Nilai x berikut yang membuat pernyataan x+x=x2 atau 4x 14 2 menjadi disjungsi yang benar adalah

You're Reading a Free Preview
Pages 8 to 11 are not shown in this preview.

You're Reading a Free Preview
Pages 15 to 28 are not shown in this preview.

You're Reading a Free Preview
Pages 32 to 40 are not shown in this preview.

Pada bagian sebelumnya, pernyataan-pernyataan yang Anda pelajari lebih banyak merupakan pernyataan-pernyataan tunggal. Jika pernyataan-pernyataan tunggal ini digabungkan menggunakan kata dan, atau, jika...maka..., atau ...jika dan hanya jika... maka akan terbentuk suatu pernyataan majemuk. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.

t 1POUJBOBLBEBMBIJCVLPUBQSPWJOTJ,BMJNBOUBO#BSBU

t 1POUJBOBLEJMBMVJgaris khatulistiwa.

Kedua pernyataan tersebut adalah pernyataan tunggal. Kedua pernyataan tunggal tersebut jika Anda gabung dengan kata hubung "dan" akan menjadi kalimat majemuk, "Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimatan Barat dan dilalui garis khatulistiwa".

Gambar 1.3

"Pontianak adalah ibu kota Provinsi Kalimantan Barat dan dilalui garis khatulistiwa" merupakan pernyataan majemuk.

Terdapat empat bentuk pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

1. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata "dan". Kata "dan" dilambangkan dengan " ". Jika p dan q pernyataan tunggal maka konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan

p ฀q Contoh Soal 1.3

Tentukan konjungsi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. p : Perahu berlayar dengan bantuan mesin.

q : Perahu berlayar dengan bantuan angin. b. r : Gaji pegawai termasuk beban operasional

s : Harga pokok barang yang dijual termasuk beban operasional

c. t : 5

2 adalah bilangan irasional

u : 5

2 adalah bilangan rasional

Jawab:

a. p q : perahu berlayar dengan bantuan mesin dan angin b r s : gaji pegawai dan harga pokok barang yang dijual termasuk

beban operasional.

c. t u : 5

2 adalah bilangan irasional dan 5

2 adalah bilangan

rasional

Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka terdapat 4 kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari p dan q pada suatu konjungsi p q. Komposisi-komposisi tersebut di antaranya:

t p benar dan q benar

t p benar dan q salah

t p salah dan q benar

t p salah dan q salah

Konjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Selain dari itu bernilai salah. Pada Contoh Soal 1.3, keempat konjungsi bernilai benar.

Nilai-nilai kebenaran dari suatu konjungsi dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran sebagai berikut.

Gambar 1.4 "Perahu berlayar dengan mesin dan angin" adalah pernyataan konjungsi.

9 Logika Matematika p q p ฀q B B B B S S S B S S S S Contoh Soal 1.4

Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah, tentukan nilai kebenaran dari konjungsi-konjungsi berikut.

a. p q c. ~q p

b. p ~q d. q p

Jawab:

a. p benar dan q salah maka (p q) = S b. p benar dan ~q benar maka (p ~q) = B c. ~q benar dan p benar maka (~q p) = B d. q salah dan p benar maka (q p) = S

Pada Contoh Soal 1.4 tampak nilai kebenaran p q sama dengan nilai kebenaran q p dan nilai kebenaran p ~q sama dengan nilai kebenaran ~q p. Dengan demikian, dapat diuji bahwa pada konjungsi berlaku hukum komutatif.

Jika p dan q adalah pernyataan maka berlaku hukum komutatif p q q p.

Contoh Soal 1.5

Tentukan nilai-nilai x sehingga kalimat-kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.

a. x + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 b. x2 + x – 6 = 0 dan x2= 4, x R c. x > 0 dan x2 – 3x + 2 = 0, x R Jawab:

a. Untuk menjadi konjungsi yang benar, kedua kalimat pada x + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 harus bernilai benar.

2 + (–2) = 0 adalah pernyataan benar. x + (–2) = 5 akan menjadi pernyataan benar jika

x x diganti dengan 7.x

Dengan demikian, kalimat x + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 akan menjadi konjungsi benar jika x = 7.

b. Agar x2+ x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R bernilai benar, harus dicari nilai x yang memenuhi kedua persamaan.

Jelajah

Matematika

George Boole (1815 - 1864), ahli matematika Inggris adalah orang per-tama yang menggantikan nilai kebenaran "benar" dengan "1" dan nilai kebenaran "salah" dengan "0". Sistem bilangan yang hanya terdiri atas dua macam bilangan terse-but dinamakan sistem biner. Temuan ini sangat berguna untuk menyusun program komputer. Proses pengubahan data ke da-lam sistem bilangan biner disebut konversi biner, dan notasi yang dihasilkan dari konvensi ini dinama-kan kode biner.

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

Kode Biner dalam Program Komputer

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

Notes

Pada konjungsi berlaku hukum komutatif p q q ฀p

Perhatikan kembali Contoh Soal 1.5. Pada Contoh Soal 1.5 (b), himpunan penyelesaian dari x2 + x – 6 = 0 adalah P = {–3, 2} dan himpunan penyelesaian dari x2 = 4 adalah Q = {–2, 2}. Oleh karena itu, x = 2 adalah irisan dari P dan Q, yaitu P ฀Q = {–3, 2} ฀{–2, 2} = {2}.

Diagram Vennnya adalah

S

–3 P

2 –2 Q

Untuk Contoh Soal 1.5 (c), misalkan himpunan penyelesaian dari x > 0 adalah P = {x x > 0, x ฀R} dan himpunan penyelesaian dari x2 – 3x + 2 = 0 adalah Q = {1, 2}.

Oleh karena itu, x = 1 atau x = 2 adalah irisan dari P dan Q, yaitu P ฀Q = {x x, x ฀R} ฀{1, 2} = {1, 2}.

Diagram Vennnya adalah

Pertama, harus dicari terlebih dahulu himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan. Himpunan penyelesaian dari x2 + x – 6 = 0 adalah {–3, 2}.

Himpunan penyelesaian dari x2 = 4 adalah {–2, 2}.

Kemudian, substitusikan x = –3, x = –2, dan x = 2 pada x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4 diperoleh:

t VOUVLx = –3 : (–3)2 + (–3) – 6 = 9 – 3 – 6 = 0 (–3)2 = 9 ≠ 4

x = –3 tidak memenuhi persamaan x2 = 4. Jadi, x = –3 bukan penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R.

t 6OUVLx = –2 : (–2)2 + (–2) – 6 = 4 – 2 – 6 = –4 ≠ 0 (–2)2 = 4

x = –2 tidak memenuhi persamaan x2 + x – 6 = 0. Jadi, x = –2 bukan penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x ฀฀R.

t 6OUVLx = 2 : (2)2 + 2 – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 22 = 4

x = 2 memenuhi persamaan x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4. Jadi x = 2 penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R. Jadi, kalimat x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R akan menjadi

konjungsi yang benar jika x = 2.

c. Dengan cara yang sama dengan (b), diperoleh kalimat x > 0 dan x2 – 3x + 2 = 0, x R akan menjadi konjungsi jika x = 1 atau x = 2. Jadi, kalimat x > 0 dan x2 – 3x + 2 = 0, x R mempunyai himpunan penyelesaian {1, 2}.

Notes

Notasi฀ dibaca ekuivalen. Dua pernyataan

disebut equivalen jika nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut sama. Nilai kebenarannya dapat ditunjukkan dengan membuat tabel nilai kebenaran.

11 Logika Matematika S P 1 2 Q

Dengan demikian, uraian di atas menggambarkan ketentuan berikut. Jika P adalah himpunan penyelesaian untuk p(x) dan Q adalah himpunan penyelesaian untuk q(x), himpunan penyelesaian dari p(x) ฀q(x) adalah P ฀Q.

Contoh Soal 1.6

Diketahui p(x) = x2 – x – 2 ≥ 0, q(x) = x2– 4x + 3 = 0, x R.

Tentukan himpunan penyelesaian dari p(x) q(x) sehingga kalimat tersebut menjadi konjungsi yang benar. Kemudian, gambarkandiagram Vennnya.

Jawab:

Himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 – x – 2 ≥ 0 adalah P = {x x ≤ –1 atau x ≥ 2, x R}.

Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2– 4x + 3 = 0 adalah Q = {1, 3}.

Himpunan penyelesaian dari p(x) q(x) adalah P Q = {x x ≤ –1 atau x ≥ 2, x R} {1, 3} = {3} Diagram Vennnya: S P 3 1 Q

Kata Kunci

2. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata "atau". Kata atau dilambangkan dengan " ". Jika p dan q pernyataan tunggal maka disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan

Gambar 1.5 "Air adalah zat cair atau padat" merupakan pernyataan disjungsi.

Sumber : upload.wikimedia.org

Perhatikan beberapa pernyataan disjungsi berikut.

1. Timor Leste terletak di Timur Tengah atau di Asia Tenggara.

2. Air adalah zat cair atau padat. 3. Akar dari x2 = 2 adalah –2 atau 2.

4. Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan atau uang perusahaan yang disimpan di bank.

Seperti juga konjungsi, terdapat 4 kemungkinan komposisi dari p dan q pada suatu disjungsi p ฀q, yaitu:

t p benar dan q benar

t p benar dan q salah

t p salah dan q benar

t p salah dan q salah

Disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataannya bernilai salah. Selain dari itu, disjungsi bernilai benar. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.

p q p ฀q

B B B

B S B

S B B

S S S

1. "Timor Leste terletak di Timur Tengah" adalah pernyataan salah dan "Timor Leste terletak di Asia Tenggara" adalah pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar.

2. "Air adalah zat cair" merupakan pernyataan benar dan "air adalah zat padat" merupakan pernyataan salah maka disjungsi bernilai benar.

3. "Akar dari x2 = 2 adalah –2" merupakan pernyataan benar dan "akar dari x2 = 2 adalah 2" merupakan pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar.

4. "Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan" adalah pernyataan yang benar dan "Kas adalah uang perusahaan yang disimpan di bank" adalah pernyataan yang benar maka konjungsi bernilai benar.

13 Logika Matematika Pada Contoh Soal 1.7 tampak nilai kebenaran p q sama

dengan nilai kebenaran q p. Nilai kebenaran p ~q sama dengan nilai kebenaran ~q p. Dengan demikian, pada disjungsi berlaku hukum komutatif, yaitu jika p dan q adalah pernyataan maka berlaku

Contoh Soal 1.7

Jika pernyataan p salah dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari disjungsi-disjungsi berikut.

a. p q c. ~q p

b. p ~q d. q p

Jawab:

a. p salah dan q benar, maka (p q) = B b. p salah dan ~q salah, maka (p ~q) = S c. ~q salah dan p salah, maka (~q p) = S d. q benar dan p salah, maka (q p) = B

p q q p Hukum komutatif

Contoh Soal 1.8

Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat-kalimat berikut sehingga menjadi disjungsi yang benar.

a. log 100 = 2 atau log x = 1.

b. x2 + x – 2 = 0 atau x2+ 5x + 6 = 0, x R. c. x2 – 3x + 2 < 0 dan x2+ x = 0, x R. Jawab:

a. log 100 = 2 adalah pernyataan benar.

Oleh karena pernyataan pertama benar, Anda dapat memasukkan nilai-nilai x > 0 pada log x = 1 sehingga kalimat log 100 = 2 atau log x = 1 menjadi disjungsi benar. Jadi, himpunan penyelesaian untuk log 100 = 2 atau log x = 1 adalah {x x > 0, x R}. b. Misalkan p(x) = x2 – 2x + 1 = 0 dan q(x) = x2 + 5x + 6 = 0.

Agar p(x) ฀q(x), x R bernilai benar, cukup dicari nilai x yang memenuhi salah satu persamaan. Oleh karena itu, penyelesaian-nya adalah gabungan dari himpunan penyelesaian masing-masing persamaan.

Himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 + x – 2 = 0 adalah P = {–2, 1}.

Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 + 5x + 6 = 0 adalah Q = {–2, –3}.

Jadi, himpunan penyelesaian dari x2+ x – 2 = 0 ataux x2+ 5x + 6 = x 0, x R adalah P Q = {–2, 1} {–2, –3} = {–2, –3, 1}.

Notes

Pada disjungsi berlaku hukum komutatif p ฀฀q ฀q ฀฀p

Perhatikan kembali Contoh Soal 1.8.

Untuk Contoh Soal 1.8 (b), himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 – 2x + 1 = 0 adalah P = {–2, 1}. Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 + 5x + 6 = 0 adalah Q = {–2, –3}.

Himpunan penyelesaian dari x2 + x – 2 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0, x ฀R adalah P Q = {–2, 1} ฀{–2, –3} = {–2, –3, 1}.

Diagram Vennnya adalah

S P

–2

Q 1 –3

Untuk Contoh Soal 1.8 (c), misalkan himpunan penyelesaian dari x2 – 3x + 2 < 0 adalah P = {x 1 < x < 2, x ฀R} dan himpunan penyelesaian dari x2 + x = 0 adalah Q = {–1, 0}.

Oleh karena, x = –1 atau x = 0 adalah gabungan dari P dan Q, yaitu {x x = –1 atau x = 0 atau 1 < x < 2, x ฀R} atau dapat ditulis {x 1 < x < 2, x R} {–1, 0} = P ฀Q.

Diagram Vennnya adalah

S P

–1 0 Q

Uraian tersebut menggambarkan ketentuan berikut.

Jika P adalah himpunan penyelesaian untuk p(x) dan Q adalah himpunan penyelesaian untuk q(x), maka himpunan penyelesaian dari p(x) ฀q(x) adalah P ฀Q.

c. Dengan cara yang sama dengan nomor 2, diperoleh himpunan penyelesaian untuk x2 – 3x + 2 < 0 dan x2 + x = 0, x R adalah {x x = – 1 atau x = 0 = 1 atau 1 < x < 2, x R}.

15 Logika Matematika Contoh Soal 1.9

Diketahui p(x) = x2– 3x + 2 = 0,x q(x) = x2 – 5x + 6 = 0, x x R. Tentukan himpunan penyelesaian dari p(x(( ) x) ) q(x฀(( ) sehingga kalimat tersebut menjadix disjungsi yang benar. kemudian gambarkan diagram Vennnya. Jawab:

Himpunan penyelesaian dari p(x) = x2– 3x + 2 = 0 adalah P = {1, 2}.

Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 – 5x + 6 = 0 adalah Q = {2, 3}.

Himpunan penyelesaian dari p(x) ฀q(x) adalah P Q = {1, 2} {2, 3} = {1, 2, 3}

Diagram Vennnya adalah sebagai berikut.

S P

2 3 1

Q

3. Ingkaran dari Konjungsi dan Dis jungsi

a. Ingkaran dari Konjungsi

Ingkaran dari suatu konjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari konjungsi sebelumnya.

Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka tabel nilai kebenaran dari konjungsi dan ingkarannya adalah sebagai berikut. p q p ฀q ~(p ฀q) B B B S B S S B S B S B S S S B

Perhatikan contoh soal berikut agar Anda memahami cara menarik ingkaran dari pernyataan yang mengandung konjungsi.

Jelajah

Matematika

Russel (1872-1970) Seorang filsuf dan ahli logika asal inggris yang memperoleh hadiah nobel untuk bidang kesastraan pada tahun 1950. Kejeniusannya mulai terlihat pada saat ia kuliah di universitas Cambridas Inggris, di mana ia belajar matematika dan

filisofi. Ia berkeinginan mengekpresikan ilmu pengetahuan dalam bentuk yang disederhanakan, dan menghubungkan logika secara langsung dengan matematika.

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

Sumber: media-2.web. britannica.com

Contoh Soal 1.10

Buatlah tabel nilai kebenaran dari ~p฀~q. Jawab: p q ~p ~q ~p ฀~q B B S S S B S S B B S B B S B S S B B B

Tampak pada Contoh Soal 1.10, nilai kebenaran ~p ฀~q sama dengan ~(p q). Dengan demikian, diperoleh

~(p ฀q) ฀~p ~q Sifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan. Contoh Soal 1.11

Tentukan ingkaran dari pernyataan "2 adalah bilangan genap dan bilangan prima".

Jawab:

Berdasarkan Hukum de Morgan, ingkaran dari "2 adalah bilangan genap dan bilangan prima" adalah "2 bukan bilangan genap atau 2 bukan bilangan prima".

b. Ingkaran dari Disjungsi

Ingkaran dari suatu disjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari disjungsi sebelumnya.

Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan, maka tabel nilai kebenaran dari disjungsi dan ingkarannya adalah sebagai berikut. p q p ฀q ~(p ฀q) B B B S B S B S S B B S S S S B

17 Logika Matematika Contoh Soal 1.12

Buatlah tabel nilai kebenaran dari ~p ~q. Jawab: p q ~p ~q ~p ~q B B S S S B S S B S S B B S S S S B B B

Tampak pada Contoh Soal 1.12, nilai kebenaran ~p ฀~q sama dengan ~(p ฀q). Dengan demikian diperoleh

~(p ฀q) ~p ฀~q Sifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan.

Contoh Soal 1.13

Tentukan ingkaran dari pernyataan " 2adalah bilangan rasional atau bilangan irasional".

Jawab:

Berdasarkan Hukum de Morgan, ingkaran dari " 2 adalah bilan-gan rasional atau bilanbilan-gan irasional" adalah " 2 bukan bilangan rasional dan bukan bilangan irasional".

4. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan "jika … maka …." Implikasi dilambangkan dengan " ". Jika p dan q adalah pernyataan, maka implikasi "jika p maka q" ditulis p ฀q. Implikasi merupakan pernyataan sebab akibat. Pada implikasi p ฀q, maka p disebut sebab atau alasan, dan q disebut akibat atau kesimpulan.

Berikut adalah pernyataan-pernyataan implikasi. 1. Jika tanggal di kalender merah maka hari libur. 2. Jika harga naik maka permintaan turun. 3. Jika a > 0 maka 1

a> 0.

4. Jika 2 faktor dari 6 maka 6 bilangan genap.

Notes

Hukum de Morgan ~ (p ฀q) ฀~ p ฀~q ~ (p ฀ q) ~p ~q

Sama seperti konjungsi dan disjungsi, terdapat empat kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan pada suatu implikasi, yaitu sebagai berikut. t KJLBp (alasan) benar maka q (kesimpulan) benar t KJLBp (alasan) benar maka q (kesimpulan) salah t KJLBp (alasan) salah maka q (kesimpulan) benar t KJLBp (alasan) salah maka q (kesimpulan) salah

Implikasi hanya bernilai salah jika pernyataan yang merupakan kesimpulannya bernilai salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut. p (alasan) q (kesimpulan) (p ฀q) B B B B S S S B B S S B Contoh Soal 1.14

Jika pernyataan p benar dan q salah, tentukan nilai kebenaran dari disjungsi-disjungsi berikut.

a. p q c. p (~q p)

b. p ~q d. (q p) ~q

Jawab:

a. p benar dan q salah, maka (p q) = S. b. p benar dan ~q benar, maka (p ~q) = B.

c. ~q benar, p benar, dan (~q p) = B, maka (p (~q p)) = B d. q salah, p benar, dan (q p) = B, maka ((q p) ~q)) = B

Pada contoh berikut, Anda akan mempelajari cara membuat suatu implikasi yang bernilai benar.

Contoh Soal 1.15

Tentukan nilai-nilai x sehingga x2– 5x + 6 = 0 x2– 2x = 0, x R menjadi implikasi yang benar.

Jawab:

Misalkan p(x): x2 – 5x + 6 = 0 dan q(x): x2– 2x = 0

Agar p(x) q(x), x R bernilai benar, harus dicari nilai x yang mem-buat q(x) menjadi pernyataan benar atau nilai x yang memmem-buat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah.

Himpunan penyelesaian dari p(x): x2– 5x + 6 = 0 adalah P = {2, 3}. Himpunan penyelesaian dari q(x): x2 – 2x = 0 adalah Q = {0, 2}.

19 Logika Matematika Substitusikan x = 2 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka

22 – 5 ฀2 + 6 = 0 02 – 2 ฀0 = 0

B B

Diperoleh implikasi bernilai benar.

Substitusikan x = 3 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 32 – 5 ฀3 + 6 = 0 32 – 2 ฀3 = 3 ≠ 0

B S

Diperoleh implikasi bernilai salah.

Substitusikan x = 0 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 02 – 5 ฀0 + 6 = 6 ≠ 0 02 – 0 ฀0 = 0

S B

Diperoleh implikasi bernilai benar.

Selanjutnya, Anda cari nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah.

Ambil, x = 4. Substitusikan x = 4 ke persamaan x2 – 5x + 6 = 0 dan q(x) : x2 – 2x = 0, diperoleh

42 – 5 ฀4 + 6 = 2 ≠ 0 42 – 2 ฀4 = 8 ≠ 0

S S

Diperoleh implikasi bernilai benar.

Jadi, x2 – 5x + 6 = 0 x2 – 2x = 0, x R hanya akan bernilai salah untuk x = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {x x ≠ 3, x R}.

Diagram Vennnya adalah sebagai berikut.

S P 2 1 3 Q

5. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata. Jika dan hanya jika... Kata "Implikasi" dilambangkan dengan . Jika p dan q adalah pernyataan, maka biimplikasi "p jika dan hanya jika q" dinyatakan dengan p q.

Misalkan:

1. Karyawan akan dapat bonus jika dan hanya jika ia tidak pernah datang terlambat.

2. log b = c jika dan hanya jika 10c = b.

3. 2n bilangan genap jika dan hanya jika n bilangan bulat. 4. a + b = 0 jika dan hanya jika b = –a.

Gambar 1.6

Karyawan akan dapat bonus jika dan hanya jika ia tidak pernah datang terlambat.

Sumber : www.kanwilpajakkhusus. depkeu.go.id

Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan yang menyu-sunnya benar atau kedua pernyataan yang menyumenyu-sunnya salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.

p q p ฀q B B B B S S S B S S S B Contoh Soal 1.16 Buktikan p q (p q) (q p). Jawab:

Buktikan dengan membuat tabel nilai kebenaran (p q) (q p), kemudian Anda bandingkan hasilnya dengan tabel nilai kebenaran p q. p q p q q p (p q) (q p) B B B B B B S S B S S B B S S S S B B B

Tampak nilai-nilai pada tabel nilai kebenaran (p q) ฀฀

(q ฀p) sama dengan nilai-nilai pada tabel nilai kebenaran p ฀q. Dengan demikian, terbukti p q (p ฀q) ฀(q p).

Contoh Soal 1.17

Jika pernyataan p salah dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.

a. p q c. (~q p) q

b. p ~q d. q (~p q)

Jawab:

Diketahui p salah dan q benar. a. (p q) = S

b. (p ~q) = B

c. (~q p) = S, maka ((~q p) ~q) = B d. (~p q) = B, maka (q (~p q)) = B

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi-biimplikasi berikut. a. 23 = 8 38 = 2 b. x2 = 4 ฀฀x = 2 c. x2 > 9 ฀x < –3 atau x > 3

Soal Pilihan

21 Logika Matematika Contoh Soal 1.18

Tentukan himpunan penyelesaiannya sehingga menjadi biimplikasi yang benar.

x2– 3x + 2 = 0 x2– x = 0, x R. Jawab:

Misalkan p(x): x2– 3x + 2 = 0 dan q(x): x2– x = 0.

Agar p(x) q(x), x R bernilai benar, harus dicari nilai x yang mem-buat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan benar atau nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah.

Himpunan penyelesaian dari p(x): x2 – 3x + 2 = 0 adalah P = {1, 2}. Himpunan penyelesaian dari q(x): x2– x = 0 adalah Q = {0, 1}. Substitusikan x = 1 pada x2 – 3x + 2 = 0 dan x2 – x = 0, maka

12– 3 ฀1 + 2 = 0 12 – 1 = 0

B B

Diperoleh biimplikasi bernilai benar.

Substitusikan x = 2 pada x2 – 3x + 2 = 0 dan x2 – x = 0, maka 22– 3 2 + 2 = 0 22 – 2 = 2 ≠ 0

B S

Diperoleh implikasi bernilai salah.

Substitusikan x = 0 pada x2 – 3x + 2 = 0 dan x2– x = 0, maka 02– 3 ฀0 + 2 =2 ≠ 0 02– 0 = 0

S B

Diperoleh implikasi bernilai salah.

Selanjutnya, Anda cari nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah.

Ambil x = 10. Substitusikan x = 4 ke persamaan x2– 3x + 2 = 0 dan x2– x = 0, diperoleh

102– 3 ฀10 + 2 = 72 ≠ 0 102 – 10 = 90 ≠ 0

S S

Diperoleh implikasi bernilai benar.

Jadi, x2 – 3x + 2 = 0 x2 – x = 0, x R hanya akan bernilai salah untuk x = 0 dan x = 2. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {x x ≠ 0 dan x ≠ 2, x R}.

Diagram Vennnya adalah sebagai berikut.

S P

1 0 2

Q

Pada contoh soal berikut, Anda akan mempelajari cara membuat suatu biimplikasi bernilai benar.

6. Ingkaran dari Implikasi dan Biimplikasi

a. Ingkaran dari Implikasi

Ingkaran dari suatu implikasi mempunyai nilai yang berlawanan dari implikasi sebelumnya.

Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan yang berbeda, maka tabel nilai kebenaran dari implikasi dan ingkarannya adalah sebagai berikut.

p q p ฀q ~(p ฀q) B B B S B S S B S B B S S S B S Contoh Soal 1.19

Buatlah tabel nilai kebenaran dari p ~q. Jawab: p q ~q p q B B S S B S B B S B S S S S B S

Tampak pada Contoh Soal 1.19 nilai kebenaran untuk ~(p ฀q) sama dengan p ฀~q. Dengan demikian, diperoleh

~(p ฀q) p ~q

Dari hubungan tersebut, Anda peroleh hubungan implikasi dengan disjungsi, yaitu

23 Logika Matematika Contoh Soal 1.20

Tentukan ingkaran dari pernyataan: Jika harga naik maka permintaan turun. Jawab:

Misalkan p: harga naik dan q: permintaan turun, maka pernyataan di atas menjadi p q.

Telah diketahui bahwa ~(p q) p ~q maka ingkaran dari pernyataan "Jika harga naik maka permintaan turun" adalah "Harga naik dan permintaan tidak turun".

b. Ingkaran dari Biimplikasi

Sebelumnya telah diketahui bahwa pernyataan berikut ekuivalen p ฀q (p ฀q) ฀(q ฀p) dan p q ~p ฀q.

maka diperoleh

~(p ฀q) ~[(~p ฀q) ฀(~q ฀p)] (p ฀~q) ฀(q ฀~p) atau dapat ditulis

~(p ฀q) (p ฀~q) ฀(q ฀~p)

Lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 1.21 berikut.

Contoh Soal 1.21

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut "x adalah segiempat jika dan hanya jika x mempunyai 4 titik sudut".

Jawab: Misalkan,

p: x adalah segiempat

q: x mempunyai 4 titik sudut, maka pernyataan di atas menjadix p q. Diketahui ~(p q) (p ~q) ฀(q ~p).

selanjutnya diperoleh ingkaran dari pernyataan "x adalah segiempat jika dan hanya jika x mempunyai 4 titik sudut" adalah "x adalah segi-empat dan tidak mempunyai 4 titik sudut atau x mempunyai 4 titik sudut dan x bukan segiempat".

Tentukanlah ingkaran dari 14 < 4 jika dan hanya jika sin 60° = 12 3.

1. Tentukan nilai kebenaran konjungsi-konjungsi berikut.

a. Jakarta dan Kuala Lumpur adalah kota besar di Indonesia.

b. Indonesia terdiri atas 30 Provinsi dan setiap Provinsi di Indonesia memiliki ibukota.

c. Thailand dan Perancis dikepalai oleh raja.

d. 5 adalah bilangan asli dan bulat

e. 1 0 0 1 d a n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a d a l a h matriks identitas.

f.ff log 25 =5log 2 dan log 4 =2log 2 2. Jika p benar dan q salah, tentukan nilai

kebenaran dari konjungsi-konjungsi berikut.

a. p q e. ~(~ p q)

b. ~p q f.ff ~p( ~q)

c. p ~q g. ~p ~q

d. ~(p q)

3. Tentukan nilai x sehingga kalimat-kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar. a. x + 8 = 5 dan 4 + 8 = 12

b. (–5)2 = 25 dan x2= 4 c. log 10 = 1 dan log x = 2

4. Jika p salah dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari disjungsi-disjungsi berikut.

a. p฀q e. ~(~p฀q)

b. ~p ฀q f.ff ~p((( ~q)฀

c. p฀~q g. ~p ฀~q

d. ~(p ฀q)

5. Tentukan nilai kebenaran disjungsi-disjungsi berikut.

a. Ibukota Nusa Tenggara Timur adalah Mataram atau Kupang.

b. Susilo Bambang Yudhoyono adalah Presiden RI ke-6 atau ke-7.

Sumberr:ww.antaratv.com

c. 1

2adalah bilangan rasional atau

irasional.

d. Neraca atau laporan perubahan modal termasuk laporan keuangan.

6. Diketahui p(x) = x2 + 4x – 5 = 0 dan q(x) = x2 – 1 = 0, x R. Tentukan himpunan penyelesaian dari p(x) dan q(x) sehingga kalimat tersebut menjadi disjungsi yang benar dan gambarkan diagram Vennnya. 7. Tentukan nilai kebenaran dari

implikasi-implikasi berikut.

a. Jika Jakarta adalah ibukota Indonesia, maka Jakarta terletak di Indonesia. b. Jika suku Dayak ada di Sumatra maka

suku Dayak ada di di Indonesia. c. Jika35

= 5

1

3maka38

= 2 .

d. log 6 = (log 2)(log 3) dan log 8 = 2 log 3 8. Jika p salah dan q benar, tentukan nilai

kebenaran dari implikasi-implikasi berikut.

a. p q c. ~(~p q)

b. ~p q d. ~p( ~q)

9. Tentukan nilai kebenaran biimplikasi-biimplikasi berikut.

a. Jakarta adalah ibu kota Indonesia jika dan hanya jika pusat pemerintahan Indonesia ada di Jakarta.

b. Inggris adalah kerajaan jika dan hanya jika Inggris dikepalai oleh seorang raja.

Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.

25 Logika Matematika

C Invers, Konvers,

dan Kontraposisi

Perhatikan pernyataan implikasi berikut. "Jika Ira seorang penyanyi, maka ia seorang artis" Pada pernyataan ini, p: "Ira seorang penyanyi" sebagai hipotesis dan q: "Ia seorang artis" sebagai konklusi. Anda dapat membentuk beberapa pernyataan berhubungan dengan implikasi p q, seperti q p : Jika Ira seorang artis, maka ia seorang penyanyi. ~p ฀~q : Jika Ira bukan seorang penyanyi, maka ia bukan

seorang artis.

~p ~p : Jika Ira bukan seorang artis, maka ia bukan penyanyi.

Pernyataan q p disebut konvers, ~p ~q disebut invers, dan ~q ~p disebut kontraposisi. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

t _p ฀~q disebut invers dari p ฀q t q ฀p disebut konvers dari p ฀q

t _q ฀~p disebut kontraposisi dari p q

Pelajarilah contoh berikut agar Anda memahami penggunaan dari konvers, invers, dan kontraposisi.

c. 2adalah bilangan irasional jika dan hanya jika bilangan irasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat.

d. log 10 = 2 jika dan hanya jika log 100 = 3. 10. Jika p benar dan q salah, tentukan nilai

kebenaran dari biimplikasi-biimplikasi berikut.

a. p q c. p ฀~q

Contoh Soal 1.22

Diketahui

p: I adalah matriks identitas ordo 2 q : a b

c d I = a b c d

Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dalam kalimat yang benar.

a. p q c. q p

b. ~q ~p d. ~p ~q

Jawab:

a. Jika I adalah matriks identitas ordo 2 maka a b

c d I = a b c d .

Kata Kunci

Bagaimanakah hubungan antara implikasi p ฀q dengan invers, konvers, dan kontraposisinya? Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut. p q ~p ~q p ฀q ~q ฀~p q ฀p ~p ฀~q B B S S B B B B B S S B S S B B S B B S B B S S S S B B B B B B

Tampak dari tabel tersebut nilai kebenaran implikasi p ฀q sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q ฀~p. Nilai kebenaran konvers suatu implikasi q ฀p sama dengan invers dari implikasinya ~p ฀~q. Dengan demikian, diperoleh

p ฀q ~q ฀~p q ฀p ~p ฀~q

Pada Contoh Soal 1.22, pernyataan "Jika I adalah matriks

identitas ordo 2, maka a b

c d I = a b c d " ekuivalen dengan "Jika a b c d I ≠ a b

c d maka I bukan matriks identitas ordo 2".

Pernyataan "Jika a b

c d I = a b

c d maka I adalah matriks

identitas ordo 2" ekuivalen dengan "Jika I bukan matriks

identitas ordo 2 maka a b

c d I ≠

a b c d ".

Contoh Soal 1.23

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari implikasi-implikasi berikut.

a. Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar.

b. Jika a b

c d I ≠ a b

c d maka I bukan matriks identitas ordo

2.

c. Jika a b

c d I = a b

c d maka I adalah matriks identitas ordo

2.

d. Jika I bukan matriks identitas ordo 2 maka a b

c d I ≠ a b c d

Notes

• Ingkaran dari implikasi adalah

~(p q) p ~q

t Ingkaran dari konvers: q p adalah

~(p p) q ~p

t Ingkaran dari invers: ~p ~q adalah ~(~p ~q) ~p q q ~p t Ingkaran dari kontraposisi: ~q ~p adalah ~(~p ~p) ~q p p ~q

27 Logika Matematika b. Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan Rizky meninggalkan

ruangan. Jawab:

a. Invers dari pernyataan "Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar" adalah "Jika ada pejabat korupsi maka pembangunan tidak lancar".

Konversnya adalah "Jika pembangunan lancar maka tidak ada pejabat korupsi".

Kontraposisinya adalah "Jika pembangunan tidak lancar maka ada pejabat korupsi".

b. Invers dari pernyataan " Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan Rizky meninggalkan ruangan".

Konversnya adalah "Jika Rifky dan Rizky meninggalkan ruangan maka waktu istirahat tiba".

Kontraposisinya adalah "Jika Rifky dan Rizky tidak meninggalkan ruangan maka waktu istirahat belum tiba".

1. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.

a. Jika Bandung ibukota Jawa Barat maka Bandung terletak di Jawa Barat. b. Jika Fandi suku Jawa maka Fandi orang

Indonesia.

c. Jika Pak Odi anggota DPR maka Pak Odi anggota MPR.

d. Jika 4 bilangan bulat maka 4 bilangan real.

e. Jika alog b = x maka 2alog b = 2x. f.ff Jika x bilangan irasional maka x x bilanganx

real.

g. Jika x adalah bilangan positif maka –x adalah bilangan negatif.

h. Jika a – 1 = 1

a, a ≠ 0 maka 2

– 1 = 1

2

2. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi implikasi berikut. a. ~p ~q b. (p ~q) q c. (p q) ~q d. (p฀~q) (~p q) e. ~q (p ฀q) f.ff p ~(p ฀~q)

Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.

Evaluasi Materi 1.3

Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikanlah ekuivalensi berikut ini. Hasilnya diskusikan dengan teman-teman Anda. 1. ~(p ฀q) ~ (~q ฀~p) ฀p ฀~q

2. ~(q ฀p) ~ (~p ฀~q) ฀q ฀~p