Berapa banyak cara menyusun 5 bola hitam, 3 bola merah dan 2 bola putih secara berdampingan

Soal yang Akan Dibahas

Banyak cara menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan adalah ....
A). $ 180 \times 8! \, $ B). $ 240 \times 7! \, $ C). $ 364 \times 6! \, $ D). $ 282 \times 4! \, $ E). $ 144 \times 5! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar *). Aturan penyusunan tempat duduk menggunakan PERMUTASI karena memperhatikan URUTAN. *). Permutasi siklis (tempat duduk melingkar) Misalkan ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara ada $ (n-1)! $

*). Pemilihan $ r $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan yaitu $ P_r^n $ dengan rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $

$\clubsuit $ Pembahasan *). Menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan. Agar kondisi ini terpenuhi, maka berikut susunan yang bisa kita tentukan yaitu :

-). Setiap bola merah kita letakkan di tengah dua bola hitam, sehingga kita blok tiga bola jadi satu susunan yaitu HMH, HMH, dan HMH. Sementara 3 bola hitam lainnya bebas untuk mengisi celah yang ada. Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Susunan yang bisa kita pilih agar memenuhi permintaan di soal yaitu seperti gambar berikut :

Jadi, total penyusunan sebanyak $ 180 \times 8!. \, \heartsuit $

Page 2

Home Privacy Policy About Us Contact Us Les Privat Channel Youtube ▼

Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru, dan 3 bola putih jenis yang sama dan ukurannya. Ada berapa carakah bola-bola itu dapat disusun berdampingan?

Diketahui:

Disediakan 10 buah bola, 3 buah berwarna merah, 5 buah berwarna putih, dan 2 buah berwarna hitam

Ditanya:

Banyak cara untuk menyusun 10 buah bola itu secara berdampingan$=?$

Jawab:

Banyaknya permutasi $n$ unsur yang memuat r1r_1r1​ unsur sama, r2r_2r2​ unsur sama, ... , rk−1r_{k-1}rk−1​ unsur sama, dan rkr_krk​ unsur sama dengan r1+r2+…+rk≤nr_1+r_2+\ldots+r_k\le nr1​+r2​+…+rk​≤n ditentukan dengan rumus:

P = n!r1!⋅r2!⋅…⋅rk−1!⋅rk!P\ =\ \frac{n!}{r_1!\cdot r_2!\cdot\ldots\cdot r_{k-1}!\cdot r_k!}P = r1​!⋅r2​!⋅…⋅rk−1​!⋅rk​!n!​

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap bilangan asli $n$, didefinisikan:

$n!=\left(n\right)\times \left(n-1\right)\times \left(n-2\right)\times \dots \times 3\times 2\times 1$

dengan $1!=1$ dan $0!=1$.

Pada soal di atas, banyak unsur $n=10$, banyak unsur yang sama r1=3r_1=3r1​=3 (untuk bola berwarna merah), r2=5r_2=5r2​=5 (untuk bola berwarna putih), r3=2r_3=2r3​=2 (untuk bola berwarna hitam).

Sehingga banyaknya susunan yang dapat dibentuk adalah:

P = 10!3!⋅5!⋅2!=2.520P\ =\ \frac{10!}{3!\cdot5!\cdot2!}=2.520P = 3!⋅5!⋅2!10!​=2.520

Jadi, banyak cara untuk menyusun 10 buah bola itu secara berdampingan adalah 2.520.