Misalkan abc merupakan tiga bilangan satu angka yang berbeda

Academia.edu no longer supports Internet Explorer.

To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.

You're Reading a Free Preview
Pages 7 to 19 are not shown in this preview.

You're Reading a Free Preview
Pages 24 to 26 are not shown in this preview.

(1)

Oleh : Tutur Widodo

1. Misalkana, b, dancadalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan

asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan

(x−a)(x−b) + (x−b)(x−c) =0

yang mungkin adalah ...

Jawaban :

Persamaan(x−a)(x−b) + (x−b)(x−c) =0 setara dengan(x−b)(2x−a−c) =0. Jadi, akar-akar

dari persamaan kuadrat tersebut adalah x1=batau x2= a+c2 . Oleh karena itu

x1+x2=b+ a+c

2 ≤9+ 8+7

2 =16.5

2. Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2×2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. MisalkanN adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:

• untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap

• untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap

NilaiN adalah ...

Jawaban :

Perhatikan bahwa dua bilangan memiliki jumlahan genap jika dan hanya jika keduanya memiliki paritas

sama. Akibatnya, keempat bilangan yang diisikan pada tabel 2×2 tersebut harus genap semua atau

harus ganjil semua.

(i) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 1 atau 3 maka banyaknya cara adalah 24=16.

(ii) Jika tabel tersebut diisi oleh bilangan 2 maka banyaknya cara adalah 1.

Jadi, diperoleh nilaiN=16+1=17.

3. Diberikan persegi berukuran 3×3 satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah ...

(2)

A B Z

X Y

Jelas bahwaY Z= 12 = BC6 . Karena△X Y Z sebangun dengan△ABC, akibatnya

[X Y Z] = 1

‹2

·[ABC] = 1

‹2 · 1

2·2·3= 1 12

Jadi, luas segilima yang diarsir adalah 1−121 =1112.

4. Parabola y =a x2−4 dan y =8−b x2 memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik. Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilaia+badalah ...

Jawaban :

Perhatikan gambar di bawah ini

−3 −2 −1 1 2

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

0 A

B D

Jelas bahwa y1=a x2−4 memotong sumbu-Y di titikC(0,−4)dan y2=8−b x2memotong sumbu-Y

di titikA(0, 8). Akibatnya agar kedua kurva tersebut memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik

maka kurva y1dan y2berpotongan tepat di sumbu-X, katakanlah di titikBdanD. Mengingat diketahui

luasABC Dadalah 24 dan panjangAB=12 maka panjangBD=4. Jadi diperolehB(2, 0)danD(−2, 0).

Dengan mensubstitusikan titikB(2, 0)ke kurva y1dan y2berturut-turut diperoleh a=1 danb=2.

Jadi,a+b=3.

(3)

Jawaban :

Untukn=10 diperolehn−s(n) =9, akibatnyadmembagi 9. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk

setiap bilangan aslin,n−s(n)habis dibagi 9. Misalkann=anan−1· · ·a2a1a0=an·10n+an−1·10n−1+ · · ·+a2·102+a1·10+a0, akibatnya diperoleh

n−s(n)≡an·10n+an−1·10n−1+· · ·+a2·102+a1·10+a0−(an+an−1+· · ·+a2+a1+a0) mod 9

≡an+an−1+· · ·+a2+a1+a0−(an+an−1+· · ·+a2+a1+a0) mod 9 ≡0 mod 9

Jadi, terbuktin−s(n)habis dibagi 9 untuk setiap bilangan aslin. Oleh karena itu, semua kemungkinan

nilaid adalahd=1, 3 atau 9.

6. Diketahuix dan y bilangan prima denganx < y, dan

x3+y3+2018=30y2−300y+3018.

Nilai x yang memenuhi adalah ...

Jawaban :

Persamaan pada soal setara dengan

0=x3+ (y−10)3= (x+ y−10)€x2−x(y−10) + (y−10)2Š

Karena

x2−x(y−10) + (y−10)2= 1

€

(x−y+10)2+x2+ (y−10)2Š>0

maka diperoleh x+y−10=0. Karena x dan y prima dan x < y maka satu-satunya pasangan(x,y)

yang memenuhi adalah(3, 7).

7. Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil

me-rupakan kelipatan 3, sedangkan yang lainnya meme-rupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah ...

Jawaban :

Misalkan dua bilangan tersebut adalahadan b=a+10. Diketahuia≡0 mod 3 dan b=a+10≡0

mod 7 ⇒ a ≡ 4 mod 7. Akibatnya a ≡ 18 mod 21. Oleh karena itu, terdapat empat nilai a yang

memenuhi yaitua=18, 39, 60, 81.

• Jika a=18 maka b=28. Jumlah semua faktor primaadan badalah 12.

• Jika a=39 maka b=49. Jumlah semua faktor primaadan badalah 23.

• Jika a=60 maka b=70. Jumlah semua faktor primaadan badalah 17.

• Jika a=81 maka b=91. Jumlah semua faktor primaadan badalah 23.

Jadi, dua bilangan yang memenuhi adalaha=60 danb=70 sehingga a+b=130.

8. Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka adalah

4. Jika ditosnkali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga angka.

(4)

Diketahui peluang muncul angka adalah 14 dan peluang muncul gambar adalah34. Jika dadu ditosnkali maka

• peluang muncul tepat dua angka yaitu

• peluang muncul tepat tiga angka yaitu

Jadi, nilainyang memenuhi adalahn=11.

9. Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari

segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah ...

Jawaban :

Misalkan segitiga tersebut adalah segitigaABC dimana garis bagiBEtegak lurus dengan garis beratC D, seperti tampak pada gambar di bawah ini

A D B

Karena∠C BE=∠DBEdanBE⊥C D, akibatnyaC BDadalah segitiga samakaki denganBC=BD. Jadi,

AB=2BC.

Misalkan pula panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalaha,a+1 dana+2 untuk suatu bilangan aslia.

Terdapat tiga kasus yang mungkin, yaitu

(i) BC=adanAB=a+1. Akibatnyaa+1=2a⇒a=1. Jadi, diperolehAB=2,BC=1 danCA=3.

Namun segitiga yang demikian tidak ada.

(ii) BC = a danAB = a+2. Akibatnya a+2 =2a ⇒a = 2. Jadi, diperolehAB = 4,BC = 2 dan

CA=3.

(iii) BC=a+1 danAB=a+2. Akibatnya a+2=2(a+1)⇒a=0,absurd.

(5)

10. Diberikan suku banyak p(x)dengan p(x)2+p(x2) =2x2 untuk setiap bilangan realx. Jika p(1)6=1

maka jumlah semua nilai p(10)yang mungkin adalah ...

Jawaban :

Klaim.De g(p)≤2.

Bukti. Andaikan d e g(p) = n≥ 3. Misalkan p(x) = a xn+q(x) dengan d e g(q) = k < ndan a 6= 0.

Akibatnya diperoleh

a2x2n+2a xnq(x) +q(x)2+a x2n+q(x2) =2x2

⇔ (a2+a)x2n+2a xnq(x) +q(x)2+q(x2) =2x2 (1)

Mengingat 2n>n+k≥3 maka haruslaha2+a=0⇒a=−1. Persamaan (1) setara dengan

−2xnq(x) +q(x)2+q(x2) =2x2

Perhatikan d e g(−2xnq(x)) =n+k>2k≥ d e g(q(x)2+q(x2)). Oleh karena itu, jikaq(x)6=0 maka derajat ruas kiri adalahn+k>2 yang jelas tidak mungkin. Akibatnya,q(x) =0. Namun hal ini berakibat

2x2=0 untuk setiap bilangan real x, suatu hal yangabsurd. Jadi, terbuktid e g(p)≤2. (Bukti untuk

klaim ini berdasarkan ide dari Bapak Miftahus Saidin) „

Untuk x=0 diperoleh persamaanp(0)2+p(0) =0. Oleh karena itu,p(0) =0 ataup(0) =−1. Untuk

x = 1 diperoleh persamaan p(1)2+p(1) = 2. Oleh karena itu, p(1) = 1 atau p(1) = −2. Namun

karena diketahui p(1) 6= 1, diperoleh p(1) = −2. Sedangkan untuk x = −1 diperoleh persamaan

p(−1)2+p(1) =2. Jadi,p(−1)2=4, makap(−1) =2 atau p(−1) =−2

(i) Jika p(0) =0 danp(1) =−2 diperolehP(x) =Ax(x−1)−2x untuk suatu konstantaA.

• JikaP(−1) =2 maka diperoleh 2A+2=2 ⇔ A=0, diperoleh P(x) =−2x. Setelah dicek ke persamaan yang ada pada soal, memang polinomp(x) =−2x memenuhi.

• JikaP(−1) =−2 maka diperoleh 2A+2=−2 ⇔ A=−2, diperoleh P(x) =−2x2. Setelah dicek ke persamaan yang ada pada soal, polinomp(x) =−2x2 tidak memenuhi.

(ii) Jikap(0) =−1 danp(1) =−2 diperoleh P(x) =Ax(x−1)−x−1 untuk suatu konstantaA.

• JikaP(−1) =2 maka diperoleh 2A=2 ⇔ A=1, diperolehP(x) =x2−2x−1. Setelah dicek ke persamaan yang ada pada soal, polinomP(x) =x2−2x−1 tidak memenuhi.

• JikaP(−1) =−2 maka diperoleh 2A=−2 ⇔ A=−1, diperoleh P(x) =−x2−1. Setelah dicek ke persamaan yang ada pada soal, memang polinomP(x) =−x2−1 memenuhi.

Jadi, terdapat dua polinomp(x)yang memenuhi yaitup(x) =−2x danp(x) =−x2−1. Jadi, jumlah semua nilaip(10)yang mungkin adalahp(10) =−20+ (−101) =−121.

11. Misalkan {xn}adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi x1 = x2 =· · ·= x12 =0, x13 =2, dan untuk setiap bilangan aslinberlaku

xn+13=xn+4+2xn

(6)

Perhatikan bahwa relasi rekursif pada soal dapat ditulis ulang sebagai berikut

xn= xn−9+2xn−13

Oleh karena itu, untuk mencari nilai suku ke-nkita dapat mereduksi nilainsebanyak−9 atau−13. Jika proses ini dilakukan terus menerus maka kita dapat menyatakan xndalam x1, x2,· · ·, ataux13.

Sebagai contoh akan dicari nilai x57. Untuk memudahkan proses reduksi, kita pergunakansegitiga pascal

sebagai berikut

5 48

35 39

22 26

9 13

17 21

12 4

Dari diagram di atas diperoleh

x57=a x12+b x8+c x4+d x13+e x9+ f x5

Namun karena x1=x2=· · ·=x12=0 dan hanya x13yang memiliki nilai, akibatnya x57=d x13.

Perhatikan bahwa ketika bergerak ke kiri bawah maka bobotnya 1 sementara ketika bergerak ke kanan

bawah bobotnya 2. Akibatnya, nilaid setara dengan koeffisienx2y2 dari penjabaran(x+2y)4(Anda dapat memandang hal ini sebagaimana ketika mengisi nilai-nilai pada segitiga Pascal, hanya kali ini bobot

antara arah ke kiri dan ke kanan berbeda). Oleh karena itu, diperoleh nilai d = 42·22 = 24. Jadi,

x57=24x13=48.

Jika diperhatikan, setiap diagonal (arah ke kanan bawah) akan berakhir dengan 13 jika dan hanya jika

diagonal tersebut dimulai dengan bilangan kelipatan 13. Oleh karena itu, untuk diagonal yang tidak

(7)

143

Berdasarkan diagram di atas, bilangan 143 dapat direduksi menjadi 13 melalui dua jalan, yaitu 13

denganlingkaran merahdan 13 denganlingkaran biru. Misalkan x143=a x13+b x13denganasetara dengan koeffisien x13y dari penjabaran(x+2y)14danbsetara dengan koeffisien y10dari penjabaran (x+2y)10. Jadi,a= 141·2=28 danb= 1010·210=1024.

Oleh karena itu,x143=28x13+1024x13=1052x13=2104.

12. Untuk setiap bilangan realz,⌊z⌋menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama denganz. Jika diketahui⌊x⌋+⌊y⌋+ y=43.8 danx+ y− ⌊x⌋=18.4. Nilai 10(x+y)adalah ...

13. MisalkanABC Dadalah trapesium siku-siku denganABsejajarDCdanABtegak lurusAD. Misalkan juga

P adalah titik potong diagonalAC dan BD. Jika perbandingan luas segitigaAP Ddan luas trapesium

(8)

Misalkan[ABP] =X2dan[C DP] =Y2.

Karena△ABP sebangun dengan△C DP, diperoleh

Misalkan XY = t. Dari keterangan perbandingan luas segitigaAP Ddan luas trapesium ABC Dadalah 4 : 25 diperoleh

0. Jadi, terdapat dua nilait yang memenuhi yaitu 14 atau 4.

Oleh karena itu, nilai DCAB adalah 14 atau 4.

Komentar :Kondisi bahwa AB tegak lurus DC sebenarnya tidak perlu. Justru syarat yang perlu

ditam-bahkan agar soal ini memiliki solusi tunggal adalah memberi syarat AB>DC atau AB<DC.

14. Himpunan S merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2, 3,

4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan diS diurutkan mulai dari yang paling kecil sampai yang paling besar. Bilangan yang berada pada urutan ke-2018 adalah ...

Jawaban :

Misalkan bilangan anggotaS berbentuka bcd e f g.

(a) Banyaknya anggotaS dengana=1 yaitu 6!=720.

(b) Banyaknya anggotaS dengana=2 yaitu 6!=720.

• b=1 yaitu 5!=120.

(9)

• b=4 yaitu 5!=120.

• b=5 yaitu 5!=120.

• b=6 dan

– c=1 yaitu 4!=24.

– c=2 yaitu 4!=24.

– c=4 yaitu 4!=24.

– c=5 yaitu 4!=24.

Banyaknya bilangan anggotaS yang telah disebutkan di atas adalah 2016. Oleh karena itu, bilangan urutan ke-2017 adalah 3671245 dan bilangan urutan ke-2018 adalah 3671254.

15. Misalkan S = {x ∈R|0≤ x ≤ 1}. Banyaknya pasangan bilangan asli (a,b) sehingga tepat ada 2018

anggotaSyang dapat dinyatakan dalam bentuk ax + yb untuk suatu bilangan bulat x dan y adalah ...

Jawaban :

Lema.Jika a dan b adalah bilangan-bilangan asli yang saling relatif prima, maka terdapat bilangan bulat

x dan y sehingga a x+b y=1.

Bukti. Akibat langsung dari identitas Bezout. Bagi yang belum pernah membaca mengenai identitas

Bezout, silakanGooglingsaja. Banyak tersedia di internet. Selamat membaca. „

MisalkanF P B(a,b) =d. Akibatnyaa=d mdanb=d nuntuk suatu bilangan aslimdannyang saling

relatif prima. Selanjutnya diperoleh

x a +

y b =

x d m+

y d n=

nx+m y d mn

Berdasarkan lema, terdapat bilangan bulat x1dan y1 sehingga berlakunx1+m y1=1. Oleh karena itu, untuk sebarang bilangan bulattdengan 0≤t≤d mnkita dapat memilihx =t x1dan y=t y1sehingga

berlaku

x a +

y b =

nx+m y d mn =

t(nx1+m y1)

d mn =

t d mn

Jadi, dapat disimpulkan bahwa semua anggota S yang berbentuk d mnt dengan 0 ≤ t ≤ d mn dapat dinyatakan dalam bentuk xa+ yb.

Perhatikan bahwa nilaid mn=K P K(a,b). Oleh karena itu kita memperoleh hasil sebagai berikut,untuk

setiap pasangan bilangan asli (a,b) banyaknya anggota S yang dapat dinyatakan dalam bentuk xa+ yb adalah K P K(a,b) +1.

Mengingat yang diminta adalah pasangan(a,b)sehingga tepat ada 2018 anggotaS yang dapat dinya-takan dalam bentuk xa+ yb maka kita perlu mencari pasangan(a,b)sehinggaK P K(a,b) =2017. Tentu

mudah diperoleh bahwa hanya terdapat tiga pasangan(a,b)yang memenuhi yaitu(1, 2017),(2017, 1)

dan(2017, 2017).

16. Diberikan segitigaABC dan lingkaranΓ yang berdiameterAB . LingkaranΓ memotong sisiAC danBC

(10)

Misalkan,AD=x danBE=y, makaAC=3x,C D=2x,BC=4y danC E=3y. Berdasarkanpower of

Berdasarkan dalil phytagoras pada segitigaADBdan segitigaC DB diperoleh

AB2−AD2=BC2−C D2 ⇔ 900−x2=16y2−4x2

Komentar :Soal ini adalah salah satu soal OSK yang paling sering muncul. Tercatat sudah empat kali

soal ini muncul di OSK yaitu tahun 2011, 2012, 2013 dan 2018. Hmmmmm, menarik juga. Ada apa ya

dengan soal ini?

17. Diberikan bilangan real x dan y yang memenuhi 12 < xy <2. Nilai minimum

Karena 12 < xy <2, jelas bahwa 2x− y dan 2y−x keduanya bernilai positif. Selanjutnya, kita memiliki

(11)

dengan pertidaksamaan AM-GM didapatkan

3 . (Ide penyelesaian oleh Ferdinand Halim S.).

Komentar : selain dengan menggunakan cara di atas (yang menurut saya sangat tricky), soal ini juga

dapat diselesaikan secara standar/rutin dengan memanfaatkan turunan fungsi untuk membantu mencari nilai minimumnya.

18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar. Pada tiap

sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang. Kesembilan

titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga siku-siku adalah ...

Jawaban :

Klaim.Untuk sebarang pewarnaan yang diberikan, akan selalu terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titik

sudutnya berwarna sama.

Bukti. Perhatikan segienamABC DE F di bawah ini

(12)

keumuman, misalkanAdanDberwarna merah. Jika salah satu dariB,C,E, atauFberwarna merah maka

bukti selesai, sebab pasti terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titiknya berwarna merah. Sebaliknya,

jika semua titikB,C,E, danFberwarna biru, maka terbukti pula terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titiknya berwarna biru.

Oleh karena itu untuk selanjutnya, andaikan setiap dua titik pada diagonalABC DE F berwarna berbeda. Tanpa mengurangi keumuman, misalkanAberwarna merah danDberwarna biru. Secara umum terdapat

dua kasus yang memenuhi. Kasus yang lain dapat diperoleh dengan rotasi atau refleksi sehingga akan

membentuk salah satu dari dua kasus di bawah ini

X Y

A B

E D

Gambar 1: Kasus 1

X Y

A B

E D

Gambar 2: Kasus 2

Pada kasus 1, apapun warna titikZ, salah satu dari segitiga siku-sikuF DZatauC E Zpasti ketiga titiknya berwarna sama.

Pada kasus 2, apapun warna titikZ, salah satu dari segitiga siku-sikuF DZatauAC Zpasti ketiga titiknya berwarna sama.

Jadi, terbukti bagaimanapun cara pewarnaannya, akan selalu terdapat setidaknya satu segitiga siku-siku

yang ketiga titik sudutnya berwarna sama. „

Berdasarkan klaim di atas, peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang

warna-nya sama dan membentuk segitiga siku-siku adalah 1.

19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuka4+b4+13 untuk suatu bilangan-bilangan primaadan badalah ...

Jawaban :

Klaim 1.Jika n bilangan asli bukan kelipatan 3 maka n4≡1 mod 3.

Klaim 2.Jika n bilangan asli bukan kelipatan 5 maka n4≡1 mod 5.

Kedua klaim di atas silakan pembaca buktikan sebagai latihan rutin materi modular aritmetik.

Perhatikan bahwa jika adan bkeduanya bukan bilangan kelipatan 3, berdasarkan klaim 1 diperoleh

a4+b4+13 ≡ 0 mod 3, yang jelas kontradiksi dengan fakta bahwa a4+b4+13 adalah bilangan prima. Oleh karena itu, haruslah setidaknya salah satu dariaataubsama dengan 3. Tanpa mengurangi

(13)

Perhatikan kembali, jika bbukan kelipatan 5, maka berdasarkan klaim 2 diperolehb2+94≡0 mod 5, kontradiksi. Jadi, haruslah b=5.

Mudah dicek bahwaa4+b4+13=34+54+13=719 adalah bilangan prima. Jadi, bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuka4+b4+13 untuk suatu bilangan-bilangan primaadan

badalah 719.

20. PadasegitigaABC,panjangsisiBCadalah1satuan.AdatepatsatutitikDpadasisiBCyangmemenuhi

|DA|2=|DB|·|DC|.JikakmenyatakankelilingABC,jumlahsemuanilaikyangmungkinadalah... Jawaban:

Klaim.ADadalahgarisbagi∠BAC.

Bukti. Andaikan AD bukan garis bagi ∠BAC. Akibatnya, terdapat titik lain, katakanlah titik E, pada ruas garisBC sedemikian sehinggaAE adalah garis bagi∠BAC. Misalkan pulaD′adalah titik padaBC

sehingga garisAD′adalah hasil pencerminan garisADterhadap garisAE. Selanjutnya, berturut-turut

misalkan AD,AE danAD′ memotong kembali lingkaran luar△ABC di titikY, X dan Z. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini

B C

X E

Y Z

D D′

Dari keterangan pada soal diperolehAD2=BD·DC. Akan tetapi, berdasarkanpower of pointdiperoleh pulaAD·DY =BD·DC. Oleh karena itu, diperolehAD=DY.

Perhatikan bahwa∠DAE= ∠EAD′. Namun karena,∠BAE= ∠EAC akibatnya ∠BAD=∠D′AC. Oleh

karena itu diperoleh panjang busur ÓBY sama dengan panjang busur C ZÓ. Akibatnya,Y Z sejajar BC.

Karena Dtitik tengahAY maka diperoleh pula D′ adalah titik tengahAZ. Berdasarkanpower of point

diperoleh

BD′·D′C =AD′·D′Z= (AD′)2

kontradiksi dengan asumsi bahwa Dadalah satu-satunya titik padaBCyang memenuhiAD2=BD·DC.

Jadi, terbukti bahwaADadalah garis bagi∠BAC. „

Alternatif 1 :MisalkanAB+AC=p. Berdasarkan teorema garis bagi diperoleh AB

BD = AC

DC. Akibatnya,

AB BD =

AC DC =

AB+AC BD+DC =

(14)

B D C

Selain itu, berdasarkan dalil Stewart diperoleh

BD·AC2+DC·AB2=BC·AD2+BD·DC·BC

BD·AC2+DC·AB2=AD2+BD·DC AC2

DC + AB2

BD = AD2 BD·DC +1

AC· AB BD+AB·

BD =1+1 AB

BD(AB+AC) =2 p2=2

Jadi,p=p2. Oleh karena itu, satu-satunya kemungkinan keliling△ABCadalahBC+AB+AC=1+p2.

Alternatif 2 :MisalkanH adalah proyeksi titikApadaBC. TitikOadalah pusat lingkaran luar△ABC.

Perpanjang AD sehingga memotong kembali lingkaran luar △ABC di titik F. Karena AD garis bagi, akibatnya F adalah titik tengah busur BCÓ. Oleh karena itu, diperoleh OF tegak lurus BC. Misalkan

OF memotong BC di E. Selanjutnya G adalah titik pada sinar F O sedemikian sehingga F E = EG. Perhatikan bahwaAH = F E= EG. Akibatnya,AGsejajarBC. Jadi,∠AGO=90◦. Namun karena kita

juga mempunyai∠ODA=90◦maka diperolehAGODadalah segiempat talibusur. Selanjutnya, misalkan

lingkaran⊙AGODmemotongAB danAC berturut-turut di titikPdanQ. Perhatikan gambar di bawah ini agar lebih jelas

B C

F G A

Q P

Perhatikan bahwa∠APO=90◦dan∠AQO=90◦. Akibatnya,PdanQberturut-turut adalah titik tengah

(15)

Perhatikan pula∠OAD=∠OF D=∠ODE. Oleh karena itu,BCadalah garis singgung lingkaran⊙AGOD. Berdasarkanpower of the point (POP)diperoleh

BD2=BP·BA= 1

2·BA·BA= 1 2·BA

⇒ BA=p2BD

DC2=CQ·CA= 1