Diketahui K bilangan prima antara 2 dan 12 L={4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Dengan kata lain, objek-objek tersebut harus dapat ditentukan dengan pasti termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Objek dalam himpunan itu disebut anggota, elemen, atau unsur dari himpunan itu, dituliskan dengan “€”.

Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital atau huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar
Elemen himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

                K = {{}}

maka

3 Î A

5 Ï A

{a, b, c} Î R

c Ï R

{} Î K

{} Ï R

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar, kita bisa menyajikan himpunan dengan cara mengenumerasi, artinya dengan menuliskan atau mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh :

1. a.      Himpunan A yang berisi empat anggota yaitu 4, 5, 6, dan 7 dapat dituliskan sebagai A = { 4, 5, 6, 7 }. Perhatikan bahwa himpunan ditentukan oleh anggota-anggotanya dan bukan pada urutan anggota-anggotanya. Urutan anggota didalam himpunan tidak mempunyai arti apa-apa. Jadi kita menuliskan A = {5, 4, 7, 6} atau A = {7, 6, 5, 4 }, karena itu, beberapa literatur menambahkan definisi himpunan sebagai kumpulan objek tak terurut (unordered collection ).
2. b.      Himpunan A  yang berisi lima bilangan ganjil posiitif pertama adalah A = {1,3,5,7,9}.
3. 2.        Simbol-simbol  baku

Beberapapa himpunan yang khusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlah simbol baku yang yang berbentuk huruf tebal yang biasanya digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain :

P adalah himpunan bilangan bulat positif

Z adalah himpunan bilangan bulat

R adalah himpunan bilangan riil

C adalah himpunan bilangan komplek

Kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan yang universal disebut semesta dan disimbolkan dengan U. Contohnya U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}

1. 3.        Notasi Pembentuk Himpunan 

Notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan :

• Bagian dari kiri tanda “|” melambangkan elemen himpunan.
• Tanda “|” dibaca  dimana atau sedemikian sehingga.
• Bagian dikanan tanda “|” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.
• Setiap tanda “,” didalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.
• Contoh :

B adalah himpuan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 6, dinyatakan sebagai  B = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 6 }

Atau dalam notasi yang lebih ringkas :

B = { x | x € P, x < 6 }

Yang sama dengan  B = { 1, 2, 3, 4, 5 }.

Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpuan ini diperkenalkan oleh matematikawan inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. Di dalam diagram Venn, himpunan semeta (U) di gambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Anggota-anggota suatu himpunan berada di dalam lingkaran, sedangkan anggota himpunan lain di dalam lingkaran yang lain pula. Ada kemungkinan dua himpuann mempunyai anggota yang sama, dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota U  yang tidak termasuk didalam himpuan manapun digambarkan di luar lingkaran.

Contoh :

Misalkan U = { 1, 2, 3, 4, . . ., 9 }, A = { 1, 2, 4, 8 }, dan B = { 1, 3, 4, 7 }. Ketiga himpunan tersebut digambarkan dengan diagram Venn pada gambar di bawah. Perhatikan bahwa A dan B mempunyai anggota yang sama, yaitu 1 dan 4. Anggota U yang lain yaitu 5, 6,dan 9 tidak termasuk di daalam himpunan A dan B.

Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set ) jika terdapat n elemen berbeda (distinct ) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak-negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set).

Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal  dari himpunan A.

Contoh

(i)                 B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 16 },atau

            B = {2, 3, 5, 7, 11, 13} maka ½B½ = 6

(ii)       T = {mangga, a, Abib, 12, kelinci}, maka ½T½ = 5

(iii)      A = {b, {b}, {{b}} }, maka ½A½ = 3

Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (empety set)

Contoh :

1. P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka  = 0
2. C = { balita yang bisa membuat laptop }, maka  = 0
3. S = { x | x adalah akar-akar persamaan kuadrat  maka  = 0
4. Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ }
5. Himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ , {Æ }}
6. {Æ } bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
7. E.     Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi:  A Í B

Diagram Venn dari notasi himpunan bagian:

Contoh :

(i)       { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

(ii)     {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}

(iii)   N Í Z Í R Í C

(iv)   Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x ³, y ³ 0 } dan

               B = { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B Í A.

TEOREMA

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

1. A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A Í A).
2. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( Æ Í A).
3. Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
4. Æ Í A dan A Í A, maka Æ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

• · A Í B berbeda dengan A Ì B

(i)     A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

(ii)   A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian      (subset)  dari B yang memungkinkan A = B.

• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap  elemen B merupakan elemen A.
• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika  tidak demikian, maka A ¹ B.
• Notasi : A = B « A Í B dan B Í A

Contoh

(i)         Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii)       Jika A = { 2, 5, 9, 5 } dan B = {5, 2, 9 }, maka A = B

(iii)     Jika A = { 1, 4, 1, 4 } dan B = {1, 4}, maka A ¹ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

1. G.    Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B « ½A½ = ½B½

Contoh:

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B = { a, i, u, e, o }, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 5

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Diagram Venn:

Contoh :

Jika A = { x | x Î P, x < 9 } dan B = { 10, 11, 12, … }, maka A // B.

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.

Contoh :

        i.  Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { Æ , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

      ii.  Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ ) = {Æ }, dan

    iii.  Himpunan kuasa dari himpunan {Æ } adalah P({Æ }) = {Æ , {Æ }}.

1. J.      Operasi Terhadap Himpunan

Terhadap dua himpunan atau lebih, kita dapat melakukan operasi untuk menghasilkan himpunan lain. Jenis operasi yang lazim digunakan terhadap himpunan adalah operasi irisan (intersection), gabungan (union), komplemen, selisih (difference), perkalian kartesian (cartesian product), dan beda setangkup (symmetric difference).

Intersection dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi : A Ç B = { x |x Î A dan x Î B }

Diagram Venn untuk menunjukkan A Ç B ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Contoh :

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {2, 8, 14, 16}, maka A Ç B = {2, 8}

(ii) Jika A = { 1, 3, 5 } dan B = { 2, 4, 6, 8 }, maka A Ç B = Æ . Artinya: A // B

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A È B = { x |x Î A atau x Î B }

Diagram Venn untuk menunjukkan A È B ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Contoh :

(i) Jika A = { 1, 2, 3, 8 } dan B = { 7, 5, 2 }, maka A È B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }

(ii) A È Æ = A

1. 3.        Komplemen (complement)

Komplemen dari himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A

Notasi :  = { x |x Î U dan x Ï A }

Diagram Venn untuk menunjukkan ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Contoh 1:

Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },

(i) jika A = {1, 2, 6, 8}, maka  = {3, 4, 5, 7, 9}

(ii) jika A = { x | x/2 Î P, x < 9 }, maka  = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh 2. Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar  negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x |x Î A dan x Ï B } = A Ç

Perhatikan bahwa komplemen dari sembarang himpunan A terhadap semesta U dapat juga didefinisikan sebagai

Diagram Venn untuk menunjukkan ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Contoh:

(i)     Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = Æ

(ii) {1, 2, 4} – {1, 5, 3} = {2, 4}, tetapi {1, 5, 3} – {1, 2, 4} = {3, 5}

1. 5.        Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)

Contoh :

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A Å B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh 2: Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(i)   “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q

(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q

(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)

(b) (A Å B ) Å C = A Å (B Å C ) (hukum asosiatif).

1. 6.        Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Notasi: A ´ B = {(a,b) ½ a Î A dan b Î B }

Contoh 1:

(i)   Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh di atas,D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) } ¹ C ´ D.

4. Jika A = Æ atau B = Æ , maka A ´ B = B ´ A = Æ

Contoh 2: Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab:

½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 ×3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu

{(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

Contoh 3: Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(Æ ) (b) Æ ´ P(Æ ) (c) {Æ }´ P(Æ ) (d) P(P({3}))

Penyelesaian:

(a)P(Æ ) = {Æ }

(b) Æ ´ P(Æ ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ )

(c){Æ }´ P(Æ ) = {Æ }´ {Æ } = {(Æ ,Æ ))

(d) P(P({3})) = P({ Æ , {3} }) = {Æ , {Æ }, {{3}}, {Æ , {3}} }

1. K.    Perampatan Operasi Himpunan

Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpunan. Dalam hal ini kita melakukan perampatan operasi  (generalization) operasi himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada pada operasi aritmatika biasa.

Misalkan A1, A2,A3 , …,  An  merupakan himpunan, maka:

Notasi diatas dapat mempermudah penulisan eksperesi yang panjang , misalnya:

Menjadi:

Contoh:

A1 = {0, 2, 3}

A2 = {1, 2, 3, 6}

A3 = {-1, 0, 3, 9}

Maka,

dan

Misalkan

A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {a, b}, maka

A ´ B ´ C = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }

1. L.       Hukum-Hukum Aljabar Himpunan

Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh:

AS ® kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia) ® kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

1. Di Amerika Serikat,

• mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
• pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

2. Di Inggris,

• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung.

Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua Negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

Prinsip Dualitas pada Himpunan

Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi, seperti È , Ç , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti È ® Ç , Ç ® È , Æ ® U, U ® Æ , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

Contoh:

Dual dari (A Ç B) È  (A Ç ) = A adalah (A È B) Ç (A È ) = A. Dualitas ini berarti bawha (A Ç B) È  (A Ç ) = A adalah kesamaan yang benar, dan dualnya, (A È B) Ç (A È ) = A, juga benar.

Table Dualitas Dari Hukum-Hukum Aljabar Himpunan

1. N.      Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½

½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½

Contoh:

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

A Ç B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15), yang ditanyakan adalah ½A È B½. terlebih dahulu kita menghitung

½A½ = ë100/3û = 33, ½B½ = ë100/5û = 20, ½A Ç B½ =   ë100/15û = 6

Untuk mendapatkan

½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ – ½A Ç B½ –

½A Ç C½ – ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½

Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2,…dari A sedemikian sehingga:

(a) A1 È A2 È …= A, dan

(b) Ai Ç Aj = Æ untuk i ¹ j

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3,

4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

Operasi Antara Dua Buah Multiset:

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P È Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

    Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P È Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

2. P Ç Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }, P Ç Q = { a, a, c }

3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

– multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

– 0, jika selisihnya nol atau negatif.

Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka

P – Q = { a, e }

4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

1. Q.      Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

Pernyataan dapat berupa:

1. Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”

2. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.

 Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.

Bukti :

               A Ç (B È C)                                      (A Ç B) È (A Ç C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

• · Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
• · Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh: Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa

  A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

Bukti:

Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama,

maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh 1: Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A

Bukti:

(A Ç B) È (A Ç ) = A Ç (B È ) (Hukum distributif)

                              = A Ç U (Hukum komplemen)

                              = A (Hukum identitas)

Contoh 2: Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B

Bukti:

A È (B – A) = A È (B Ç ) (Definisi operasi selisih)

                    = (A È B) Ç (A È ) (Hukum distributif)

                    = (A È B) Ç U (Hukum komplemen)

                    = A È B (Hukum identitas)

Contoh 3: Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

(i) A È (  Ç B) = A È B dan

(ii) A Ç (   È B) = A Ç B

Bukti:

(i) A È (  Ç B) = ( A È A) Ç (  Ç B) (H. distributif)

                          = U Ç (A Ç B) (H. komplemen)

                          = A È B (H. identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

A Ç (  È B) = (A Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)

                      = Æ È (A Ç B) (H. komplemen)

                      = A Ç B (H. identitas)

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).

Contoh:  Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!

Bukti:

(i) Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î

(B È C). Dari definisi operasi gabungan (È ), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.

(ii) Karena x Î A dan A Ç B = Æ , maka x Ï B

            Dari (i) dan (ii), x Î C harus benar. Karena “x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .