Considere um cilindro cujo raio r da base é o triplo da altura h. o volume desse cilindro é

Em diversas situações do cotidiano, observamos figuras cilíndricas como uma lata de refrigerante, uma cesta de lixo, uma vela, um reservatório, etc. estudaremos então quais são as características e propriedades dessas formas geométricas.

(Disponível em: http://shifter.pt/2015/05/a-coca-cola-pos-o-centro-historico-do-porto-numa-lata/. Acesso em: janeiro de 2017)

CILINDROS CIRCULARES

Considere dois planos paralelos a e β, uma reta s secante a esses planos e um circulo C de centro O contido em a. Consideremos agora, todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao circulo C e o outro extremo pertencente a β. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular.

ELEMENTOS DE UM CILINDRO

Observando o cilindro circular abaixo, nomeamos alguns elementos:

Bases: Círculos de raio r e centro O e O’.

Eixo: reta que contém os centros O e O’;

Raio da base (r): raio do círculo de centro O;

Altura (h): distância entre as bases do cilindro;

Geratriz: todo segmento de reta paralelo ao eixo OO’ que tem extremidades pertencentes às circunferências das bases. Ex: AA’.

CILINDRO CIRCULAR RETO OU CILINDRO DE REVOLUÇÃO

Se o cilindro circular possui o eixo perpendicular à base, o chamamos de cilindro circular reto. Observe que nesse caso, a medida da geratriz é igual à altura. Caso contrário, o chamamos de cilindro circular oblíquo.

O cilindro circular reto também é conhecido como cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução, ou rotação, de 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.

Planificação do cilindro circular reto

Para um melhor entendimento, corte as bases do cilindro, e em seguida, imagine a superfície lateral envolvida por um rótulo. Corte esse rótulo por uma geratriz e o desenrole, como sugere a figura abaixo.

Assim, temos que a superfície lateral de um cilindro circular reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de um retângulo de base 2pr e altura h, com dois círculos de raio r.

ÁREAS LATERAL E TOTAL

A área lateral de um cilindro qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cilindro. Portanto, no cilindro circular reto de altura h e raio da base r, a área lateral é a área do retângulo obtido na planificação. Assim,

Já a área total, obtemos somando a área lateral com a área das duas bases, ou seja,

Exercício Resolvido

A área lateral de um cilindro circular reto cuja altura é igual ao diâmetro é 100p cm2. Calcule a área total desse cilindro.

Solução:

SEÇÕES NUM CILINDRO

Temos duas seções muito importantes, chamadas de seção transversal e seção meridiana.

Chamamos seção transversal do cilindro qualquer intersecção não vazia do cilindro com um plano paralelo às suas bases.

Cabe ressaltar que a essa seção formada é um círculo congruente às bases.

Outra seção muito importante é a chamada seção meridiana, que é a intersecção do cilindro com um plano que passa pelos centros de suas bases.

Podemos ainda, calcular a área da seção meridiana, pois num cilindro reto será um retângulo de base 2R e altura h, logo:

Aseção meridiana = 2R . h

CILINDRO EQUILÁTERO

Um caso particular de cilindros é o chamado cilindro equilátero, que é todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas, em outras palavras, a altura é igual ao diâmetro (h = 2r).

VOLUME DO CILINDRO

Considere um cilindro de altura h e base de área A contida em um plano horizontal. Imaginemos um paralelepípedo retângulo de altura h, com base de área A contida no mesmo plano. Se um outro plano horizontal os secciona formando áreas A1 e A2, então temos que A1 = A = A2 e pelo princípio de Cavalieri, os dois têm mesmo volume. Logo, o volume do cilindro é também o produto da área da base pela altura.

Portanto o volume do cilindro é:

Exercício resolvido

1) Calcule o volume de um cilindro equilátero cuja área da secção meridiana vale 36 cm2.

Solução:

Determinando a seção meridiana, obtemos:

Assim, a altura do cilindro é

2) Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:

Solução:

O volume do objeto submerso é igual ao volume do líquido deslocado. Dessa forma, o volume do objeto é igual ao volume do cilindro com raio da base 10 cm e altura 10 cm.

V = πr2h

V = π.102.10 = 1000π cm3

TRONCO DE CILINDRO 

Considere um cilindro circular e um plano que o intersecta obliquamente em todas as geratrizes. Este plano o separa em dois sólidos chamados de troncos de cilindro circular.

Consideremos um tronco de cilindro circular reto cujo raio da base é r, a geratriz maior é G e a menor é g.

Prolongando as geratrizes de modo a obter um cilindro reto de altura g + G, temos:

Observemos que este cilindro é composto por dois troncos congruentes, logo o volume do tronco de cilindro é a metade do volume do cilindro.

Exercício resolvido

Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6 cm é secionado por um plano oblíquo a ela, que determina, no cilindro, alturas entre 2 cm e 8 cm, como indicado na figura. Determine o volume resultante.

Solução:

Dobrando o tronco de cilindro, obtemos:

Logo,

Teste seus conhecimentos com 13 exercícios resolvidos sobre cilindros. Se prepare para o ENEM e vestibulares com as questões comentadas e tire suas dúvidas.

Exercício 1

Calcule o volume do cilindro e marque a alternativa que mais se aproxima do resultado. Dado: considere π = 3,14.

a) Volume = 6000 cm³. b) Volume = 5000 cm³. c) Volume = 4000 cm³. d) Volume = 3000 cm³.

e) Volume = 2000 cm³.

No lava jato Limpeza Total, houve um grande movimento hoje, tendo recebido 23 clientes para lavagem completa. No entanto, ao começar a lavar o próximo carro, a água acabou. Só então os funcionários se deram conta que a empresa fornecedora de água emitiu um alerta dizendo que devido a reparos e obras de manutenção, neste dia, não haveria abastecimento.

O dono do estabelecimento pediu um abastecimento de urgência com um caminhão pipa e a empresa fornecedora de água perguntou a capacidade do reservatório. Como era bem antigo, as indicações de capacidade havia apagado, sendo necessário fazer o cálculo a partir de suas medidas.

O reservatório é um cilindro de 4 m de altura e diâmetro de 1,80 m.

A empresa fornecedora de água possui cinco opções de entrega em caminhões pipa. Marque a opção que poderá ser solicitada pelo proprietário do lava jato, enchendo o máximo possível seu reservatório.

Dados: 1 m³ = 1 000 l

a) 12 000 l. b) 11 000 l. c) 10 000 l. d) 9 000 l.

e) 8 000 l.

Exercício 3

Qual a área lateral de um cilindro reto que possui 502,4 cm³ de volume e diâmetro 8 cm.

Dado: π = 3,14.

a) 355,10 cm² b) 251,20 cm² c) 125,51 cm² d) 375,30 cm²

e) 91,45 cm²

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Resposta correta: b) 251,20 cm²

Resolução

Ideia 1: determinar a altura h e o raio r

Se o diâmetro são 8 cm, logo o raio são 4 cm.

Da fórmula do volume podemos determinar a altura.

Ideia 2: fórmula da área lateral

A área lateral de um cilindro reto de altura h é igual a de um retângulo de comprimento igual ao comprimento da circunferência do cilindro, multiplicado pela altura.

O comprimento de uma circunferência é obtida pela fórmula: 2.π.r

A área de um retângulo pode ser obtida pela multiplicação entre os valores da base e da altura.

Ideia 3: realizar o cálculo da área lateral

Área lateral do cilindro = 2.π.r.h Área lateral = 2 . 3,14 . 4 . 10

Área lateral = 251,20 cm²

Portanto, a área lateral do cilindro é 251,20 cm².

Exercício 4

Um silo que armazena grãos de soja em uma fazenda, apresentou um problema em sua estrutura e precisa ser reparado com uma solda na parede. O silo é uma torre na forma de um cilindro de 10 m de altura e diâmetro de 6 m. Para realizar o serviço, o gerente decidiu esvaziar o silo, armazenando a produção temporariamente em caçambas de carretas na forma de paralelepípedos, com as medidas iguais a 12 m de comprimento, 2 m largura e 1,5 m de altura. Quantas caçambas são necessárias para armazenar todo o conteúdo?

Utilize π = 3,14.

a) 15 caçambas b) 7 caçambas c) 16 caçambas d) 9 caçambas

e) 8 caçambas

(Enem 2010). Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

Exercício 6

(Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

a) πd b) 2 πd c) 4 πd d) 5 πd

e) 10 πd

Exercício 7

(Enem 2015) O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1 m², ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que a altura do nível de água acumulada em um tanque aberto em formato de um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificou-se que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1200 mm, era de um terço da sua capacidade.

Utilize 3,0 como aproximação para π.

O índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, é de

a) 10,8. b) 12,0. c) 32,4. d) 108,0.

e) 324,0.

(Enem 2015). Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.

A medida da altura desconhecida vale

a) 8 cm. b) 10 cm. c) 16 cm. d) 20 cm.

e) 40 cm.

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Resposta correta: b) 10 cm.

Resolução

V1 = 1,6 V2

Substituindo as fórmulas de volume do cilindro em V1 e V2:

Como o π aparece dos dois lados multiplicando, pode ser cancelado. Isolando x, temos:

Portanto, a altura x da lata mais alta é 10 cm.

Exercício 9

(Enem 2021) Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa d’agua do tipo A.

Se R denota o raio da caixa d’água do tipo A, então o raio da caixa d'água do tipo B é

a) R/2 b) 2 R c) 4 R d) 5 R

e) 16 R

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Resposta correta: b) 2 R

Resolução

O enunciado diz que a altura de B é 25% da altura de A. Ou, seja, A é quatro vezes mais alta que B.

Sendo a, a altura da caixa A e, b, a altura da caixa B:

a = 4b

Sendo R o raio da caixa tipo A e, r a medida do raio da caixa B.

Como os volumes são iguais:

VA = VB

Substituindo pelas fórmulas do volume dos cilindros, que é π.r².h, temos:

Eliminando os termos iguais, que multiplicam dos dois lados da equação:

Aplicando uma raiz quadrada aos dois lados da equação. (“jogando o expoente 2 de r para o lado esquerdo em forma de raiz quadrada”)

Isso significa que, o raio da caixa d’água do tipo B tem o dobro do comprimento do raio da caixa d’água A.

Exercício 10

(Fuvest). A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4 cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio.

Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?

a) 90 cm. b) 92 cm. c) 94 cm. d) 96 cm.

e) 98 cm.

(Cesgranrio) Um recipiente com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura 100/π cm, armazena um certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual a:

a) 16 b) 18 c) 20 d) 30

e) 40

Exercício 12

(FGV-SP) Um cilindro circular reto de altura igual ao diâmetro da base está inscrito em um cone circular reto. O cone tem diâmetro 10, altura 12 e seu eixo de revolução coincide com o do cilindro.

O diâmetro da base do cilindro é igual a

a) 16/3 b) 60/11 c) 6. d) 25/4.

e) 7.

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Resposta correta: b) 60 / 11

Resolução

Ideia 1: ilustrando e identificando triângulos semelhantes

Fazendo uma seção meridional, ou, observando uma vista lateral:

Tomando uma metade da figura, temos:

O triângulo maior formado pela metade cone, é semelhante ao menor verde pois, seus ângulos são iguais. (caso A,A,A).

Ideia 2: usando proporções

Do lado esquerdo dividimos a altura do cone pela metade de sua base, no caso, 5.

Do lado direito dividimos a altura do triângulo verde, que é D, pela sua base, que é 5, menos a metade do diâmetro do cilindro, que é D/2.

Ajustanto do lado direito, temos:

Podemos agora multiplicar cruzado

5 . 2D = 12 . (20 - D) 10D = 120 - 12D 22D = 120

D = 120 / 22

D = 60 / 11

Conclusão

Dessa forma, o diâmetro da base do cilindro é igual a 60/11.

Exercício 13

(PUC-PR). Um medicamento que dilata os vasos e artérias do corpo humano é ministrado e aumenta o diâmetro em 20% de determinada artéria.

Considerando que a artéria se assemelha a um cilindro circular reto, o fluxo sanguíneo nessa artéria aumenta em

a) 10% b) 20% c) 21% d) 40%

e) 44%

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Resposta correta: e) 44%

Resolução

Fluxo é a quantidade de massa que passa por uma área. Neste caso a quantidade de sangue que passa pela seção da artéria.

Ideia 1: A área da seção da artéria antes do medicamento

Como o raio é a metade do diâmetro, podemos escrever:

Ideia 2: A área depois do medicamento

Para aumentar em 20%, multiplicamos D por 1,2.

Ideia 3: comparando as áreas de antes e depois

Para isso vamos dividir a área 2 pela 1

Eliminando os termos semelhantes

Conclusão

Desso modo, D2 foi multiplicado por 1,44, ou seja, um aumento de 44%.

Aprenda mais sobre cilindros.

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Geometria espacial