Pada batang homogen yang panjang dan beratnya L dan 120 N digantungkan beban seberat 500 N

BAB VI

KESEIMBANGAN DAN DINAMIKA BENDA TEGAR

PILIHAN GANDA

Suatu gaya F dikerjakan pada suatu batang homogen horizontal seperti ditunjukkan pada diagram di bawah ini. Pernyataan yang benar untuk momen pada batang terhadap titik poros P karena gaya ini adalah …

1. \[ F\left[ \sin { \theta } \right] d \]
2. \[ F\left[ \sin { \theta } \right] \frac { d }{ l } \]
3. \[ F\frac { d }{ l } \]
4. \[ F\left[ \cos { \theta } \right] d \]
5. \[ F\left[ \cos { \theta } \right] \frac { d }{ l } \]

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Gaya F sesuai gambar.

Ditanyakan :

Gaya yang benar ?

Jawaban :

\[ \tau =r.f\\ \tau =f\left[ \sin { \theta } \right] d \]

Gaya F1, F2, F3, dan F4 bekerja pada batang ABCD seperti gambar. Jika massa batang diabaikan, maka nilai momen gaya pada titik A adalah …

1. 15 m.N
2. 18 m.N
3. 53 m.N
4. 63 m.N
5. 68 m.N

Jawaban :

Jawaban : Tidak Ada

Diketahui :

F1 = 10N

F2 = 4 N

F3 = 5 N

F4 = 4 N

AB = 2 m

BC = 1 m

CD = 3 m

Ditanyakan :

Momen gaya A= …?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =\sum { r } .f\\ \sum { \tau } =\left[ -4.2 \right] +\left[ 5.3 \right] +\left[ -4.6 \right] \\ \sum { \tau } =-17m.N \]

Sebuah sistem dua roda seporos bebas berotasi terhadap sumbu tanpa gesekan melalui pusat bersama roda dan tegak lurus terhadap bidang kertas. Empat gaya di kerjakan dalam arah tangensial terhadap tepi-tepi roda, seperti pada gambar. Besar momen resultan pada sistem terhadap sumbu adalah …

Jawaban :

Jawaban : Tidak Ada

Diketahui :

Gaya = F, 3F, 2F, dan 2F

Jari-jari = 2R dan 3R

Ditanyakan :

Momen resultan = …?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =\sum { r } .f\\ \sum { \tau } =\left[ -3f.3r \right] +\left[ 2f.2r \right] +\left[ 2f.3r \right] +\left[ f.3r \right] \\ \sum { \tau } =4fr \]

Sebuah gaya 8k N bekerja pada O, titik sistem koordinat. Torsi terhadap titik [-2,1] adalah …

1. -8[i-2j]
2. -8[2i-j]
3. 8[i-2j]
4. 8[4i-+2j]
5. 8[i+2j]

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Gaya = 8kN

Ditanyakan :

Torsi [-2,1]= …?

Jawaban :

\[ \tau =f.r\\ \tau =\left[ -2i+j \right] 8\\ \tau =-8\left[ 2i-j \right] \]

Momen inersia suatu benda yang berputar bergantung pada :
1. Massa
2. Ukuran
3. Sumbu rotasi
4. Kecepatan sudut

Pernyataan yang benar adalah …

1. 1,2,dan 3
2. 1 dan 3
3. 2 dan 4
4. 4 saja
5. semuanya benar

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Momen inersia benda berputar.

Ditanyakan :

Pernyataan yang benar = …?

Jawaban :

Momen inersia = I

I = kmr2

Dengan :

m = massa benda

r = jari – jari sumbu rotasi

k = nilai [bergantung pada bentuk benda]

Batang AB massa 2 kg di putar melalui titik A ternyata momen inersianya 8 kgm2. Jika diputar melalui titik pusat O [AO=OB], momen inersianya menjadi … [UN 2008]

1. 2 kg m2
2. 4 kg m2
3. 8 kg m2
4. 12 kg m2
5. 16 kg m2

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Massa = 2 kg

momen inersia = 8 kgm2

Ditanyakan :

momen inersia akhir = …?

Jawaban :

\[ I1=\frac { 1 }{ 3 } { ml }^{ 2 }\\ 8=\frac { 1 }{ 3 } { .2.l }^{ 2 }\\ { l }^{ 2 }=12\\ I2=\frac { 1 }{ 12 } { Ml }^{ 2 }\\ I2=\frac { 1 }{ 12 } .2.12\\ I2=2㎏{ m }^{ 2 } \]

Jika momen inersia sebuah bola terhadap suatu sumbu melalui pusat bola adalah I, maka momen inersia bola lainnya yang sejenis tetapi jari-jari dua kalinya adalah … [US Olympiad Physics Team 2007]

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Momen inersia = I

R2=2R1

Ditanyakan :

momen inersia akhir = …?

Jawaban :

\[ \frac { I1 }{ I2 } =\frac { \frac { 2 }{ 5 } { mR1 }^{ 2 } }{ \frac { 2 }{ 5 } m{ R2 }^{ 2 } } \\ \frac { I1 }{ I2 } =\frac { { R1 }^{ 2 } }{ { R2 }^{ 2 } } \\ \frac { I1 }{ I2 } =\frac { { R }^{ 2 } }{ { \left[ 2R \right] }^{ 2 } } \\ \frac { I1 }{ I2 } =\frac { { R }^{ 2 } }{ { 4R }^{ 2 } } \\ I2=4㎏ \]

Tiga partikel identik diikat keujung-ujung sebuah segitiga siku-siku sama kaki oleh batang-batang penghubung tak bermassa. Kedua sisi yang sama memiliki panjang a. Momen inersia benda tegar ini untuk sumbu rotasi berimpit dengan hipotenusa[sisi miring] segitiga adalah …

1. \[ \frac { 1 }{ 4 } { ma }^{ 2 } \]
2. \[ \frac { 1 }{ 2 } { ma }^{ 2 } \]
3. \[ \frac { 3 }{ 4 } { ma }^{ 2 } \]
4. \[ { a }^{ 2 } \]
5. \[ \frac { 3 }{ 2 } { ma }^{ 2 } \]

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Tiga partikel

Panjang dua sisi = a

Ditanyakan :

Momen inersia sisi miring = …?

Jawaban :

Sisi segitiga = a

Sisi miring segitiga = a√2

r = 1/2 a√2

Jadi :

Momen inersia terhadap sisi miring adalah :

I = m r²

I = m [1/2 a√2]²

I = 1/2 m a²

Sebuah cakram melingkar homogen dengan jari-jari R mulai dengan massa M terhadap suatu sumbu melalui pusat cakram dan tegak lurus terhadap bidang cakram, momen inersia Io=1/2MR. Suatu lubang dipotong dalam cakram seperti ditunjukkan dalam diagram. Momen inersia yang di hasilkan benda terhadap sumbu seperti pada gambar adalah … [US Olympiad Physics Team 2010]

1. [15/32] MR2
2. [13/32] MR2
3. [3/8] MR2
4. [9/32] MR2
5. [15/16] MR2

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Io = 1/2MR

Ditanyakan :

Momen inersia sumbu = …?

Jawaban :

\[ \frac { M }{ { M }^{ 2 } } =\frac { { R1 }^{ 2 } }{ R{ 2 }^{ 2 } } \\ \frac { { R }^{ 2 } }{ { \left[ \frac { 1 }{ 2 } R \right] }^{ 2 } } =\frac { { R }^{ 2 } }{ \frac { 1 }{ { 4R }^{ 2 } } } \\ M2=\frac { 1 }{ 4 } M\\ I=Io-IR\\ I=\frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 4 } M{ \left[ \frac { 1 }{ 2 } R \right] }^{ 2 }\\ I=\frac { 15 }{ 32 } { MR }^{ 2 } \]

Sebuah katrol dari benda pejal dengan tali yang dililitkan pada sisi luarnya ditampilkan seperti pada gambar. Gesekan katrol dengan tali dan gesekan di sumbu putarnya diabaikan. Jika beban bergerak turun dengan percepatan tetap a m/s2, maka nilai momen inersia katrol sama dengan … [UN 2010]

1. \[ I=\tau \alpha {R} \]
2. \[ I=\tau { \alpha }^{ -1 }R \]
3. \[ I=\tau \alpha {R} \]
4. \[ I=\tau { \alpha }^{ -1 }{ R }^{ -1 } \]
5. \[ I=\tau { \alpha }{ R }^{ -1 } \]

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Gesekan katrol dengan tali dan gesekan di sumbu putarnya diabaikan

percepatan tetap a m/s2

Ditanyakan :

Momen inersia katrol = …?

Jawaban :

\[ \tau =I\alpha \\ \tau =\frac { I\alpha }{ R } \\ I=\tau { \alpha }^{ -1 }R \]

Sebuah katrol pejal bermassa [M] dan jari-jari [R] seperti pada gambar. Salah satu ujung tali tak bermassa dililitkan pada katrol, ujung tali yang lain digantung beban m kg. Percepatan sudut katrol jika beban di lepas. Jika pada katrol ditempelkan platisin A yang bermassa ½ M, untuk menghasilkan percepatan sudut yang sama maka massa beban harus di jadikan … [I katrol = ½ MR2] [UN 2009]

1. \[ \frac { 3 }{ 4 } m㎏ \]
2. \[ \frac { 3 }{ 2 } m㎏ \]
3. \[ 2m㎏ \]
4. \[ 3m㎏ \]
5. \[ 4m㎏ \]

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Beban = m kg

I katrol = ½ MR2

Ditanyakan :

Massa supaya percepatan sama = …?

Jawaban :

\[ \frac { M1.L }{ M2.L } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 }\alpha }{ \frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 3 }{ 2 } M \right] { R }^{ 2 }\alpha } \\ M2=\frac { 3 }{ 2 } M㎏ \]

Sebuah bagang bermassa 2M dan panjang L dibubungkan ke dinding oleh sebuah engsel, dimana batang bebas berotasi. Seutas tali mendatar yang di hubungkan ke ujung batang menahan batang pada sudut teta terhadap arah vertikal, seperti ditunjukkan dalam gambar. Jika tiba-tiba tali putus maka percepatan sudut yang di alami batang adalah …

1. \[ \frac { g\left[ \sin { \theta } \right] }{ 2L } \]
2. \[ \frac { 3g\left[ \sin { \theta } \right] }{ 2L } \]
3. \[ \frac { g\left[ \tan { \theta } \right] }{ 2L } \]
4. \[ \frac { g\left[ \cos { \theta } \right] }{ 2L } \]
5. \[ \frac { 3g\left[ \cos { \theta } \right] }{ 2L } \]

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

Massa = 2M

Panjang = L

Ditanyakan :

Percepatan sudut = …?

Jawaban :

\[ \tau =I\alpha \\ L.F.\cos { \theta } =\frac { 1 }{ 3 } .{ 2ml }^{ 2 }.\alpha \\ \alpha =\frac { \left[ 3g\cos { \theta } \right] }{ 2L } \]

Pada sebuah roda gila yang momen inersianya 4,0 kg m2 dikerjakan momen 50m.N. enam sekon setelah mulai berotasi pada kecepatan sudut 40 rad/s roda gila telah menempuh putaran sejauh …

1. 225 rad
2. 315 rad
3. 465 rad
4. 545 rad
5. 3053 rad

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

momen inersia = 4,0 kg m2

momen = 50m.N

t =6 sekon

kecepatan sudut = 40 rad/s

Ditanyakan :

Putaran = …?

Jawaban :

\[ \tau =I\alpha \\ 50=4\alpha \\ \alpha =12,5\\ \theta =W.t+\frac { 1 }{ 2 } \alpha { t }^{ 2 }\\ \theta =40.6+\frac { 1 }{ 2 } .12,5.{ 6 }^{ 2 }\\ \theta =465rad \]

Sebuah roda sepeda dengan jari-jari 0,3 m dapat berotasi terhadap sumbu tetap. Momen inersia roda terhadap sumbu itu adalah 0,5 kgm2. Sebuah gaya konstan 2,0 N dikerjakan secara tangensial pada pelek roda selama 0,6 s. Roda mulai bergerak dari keadaan diam. Setelah 0,6 s kecepatan sudut roda adalah …

1. 0,12 rad/s-1
2. 0,36 rad/s-1
3. 0,48 rad/s-1
4. 0,72 rad/s-1
5. 1,2 rad/s-1

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

Jari-jari = 0,3 m

Momen inersia = 0,5 kgm2

Gaya konstan = 2,0 N

Waktu = 0,6 s

Ditanyakan :

Kecepatan sudut roda setelah 0,6s= …?

Jawaban :

\[ \tau =I\alpha \\ R.F=I\alpha \\ 0,3.2=0,5.\alpha \\ \alpha =1,2\\ W=Wo+\alpha t\\ W=0+1,2.0,6\\ W=0,72㎮ \]

Perhatikan sistem katrol seperti pada gambar di bawah. Katrol berbentuk lempeng pejal homogen bermassa M dan berjari-jari 2R serta beban bermassa 2M diikat pada ujung tali tanpa massa yang dililitkan pada katrol dan semua gesekan di abaikan. Sistem dilepas sehingga bergerak dari keadaan diam. Percepatan sudut rotasi katrol dinyatakan dalam percepatan gravitasi g besarnya …

1. \[ \frac { g }{ 3R } \]
2. \[ \frac { g }{ 2R } \]
3. \[ \frac { 2g }{ 3R } \]
4. \[ \frac { g }{ R } \]
5. \[ \frac { 2g }{ R } \]

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

Massa = M dan 2M

Jari-jari = 2R

Ditanyakan :

Percepatan sudut rotasi katrol = …?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =I\alpha \\ 2M.g2R=\frac { 1 }{ 2 } M{ \left[ 2R \right] }^{ 2 }\alpha \\ \alpha =\frac { 2g }{ R } \]

Sistem katrol seperti gambar di bawah, katrol berupa silinder pejal homogen yang dapat berotasi tanpa gesekan terhadap sumbunya yang tetap. Massa beban m1=m, massa katrol M= 2m, massa beban m2= 3m dan diameter katrol d. Jika percepatan gravitasi g dan sistem bergerak tanpa pengaruh gaya luar, percepatan sudut rotasi katrol sebesar … [UM-UGM 2008]

1. 2g/5d
2. 3g/5d
3. 4g/5d
4. 6g/5d
5. g/d

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

m1 = m

M= 2m

m2= 3m

diameter katrol = d

Ditanyakan :

Percepatan sudut rotasi katrol = …?

Jawaban :

\[ T1=mr\alpha \\ T2=3mr\alpha \\ R=\frac { 1 }{ 2 } d\\ \sum { f } =m.a\\ \left[ 3mg \right] -T1-T2=m.a\\ \left[ 3mg \right] -mr\alpha -3mr\alpha =mr\alpha \\ \alpha =\frac { 6g }{ 5d } \\ \]

Sebuah bola [massa m1= 3kg] dan sebuah balok [massa m2= 2kg] dihubungkan dengan sebuah tali [massa di abaikan] melalui sebuah katrol [jari-jari R= 20 cm dan momen inersia I= 0,5 kgm2] seperti tampak pada gambar. Kedua benda bergerak dengan kecepatan v dan balok bergerak tanpa ada gesekan dengan lantai. Percepatan linear kedua benda adalah … [SIMAK-UI 2010]

1,1 m/s2
1,4 m/s2
1,7 m/s2
2,3 m/s2
2,8 m/s2

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

m1 = 3 kg

m2 = 2 kg

R = 20 cm

I= 0,5 kgm2

Ditanyakan :

Percepatan linear kedua benda ?

Jawaban :

\[ I={ MR }^{ 2 }\\ M=\frac { I }{ { R }^{ 2 } } \\ M=\frac { 0,5 }{ { 0,2 }^{ 2 } } \\ M=12,5\\ T1=m1.r.\alpha \\ T2=m2.r.\alpha \\ \sum { f } =\left[ m1+m2+m \right] .a\\ m1.g-T1-T2=\left[ m1+m2+m \right] .a\\ m1.g-m1.a+m2.a=\left[ m1+m2+m \right] .a\\ 3.10-3a+2a=\left[ 3+2+12,5 \right] .a\\ a=1,6 \]

Untuk suatu benda tegar dapat dipenuhi hal berikut :
1. Energi kinetik rotasinya bergantung pada letak poros putarnya
2. Pusat massa benda mungkin terletak di luar benda
3. Energi kinetik rotasinya bergantung pada bentuk benda
4. Dengan massa, jari-jari, dan kecepatan putar yang sama, silinder berongga akan memiliki energi kinetik lebih kecil dibandingkan dengan silinder pejal

Pernyataan yang benar adalah …

1. 1,2, dan 3
2. 1 dan 3
3. 2 dan 4
4. 4 saja
5. Semuanya benar

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Benda tegar

Ditanyakan :

Pernyataan yang benar = …?

Jawaban :

\[ EKrotasi=\frac { 1 }{ 2 } { I\omega }^{ 2 } \]

Sehingga 1 dan 3 benar, 2 dan 4 salah.

Tersedia dua bidang miring identik. Bidang yang pertama permukaann miringnya kasar, sedangkan bidang yang kedua permukaan miringnya dianggap licin. Dalam percobaan pertama bola pejal dengan jari-jari R dilepaskan dari puncak bidang miring kasar sedangkan dalam peecobaan kedua dilepaskan dari puncak bidang miring licin. Rasio kelajuan bola di dasar bidang miring dalam percobaan pertama dan percobaan kedua adalah …

1. 1
2. \[ \sqrt { \frac { 3 }{ 5 } } \]
3. \[ \sqrt { \frac { 2 }{ 7 } } \]
4. \[ \sqrt { \frac { 2 }{ 3 } } \]
5. \[ \sqrt { \frac { 5 }{ 7 } } \]

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Bidang miring kasar dan licin.

Ditanyakan :

Rasio kelajuan pertama dan kedua = …?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =I\alpha \\ RF=\frac { \frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 }a }{ r } \\ F=\frac { 1 }{ 2 } ma……\left[ 1 \right] \\ Bidang\quad licin:\\ \sum { fx } =ma\\ mg\sin { \theta } -f=ma\\ f=mg\sin { \theta } -ma…..\left[ 2 \right] \\ Dari\quad \left[ 1 \right] \quad dan\quad \left[ 2 \right] \quad :\\ a=\frac { 2 }{ 3 } g\sin { \theta } \]

\[ { v }^{ 2 }={ vo }^{ 2 }+2as\\ { v }^{ 2 }=0+\frac { 2\left[ 2g\sin { \theta } \right] }{ 3 } s\\ { v }^{ 2 }=\frac { 20\sqrt { 2 } }{ 3 } s\\ Bidang\quad kasar:\\ \sum { fx } =ma\\ mg\sin { \theta } -f-\mu rmg\cos { \theta } =ma\\ f=mg\sin { \theta } -\mu rmg\cos { \theta } -ma…\left[ 3 \right] \\ Dari\quad \left[ 1 \right] dan\left[ 3 \right] :\\ a=\frac { 2 }{ 3 } \left[ g\sin { \theta -\mu rg\cos { \theta } } \right] \\ { v }^{ 2 }=2\left[ \frac { 2 }{ 3 } \left[ g\sin { \theta -\mu rg\cos { \theta } } \right] \right] s\\ { v }^{ 2 }=\frac { 4 }{ 3 } \left[ g\sin { \theta -\mu rg\cos { \theta } } \right] s\\ { v }^{ 2 }=\frac { 4 }{ 3 } \left[ 10.\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } -0,2.10.\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2 } \right] s\\ { v }^{ 2 }=\left[ \frac { 20\sqrt { 2 } }{ 3 } -\frac { 4\sqrt { 2 } }{ 2 } \right] \\ \frac { Vkasar }{ Vhalus } =\sqrt { \frac { 4 }{ 5 } } \]

Sebuah bola tipis berongga bermassa m dan berjari-jari R menggelinding dengan kelajuan linear v sepanjang suatu bidang horizontal tanpa tergelincir. Jika momen inersia bola adalah \[ \frac { 2 }{ 3 } { MR }^{ 2 } \], maka energi kinetik bola adalah …

1. \[ \frac { 1 }{ 6 } { mv }^{ 2 } \]
2. \[ \frac { 1 }{ 3 } { mv }^{ 2 } \]
3. \[ \frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 } \]
4. \[ \frac { 2 }{ 3 } { mv }^{ 2 } \]
5. \[ \frac { 5 }{ 6 } { mv }^{ 2 } \]

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Jari – jari = R

Kelajuan linear = v

Momen inersia = \[ \frac { 2 }{ 3 } { MR }^{ 2 } \]

Ditanyakan :

Energi kinetik bola = …?

Jawaban :

\[ EK=\frac { 1 }{ 2 } { IW }^{ 2 }\\ EK=\frac { 1 }{ 2 } { \left[ \frac { 2 }{ 3 } { MR }^{ 2 } \right] { \left[ \frac { V }{ R } \right] }^{ 2 } }\\ EK=\frac { 1 }{ 3 } { MV }^{ 2 } \]

Sebuah silinder pejal menggelinding menuruni suatu permukaan miring dengan sudut kemiringan terhadap horizontal adalah θ = 37°. Percepatan yang dialami oleh silinder adalah …

1. 2 m/s2
2. 3 m/s2
3. 4 m/s2
4. 5 m/s2
5. 6 m/s2

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Silinder pejal

θ = 37°

Ditanyakan :

Percepatan = …?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =I\alpha \\ RF=\frac { \frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 }a }{ r } \\ F=\frac { 1 }{ 2 } ma….\left[ 1 \right] \\ \sum { fx } =ma\\ mg\sin { \theta } -f=ma\\ f=mg\sin { \theta } -ma…\left[ 2 \right] \\ Dari\quad \left[ 1 \right] dan\left[ 2 \right] \quad :\\ a=4㎨ \]

Sebuah bola pejal dengan jari-jari R dan bermassa m didorong dengan kecepatan awal 3 m/s ke atas sebuah bidang miring yang memiliki kemiringan 300 dengan koefisien gesek kinetik 0,2 dan koefisien gesek statik 0,3. Ketika menaiki bidang miring tersebut, bola selalu menggelinding dan tidak pernah tergelincir. Ketinggian maksimum yang dapat dicapai bola tersebut adalah …

1. 0,06 m
2. 0,32 m
3. 0,64 m
4. 0,92 m
5. 2,32 m

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Bola pejal

Jari – jari = R

Massa = m

Sudut = 30°

Kecepatan awal = 3 m/s

Koefisien gesek kinetik = 0,2

Koefisien gesek statik = 0,3

Ditanyakan :

Ketinggian maksimum = …?

Jawaban :

Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂

½ m v₁² + ½ I ω₁² + m g h₁ = ½ m v₂² + ½ I ω₂² + m g h₂

½ m v₁² + ½ [⅖ m R²] ω₁² + m g h₁ = ½ m v₂² + ½ [⅖ m R²] ω₂² + m g h₂

½ m v₁² + ⅕ m R² ω₁² + m g h₁ = ½ m v₂² + ⅕ m R² ω₂² + m g h₂

½ m v₁² + ⅕ m R² [v₁/R]² + m g h₁ = ½ m v₂² + ⅕ m R² [v₂/R]² + m g h₂

½ m v₁² + ⅕ m v₁² + m g h₁ = ½ m v₂² + ⅕ m v₂² + m g h₂

⁷/₁₀ m v₁² + m g h₁ = ⁷/₁₀ m v₂² + m g h₂

⁷/₁₀ v₁² + g h₁ = ⁷/₁₀ v₂² + g h₂

⁷/₁₀ v₁² + g [0] = ⁷/₁₀ [0]² + g h₂

⁷/₁₀ v₁² = g h₂

⁷/₁₀ × 3² = 9,8 × h₂

⁶³/₁₀ = 9,8 × h₂

h₂ = ⁶³/₁₀ ÷ 9,8

h₂ = ⁹/₁₄

h₂ =0,64 m

Sebuah batang homogen bermassa m dan panjang l diberi engsel pada salah satu ujungnya sehingga batang bebas berotasi. Batang dinaikkan sehingga posisinya horizontal dan kemudian di bebaskan dari keadaan diam sehingga batang berotasi terhadap suatu sumbu dalam bidang vertikal. Kecepatan sudut ketika batang tepat pada posisi vertikal adalah …

Penuntun : ketinggian h untuk energi potensial adalah ketinggian pusat massa batang terhadap acuan.

1. \[ \omega =\sqrt { \frac { 3g }{ l } } \]
2. \[ \omega =\sqrt { \frac { 2g }{ l } } \]
3. \[ \omega =\sqrt { \frac { g }{ l } } \]
4. \[ \omega =\sqrt { \frac { g }{ 2l } } \]
5. \[ \omega =\sqrt { \frac { 2g }{ 3l } } \]

Jawaban :

Jawaban : Tidak Ada

Diketahui :

Batang homogen

Massa = m

Panjang = l

Ditanyakan :

Kecepatan sudut saat batang vertical = …?

Jawaban :

\[ mgh=\frac { 1 }{ 2 } { IW }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { MV }^{ 2 }\\ mgh=\frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ 3 } { ml }^{ 2 }{ w }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } m{ w }^{ 2 }{ l }^{ 2 }\\ w=\sqrt { \frac { 3g }{ 2l } } \]

Sebuah bola bermassa M dan jari-jari R memiliki momen inersia \[ I=\frac { 2 }{ 5 } { MR }^{ 2 } \]. Bola dibebaskan dari keadaan diam dan menggelinding menuruni bidang miring tanpa kehilangan energi karena gesekan. Bola terlempar vertikal ke atas, keluar dari bidang miring seperti ditunjukkan dalam diagram mencapai ketinggian maksimum diatas titik di mana bola meninggalkan bidang. Ketinggian maksimum bola adalah … [US Olympiad Physics Team 2010]

1. h
2. \[ \frac { 25 }{ 49 } h \]
3. \[ \frac { 2 }{ 5 } h \]
4. \[ \frac { 5 }{ 7 } h \]
5. \[ \frac { 7 }{ 5 } h \]

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

\[ I=\frac { 2 }{ 5 } { MR }^{ 2 } \]

Massa = M

Jari – jari = R

Ditanyakan :

Ketinggian maksimum bola = …?

Jawaban :

\[ EP=EK\\ m.g.ymax=\frac { 1 }{ 2 } m{ \left[ \sqrt { \frac { 2gh }{ k+1 } } \right] }^{ 2 }\\ 10.ymax=\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left[ 2.10h \right] }{ \frac { 7 }{ 5 } } \\ ymax=\frac { 5 }{ 7 } h \]

Gambar dibawah ini menunjukkan posisi sesaat dari benda P dan Q yang sedang berotasi dengan kecepatan konstan masing-masing 1 ms-1 dan 3 ms-1 terhadap titik O dalamm arah yang berlawanan. Momentum sudut total P dan Q terhadap O adalah …

1. 6 kg m2 s-1
2. 9 kg m2 s-1
3. 10 kg m2 s-1
4. 12 kg m2 s-2
5. 15 kg m2 s-1

Jawaban :

Jawaban :

Diketahui :

P = 3 kg

Q = 2 kg

Kecepatan P = 1 ms-1

Kecepatan Q = 3 ms-1

Ditanyakan :

Momentum sudut total P dan Q terhadap O = …?

Jawaban :

\[ \sum { L } =I1.W1-I2.W2\\ \sum { L } =M1.{ R1 }^{ 2 }.W1-M2.{ R2 }^{ 2 }.W2\\ \sum { L } =3.5^{ 2 }.1-2.{ 4 }^{ 2 }.3\\ \sum { L } =21㎏{ m }^{ 2 }{ s }^{ -1 } \]

Sebuah mistar yang panjangnya satu meter yang berporos pada titik pusat massanya, terletak pada suatu bidang horizontal licin sehingga ia dapat berotasi secara bebas terhadap poros tersebut. Sebuah partikel bermassa 20 g bergerak pada bidang horizontal itu menuju ke salah satu ujung mistar pada kelajuan 5, 0 m/s dalam arah tegal lurus mistar. Partikel menumbuk dan menempel ke ujung mistar. Partikel dan mistar sebagai satu sistem memiliki momen inersia 0, 02 kg m2 terhadap poros rotasi. Kelajuan sudut awal mistar adalah …

Penuntun : Momentum sudut partikel dihitung dengan rumus L=rmv dengan r adalah jarak partikel ke poros, sedangkan momentum benda pejal dihitung dengan rumus L = I 𝟂

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Massa = 20 g

Momen inersia = 0, 02 kg m2

Kelajuan = 5, 0 m/s

Ditanyakan :

Kelajuan sudut awal mistar = …?

Jawaban :

\[ L1=L2\\ I.W=r.m.v\\ 0,02.W=0,5.0,02.5\\ W=2,5㎮ \]

Pertanyaan 27 dan 28

Satelit S bergerak mengitari planet P dalam suatu orbit elips [lihat gambar].

Nilai perbandingan kelajuan satelit ketika berada di posisi paling dekat A dan di posisi paling jauh B adalah …

1. 1 : 9
2. 1 : 3
3. 1 : 1
4. 3 : 1
5. 9 : 1

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Jarak = r dan 3r

Ditanyakan :

Perbandingan kelajuan A dan B = …?

Jawaban :

\[ \frac { Va }{ Vb } =\frac { \sqrt { \frac { 2gR1 }{ k+1 } } }{ \sqrt { \frac { 2gR2 }{ k+1 } } } \\ \frac { R1 }{ R2 } =\frac { r }{ 3r } \\ \frac { R1 }{ R2 } =\frac { 1 }{ 3 } \]

Nilai perbandingan gaya sentripetal yang dialami satelit s ketika berada di posisi A dan di posisi B adalah …

1. 3 : 1
2. 9 : 1
3. 27 : 1
4. 1 : 27
5. 1 : 9

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

Jarak = r dan 3r

Ditanyakan :

Perbandingan gaya sentripetal A dan B= …?

Jawaban :

\[ \frac { QSA }{ QSB } =\frac { \frac { { Va }^{ 2 } }{ Ra } }{ \frac { { Vb }^{ 2 } }{ Rb } } \\ \frac { QSA }{ QSB } =\frac { \frac { { Va }^{ 2 } }{ R } }{ \frac { { \left[ 3Va \right] }^{ 2 } }{ 3R } } \\ \frac { QSA }{ QSB } =\frac { 1 }{ 27 } \]

Sebuah cincin melingkar tipis m dan jari-jari R diputar terhadap porosnya dengan kecepatan sudut 𝟂. Dua benda masing-masing bermassa M diikat kuat pada ujung-ujung diameter cincin yang saling bersebrangan. Cincin sekarang berputar dengan kecepatan sudut 𝟂’= …

1. \[ \frac { \omega m }{ m+2M } \]
2. \[ \frac { \omega m }{ m+M } \]
3. \[ \frac { 2\omega m }{ m+M } \]
4. \[ \frac { \omega \left[ m-2M \right] }{ m+2M } \]
5. \[ \frac { \omega m }{ m+M } \]

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Jari-jari = R diputar terhadap poros

kecepatan sudut = 𝟂

Ditanyakan :

kecepatan sudut 𝟂’ = …?

Jawaban :

\[ L1=L2\\ LC1=LC2+2Lb\\ \left[ Ic.w1 \right] =\left[ Ic.w2 \right] +2\left[ Ib.w \right] \\ { mr }^{ 2 }w={ mr }^{ 2 }w’+2\left[ Ib.w’ \right] \\ w’=\frac { mw }{ m+2m } \]

Gambar disamping menunjukkan dua benda bermassa 0,5 kg dan 1 kg dihubungkan oleh batang ringan dengan panjang 4m dan diletakkan pada suatu permukaan licin. Sebuah benda P massa 0,5 kg yang bergerak pada kecepatan 4 m/s menumbuk dan menempel ke benda bermassa 0,5 kg dan sistem benda-benda ini berotasi terhadap pusat massa. Kecepatan sudut sistem benda-benda tersebut adalah … [STPM 2005]

1. 0,25 rad/s
2. 0,33 rad/s
3. 0,50 rad/s
4. 1,00 rad/s
5. 1,25 rad/s

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Massa = 0,5 kg, 0,5 kg, dan 1 kg

Jarak = 4 m

Kecepatan = 4 m/s

Ditanyakan :

Kecepatan sudut = …?

Jawaban :

\[ x=\frac { \left[ 0,5+0,5 \right] \left[ 4 \right] +\left[ 1 \right] \left[ 0 \right] }{ \left[ 0,5+0,5 \right] +\left[ 1 \right] } \\ x=2m\\ \left[ \left[ mp+ma \right] { \left[ x \right] }^{ 2 }+\left[ m2 \right] { \left[ x \right] }^{ 2 } \right] w=\left[ mp \right] \left[ vp \right] \left[ x \right] \\ \left[ \left[ 0,5+0,5 \right] { \left[ 2 \right] }^{ 2 }+\left[ 1 \right] { \left[ 2 \right] }^{ 2 } \right] w=\left[ 0,5 \right] \left[ 4 \right] \left[ 2 \right] \\ w=0,5㎮ \]

Dua kabel digunakan untuk menopang massa 9 kg pada batang horizontal dengan panjang 2, 1 m dan massa 21 kg seperti pada gambar. Tegangan tali T dalam kabel kanan adalah …

1. 140 N
2. 165 N
3. 190 N
4. 225 N
5. 300 N

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Massa = 9 kg dan 21 kg

Panjang = 1,2 m dan 0,9 m

Ditanyakan :

Tegangan tali T dalam kabel kanan ?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =0\\ T.2,1-mg.1,2-mg.1,05=0\\ 2,1T-252-94,5=0\\ T=165N \]

Salah satu ujung sebuah tongkat homogen [massa m dan panjang L] tergantung dengan menggunakan tali, dan ujung tongkat lainnya bersentuhan dengan lantai dalam keadaan diam. Saat masih diam, tongkat tersebut membentuk sudut terhadap arah mendatar. Gaya tegangan tali adalah …

1. \[ \frac { 1 }{ 2 } mg \]
2. mg
3. \[ \frac { 1 }{ 2 } mg\sin { \theta } \]
4. \[ \frac { 1 }{ 2 } mg\cos { \theta } \]
5. \[ mg\tan { \theta } \]

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Tongkat homogen

Massa = m

Panjang = L

Ditanyakan :

Gaya tegangan tali = …?

Jawaban :

Σ τ = 0

– T . L cos θ + w. 1/2 L cos θ = 0

T . L cos θ = w . 1/2 L cos θ

T = w . 1/2

T = m g . 1/2

T = 1/2 m g

Sebuah batang 2,8 kg diberi engsel pada salah satu ujungnya yang menopang sebuah balok 0,9 kg. Batang dipegang datar oleh sebuah batang vertikal 1,2 kg yang diam di atas timbangan skala newton pada ujung lainnya, seperti pada gambar. Bacaan yang di tunjukkan skala adalah …

1. 22,0 N
2. 25,5 N
3. 28,7 N
4. 31,9 N
5. 40,0 N

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Batang = 2,8 kg dan 1,2 kg

Balok = 0,9 kg

Ditanyakan :

Bacaan skala = …?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =0\\ -9.0,6-28.1-2.Na=0\\ Na=16,7\\ Yang\quad terbaca;\\ Na+12=16,7+12\\ Na=28,7N \]

Tiga buah balok homogen masing-masing massanya M dan panjangnya l disusun seperti pada gambar. Nilai maksimum agar sistem benda tersebut masih seimbang adalah …

1. \[ \frac { 10l }{ 12 } \]
2. \[ \frac { 13l }{ 12 } \]
3. \[ \frac { 22l }{ 24 } \]
4. \[ \frac { 25l }{ 24 } \]
5. \[ \frac { 50l }{ 48 } \]

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Tiga balok dengan :

Massa = M

Panjang = l

Ditanyakan :

Nilai maksimum agar seimbang = …?

Jawaban :

\[ =\frac { L }{ 2 } +\frac { L }{ 4 } +\frac { L }{ 6 } \\ =\frac { 12L+6L+4L }{ 24 } \\ =\frac { 22L }{ 24 } \]

Batang homogen bermassa m diikat dengan tali-tali A dan B setimbang pada posisi seperti pada gambar dengan tali B horizontal. Nilai tan adalah …[UM-UGM]

1. \[ \frac { 8 }{ 5 } \]
2. \[ \frac { 4 }{ 3 } \]
3. \[ \frac { 1 }{ 2 } \]
4. \[ \frac { 3 }{ 4 } \]
5. \[ \frac { 3 }{ 8 } \]

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

Batang homogen

Massa = m

Tinggni = 20 cm

Panjang = 30 cm

Ditanyakan :

Nilai tan = …?

Jawaban :

\[ \sum { Fy } =0\\ Ta\cos { \theta } =\omega \\ \sum { \tau b } =0\\ Ta\cos { \theta } .30=Ta\sin { \theta } .20+\omega .15\\ Ta\cos { \theta } .30=Ta\sin { \theta } .20+Ta\cos { \theta .15 } \\ Ta\cos { \theta .15 } =Ta\sin { \theta } .20\\ \frac { Ta\sin { \theta } }{ Ta\cos { \theta } } =\frac { 15 }{ 20 } \\ \tan { \theta } =\frac { 3 }{ 4 } \]

Letak titik berat pada gambar adalah …

1. x = 6 cm; y = 4 cm
2. x = 4 cm; y = 6 cm
3. x = 4,3 cm; y = 4 cm
4. x = 4 cm; y = 4,3 cm
5. x = 3 cm; y = 3 cm

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Ukuran : 2 , 3, 4 cm

Ditanyakan :

Letak titik berat = …?

Jawaban :

\[ x=\frac { l1.x1+l2.x2+l3.x3+l4.x4 }{ l1+l2+l3+l4 } \\ x=\frac { 4.2+6.3+6.6+4.6 }{ 4+6+6+4 } \\ x=4,3\\ y=\frac { l1.y1+l2.y2+l3.y3+l4.y4 }{ l1+l2+l3+l4 } \\ y=\frac { 4.5+6.3+6.3+4.6 }{ 4+6+6+4 } \\ y=4 \]

Dari gambar, letak titik berat bidang homogen yang diarsir terhadap sumbu x adalah … [UN 2012]

4,0 cm
3,5 cm
3,0 cm
2,5 cm
2,0 cm

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

Bidang homogen seperti gambar.

Ditanyakan :

Titik berat terhadap sumbu x = …?

Jawaban :

\[ Y=\frac { A1.Y1+A2.Y2 }{ A1+A2 } \\ Y=\frac { 18.1,5+4,5.4 }{ 18+4,5 } \\ Y=2㎝ \]

Benda bidang homogen disamping mempunyai ukuran AB = BC =\[ \sqrt { 13 } ㎝ \] Koordinat titik beratnya terhadap E adalah …

1. [1 : 1,23] cm
2. [1 : 2,17] cm
3. [1 : 2,33] cm
4. [1 : 2,40] cm
5. [1 : 4,67] cm

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

AB = BC =\[ \sqrt { 13 } ㎝ \]

Ditanyakan :

Koordinat titik berat terhadap E = …?

Jawaban :

\[ y1=\frac { 1 }{ 2 } .6\\ y1=3\\ { AB }^{ 2 }=a^{ 2 }+{ EB }^{ 2 }\\ { \sqrt { 13 } }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2^{ 2 }\\ a=3\\ y2=6-\frac { 1 }{ 3 } a\\ y2=6-\frac { 1 }{ 3 } .3\\ y2=5\\ A1=24\\ A2=6\\ Yo=\frac { A1.Y1-A2.Y2 }{ A1-A2 } \\ Yo=\frac { 24.3-6.5 }{ 24-6 } \\ Yo=2,33㎝ \]

Untuk bangun pejal seperti pada gambar, letak titik berat di ukur dalam titik asal O adalah…… [jika tinggi limas pejal adalah h, maka tinggi titik berat dari alas limas adalah ¼ h]

1. 5,9 cm
2. 6,8 cm
3. 7,8 cm
4. 8,5 cm
5. 9,1 cm

Jawaban :

Jawaban : Tidak Ada

Diketahui :

Tinggi limas pejal = h

Tinggi titik berat dari alas limas = ¼ h

Ditanyakan :

Letak titik berat di ukur dalam titik asal O = …?

Jawaban :

Titik berat silinder :

y1 = 1/2.t

y1= 1/2.10

y1= 5 cm

Titik berat kerucut :

y2 =10+ 1/4.t

y2 = 10+1/4.3

y2 = 10 3/4 cm

y2 = 10,75 cm

Volume silinder :

V1 = π.r².10

V1 = 10πr²

Volume kerucut :

V2 = 1/3.πr².3

V2= πr²

Titik berat :

y =[ y1.v1+y2.v2] / [v1+v2]

y = [5.10πr²+10,75.πr²] / [10πr²+πr²]

y = [50+10,75] / [10+1]

y = 60,75/11

y = 5,52

Dua massa sama m1 = m2 = m dihubungkan oleh sebuah pegas yang memiliki tetapan k. Jika jarak pisah kesetimbangan adalah lo dan pegas diam pada suatu permukaan horizontal licin, maka frekuensi sudut 𝟂o adalah … [GRE Physics Test]

1. \[ \sqrt { \frac { k }{ m } } \]
2. \[ \sqrt { \frac { 2k }{ m } } \]
3. \[ \sqrt { \frac { 3k }{ m } } \]
4. \[ 2\sqrt { \frac { k }{ m } } \]
5. \[ \sqrt { \frac { g }{ lo } } \]

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

m1 = m2 = m

Tetapan = k

Jarak pisah = lo

Ditanyakan :

𝟂o = …?

Jawaban :

\[ T=2\pi \sqrt { \frac { M }{ R } } \\ \omega =\frac { 2\pi }{ T } \\ \omega =\frac { 2\pi }{ 2\pi \sqrt { \frac { M }{ R } } } \\ \omega =\sqrt { \frac { K }{ M } } \]

ESAI

Dinamika Rotasi

Perhatikan persegi panjang pada gambar di samping. Tentukan torsi dari gaya F1, F2, F3, F4, dan F5 terhadap :
1. Poros melalui O
2. Poros melalui A

Diketahui :

Persegi panjang 8 m x 6 m

Ditanyakan :

Torsi terhadap poros melalui O dan A = ..?

Jawaban :

Poros melalui O :

\[ { T }_{ f1 }={ l }_{ 1 }{ f }_{ 2 }\\ { T }_{ f1 }=4{ f }_{ 1 }\\ { T }_{ f2 }={ l }_{ 2 }{ f }_{ 2 }\\ { T }_{ f2 }=of\sin { \theta } { f }_{ 2 }\\ { T }_{ f2 }=3\left[ \frac { EG }{ EF } \right] \\ { T }_{ f2 }=3\left[ \frac { 4 }{ \sqrt { { FG }^{ 2 }+{ EG }^{ 2 } } } \right] { F }_{ 2 }\\ { T }_{ f2 }=\frac { 6{ F }_{ 2 } }{ 13 } \sqrt { 13 } \\ { T }_{ f3 }={ T }_{ f4 }={ T }_{ f5 }=0 \]

Poros melalui A :

\[ { T }_{ f1 }=0\\ { T }_{ f2 }=-{ l }_{ 2 }{ f }_{ 2 }\\ { T }_{ f2 }=-\frac { 6 }{ 13 } \sqrt { 13 } \\ { T }_{ f3 }={ l }_{ 3 }{ f }_{ 3 }\\ { T }_{ f3 }=AB\cos { \alpha .{ f }_{ 3 } } \\ { T }_{ f3 }=3.\frac { 4 }{ 5 } { f }_{ 3 }\\ { T }_{ f3 }=2,4{ f }_{ 3 }\\ { T }_{ f4 }={ l }_{ 4 }{ f }_{ 4 }\\ { T }_{ f4 }=4{ f }_{ 4 }\\ { T }_{ f5 }=0 \]

Pada sebuah roda dengan jari-jari 40 cm bekerja gaya-gaya seperti pada gambar. Tentukan torsi total terhadap poros melalui O.

Diketahui :

Jari – jari = 40 cm

Ditanyakan :

Torsi total melalui O = ..?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =r.F\\ \sum { \tau } =\left[ 5.0,4 \right] +\left[ -9.0,4 \right] +\left[ 0.8 \right] +\left[ -6r\sin { 30 } \right] \\ \sum { \tau } =-2,8Nm \]

Empat buah partikel seperti di tunjukkan pada gambar di hubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap poros :

Diketahui :

Empat buah partikel

Ditanyakan :

Momen inersia terhadap poros sumbu AA’ dan BB’ = ..?

Jawaban :

Momen inersia terhadap poros sumbu AA’ :

\[ IAA’=M.0+2m.{ b }^{ 2 }+m{ \left[ 2b \right] }^{ 2 }+3m{ \left[ 3b \right] }^{ 2 }\\ IAA’=33m{ b }^{ 2 } \]

Momen inersia terhadap poros sumbu BB’ :

\[ IBB’=M.{ \left[ 2b \right] }^{ 2 }+2m{ b }^{ 2 }+3m{ b }^{ 2 }\\ IBB’=9m{ b }^{ 2 } \]

Jari-jari [ruji] sepanjang 0,5 m seperti tampak pada gambar, memiliki massa yang dapat diabaikan terhadap delapan partikel bermassa 3,0 kg, tentukan momen inersia sistem terhadap :
1. Poros melalui pusat jari-jari
2. Poros AA’

Diketahui :

Jari – jari ruji = 0,5 m

Massa = 3 kg

Ditanyakan :

Momen inersia terhadap :

Poros melalui pusat jari-jari ?
Poros AA’ ?

Jawaban :

Momen inersia terhadap poros melalui pusat jari-jari :

\[ IO=8M{ R }^{ 2 }\\ IO=8.3{ \left[ 0,5 \right] }^{ 2 }\\ IO=6㎏{ m }^{ 2 } \]

Momen inersia terhadap poros AA’ :

\[ \sum { I } =0+2M{ R }^{ 2 }+4\left[ \frac { 2 }{ 4 } { MR }^{ 2 } \right] \\ \sum { I } =3㎏{ m }^{ 2 } \]

Momen inersia cincin terhadap poros melalui pusat massanya mendekati MR2. Tentukan momen inersia cincin terhadap poros sejajar yang melalui :

Diketahui :

MR2

Ditanyakan :

Momen inersia melalui :

Jawaban :

Titik A :

\[ Ia={ M.Ra }^{ 2 }\\ Ia=M.{ \left[ \frac { 1 }{ 2 } R \right] }^{ 2 }\\ Ia=\frac { 1 }{ 4 } M{ R }^{ 2 } \]

Titik B :

\[ Ib={ M.Rb }^{ 2 }\\ Ib={ MR }^{ 2 } \]

Seutas tali di lilitkan mengelilingi sebuah silinder pejal bermassa M dan berjari-jari R yang bebas berputar mengitari sumbunya. Tali ditarik dengan gaya F. Silinder mula-mula diam pada t=0.
1. Hitung percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t
2. Jika M= 60, R= 10, dan F= 9. Hitung percepatan sudut dan kecepatan sudut saat t=2

Diketahui :

Massa = M

Jari – jari = R

Gaya = F

t = 0

Ditanyakan :

percepatan sudut dan kecepatan sudut ?
M= 60, R= 10, dan F= 9, percepatan sudut dan kecepatan sudut t=2 ?

Jawaban :

Jawaban a :

\[ \alpha =\frac { RF }{ I } \\ \alpha =\frac { RF }{ \frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 } } \\ \alpha =\frac { 2F }{ MR } \\ w\left[ t \right] =wo+\alpha t\\ w\left[ t \right] =0+\frac { 2F }{ MR } t\\ w\left[ t \right] =\frac { 2FT }{ MR } \]

Jawaban b :

\[ w\left[ 2 \right] =\frac { 2.9.2 }{ 6.0,1 } \\ w\left[ 2 \right] =6㎮ \]

Pada sebuah roda dengan momen inersia sebesar 6 kgm2 dikerjakan sebuah torsi konstan 51 mN.
1. Berapakah percepatan sudutnya?
2. Berapakah lama diperlukan dari keadaan diam sampai roda mencapai kecepatan 88, 4 rad/s?
3. Berapakah energi kinetik pada kecepatan ini?

Diketahui :

Momen inersia = 6 kgm2

Torsi = 51 mN

Ditanyakan :

percepatan sudutnya?
waktu untuk mencapai kecepatan 88, 4 rad/s?
energi kinetik pada kecepatan ini?

Jawaban :

percepatan sudutnya :

\[ \alpha =\frac { \tau }{ l } \\ \alpha =\frac { 51 }{ 6 } \\ \alpha =8,5㎮ \]

waktu untuk mencapai kecepatan 88, 4 rad/s :

\[ t=\frac { w-wo }{ \alpha } \\ t=\frac { 88,4-0 }{ 8,5 } \\ t=10,4\quad s \]

energi kinetik pada kecepatan ini :

\[ EK=\frac { 1 }{ 2 } I{ W }^{ 2 }\\ EK=\frac { 1 }{ 2 } .6.{ 88,4 }^{ 2 }\\ EK=23443,7J \]

Sebuah molekul nitrogen dapat di perlakukan sebagai dua massa titik dengan massa masing-masing 14 u = 14 x 1,67 x 10-27 kg yang dipisahkan oleh jarak 1,3 x 10-10. Pada suhu kamar dan energi kinetik rata-rata sebuah molekul seperti ini adalah 4 x 10-21 J. Tentukan :
1. Momen inersia sebuah molekul nitrogen terhadap poros melalui pusat massanya
2. Kecepatan sudutnya

Diketahui :

14 u = 14 x 1,67 x 10-27 kg

jarak = 1,3 x 10-10

energi kinetik rata-rata = 4 x 10-21 J

Ditanyakan :

Momen inersia nitrogen ?
Kecepatan sudut ?

Jawaban :

Momen inersia nitrogen :

\[ I=M{ \left[ \frac { R }{ 2 } \right] }^{ 2 }+M{ \left[ \frac { R }{ 2 } \right] }^{ 2 }\\ I=2\frac { { MR }^{ 2 } }{ 4 } \\ I=\frac { 1 }{ 2 } .14.1,67.{ 10 }^{ -27 }.{ \left[ 1,3.{ 10 }^{ -10 } \right] }^{ 2 }\\ I=1,98.{ 10 }^{ -46 }㎏{ m }^{ 2 } \]

Kecepatan sudut :

\[ { W }^{ 2 }=\frac { 2EK }{ I } \\ { W }^{ 2 }=\frac { 2.4.{ 10 }^{ -21 } }{ 1,98.{ 10 }^{ -46 } } \\ W=6,36.{ 10 }^{ 12 }㎮ \]

Sebuah batang tipis homogen dengan panjang L dan massa M bebas berputar terhadap suatu poros pada salah satu ujungnya, seperti pada gambar. Batang di bebaskan dari keadaan diam dalam posisi horizontal
1. Berapakah percepatan sudut awal batang
2. Berapakah percepatan tangensial awal titik pada ujung batang?

Diketahui :

Panjang = L

Massa = M

Ditanyakan :

percepatan sudut awal batang ?
percepatan tangensial awal titik pada ujung batang?

Jawaban :

percepatan sudut awal batang :

\[ \alpha =\frac { lF }{ I } \\ \alpha =\frac { \frac { 1 }{ 2 } MG }{ \frac { 1 }{ 3 } { ML }^{ 2 } } \\ \alpha =\frac { 3g }{ 2L } \]

percepatan tangensial awal titik pada ujung batang :

\[ ar=R\alpha \\ ar=L\left[ \frac { 3g }{ 2l } \right] \\ ar=\frac { 3 }{ 2 } g \]

Dua roket mainan identik, masing-masing bermassa 0, 25 kg dipasang pada ujung-ujung sebuah tongkat [L=1, 0,m]. Tiap roket mengerjakan gaya F tegak lurus pada tongkat dalam bidang gerak tongkat, seperti ditunjukkan pada gambar. Tongkat meter yang bermassa 0, 10,kg dipasang pada suatu bola gotri tanpa gesekan pada sumbu tegak lurus pada tongkat melalui pusat tongkat. Ketika roket dibakar menyebabkan tongkat mulai bergerak dari keadaan diam dan memberikan kelajuan sudut 60 rad/s dalam waktu 6 s. Anggap massa roket tidak berubah selama 6 s. Berapakah daya dorong dari setiap roket?

Tips : Momen inersia sistem dihasilkan oleh tongkat dengan poros tepat di tengahnya dan roket yang dianggap sebagai partikel.

Penuntun : Daya rotasi P =\[ \tau \overrightarrow { \omega } \] [mirip dengan daya translasi P =\[ F\overleftarrow { v } \] ] dengan \[ \overrightarrow { \omega } \] adalah kecepatan sudut rata-rata.

Diketahui :

Massa = 0,25 kg

Kelajuan sudut = 60 rad/s

t = 6s

Ditanyakan :

Daya dorong roket = ..?

Jawaban :

\[ \alpha =\frac { w-wo }{ t } \\ \alpha =\frac { 60-0 }{ 6 } \\ \alpha =10\\ Daya=\left[ \frac { 1 }{ 2 } { ML }^{ 2 }+2{ \left[ mr \right] }^{ 2 } \right] \left[ \frac { \left[ wo+w\left[ t \right] \right] }{ 2 } \right] \\ Daya=\left[ \frac { 1 }{ 2 } { .0,1.1 }^{ 2 }+2{ .0,25.\left[ 0,5 \right] }^{ 2 } \right] \left[ \frac { \left[ 0+60 \right] }{ 2 } \right] \\ Daya=39,99w \]

Sebuah katrol silinder dengan jari-jari R dan momen inersia I bebas berputar tanpa gesekan terhadap suatu poros. Seutas tali dengan massa yang dapat di abaikan dililitkan pada silinder dan diikatkan ke sebuah timba bermassa m. Ketika timba dibebaskan, timba di percepat ke bawah akibat gaya gravitasi. Tentukan percepatan timba dan tegangan tali.

Diketahui :

Jari – jari = R

Momen inersia = I

Massa timba = m

Ditanyakan :

Percepatan timba dan tegangan tali ?

Jawaban :

\[ \sum { f } =ma\\ mg-T=ma\\ \sum { \tau } =I\alpha \\ T=\frac { Ia }{ { R }^{ 2 } } \\ mg-\frac { Ia }{ { R }^{ 2 } } =ma\\ a=\frac { mg{ R }^{ 2 } }{ I+{ MR }^{ 2 } } \]

Gambar disamping menunjukkan sebuah balok [w = 10N] bergantung pada seutas tali yang dililitkan mengitari sebuah silinder pejal [w = 40N, R = 0,20 m] permukaan mendatar di mana silinder bergerak adalah licin. Katrol juga dianggap licin. Tentukan percepatan balok dan tegangan tali penghubung.

Diketahui :

Balok = 10 N

Silinder = 40 N

R = 0,20 m

Ditanyakan :

percepatan balok dan tegangan tali penghubung ?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =I\alpha \\ TR=\frac { 1 }{ 2 } M{ R }^{ 2 }\frac { a }{ R } \\ T=2a\\ \sum { f } =Mb.a\\ 10-T=Mb.a\\ 10-2a=Mb.a\\ a=\frac { 10 }{ 3 } \\ T=2a\\ T=2\left[ \frac { 10 }{ 3 } \right] \\ T=\frac { 20 }{ 3 } \]

Suatu sistem katrol memiliki momen inersia I= 1, 7 kg, R1= 50 cm dan R2= 20 cm. Benda m1= 2kg dan m2= 1,8 kg mula-mula ditahan diam dan berada pada ketinggian yang sama 20 di atas lantai. Katrol dianggap licin dan tali tak bermassa. Jika kedua benda dilepaskan hitung:
1. Kecepatan benda m2 sesaat sebelum benda m1 menyentuh lantai
2. Tinggi maksimum yang di capai benda m2 [dianggap benda m2 tidak menumbuk katrol]

Diketahui :

I= 1, 7 kg

R1= 50 cm

R2= 20 cm

m1 = 2kg

m2= 1,8 kg

Ketinggian = 20

Ditanyakan :

Kecepatan benda m2 sesaat sebelum benda m1 menyentuh lantai ?
Tinggi maksimum yang di capai benda m2 ?

Jawaban :

\[ V{ t1 }^{ 2 }={ Vo }^{ 2 }+2as\\ V{ t1 }^{ 2 }={ 2.1,8825.0,2 }\\ Vt1=0,868㎧ \]

Kecepatan benda m2 sesaat sebelum benda m1 menyentuh lantai :

\[ Vt1r1=Vt2r2\\ 0,868.0,5=Vt2.0,2\\ Vt2=2,17㎧ \]

Tinggi maksimum yang di capai benda m2:

\[ Vt2={ Vo }^{ 2 }+2as\\ { 2,17 }^{ 2 }=0+2.3,765.0,2.s\\ s=3,127m \]

Tentukan energi rotasi dari bumi terhadap matahari sehubungan dengan orbit bumi mengitari matahari. Data massa bumi = 6,0 x 1024 kg, jari-jari orbit = 1,5 x 1011 m dan kala rotasi =3,2 x 107

Diketahui :

massa bumi = 6,0 x 1024 kg

jari-jari orbit = 1,5 x 1011 m

kala rotasi =3,2 x 107

Ditanyakan :

Energi rotasi bumi ?

Jawaban :

\[ w=fs\\ w={ mw }^{ 2 }rs\\ w={ mw }^{ 2 }r\left[ 2\pi r \right] \\ w={ m\left[ \frac { 2\pi }{ T } \right] }^{ 2 }r\left[ 2\pi r \right] \\ w=m\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ { T }^{ 2 } } 2\pi { r }^{ 2 }\\ w=m\frac { 8{ \pi }^{ 3 }{ r }^{ 2 } }{ { T }^{ 2 } } \\ w=\frac { 6.{ 10 }^{ 24 }.8{ \left[ 3,14 \right] }^{ 3 }{ \left[ 1,5{ .10 }^{ 11 } \right] }^{ 2 } }{ { \left[ 3,2.{ 10 }^{ 7 } \right] }^{ 2 } } \\ w=326,5.{ 10 }^{ 32 }J\\ \]

Sebuah bola pejal bermassa 0,036 kg dan jari-jari 1, 2 cm menggelinding menuruni suatu bidang miring. Bola pejal itu mula-mula bergerak dengan kecepatan 0, 50 m/s. Berapakah kecepatan bola itu ketika ketinggiannya berkurang 14 cm?

Diketahui :

Massa = 0,036 kg

Jari – jari = 1,2 cm

Kecepatan = 0,50 m/s

Ketinggian berkurang 14 cm

Ditanyakan :

Kecepatan bola = ..?

Jawaban :

\[ EM1=EM2\\ EK1+EP1=EK2+EP2\\ \frac { 1 }{ 2 } { MVo }^{ 2 }+mgh+\frac { 1 }{ 2 } { IW }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } { MV2 }^{ 2 }+mgx+\frac { 1 }{ 2 } { IW }2^{ 2 }\\ V2={ \left[ { Vo }^{ 2 }+\frac { mg\left[ h-x \right] }{ \frac { 1 }{ 2 } \left[ m+\frac { 1 }{ { R }^{ 2 } } \right] } \right] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ V2={ \left[ { 0,5 }^{ 2 }+\frac { 0,036.10.14.{ 10 }^{ -2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } \left[ 0,036+\frac { 2,0736.{ 10 }^{ -6 } }{ { \left[ 1,2.{ 10 }^{ -2 } \right] }^{ 2 } } \right] } \right] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ V2=0,9㎧ \]

Sebuah silinder dengan massa m dan jari-jari r berada di atas bidang miring. Kemudian silinder menggelinding. Jika momen inersia silinder \[ I=\frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 } \] tentukan perbandingan kecepatan saat silinder menggelinding dengan saat silinder tak menggelinding di dasar bidang miring. [Soal Seleksi Olimpiade Tingkat Kapubaten/Kota 2006]

Diketahui :

Massa = m

Jari-jari = r

\[ I=\frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 } \]

Ditanyakan :

Perbandingan kecepatan = ..?

Jawaban :

\[ Meluncur:\\ mgh=\frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }\\ v=\sqrt { 2gh } \\ Menggelinding:\\ mgh=\frac { 1 }{ 2 } { mv }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } IW^{ 2 }\\ v=\sqrt { \frac { 4gh }{ 3 } } \\ \frac { Vmenggelinding }{ Vmeluncur } =\frac { \sqrt { \frac { 4gh }{ 3 } } }{ \sqrt { 2gh } } \\ \frac { Vmenggelinding }{ Vmeluncur } =\frac { 1 }{ 3 } \sqrt { 6 } \]

Seorang anak laki-laku bermassa m = 50kg berdiri di pusat sebuah komedi putar yang sedang berputar terhadap suatu poros tanpa gesekan pada kecepatan 1 rad/s. Anggap komidi putar sebuah cakram pejal dengan massa M= 100 kg dan jari-jari 2 m. Jika anak laki-laki itu melompat ke posisi 1 m dari pusat, berapakah kecepatan sudut sistem anak dan komidi putar setelah anak mendarat? Berapa besar energi kinetik yang hilang?

Diketahui :

m laki-laki = 50 kg

m cakram = 100 kg

Jari – jari = 2m

Ditanyakan :

Kecepatan sudut dan energi kinetik yang hilang = ..?

Jawaban :

\[ L1=L2\\ \frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 }W1=\left[ { MR }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 } \right] W2\\ W2=\left[ \frac { \frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 } }{ { MR }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { MR }^{ 2 } } \right] W1\\ W2=0,8㎮\\ EKawal=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ 2 } { mr }^{ 2 } \right] { w1 }^{ 2 }\\ EKawal=\frac { 1 }{ 4 } .100.{ 2 }^{ 2 }.{ 1 }^{ 2 }\\ EKawal=100J\\ EKakhir=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ 2 } { mr }^{ 2 } \right] { w2 }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { mr }^{ 2 }{ w2 }^{ 2 }\\ EKakhir=\left[ \frac { 1 }{ 4 } { mr }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { mr }^{ 2 } \right] { w2 }^{ 2 }\\ EKakhir=\frac { 1 }{ 4 } .100.{ 2 }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } .50.{ 1 }^{ 2 }.{ 0,8 }^{ 2 }\\ EKakhir=80J\\ EKhilang=100-80\\ EKhilang=20J \]

Roda A pada gambar memiliki massa 2kg dan jari-jari 0,2 m serta kecepatan sudut awal 50 rad/s. Roda A dikopel dengan keping B yang memiliki massa 4 kg jari-jari 0,10 m dan kecepatan awal 200 rad/s. Tentukan kecepatan sudut akhir bersama w setelah keduanya didorong sehingga bersentuhan. Apakah energi kinetik kekal selama proses ini?

Diketahui :

Massa A = 2 kg

Jari-jari A = 0,2 m

Kecepatan sudut A = 50 rad/s

Massa B = 4 kg

Jari-jari B = 0,10 m

Kecepatan sudut B = 200 rad/s

Ditanyakan :

Energi kinetik kekal = ..?

Jawaban :

\[ w=\frac { 0,04+50+0,02.200 }{ 0,04+0,02 } \\ w=100㎮\\ EKawal=\frac { 1 }{ 2 } \left[ Ia{ Wa }^{ 2 }+IbWb^{ 2 } \right] \\ EKawal=\frac { 0,04.{ 500 }^{ 2 }+0,02.{ 200 }^{ 2 } }{ 2 } \\ EKawal=450J\\ EKakhir=\frac { 1 }{ 2 } \left[ Ia+Ib \right] w\\ EKakhir=\frac { 0,06.{ 100 }^{ 2 } }{ 2 } \\ EKakhir=300J \]

Energi kinetik tidak kekal.

Komet encke telah ditemukan oleh Pierre Mechain pada tahun 1786. Periode perputaran komet ini baru dapat ditemukan oleh Johan Encke pada tahun 1822, yaitu selama 3,3 tahun. Namun pada tahun 1913 berdasarkan hasil foto yang dilakukan melalui teleskop, jarak terjauh dari matahari adalah ra = 6, 1 x 1011 m dan jarak terdekatnya rp = 5,1 x 1010 Diketahui tetapan gravitasi universal G = 6,7 x 10-11, massa matahari 2,0 x 1020 kg. Tentukan kelajuan komet itu pada titik terjauh dan pada saat titik terdekat. [Soal OSP 2012]

Diketahui :

ra = 6, 1 x 1011 m

rp = 5,1 x 1010

G = 6,7 x 10-11

massa matahari = 2,0 x 1020 kg

Ditanyakan :

Kelajuan komet pada titik terjauh dan titik terdekat = ..?

Jawaban :

\[ Vjauh=\sqrt { gRjauh } \\ Vjauh=\sqrt { \frac { GM }{ Rjauh } } \\ Vjauh=\sqrt { \frac { 6,7.{ 10 }^{ -11 }.2.{ 10 }^{ 20 } }{ 6,1.{ 10 }^{ -11 } } } \\ Vjauh=0,148㎧ \]

\[ Vdekat=\sqrt { \frac { GM }{ Rdekat } } \\ Vdekat=\sqrt { \frac { 6,7.{ 10 }^{ -11 }.2.{ 10 }^{ 20 } }{ 5,1.{ 10 }^{ 10 } } } \\ Vdekat=34,17㎧ \]

Keseimbangan Benda Tegar

Bola bowling pada gambar memiliki berat 70 N. Bola itu diam pada dinding yang licin. Jika bola dianggap homogen tentukan gaya-gaya yang dikerjakan pada dinding pada bola.

Diketahui :

Berat = 70 N

Ditanyakan :

Gaya pada dinding pada bola = ..?

Jawaban :

\[ \sum \tau { a }=0\\ Nb.r=wr\cos { 30 } \\ Nb=70.\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } \\ Nb=35\sqrt { 3 } N\\ \frac { Na }{ \sin { \left[ 60-30 \right] } } =\frac { W }{ \sin { \left[ 60+30 \right] } } \\ \frac { Na }{ \sin { 30 } } { = }\frac { W }{ \sin { 90 } } \\ \frac { Na }{ \frac { 1 }{ 2 } } { = }\frac { W }{ 1 } \\ Na=W.\frac { 1 }{ 2 } \\ Na=70.\frac { 1 }{ 2 } \\ Na=35N \]

Tentukan tegangan tali untuk tiap kasus yang ditunjukkan oleh diagram berikut. Sistem berada dalam keadaan setimbang.

Diketahui :

Sistem setimbang

Ditanyakan :

Tegangan tali tiap kasus = ..?

Jawaban :

Untuk a :

\[ T\sin { 60 } =w\\ T.\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } =0,6.10\\ T=4\sqrt { 3 } N \]

Untuk b :

\[ T1\cos { 53 } +T2\sin { 60 } =w\\ 0,6T1+\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } T2=500….persamaan\quad 1\\ T1\sin { 53 } -T2\cos { 60 } =0\\ 0,8T1-\frac { 1 }{ 2 } T2=0…..persamaan\quad 2\\ Dari\quad persamaan\quad 1\quad dan\quad 2\quad didapatkan:\\ T2=400N\\ 2,4T1-\frac { 3 }{ 2 } T2=0\\ 2,4T1-\frac { 3 }{ 2 } .400=0\\ T1=250N \]

Seorang pasien patah tulang dirumah sakit menjalani pengobatan atas tulang kering pada kaki kanannya yang patah. Untuk menjaga sambungan tulangnya yang pataj dan baru saja di rawat di dokter, si pasien selain di gips kakinya juga ditarik dengan menggunakan sistem katrol seperti pada gambar. Jika katrol di anggap licin dan tak bermassa, hitunglah gaya yang dirasakan oleh pasien. [Soal OSK 2012]

Diketahui :

Massa = 3 kg

Sudut = 30

Ditanyakan :

Gaya yang dirasakan pasien = ..?

Jawaban :

\[ T1=T2=T3=T4=T5=W=30N\\ \sum { fy } =T5+T3\sin { 30 } \\ \sum { fy } =30+30\sin { 30 } \\ \sum { fy } =30+30.\frac { 1 }{ 2 } \\ \sum { fy } =30+15\\ \sum { fy } =45N\\ \sum { fx } =T2+T3\cos { 30 } \\ \sum { fx } =30+30.\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 3 } \\ \sum { fx } =30+15\sqrt { 3 } \\ F=\sqrt { { \sum { fy } }^{ 2 }+{ \sum { fx } }^{ 2 } } \\ F=\sqrt { { 45 }^{ 2 }+{ \left[ 30+15\sqrt { 3 } \right] }^{ 2 } } \\ F=71,825N \]

Sebuah balok dengan massa M terletak pada dinding tegak kasar ditahan oleh sebuah gaya F sehingga membentuk sudut terhadap horizontal. Tentukan nilai F minimum supaya balok tidak bergerak turun. [OSW Jakarta 2006]

Diketahui :

Massa = M

Gaya = F

Ditanyakan :

Nilai F minimum agar balok tidak turun= ..?

Jawaban :

\[ \sum { fx } =0\\ f\cos { \theta } -N=0\\ fgesek=\mu f\cos { \theta } \\ \sum { fy } =0\\ fgesek-mg+f\sin { \theta } =0\\ \mu f\cos { \theta } -mg+f\sin { \theta } =0\\ fminimal=\frac { mg }{ \sin { \theta } +\mu \cos { \theta } } \]

Gambar berikut ini menunjukkan empat buah gaya yang bekerja sepanjang keliling suatu lembaran logam segi empat yang memiliki ukuran 1,0 m x 0,8 m.
1. Buktikan bahwa lembaran berada dalam keadaan seimbang
2. Jika salah satu gaya 4N dibalik arahnya. Berapa besar resultan torsi pada lembaran logam?

Diketahui :

Gaya = 4 N dan 5 N

Persegi = 1,0 m x 0,8 m

Ditanyakan :

lembaran seimbang ?
salah satu gaya 4N dibalik arah,besar resultan torsi ?

Jawaban :

Jawaban a :

\[ \sum { f } =o\quad dan\quad \sum { \tau } 0\\ Maka\quad setimbang \]

Jawaban b :

\[ \sum { \tau } =f.r\\ \sum { \tau } =5.0,4+5.0,4+0,5.4-0,5.4\\ \sum { \tau } =4Nm \]

Pada batang homogen AB seberat 200N digantungkan beban 450 N. Tentukan besar gaya yang dilakukan tiap penyangga pada batang.

Diketahui :

AB = 200 N

Beban = 450 N

Panjang AB = l

Panjang beban = 1/4l

Ditanyakan :

Gaya tiap penyangga pada batang = ..?

Jawaban :

\[ Fa+Fb=650N\\ \sum { \tau b } =0\\ Fa.l-Wb.\frac { 1 }{ 4 } l-Wb.\frac { 1 }{ 2 } l=0\\ Fa.l-450.\frac { 1 }{ 4 } l-200.\frac { 1 }{ 2 } l=0\\ Fa=212,5N\\ Fb=650-Fa\\ Fb=650-212,5\\ Fb=437,5N \]

Pada diagram PQ adalah sebuah batang homogen dengan panjang 4 m. Batang itu diam pada penopang di R[1 m dari P] dan S[1m dari Q]. Jika berat batang 150 N, berapakah gaya kebawah F minimum yang dikerjakan di Q yang mengangkat batang lepas dari penopang di Q?

Diketahui :

Panjang = 4 ,

Berat = 150 N

Ditanyakan :

F minimum = ..?

Jawaban :

\[ Wb.Os-F.Qs=0\\ 150.1-F.1=0\\ F=150N \]

Sebatang papan kayu homogen AB memiliki panjang 120 cm dan berat 1,2 N. Papan itu diletakkan pada dua penopang C dan D yang masing-masing diletakkan 10 cm dari ujung-ujung papan. Sebuah beban seberat 0,20 N digantung dengan benang sejauh 30 cm dari ujung A dan beban seberat 0,9 N digantung sejauh 40 cm dari ujung B. Tentukan gaya-gaya reaksi yang dikerjakan tiap-tiap penopang pada papan kayu.

Diketahui :

Panjang = 120 cm

Berat = 1,2 N

Beban = 0,20 N dan 0,9 N

Sejauh = 30 cm dan 40 cm

Ditanyakan :

Gaya-gaya reaksi = ..?

Jawaban :

\[ Fc+Fd=2,3\\ -Fc.cd+Fe.Ed+Fc.OD+Ff.Fd=0\\ -0,8.Fc+0,2.0,6+1,2.0,4+0,9.0,3=0\\ Fc=1,09N\\ Fd=2,3-1,09\\ Fd=1,21N \]

Pada gambar disamping, sebuah batang homogen dengan panjang L dan berat W menekan sebuah roda berjari-jari b. Roda dapat berputar pada pusatnya jika sistem dalam keadaan seimbang. Tentukan berat w1 yang harus diberikan.

Diketahui :

Panjang = L

Berat = W

Jari-jari = b

Ditanyakan :

Berat w1 = ..?

Jawaban :

\[ \sum { \tau } =0\\ -w1.A0+Wb.B’0=0\\ w1=\frac { B’0 }{ A0 } Wb\\ w1=\frac { \left[ \frac { 2b+L }{ 2 } \right] \cos { \theta } }{ b } wb \]

Tongkat homogen dengan massa M diletakkan dalam sumur yang licin. Tongkat membentuk sudut terhadap arah horizontal. Berapakah besar gaya-gaya yang dikerjakan sumur pada kedua ujung tongkat? [OSN 2005]

Diketahui :

Massa = M

Sudut = θ

Ditanyakan :

Gaya sumur pada kedua ujung tongkat = ..?

Jawaban :

\[ Nb=\frac { 1 }{ 2 } mg\cot { \theta } \\ Na=\frac { 1 }{ 2 } mg\cot { \theta } \\ { Na }^{ 2 }=mg\\ Na=\sqrt { \frac { 1 }{ 4 } { \left[ mg\cot { \theta } \right] }^{ 2 }+{ \left[ mg \right] }^{ 2 } } \\ Na=\frac { mg }{ 2 } \sqrt { { cot }^{ 2 }\theta +4 } \]

Batang AB memiliki berat 400N. Engsel ditempatkan di A dan dititik C diikat pada tembok dengan seutas tali tak bermassa. Jika sistem seimbang, hitunglah :
1. Tegangan tali
2. Besar gaya engsel

Diketahui :

Berat = 400N dan 2000 N

Sudut = 53°

BC = L/4

A = 3L/4

Ditanyakan :

Tegangan tali ?
Besar gaya engsel ?

Jawaban :

Tegangan tali :

\[ \sum { \tau a=0 } \\ 400AD\cos { 53 } +2000L\cos { 53 } -T.AC\cos { 37 } =0\\ T=2200N \]

Besar gaya engsel :

\[ \left| FA \right| =\sqrt { { T }^{ 2 }+{ \left[ 400+2000 \right] }^{ 2 } } \\ \left| FA \right| =\sqrt { { 2200 }^{ 2 }+{ \left[ 400+2000 \right] }^{ 2 } } \\ \left| FA \right| =200\sqrt { 265 } \]

Sebuah batang homogen dengan berat 500N menopang suatu beban. Jika tegangan tali horizontal hanya mampu menahan 3000N dan tan = ¾ tentukan beban maksimum yang dapat ditopang oleh batang.

Diketahui :

Berat = 500 N

Tali = hanya mampu 3000 N

Tan = 3/4

Ditanyakan :

Beban maks batang = ..?

Jawaban :

\[ \sum { \tau a } =0\\ \left[ 500.\frac { L }{ 2 } .\frac { 4 }{ 5 } \right] +\left[ w.0,625L.\frac { 4 }{ 5 } \right] -\left[ 3000L.\frac { 3 }{ 5 } \right] =0\\ w=3200N \]

Seekor monyet bermassa 10 kg memanjat sebuah tangga homogen yang memiliki panjang l dan berat 120 N. Ujung atas dan bawah tangga bersandar pada permukaan licin. Ujung bawah tangga diikat oleh seutas tali mendatar AB yang dapat menahan tegangan maksimum 110 N.
1. Lukis gaya pada tangga
2. Tentukan tegangan dalam tali ketika monyet berada pada jarak sepertiga panjang tangga dari ujung bawah
3. Tentukan jarak maksimum d agar monyet dapat berjalan pada tangga sebelum tali putus.

Diketahui :

Monyet = 10 kg

Tangga = 120 N

Panjang = l

Sudut = 53

Tegangan maksimum = 110 N

Ditanyakan :

gambar gaya pada tangga ?
tegangan dalam tali ketika monyet berada pada jarak sepertiga panjang tangga dari ujung bawah ?
jarak maksimum d agar monyet dapat berjalan pada tangga sebelum tali putus ?

Jawaban :

Jawaban a:

Jawaban b :

\[ \sum { \tau a } =0\\ -100AD\cos { 53 } -120AD\cos { 53 } +NcAC\sin { 53 } =0\\ Nc=70N\\ T-Nc=0\\ T-70=0\\ T=70N \]

Jawaban c :

\[ Na=220N\\ \sum { \tau c } =0\\ -Na.Ac\cos { 53 } +100.AC\cos { 53 } -d\cos { 53 } +120AF\cos { 53 } +AC\sin { 53 } =0\\ Maka\\ d=\frac { 13 }{ 15 } \]

Titik Berat

Seekor kuda berdiri pada ketiga kakinya [kaki kiri diangkat], tiap kaki depannya menopang 1500 N dari beratnya [berat kuda adalah 5000N]
1. Berapa besar gaya yang ditopang oleh kaki kanan belakangnya?
2. Tentukan kedudukan [x,y] dari titik berat kuda

Diketahui :

Kaki depan = 1500 N

Kuda = 5000 N

Ukuran = 0,5 m X 12 m

Ditanyakan :

gaya kaki kanan belakang?
kedudukan [x,y] dari titik berat kuda?

Jawaban :

Gaya :

F = [5000N – 1500N] : 2

F = 1750

Kedudukan :

\[ =\frac { w1.z1+w2.z2+w3.z3 }{ w1+w2+w3 } \\ =\frac { 1500\left[ 1,2.0 \right] +0+1750\left[ 0.0,5 \right] }{ 5000 } \\ =\quad 0,36\quad ;\quad 0,1750 \]

Orang pada gambar memiliki massa 90kg. Kedua lengannya direntangkan dan tangan kirinya memegang sebuah beban bermassa M=10 kg. Tentukan kedudukan horizontal dan vertikal dari titik berat orang tersebut di tambah beban M.

Diketahui :

orang = 90 kg

beban = 10 kg

Ditanyakan :

Kedudukan horizontal dan vertikal = ..?

Jawaban :

\[ X=\frac { x1.m1+x2.m2 }{ m1+m2 } \\ X=\frac { 0.90+1.10 }{ 90+10 } \\ X=\frac { 0+10 }{ 100 } \\ X=\frac { 10 }{ 100 } \\ X=0,1m\\ X=10㎝\\ Y=\frac { y1.m1+y2.m2 }{ m1+m2 } \\ Y=\frac { 1,1.90+1,5.10 }{ 90+10 } \\ Y=\frac { 99+15 }{ 100 } \\ Y=\frac { 114 }{ 100 } \\ Y=1,14m\\ Y=114㎝\\ X;Y=\left[ 10;114 \right] ㎝ \]

Sebuah bola homogen mempunyai rongga di dalamnya. Rongga ini menyentuh permukaan bola dan persis menyentuh pusat bola [diameter rongga adalah R] dan jari-jari bola adalah R. Massa bola jika tidak ada rongga adalah M. Tentukan jarak pusat massa bola berongga dari pusat bola.

Diketahui :

Diameter rongga = R

Jari – jari bola = R

Massa bola [tidak ada rongga] = M

Ditanyakan :

Jarak pusat massa bola berongga dari pusat bola ?

Jawaban :

\[ R2=\frac { 1 }{ 2 } R1\\ \frac { M1 }{ M2 } =\frac { \frac { 4 }{ 3 } \pi { R1 }^{ 3 } }{ \frac { 4 }{ 3 } \pi { R2 }^{ 3 } } \\ M2=\frac { 1 }{ 8 } M\\ x=\frac { M1.R1+M2.R2 }{ M1+M2 } \\ x=\frac { M1.0+\frac { 1 }{ 8 } M1.\frac { 1 }{ 2 } R }{ M1+\frac { 1 }{ 8 } M1 } \\ x=\frac { 2 }{ 9 } R \]

Sebuah batang ringan panjang 200 cm digantung pada sebuah langit-langit horizontal dengan bantuan dua kawat vertikal dengan panjang sama yang diikatkan pada ujung-ujung batang. Salah satu kawat dibuat dari baja dan memiliki luas penampang 0, 1 cm2 lainnya dibuat dari perunggu dengan luas penampang 0,2 cm2. Tentukan titik pada batang dimana suatu beban dapat digantung untuk menghasilkan :
1. Tegangan yang sama dalam kedua kawat
2. Regangan yang sama dalam kedua kawat

[Y perunggu = 10 x 1011 dan Y baja = 20 x 1011]

Diketahui :

Panjang = 200 cm

Luas penampang = 0,1 cm2 dan 0,2 cm2

Ditanyakan :

Titik pada batang supaya :

Tegangan yang sama dalam kedua kawat ?
Regangan yang sama dalam kedua kawat ?

Jawaban :

Jawaban a :

\[ \frac { F1 }{ A1 } =\frac { F2 }{ A2 } \\ \frac { w\left[ \frac { x }{ l } \right] }{ A1 } =\frac { w\left[ \frac { l-x }{ l } \right] }{ A2 } \\ \frac { x }{ 0,1 } =\frac { 200-x }{ 0,2 } \\ x=66,67㎝ \]

Jawaban b :

\[ \frac { w\left[ \frac { x }{ l } \right] }{ 0,1.10.{ 10 }^{ 11 } } =\frac { w\left[ \frac { l-x }{ l } \right] }{ 0,2.20.{ 10 }^{ 11 } } \\ x=\frac { 200-x }{ 4 } \\ x=40㎝ \]