Gradien garis yang melewati titik a (2,3 ) dan b ( 4, 5) adalah

Pada postingan sebelumnya sudah dibahas bahwa gradien suatu garis adalah perbandingan antara komponen y dan komponen x ruas garis yang terletak pada garis tersebut (silahkan baca cara menentukan gradien garis yang melalui titik pusat). Sekarang bagaimana menentukan gradien suatu garis jika garis tersebut melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) tanpa melalui titik pusat?

Untuk menentukan gradien suatu garis jika garis tersebut melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) silahkan perhatikan gambar berikut ini.

Perhatikan garis AB pada gambar di atas. Garis AB tersebut melalui dua titik yaitu titik ujung bawah (x1, y1) dan titik ujung atas (x2, y2). Seperti yang dijelaskan sebelumnya bahwa gradien suatu garis dapat dicari dengan menggunakan perbandingan komponen y dan komponen x ruas garis tersebut. Untuk komponen yAB ruas garis tersebut didapat:

yAB = y2 – y1

dan untuk komponen xAB ruas garis tersebut didapat:

xAB = x2 – x1

maka perbandingan komponen y dan x adalah:

yAB/xAB = (y2 – y1)/( x2 – x1)

yAB/xAB = mAB

yAB/xAB = ∆y/∆x

Berdasarkan hal tersebut maka dapat ditarik kesimpulan bahwa gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) dapat dirumuskan:

m = ∆y/∆x = (y2 – y1)/(x2 – x1)

dimana:

∆y = y2 – y1

∆x = x2 – x1

(∆ dibaca delta, merupakan selisih antara x2 dengan x1 atau y2 dengan y1)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang gradien suatu garis jika garis tersebut melalui dua buah titik tanpa melalui titik pusat, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Tentukan gradien garis yang melalui titik.

a. A(1, 2) dan B(–2, 3)

b. C(7, 0) dan D(–1, 5)

c. E(1, 1) dan F(–3, –4)

d. G(5, 0) dan H(0, 4)

e. I(2, 0) dan J(0, –4)

Penyelesaian:

Gradien garis tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus:

m = (y2 – y1)/(x2 – x1), maka:

a. A(1, 2) dan B(–2, 3)

<=> m = (yB – yA)/(xB – xA)

<=> m = (3 – 2)/(–2 – 1)

<=> m = 1/–3

<=> m = –1/3

b. C(7, 0) dan D(–1, 5)

<=> m = (yD – yC)/(xD – xC)

<=> m = (5 – 0)/(–1 – 7)

<=> m = 5/–8

<=> m = –5/8

c. E(1, 1) dan F(–3, –4)

<=> m = (yF – yE)/(xF – xE)

<=> m = (–4 – 1)/(–3 – 1)

<=> m = –5/–4

<=> m = 5/4

d. G(5, 0) dan H(0, 4)

<=> m = (yH – yG)/(xH – xG)

<=> m = (4 – 0)/(0 – 5)

<=> m = 4/–5

<=> m = –4/5

e. I(2, 0) dan J(0, –4)

<=> m = (yJ – yI)/(xJ – xI)

<=> m = (–4 – 0)/(0 – 2)

<=> m = –4/–2

<=> m = 2

Contoh Soal 2

Diketahui persamaan garis y = mx + c. Tentukan nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik.

a. (2, 1) dan (–3, –1);

b. (2, 0) dan (0, –4);

c. (–4, 2) dan (3, –3);

d. (0, 2) dan (5, 0).

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus mencari m yang merupakan gradien garis, kemudian dengan memasukan salah satu titik maka akan didapatkan nilai c, yakni:

a. (2, 1) dan (–3, –1)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (–1 – 1)/( –3 – 2)

<=> m = –2/–5

<=> m = 2/5

Substitusi salah satu titik ke persamaan y = mx + c, misal titik (2,1), maka:

<=> y = mx + c

<=> 1 = (2/5).2 + c

<=> 1 = 4/5 + c

<=> c = 1 – 4/5

<=> c = 5/5 – 4/5

<=> c = 1/5

Misalkan juga kita masukan titik (–3, –1) maka:

<=> y = mx + c

<=> –1 = (2/5).(–3) + c

<=> –1 = –6/5 + c

<=> c = –1 + 6/5

<=> c = –5/5 + 6/5

<=> c = 1/5

Ternyata jika memasukan titik (–3, –1) atau titk (2,1) akan menghasilkan nilai c yang sama.

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–3, –1) dan titik (2,1) adalah 2/5 dan 1/5.

b. (2, 0) dan (0, –4)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (–4 – 0)/( 0 – 2)

<=> m = –4/–2

<=> m = 2

Substitusi titik (2, 0) ke persamaan y = mx + c maka:

<=> y = mx + c

<=> 0 = 2.2 + c

<=> 0 = 4 + c

<=> c = 0 – 4

<=> c = – 4

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (2, 0) dan titik (0, –4) adalah 2 dan – 4.

c. (–4, 2) dan (3, –3)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (–3 – 2)/( 3 – (–4))

<=> m = –5/7

Substitusi titik (–4, 2) ke persamaan y = mx + c maka:

<=> y = mx + c

<=> 2 = (–5/7).( –4) + c

<=> 2 = 20/7 + c

<=> c = 2 – 20/7

<=> c = 14/7 – 20/7

<=> c = –6/7

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–4, 2) dan titik (3, –3) adalah –5/7 dan –6/7.

d. (0, 2) dan (5, 0)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (0 – 2)/(5 –0)

<=> m = –2/5

Substitusi titik (0, 2) ke persamaan y = mx + c maka:

<=> y = mx + c

<=> 2 = (–2/5).0 + c

<=> 2 = 0 + c

<=> c = 2

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–4, 2) dan titik (3, –3) adalah –2/5 dan 2.

Demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan gradien suatu garis melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2). Mohon maaf jika ada kata-kata atau hitungan yang salah dalam postingan di atas. Salam Mafia.

Kita akan membutuhkan rumus gradien ketika diketahui dua buah titik. Nanti dengan pengubahan, nilai p bisa diperoleh.

Rumus

Nah...

Kita lihat dulu rumus apa yang digunakan untuk mencari gradien jika diketahui dua buah titik.

• m = gradien
• x₁ = nilai x dari koordinat pertama
• x₂ = nilai x dari koordinat kedua
• y₁ = nilai y dari koordinat pertama
• y₂ = nilai y dari koordinat kedua

Untuk lebih jelasnya, lihat pada contoh soal di bawah ya!!

Soal

Ok...

Setelah mengetahui rumus apa yang digunakan, sekarang kita bisa menghitung apa yang ditanyakan pada soal.

Soal :1. Sebuah garis melewati titik (2,3) dan (1,p) dengan gradien 2. Hitunglah nilai p!

• Gradien (m) = 2
• titik pertama = (2,3)
• titik kedua = (1,p)

Lihat titik pertama, yaitu (2,3).

Maka :

Lihat titik kedua, yaitu (1,p)

Ok...

Jelas kan cara menentukan masing-masing nilai x dan y-nya??

Menghitung nilai p

Sekarang kita sudah memiliki data lengkapnya :

• x₁ = 2
• y₁ = 3
• x₂ = 1
• y₂ = p
• m = 2

Masukkan ke dalam rumus

• Untuk memudahkan perhitungan, kalikan silang
• 2 dikalikan dengan -1
• Sedangkan p-3 tetap karena tidak ada  kawan untuk perkalian silang

• Pindahkan -3 ke ruas kiri sehingga tandanya berubah menjadi +3

Akhirnya kita mendapatkan nilai p, yaitu 1.

Seperti itulah langkah-langkahnya.

Soal :2. Sebuah garis lurus yang memiliki gradien 3, melewati titik (-1, 4) dan (b,-2). Berapakah nilai b?

• Gradien (m) = 3
• titik pertama = (-1,4)
• titik kedua = (b,-2)

Titik pertama (-1,4).

Maka :

Titik kedua (b,-2)

Menghitung nilai p

Data pada soal sekarang menjadi :

• x₁ = -1
• y₁ = 4
• x₂ = b
• y₂ = -2
• m = 3

Hitung ke dalam rumus.

Kalikan silang antara 3 dengan b+1

Sedangkan (-2-4) diamkan saja.

• 3×(b+1), semua yang ada di dalam kurung dikali dengan 3
• 3×b = 3b
• 3×1 = 3
• Itulah cara membuka kurungnya ya

Kemudian :

• Pindahkan +3 ke ruas kanan menjadi -3

Untuk mendapatkan b, bagi -9 dengan 3

Nah...

Kitapun mendapatkan nilai b, yaitu -3.

Baca juga ya :