Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que possui coeficiente e parte literal. Show Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois polinômios. É possível também multiplicar dois polinômios por meio da propriedade distributiva. Já a divisão é realizada pelo método de chaves. Leia também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0  O que são monômios?Para compreender-se o que é um polinômio, é importante que se compreenda antes o significado de um monômio. Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui números e letras e seus expoentes separados apenas por multiplicação. O número é conhecido como coeficiente, e as letras e seus expoentes são conhecidos como parte literal. Exemplos:
Um polinômio nada mais é que a soma algébrica de monômios, ou seja, são mais monômios separados por adição ou subtração entre si. Exemplos:
De forma geral, um polinômio pode ter vários termos, ele é representado algebricamente por: anxn + a(n-1) x(n-1) + … + a2x² + a1x + a Veja também: Quais são as classes de polinômios? Grau de um polinômioPara encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando ele possui uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau do polinômio é dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois casos. É bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma variável. Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau do polinômio é igual ao maior expoente da variável: Exemplos: Polinômios de única variável a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela tem é 3, então, esse é um polinômio de grau 3. b) 2y5 + 4y² – 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse é um polinômio de grau 5. Quando o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para encontrar-se o grau desse termo, é necessário somar-se o grau os expoentes de cada uma das variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, nesse caso, continua sendo igual ao grau do maior monômio, mas é necessário ter-se o cuidado de realizar a soma dos expoentes das variáveis de cada monômio. Exemplos: a) 2xy + 4x²y³ – 5y4 Analisando a parte literal de cada termo, temos que: xy → grau 2 (1 + 1) x²y³ → grau 5 (2 + 3) y³ → grau 3 Note que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5. b) 8a²b – ab + 2a²b² Analisando-se a parte literal de cada monômio: a²b → grau 3 (2 + 1) ab² → grau 2 (1 + 1) a²b² → grau 4 (2 + 2) Dessa forma, o polinômio possui grau 4. Adição de polinômiosPara a adição entre dois polinômios, vamos realizar a redução dos monômios semelhantes. Dois monômios são semelhantes se eles possuem partes literais iguais. Quando isso acontece, é possível simplificar o polinômio. Exemplo: Seja P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule o valor de P(x) + Q(x). 2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 Encontrando termos semelhantes (que possuem partes literais iguais): 2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 Agora vamos somar os monômios semelhantes: (2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4 6x² + 2x +7 Subtração de polinômiosA subtração não é muito diferente da adição. O detalhe importante é que primeiro precisamos escrever o polinômio oposto antes de realizarmos a simplificação dos termos semelhantes. Exemplo: Dados: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule P(x) – Q(x). O polinômio -Q(x) é o oposto de Q(x), para encontrar o oposto de Q(x), basta inverter o sinal de cada um dos seus termos, então temos que: -Q(x) = -4x² +2x – 4 Então calcularemos: P(x) + (-Q(x)) 2x² + 4x + 3 – 4x² + 2x – 4 Simplificando os termos semelhantes, temos: (2 – 4)x² + (4 + 2)x + (3 – 4) -2x² + 6x + (-1) -2x² + 6x – 1 Multiplicação de polinômiosPara realizar a multiplicação de dois polinômios, utilizamos a conhecida propriedade distributiva entre os dois polinômios, operando a multiplicação dos monômios do primeiro polinômio pelos do segundo. Exemplo: Seja P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x). P(x) · Q(x) (2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²) Aplicando a propriedade distributiva, teremos: 2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b² 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³ Agora, caso existam, podemos simplificar os termos semelhantes: 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³ Note que os únicos monômios semelhantes estão destacados em laranja, realizando a simplificação entre eles, teremos o seguinte polinômio como resposta: 2a5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ 2a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ Acesse também: Como fazer a multiplicação de fração algébrica? Divisão de polinômiosRealizar a divisão de polinômios pode ser bastante trabalhoso, utilizamos o que se chama de método de chaves, mas existem vários métodos para tanto. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for menor. Ao dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), estamos buscando um polinômio Q(x), tal que: Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x). P(x) → dividendo D(x) → divisor Q(x) → quociente R(x) → resto Ao operar-se a divisão, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x) se o resto for zero. Exemplo: Vamos operar a divisão do polinômio P(x) = 15x² +11x + 2 pelo polinômio D(x) = 3x + 1. Queremos dividir: (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) 1 º passo: dividimos o primeiro monômio do dividendo com o primeiro do divisor: 15x² : 3x = 5x 2º passo: multiplicamos 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtraímos o resultado de P(x). Para realizar a subtração, é necessário invertermos os sinais do resultado da multiplicação, encontrando o polinômio: 3º passo: realizamos a divisão do primeiro termo do resultado da subtração pelo primeiro termo do divisor: 6x : 3x = 2 4º passo: então, temos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2. Sendo assim, temos que: Q(x) = 5x + 2 R(x) = 0 Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios Exercícios resolvidosQuestão 1 – Qual deve ser o valor de m, para que o polinômio P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m tenha grau 2? A) 3 B) -3 C) ±3 D) 9 E) -9 Resolução Alternativa A Para que P(x) tenha grau 2, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero. Então faremos: m² – 9 = 0 m² = 9 m = ±√9 m = ±3 Por outro lado, temos que m + 3 ≠ 0. Então, m ≠ -3. Dessa forma, temos como solução da primeira equação que m = 3 ou m= -3, porém, pela segunda, temos que m ≠ -3, então, a única solução que faz com que P(x) tenha grau 2 é: m = 3. Questão 2 – (IFMA 2017) O perímetro da figura pode ser escrito pelo polinômio: A) 8x + 5 B) 8x + 3 C) 12 + 5 D) 12x + 10 E) 12x + 8 Resolução Alternativa D Pela imagem, ao analisarmos o comprimento e a largura dados, sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Como o comprimento e a altura são os mesmos, basta multiplicarmos a soma dos polinômios dados por 2. 2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10 Por Raul Rodrigues de Oliveira Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que apresenta gabarito comentado para você tirar suas dúvidas.
Questão 1
Considerando os polinômios p(x) = x³ + 5x² – 10 e q(x) = – x² + 6x + 4, o valor de p(2) : q(1) é: A) 2 B) 5 C) 9 D) 15 E) 18
Questão 2
Analisando o polinômio 4x5 + 8x³ – x, podemos afirmar que o grau desse polinômio é igual a: A) 4 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
Questão 3
Considere o polinômio P(x) = x³ + 2x² – 5x – 3. O valor da expressão |2 · P(1)| é: A) 5 B) – 5 C) 0 D) – 10 E) 10
Questão 4
(Instituto Consulplan) Se R(x) é o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 3x3 + 2x – 3 pelo polinômio D(x) = x + 1, então o valor de R(x) é: A) B) 1 C) – 1 D) – 2
Questão 5
Considerando que – 3 é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x³ – 4kx + 24, então o valor de k é: A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0
Questão 6
(Imparh) Temos uma caixa no formato de um paralelepípedo retorretângulo com profundidade x − 1, comprimento x + 1 e largura x (em que x ≥ 1 é um número real). Qual polinômio expressa o volume, V(x), dessa caixa? A) V(x) = x² − 1 B) V(x) = x³ − 1 C) V(x) = x³ − x D) V(x) = x³ + 2x² +x
Questão 7
Qual deve ser o valor de k para que o polinômio P(x) = (k² – 81)x5 + (k – 9)x4 + kx³ + 3x² – 4x tenha grau 3? A) – 1 B) 3 C) – 3 D) ± 9 E) 9
Questão 8
O polinômio que representa o perímetro do trapézio a seguir é: A) 8x + 3 B) 11x C) 4x² + 2 D) x² + 11 E) 11x – 3
Questão 9
Considerando os polinômios a seguir:
O valor da soma X + Y – 2Z é igual a: A) y² + 2x² + 2 B) 2x³ C) 2x³ + x² + y² – 3 D) x² + 4y² + 3 E) x² + y²
Questão 10
Analise as afirmativas a seguir: I → O grau de um polinômio é dado pelo maior coeficiente de suas variáveis. II → O valor numérico de P(x) = 3x² – 4x + 2 quando x = 2 é 6. III → O polinômio p(x) = 4x³ + 2x² – 1 possui grau 4. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é verdadeira. B) Somente a afirmativa II é verdadeira. C) Somente a afirmativa III é verdadeira. D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 11
O perímetro do polígono a seguir pode ser expresso pelo seguinte polinômio: A) 2x – 1 B) 8x + 4 C) 11x – 3 D) 10x + 4 E) x³ + 3
Questão 12
(Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por A) 2xy B) 15 − 3x C) 15 − 5y D) −5y − 3x E) 5y + 3x − xy
Resposta - Questão 1
Alternativa A Calculando p(2): p(2) = 2³ + 5 · 2² – 10 p(2) = 8 + 5 · 4 – 10 p(2) = 8 + 20 – 10 p(2) = 28 – 10 p(2) = 18 Calculando q(1): q(1) = – 1² + 6 ⸳ 1 + 4 q(1) = – 1 + 6 + 4 q(1) = 9 A divisão entre p(2) e q(1) é então = 18 : 9 = 2.
Resposta - Questão 2
Alternativa B O grau do polinômio é o maior expoente da sua variável, que, nesse caso, é igual a 5.
Resposta - Questão 3
Alternativa E Calculando P(1): P(1) = 1³ + 2 ⸳ 1² – 5 · 1 – 3 P(1) = 1 + 2 – 5 – 3 P(1) = – 5 Então, |2 P(1)| = |2 · (– 5)| = |– 10| = 10
Resposta - Questão 4
Alternativa C Para encontrar o resto da divisão de P(x) por D(x), aplicaremos o teorema do resto de um polinômio, pois temos que: D(x) = x + 1 x + 1 = 0 x = – 1 Agora, calculando P(– 1): P(– 1) = (– 1)4 – 3(– 1)3 + 2(– 1) – 3 P(– 1) = 1 + 3 – 2 – 3 P(– 1) = – 1
Resposta - Questão 5
Alternativa D Sabendo que – 3 é raiz dessa equação, então temos que: p(– 3) = 2 (– 3)³ – 4 (– 3)k + 24 0 = 2 (– 27) + 12k + 24 0 = – 54 + 12k + 24 – 12k = – 54 + 24 – 12k = – 30 k = (– 30) : (– 12) k = 2,5
Resposta - Questão 6
Alternativa C Para encontrar o volume, multiplicamos as três dimensões: V(x) = (x – 1) ( x + 1)x V(x) = (x² – x + x – 1²)x V(x) = (x² – 1)x V(x) = x³ – x
Resposta - Questão 7
Alternativa E Para que o polinômio seja de grau 3, temos que: k – 9 = 0 e k² – 81 = 0. Resolvendo a primeira equação, temos que: k – 9 = 0 k = 9 Note que k = 9 também é solução da segunda equação, pois 9² – 81 = 0 81 – 81 = 0 0 = 0 Então, o único valor que faz com que esse polinômio seja de grau 3 é k = 9.
Resposta - Questão 8
Alternativa A Calculando o perímetro: P = 2x + 2 + 3x – 2 + 2x + x + 3 P = 8x + 3
Resposta - Questão 9
Alternativa E Realizando a soma, temos que: (2x³ + 4x² + 2y² + 4) + (– 7x² + y² + 2) – 2(x³ – 2x² + y² + 3) 2x³ + 4x² + 2y² + 4 – 7x² + y² + 2 – 2x³ + 4x² – 2y² – 6 Juntando os termos semelhantes, encontraremos: x² + y²
Resposta - Questão 10
Alternativa B
P(2) = 3 · 2² – 4 ⸳ 2 + 2 P(2) = 3 · 4 – 8 + 2 P(2) = 12 – 8 + 2 P(2) = 6
Resposta - Questão 11
Alternativa C Calculando o perímetro, temos que: P = 2x – 3 + x + 1 + 3x – 1 + 3x + 2 + 2x – 2 P = 11x – 3
Resposta - Questão 12
Alternativa E A área perdida pode ser separada em três retângulos. O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x. Note, porém, que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy, que está sendo contada tanto na área do primeiro retângulo quanto na do segundo retângulo. Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com o retângulo em azul menos a área em comum. 5y + 3x – xy |
Considere os polinômios P(x 2x 3 eq y 2y 3 encontre P(x q y))
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