahami materi tertentu? Materi apakah itu?• Kesaapnakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi bab ini? Garis Singgung Lingkaran 177Peta Konsep Lingkaran Garis Singgung mempelajari tentang Lingkaran Hubungan Lingkaran dengan Segitiga terdiri atasPengertian dan Garis Singgung Lingkaran Luar Lingkaran Dalam Sifat Garis Persekutuan Segitiga Segitiga Singgung Garis Singgung Garis Singgung Melukis LingkaranPersekutuan Luar Persekutuan Dalam Luar dan Dalam Segitiga rumus rumusl = k2 – [R – r]2 d = k2 - [R + r]2178 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIIIUji Kompetensi Bab 7A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 4. Perhatikan gambar berikut A1. Garis di bawah ini yang merupakan garis singgung lingkaran adalah .... a. OBb. C Jika panjang OA = 2 cm dan panjang OB = 7 cm maka luas bidang OABC adalah .... a. 4 5 cm2 c. 6 5 cm2 b. 5 5 cm2 d. 7 5 cm2 5. Perhatikan gambar berikut ini.c. Pd. R A M N B2. Perhatikan gambar berikut. S Q Q10 cm 24 cm Dua lingkaran bersinggungan seperti tampak pada O gambar. Panjang AP = 15 cm, panjang BR = 10 cm, dan MN = 30 cm. Perbandingan PN dan RN adalah .... P a. 3 15 : 2 b. 15 : 3 2 c. 2 : 3 15 d. 3 2 : 15 6. Perhatikan gambar berikut Panjang OP adalah .... Kedua lingkaran pada gambar di atas memiliki ... a. 16 cm a. satu garis singgung persekutuan luar dan satu b. 26 cm c. 34 cm garis singgung persekutuan dalam d. 36 cm b. satu garis singgung persekutuan luar dan dua3. A garis singgung persekutuan dalam OB c. dua garis singgung persekutuan luar dan satuPada gambar, panjang jari-jari OA = 10 cm dan garis singgung persekutuan dalamjarak OB = 26 cm. Luas ΔOAB adalah .... d. dua garis singgung persekutuan luar dan duaa. 120 cm2b. 140 cm2 garis singgung persekutuan dalamc. 160 cm2d. 180 cm2 Garis Singgung Lingkaran 179  7. B 11. Perhatikan gambar berikut ini. C A A OR SP B D Panjang OA = 4 cm, panjang BP = panjang RS = 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam Pada gambar tersebut, panjang jari-jari AD = 8 cm, AB adalah .... panjang jari-jari BC = 3 cm, dan jarak AB = 13 cm. Luas trapesium ABCD adalah .... a. 2 7 a. 46 cm2 b. 56 cm2 b. 3 7 c. 66 cm2 c. 4 7 d. 76 cm2 d. 5 7 12. Perhatikan gambar di bawah ini.  8. Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 2 cm dan 10 cm. Panjang garis singgung C persekutuan luarnya adalah 15 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran adalah .... D a. 13 cm 3,5 cm b. 17 cm c. 23 cm A 8 cm B d. 17 cm 1,5 cm  9. Perhatikan gambar berikut ini. EP AB Q Panjang AD = 3,5 cm, panjang BE = 1,5 cm, dan jarak AB = 8 cm. Luas ΔABC adalah .... a. 5 39 1S b. 2 39 T 5 Dua lingkaran berpotongan di A dan B. Masing- c. 2 39 masing lingkaran berjari-jari 6 cm dan 8 cm. Jika panjang AB = 4 cm maka panjang garis singgung d. 3 39 ST adalah .... 2 13. Perhatikan gambar berikut.a. 3 5 P 11 cmb. 4 5c. 3 6 A 20 cm B 5 cm d. 4 610. C Q FE Panjang garis singgung persekutuan dalam adalahA B .... D a. 12 cm b. 14 cm Pada gambar di atas, D merupakan titik singgung. c. 16 cm Panjang A = 10 cm, BE = 6 cm, dan BC = 10 cm. d. 18 cm Panjang CD dan AC masing-masing adalah .... 14. Dua lingkaran berjari-jari 15 cm dan 9 cm. Jarak a. 6 cm dan 41 cm terdekat kedua sisi lingkaran tersebut adalah 16 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua b. 8 cm dan 2 41 cm lingkaran tersebut adalah .... a. 32 cm c. 10 cm dan 3 41 cm b. 34 cm c. 36 cm d. 12 cm dan 4 41 cm d. 38 cm180 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII15. Perbandingan jari-jari dua lingkaran adalah 1 : 2. 19. Gambar di bawah ini adalah penampang 10 buah gelas Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua berbentuk tabung dengan jari-jari 10 cm. Panjang lingkaran tersebut adalah 12 cm dan jarak antara tali minimal yang diperlukan untuk mengikat kedua pusatnya 15 cm. Panjang jari-jari masing- gelas-gelas tersebut dengan susunan seperti dalam masing lingkaran adalah .... gambar adalah .... a. 2 cm dan 4 cm b. 3 cm dan 6 cm a. 261,8 cm c. 4 cm dan 8 cm b. 262,8 cm d. 5 cm dan 10 cm c. 261,6 cm d. 262,6 cm16. Diketahui dua lingkaran yang masing-masing ber- 20. Lingkaran luar segitiga diperlihatkan oleh gambar jari-jari r dan r + 1. Panjang garis singgung per- .... sekutuan dalam dua lingkaran tersebut adalah a. 3r. Jika jarak kedua titik pusat lingkaran adalah 15 cm maka panjang r adalah .... b. a. 3 cm b. 4 cm c. 5 cm d. 6 cm17. Gambar berikut merupakan penampang lintasan lari di sebuah gelanggang olahraga. Pihak pengelola berencana untuk memasang pagar di sekeliling lintasan. Jika ongkos untuk memasang pagar adalah Rp140.000,00 per meter maka jumlah uang minimal yang harus disediakan adalah .... 140 m 100 m a. Rp81.200.000,00 c. b. Rp82.200.000,00 d. c. Rp83.200.000,00 d. Rp84.200.000,0018. Gambar berikut ini adalah penampang 6 buah kaleng cat yang berbentuk tabung dan berjari- jari 14 cm. Panjang tali terpendek yang dibutuhkan untuk mengikat keenam kaleng cat tersebut adalah ....a. 256 cm B. Kerjakanlah soal-soal berikutb. 258 cmc. 260 cm 1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 20 cm dan 10d. 262 cm cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran itu 50 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalamnya. 2. Dua lingkaran yang berpusat di P dan Q terpisah sejauh 25 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran tersebut 34 cm. Jika diketahui jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah 4 cm, hitunglah jari-jari lingkaran dengan pusat Q. Garis Singgung Lingkaran 1813. Perhatikan gambar berikut. B P r R Q A Panjang PQ = 24 cm, AB = 30 cm dan AP = 10 cm. 5. Lukislah lingkaran dalam dan lingkaran luar dari Hitunglah perbandingan luas lingkaran yang ber­pusat sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 5 cm. di A dengan luas lingkaran yang berpusat di B.4. Lima buah pipa disusun seperti gambar berikut. Jika diameter pipa itu 20 cm, berapakah panjang tali minimal untuk mengikat lima pipa itu.

182 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII

Video yang berhubungan