Fitur merencanakan fungsi periodik Grafik fungsi periodik biasanya pertama dibangun pada interval [ x 0 ; x 0 + T). Lakukan transfer paralel dari titik-titik grafik ke seluruh area definisi. Contoh fungsi periodik dan grafiknya. Contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Mari kita pertimbangkan yang utama. Fungsi F (x) = sin (x) a) Domain definisi: D (sin x) = R . b) Himpunan nilai: E (sin x) = [- 1, 1]. d) Periodisitas: fungsi periodik dengan periode utama. e) Nol dari fungsi: sin x = 0 for, n Z. f) Interval keteguhan fungsi: g) Interval monoton: fungsi meningkat dengan; fungsi berkurang pada, h) Ekstrem dari fungsi: Grafik fungsi y = sin x ditunjukkan pada gambar. Fungsi F (x) = cos (x) a) Lingkup definisi. b) Himpunan nilai: E (cos x) = [ – 1 , 1 ] . c) Genap, ganjil: fungsinya genap. G ) Frekuensi: fungsi periodik dengan periode utama. e) Nol dari fungsi: di. f) Interval tanda konstan: g) Interval monoton: fungsi meningkat dengan; fungsi berkurang pada h) Ekstrem: grafik fungsi kamu= cos x ditunjukkan pada gambar. Fungsi F (x) = tg (x) a) Lingkup: b) Himpunan nilai: E () c. Kemerataan, keganjilan. Fungsinya ganjil. d) Frekuensi. Fungsi periodik dengan periode utama e) Nol dari fungsi .: tg x = 0 untuk x = n, n Z. f) Interval keteguhan: g) Interval monotonisitas: fungsi meningkat pada setiap interval yang seluruhnya termasuk dalam domain definisinya. h) Ekstrem: tidak. grafik fungsi kamu= tg x ditunjukkan pada gambar. Fungsi F (x) = ctg (x) a) Domain definisi: D (ctg x) = R\ (n (n Z)). b) Himpunan nilai: E (ctg x) = R . d) Periodisitas: fungsi periodik dengan periode utama T =. e) Nol dari fungsi: ctg x = 0 untuk x = / 2 + n, n Z. f) Interval keteguhan; g) Interval monotonisitas: fungsi menurun pada setiap interval yang seluruhnya termasuk dalam domain definisinya. h) Ekstrem: tidak. Grafik fungsi y = ctg x ditunjukkan pada gambar. Grafik menarik diperoleh dengan menggunakan superposisi-pembentukan fungsi kompleks berdasarkan fungsi periodik trigonometri. Grafik fungsi periodik II. Aplikasi fungsi periodik. Fluktuasi periodik. Fluktuasi. Fluktuasi disebut proses yang berbeda dalam berbagai tingkat pengulangan. Osilasi adalah proses yang berulang secara berkala (dan tidak semua proses berulang adalah osilasi). Tergantung pada sifat fisik dari proses berulang, osilasi mekanis, elektromagnetik, elektromekanis, dll. dibedakan. Selama getaran mekanis, posisi dan koordinat benda berubah secara berkala. Dengan listrik - tegangan dan arus. Tergantung pada sifat dampak pada sistem osilasi, osilasi bebas, osilasi paksa, osilasi diri dan osilasi parametrik dibedakan. Berulang proses terus menerus terjadi di dalam organisme hidup, misalnya: kontraksi jantung, fungsi paru-paru; kita menggigil saat kedinginan; kita mendengar dan berbicara karena getaran gendang telinga dan pita suara; saat berjalan, kaki kita melakukan gerakan osilasi. Atom-atom yang kita buat bergetar. Dunia tempat kita hidup rentan terhadap keragu-raguan. Fluktuasi periodik. Berkala disebut fluktuasi seperti itu di mana semua karakteristik gerakan diulang setelah periode waktu tertentu. Untuk osilasi periodik, karakteristik berikut digunakan: periode osilasi T, sama dengan waktu selama satu getaran penuh terjadi; frekuensi getaran, sama dengan jumlah getaran yang dilakukan dalam satu detik (ν = 1 / T); Osilasi parametrik dilakukan dengan perubahan berkala dalam parameter sistem osilasi (seseorang yang berayun di ayunan secara berkala menaikkan dan menurunkan pusat gravitasinya, sehingga mengubah parameter sistem). Dalam kondisi tertentu, sistem menjadi tidak stabil - penyimpangan yang tidak disengaja dari posisi keseimbangan menyebabkan munculnya dan pertumbuhan osilasi. Fenomena ini disebut eksitasi parametrik osilasi (yaitu, osilasi tereksitasi dengan mengubah parameter sistem), dan osilasi itu sendiri disebut parametrik. Meskipun sifat fisiknya berbeda, osilasi dicirikan oleh keteraturan yang sama yang diselidiki dengan metode umum. Karakteristik kinematik yang penting adalah bentuk getaran. Hal ini ditentukan oleh jenis fungsi waktu, yang menggambarkan perubahan besaran fisika tertentu selama osilasi. Yang paling penting adalah fluktuasi di mana kuantitas yang berfluktuasi berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum sinus atau kosinus. Mereka disebut harmonik. Jenis getaran ini sangat penting karena alasan berikut. Pertama, getaran di alam dan dalam teknologi seringkali memiliki karakter yang sangat dekat dengan harmonik. Kedua, proses periodik dari bentuk yang berbeda (dengan ketergantungan yang berbeda pada waktu) dapat direpresentasikan sebagai pemaksaan, atau superposisi, osilasi harmonik. Lampiran No. 7 Institusi pendidikan kota sekolah menengah nomor 3 Guru Korotkova Asya Edikovna Kurganinsk 2008 ISI Pendahuluan ……………………………………………… 2-3 Fungsi periodik dan sifat-sifatnya ……………. 4-6 Tugas ………………………………………………… 7-14 pengantar Perhatikan bahwa masalah periodisitas dalam literatur pendidikan dan metodologis memiliki nasib yang sulit. Ini dijelaskan oleh tradisi yang aneh - untuk memungkinkan kelalaian tertentu dalam definisi fungsi periodik, yang mengarah pada keputusan kontroversial dan memicu insiden di ujian. Misalnya, dalam buku "Kamus Penjelasan Istilah Matematika" - M, 1965, definisi berikut diberikan: "fungsi periodik adalah fungsi y = f (x), dimana terdapat bilangan t > 0, dimana untuk semua x dan x + t dari domain f (x + t) = f (x). Mari kita berikan contoh tandingan yang menunjukkan ketidaktepatan definisi ini. Dengan definisi ini, fungsi periodik dengan periode t = 2π adalah c (x) = Cos (√x) 2 - Cos (√4π - x) 2 dengan domain definisi yang terbatas, yang bertentangan dengan sudut pandang yang diterima secara umum tentang fungsi periodik. Masalah serupa muncul di banyak buku teks sekolah alternatif terbaru. Dalam buku teks oleh AN Kolmogorov, definisi berikut diberikan: “Berbicara tentang periodisitas suatu fungsi f, diasumsikan bahwa ada bilangan T 0 sedemikian rupa sehingga domain definisi D (f), bersama dengan setiap titik x , juga mengandung titik-titik yang diperoleh dari x dengan translasi paralel sepanjang sumbu Ox (ke kanan dan ke kiri) pada jarak T. Fungsi f disebut berkala dengan periode T 0, jika untuk salah satu domain definisi nilai fungsi ini pada titik x, x - T, x + T adalah sama, mis. f (x + T) = f (x) = f (x - T)”. Selanjutnya dalam buku teks tertulis: “Karena sinus dan kosinus didefinisikan pada garis bilangan bulat dan Sin (x + 2π) = Sin x, Cos (x + 2π) = Cos x untuk sembarang x, sinus dan cosinus adalah periode dari suatu fungsi dengan periode 2π ". Untuk beberapa alasan, contoh ini tidak memeriksa apa yang diperlukan dalam definisi kondisi yang Sin (x - 2π) = Sin x. Apa masalahnya? Intinya adalah bahwa kondisi ini berlebihan dalam definisi. Memang, jika T > 0 adalah periode dari fungsi f(x), maka T juga akan menjadi periode dari fungsi ini. Saya ingin mengutip satu definisi lagi dari buku teks MI Bashmakov "Aljabar dan awal analisis kelas 10-11." Suatu fungsi y = f (x) disebut periodik jika terdapat bilangan T 0 sedemikian rupa sehingga persamaannya f(x + T) = f(x) terpenuhi secara identik untuk semua nilai x”. Definisi di atas tidak mengatakan apa-apa tentang ruang lingkup fungsi, meskipun itu berarti x dari ruang lingkup, bukan x nyata. Dengan definisi ini, fungsi periodik dapat menjadi y = Sin (√x) 2 , didefinisikan hanya untuk x 0, yang tidak benar. Ujian negara terpadu berisi tugas untuk frekuensi. Dalam salah satu jurnal berkala ilmiah, sebagai pelatihan pada bagian C dari USE, diberikan solusi untuk masalah ini: “adalah fungsi y (x) = Sin 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) periodik? Solusinya menunjukkan bahwa y (x - ) = y (x) dalam jawaban - catatan tambahan "T = " (bagaimanapun juga, pertanyaan untuk menemukan periode positif terkecil tidak dimunculkan). Apakah benar-benar perlu dilakukan pendidikan trigonometri yang kompleks untuk menyelesaikan masalah ini? Lagi pula, di sini Anda dapat fokus pada konsep periodisitas, sebagai kunci dalam pernyataan masalah. Larutan. f 1 (x) = Sin - fungsi periodik dengan periode = 2π f 2 (x) = Cos adalah fungsi periodik dengan periode = 2π, maka 2π adalah periode dan untuk fungsi f 3 (x) = Sin (2 + x) dan f 4 (x) = Cos (2 + x), (berikut dari definisi periodisitas) f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Konst, periodenya sembarang bilangan, termasuk 2π. Karena jumlah dan hasil kali fungsi-fungsi periodik dengan periode yang sama T juga periodik-T, maka fungsi ini periodik. Saya berharap materi yang diberikan dalam karya ini dapat membantu dalam mempersiapkan ujian negara kesatuan dalam memecahkan masalah untuk frekuensi. Fungsi periodik dan sifat-sifatnya DEFINISI: suatu fungsi f (t) disebut periodik jika untuk sembarang t dari domain fungsi ini D F terdapat bilangan 0 sehingga: 1) angka (t ± ) D f; 2) f (t + ) = f (t). 1. Jika bilangan = periode fungsi f (t), maka bilangan kω, dimana k = ± 1, ± 2, ± 3,… juga merupakan periode dari fungsi f (t). CONTOH f (t) = Sin t. Bilangan T = 2π adalah periode positif terkecil dari fungsi ini. biarkan aku 1 = 4π. Mari kita tunjukkan bahwa T 1 juga merupakan periode dari fungsi ini. F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t. Oleh karena itu, T1 Apakah periode fungsi f (t) = Sin t. 2. Jika fungsi f (t) - adalah fungsi periodik, maka fungsi f (at), di mana a R, dan f (t + c), di mana c adalah konstanta sembarang, juga periodik. Mari kita cari periode dari fungsi f (at). f (at) = f (at + ) = f (а (t + / а)), mis. f (at) = f (а (t + / а). Akibatnya, periode fungsi f (at) - 1 = / a. CONTOH 1. Tentukan periode fungsi y = Sin t / 2. CONTOH 2. Tentukan periode dari fungsi y = Sin (t + / 3). Misalkan f (t) = Sin t; y 0 = Sin (t 0 + / 3). Maka fungsi f(t) = Sin t mengambil nilai yang sama di 0 pada t = t 0 + / 3. Itu. semua nilai yang diambil fungsi y dan fungsi f(t). Jika t diinterpretasikan sebagai waktu, maka setiap nilai y 0 fungsi y = Sin (t + / 3) diambil oleh / 3 satuan waktu lebih awal dari fungsi f (t) dengan "menggeser" ke kiri oleh / 3. Jelas, periode fungsi tidak akan berubah dari ini, mis. T y = T 1. 3. Jika F (x) adalah suatu fungsi, dan f (t) adalah fungsi periodik, sehingga f (t) termasuk dalam domain definisi fungsi F (x) - D F , maka fungsi F(f(t)) adalah fungsi periodik. Misalkan F (f (t)) = . (t + ) = F (f (t + )) = F (f (t)) = (t) untuk setiap t D F. CONTOH Selidiki periodisitas fungsi: F (x) = dosa x. Domain dari fungsi ini D F bertepatan dengan himpunan bilangan real R. f (x) = Sin x. Himpunan nilai untuk fungsi ini adalah [-1; satu]. Karena segmen [-1; 1] milik D F , maka fungsi F(x) adalah periodik. F (x + 2π) = sin (x + 2π) = sin x = F (x). 2 - periode fungsi ini. 4. Jika fungsi f 1 (t) dan f 2 (t) periodik masing-masing dengan periode 1 dan 2 dan 1 / 2 = r, di mana r adalah bilangan rasional, maka fungsi 1 f 1 (t) + 2 f 2 (t) dan f 1 (t) f 2 (t) periodik (С 1 dan C2 adalah konstanta). Catatan: 1) Jika r = 1 / 2 = p / q, karena r adalah bilangan rasional, maka 1 q = 2 p = , dimana adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 1 dan 2 (KPK). Perhatikan fungsi C 1 f 1 (t) + 2 f 2 (t). Memang, = KPK (ω 1, 2 ) - periode fungsi ini 1 f 1 (t) + 2 f 2 (t) = 1 f 1 (t + 1 q) + 2 f 2 (t + 2 p) + 1 f 1 (t) + 2 f2 (t). 2) adalah periode dari fungsi f 1 (t) f 2 (t), karena f 1 (t + ) f 2 (t + = f 1 (t + 1 q) f 2 (t = 2 p) = f 1 (t) f 2 (t). DEFINISI: Biarkan f 1 (t) dan f (t) adalah fungsi periodik dengan periode, masing-masing 1 dan 2 , maka dua periode disebut sebanding jika 1 / 2 = r adalah bilangan rasional. 3) Jika periode 1 dan 2 tidak dapat dipersamakan, maka fungsi f 1 (t) + f 2 (t) dan f 1 (t) f 2 (t) tidak periodik. Artinya, jika f 1 (t) dan f 2 (t) berbeda dengan konstanta, periodik, kontinu, periodenya tidak sebanding, maka f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) tidak periodik. 4) Misalkan f (t) = C, di mana C adalah konstanta sembarang. Fungsi ini bersifat periodik. Periodenya adalah bilangan rasional apa pun, yang berarti tidak memiliki periode positif terkecil. 5) Pernyataan ini juga benar untuk sejumlah besar fungsi. CONTOH 1. Untuk menyelidiki periodisitas fungsi F (x) = Sin x + Cos x. Larutan. Misalkan f 1 (x) = Sin x, maka 1 = 2πk, dimana k Z. T 1 = 2π - periode positif terkecil. f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π. Rasio T 1 / T 2 = 2π / 2π = 1 adalah bilangan rasional, mis. periode fungsi f 1 (x) dan f 2 (x) sebanding. Artinya fungsi ini periodik. Mari kita cari periodenya. Dengan definisi fungsi periodik, kita memiliki Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x, Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T), 2 Cos 2х + / 2 Sin / 2 = 2 Sin 2х + / 2 Sin / 2, Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) = 0, 2 Sin / 2 Sin (π / 4 - + 2х / 2) = 0, oleh karena itu Sin / 2 = 0, maka = 2πk. Karena (x ± 2πk) D f , di mana f (x) = Sin x + Cos x, f(x + t) = f(x), maka fungsi f(x) adalah periodik dengan periode positif terkecil 2π. PRI me R 2. Apakah fungsi periodik f (x) = Cos 2x · Sin x, berapakah periodenya? Larutan. Misalkan f 1 (x) = Cos 2x, maka T 1 = 2π: 2 = (lihat 2) Misalkan f 2 (x) = Sin x, maka T 2 = 2π. Karena / 2π = adalah bilangan rasional, maka fungsi ini periodik. Periodenya T = NOC (π, 2π) = 2π. Jadi, fungsi ini periodik dengan periode 2π. 5. Misalkan fungsi f (t), yang tidak identik sama dengan konstanta, kontinu dan periodik, maka ia memiliki periode positif terkecil 0 , setiap periode lain dari nya berbentuk:= kω 0, di mana k Z. Catatan: 1) Dua kondisi yang sangat penting dalam properti ini: f (t) kontinu, f (t) , di mana adalah konstanta. 2) Pernyataan kebalikannya tidak benar. Artinya, jika semua periode sebanding, maka tidak berarti ada periode positif terkecil. Itu. fungsi periodik mungkin tidak memiliki periode positif terkecil. CONTOH 1.f (t) = C, periodik. Periodenya adalah bilangan real apa pun, tidak ada periode terkecil. CONTOH 2. Fungsi dirichlet: D (x) = Setiap bilangan rasional adalah periodenya, tidak ada periode positif terkecil. 6. Jika f (t) adalah fungsi periodik kontinu dan 0 Apakah periode positif terkecil, maka fungsi f (αt + ) memiliki periode positif terkecil 0 / / /. Pernyataan ini mengikuti dari item 2. CONTOH 1. Tentukan periode dari fungsi y = Sin (2x - 5). Larutan. y = Sin (2x - 5) = Sin (2 (x - 5/2)). Grafik fungsi y diperoleh dari grafik fungsi Sin x, pertama dengan “diperas” dua kali, kemudian dengan “digeser” ke kanan sebesar 2,5. “Pergeseran tidak mempengaruhi periodisitas, T = - periode fungsi ini. Sangat mudah untuk mendapatkan periode dari fungsi yang diberikan menggunakan properti item 6: T = 2π / 2 = . 7. Jika f (t) - adalah fungsi periodik, dan memiliki turunan kontinu f "(t), maka f" (t) juga merupakan fungsi periodik, = CONTOH 1.f (t) = Sin t, T = 2πk. Turunannya f "(t) = Cos t F "(t) = Cos t, = 2πk, k Z. Contoh 2.f (t) = Cos t, T = 2πk. turunannya F "(t) = - Sin t, = 2πk, k Z. Contoh 3.f (t) = tan t, periodenya T = k. F "(t) = 1 / Cos 2 t juga periodik menurut sifat butir 7 dan memiliki periode T = k. Periode positif terkecilnya adalah T = . TUGAS. № 1 Apakah fungsi f (t) = Sin t + Sin t periodik? Larutan. Sebagai perbandingan, kami akan menyelesaikan masalah ini dengan dua cara. Pertama, dengan definisi fungsi periodik. Misalkan f (t) periodik, maka untuk setiap t D f kita memiliki: Sin (t + T) + Sin (t + T) = Sin t + Sin t, Sin (t + T) - Sin t = Sin t - Sin (t + T), 2 Cos 2t + T / 2 Sin T / 2 = -2 Cos 2 t + t / 2 Sin t / 2. Karena ini benar untuk setiap t D F , maka, khususnya, untuk t 0 , di mana sisi kiri persamaan terakhir menghilang. Maka kita memiliki: 1) Cos 2t 0 + T / 2 Sin T / 2 = 0. Mari kita selesaikan sehubungan dengan T. Sin / 2 = 0 pada = 2 k, dimana k Z. 2) Cos 2πt 0 + t 0 / 2 Sin / 2 = 0. Mari kita selesaikan sehubungan dengan T. Sin / 2 = 0, maka = 2πn / = 2n, n 0, dimana n Z. Karena kita memiliki identitas, maka 2 k = 2n, = 2n / 2 k = n / k, yang tidak mungkin, karena adalah bilangan irasional, dan n / k adalah bilangan rasional. Artinya, asumsi kita bahwa fungsi f (t) adalah periodik tidak benar. Kedua, solusinya jauh lebih sederhana jika kita menggunakan sifat-sifat fungsi periodik yang diberikan di atas: Misalkan f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 ; f 2 (t) = Sin t, 2 - 2π / = 2. Maka, 1 / 2 = 2π / 2 = adalah bilangan irasional, mis. periode T 1, T2 tidak sebanding, maka f (t) tidak periodik. Jawabannya adalah tidak. № 2 Tunjukkan bahwa jika adalah bilangan irasional, maka fungsi F (t) = Cos t + Cos t tidak periodik. Larutan. Misalkan f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos t. Maka periode mereka masing-masing adalah T 1 = 2π, T2 = 2π // / adalah periode positif terkecil. Temukan, T 1 / T 2 = 2π / // 2π = / / adalah bilangan irasional. Jadi T 1 dan T2 tidak dapat dibandingkan, dan fungsinya f(t) tidak periodik. № 3 Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f (t) = Sin 5t. Larutan. Dengan properti item 2, kami memiliki: f (t) - periodik; T = 2π / 5. Jawaban: 2π / 5. № 4 Apakah f (x) = arccos x + arcsin x periodik? Larutan. Pertimbangkan fungsi ini F (x) = arccos x + arcsin x = - arcsin x + arcsin x = , itu. F (x) adalah fungsi periodik (lihat properti pada butir 5, contoh 1.). Jawabannya iya. № 5 Merupakan fungsi periodik F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5? larutan. Misalkan f 1 (x) = Sin 2x, maka T 1 = ; F 2 (x) = Cos 4x, maka T 2 = 2π / 4 = / 2; F 3 (x) = 5, T 3 - bilangan real apa pun, khususnya T 3 kita dapat mengasumsikan sama dengan T 1 atau T2 ... Maka periode dari fungsi ini adalah T = KPK (π, / 2) = . Artinya, f(x) periodik dengan periode T = . Jawabannya iya. № 6 Apakah fungsi f (x) = x - E (x) periodik, di mana E (x) adalah fungsi yang memberikan argumen x bilangan bulat terkecil yang tidak melebihi yang diberikan. Larutan. Seringkali fungsi f (x) dilambangkan dengan (x) - bagian pecahan dari bilangan x, mis. F (x) = (x) = x - E (x). Misalkan f (x) adalah fungsi periodik, mis. ada bilangan T > 0 sehingga x - E (x) = x + T - E (x + T). Mari kita tulis persamaan ini (x) + E (x) - E (x) = (x + T) + E (x + T) - E (x + T), (x) + (x + T) - benar untuk setiap x dari domain D F, asalkan T 0 dan T Z. Positif terkecil dari mereka adalah T = 1, yaitu. T = 1 sehingga X + T - E (x + T) = x - E (x), Selain itu, (x ± Tk) D f, dimana k Z. Jawab: fungsi ini periodik. № 7 Apakah f (x) = Sin x periodik 2 . Larutan. Misalkan f (x) = Sin x 2 fungsi periodik. Kemudian, menurut definisi fungsi periodik, terdapat bilangan 0 sehingga: Sin 2 = Sin (x + T) 2 untuk sembarang x D f. Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0, 2 Cos x 2 + (x + T) 2/2 Sin x 2 - (x + T) 2/2 = 0, maka Cos x 2 + (x + T) 2/2 = 0 atau Sin x 2 - (x + T) 2/2 = 0. Perhatikan persamaan pertama: Cos x 2 + (x + T) 2/2 = 0, X 2 + (x + T) 2/2 = (1 + 2 k) / 2 (k Z), T = (1 + 2 k) - x 2 - x. (satu) Perhatikan persamaan kedua: Sin x 2 - (x + T) 2/2 = 0, X + T = - 2πk + x 2, T = x 2 - 2πk - x. (2) Dari ekspresi (1) dan (2) dapat dilihat bahwa nilai T yang ditemukan bergantung pada x, yaitu. tidak ada T> 0 sedemikian rupa sehingga Sin x 2 = Sin (x + T) 2 Untuk setiap x dari domain fungsi ini. f (x) - tidak periodik. Jawaban: tidak № 8 Selidiki periodisitas fungsi f (x) = Cos 2x. Larutan. Kami mewakili f (x) dengan rumus kosinus sudut ganda F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x. Misalkan f 1 (x) = 1, maka 1 - bisa berupa bilangan real apa pun; F 2 (x) = Cos 2x adalah fungsi periodik, karena produk dari dua fungsi periodik yang memiliki periode yang sama T 2 = . Maka periode positif terkecil dari fungsi ini adalah T = KPK (T 1, T 2) = . Jadi, fungsi f(x) = Cos 2 x - - periodik. Jawaban: - periodik. № 9 Dapatkah ruang lingkup fungsi periodik menjadi: A) setengah garis [a, ), B. segmen? Larutan. Tidak karena A) menurut definisi fungsi periodik, jika x D f, maka x ± juga Harus dalam lingkup fungsi. Misalkan x = a, maka X 1 = (a - ) [a, ); B) misalkan x = 1, maka x 1 = (1 + T) . № 10 Dapatkah fungsi periodik menjadi: A) sangat monoton; B) genap; T) bahkan tidak? Larutan. a) Misalkan f (x) adalah fungsi periodik, yaitu, terdapat 0 sedemikian rupa sehingga untuk sembarang dari domain fungsi D apa itu? (x ± T) D f dan f (x ± T) = f (x). Kami memperbaiki setiap x 0 D f sejak f (x) periodik, maka (x 0 + T) D f dan f (x 0) = f (x 0 + T). Misalkan f (x) benar-benar monoton dan pada seluruh domain D F , misalnya, meningkat. Kemudian, dengan definisi fungsi naik untuk setiap x 1 dan x 2 dari domain D F dari pertidaksamaan x 1 2 maka f (x 1) 2 ). Khususnya, dari kondisi x 0 0 + T, maka F (x 0) 0 + T), yang bertentangan dengan kondisi. Oleh karena itu, fungsi periodik tidak dapat benar-benar monoton. b) Ya, fungsi periodiknya bisa genap. Berikut beberapa contohnya. F (x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f (x) adalah fungsi periodik genap. 0 jika x adalah bilangan rasional; D (x) = 1 jika x adalah bilangan irasional. D (x) = D (-x), domain dari fungsi D (x) adalah simetris. Fungsi Direhle D (x) adalah fungsi periodik genap. f (x) = (x), f (-x) = -x - E (-x) = (-x) (x). Fungsi ini tidak genap. c) Fungsi periodik bisa ganjil. f (x) = Sin x, f (-x) = Sin (-x) = - Sin = - f (x) f(x) adalah fungsi periodik ganjil. f (x) - Sin x Cos x, f (-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f (x), f (x) - ganjil dan periodik. f (x) = Sin x, f (-x) = Sin (- x) = -Sin x - f (x), f(x) tidak ganjil. f (x) = tg x adalah fungsi periodik ganjil. Jawabannya adalah tidak; Ya; Ya. № 11 Berapa banyak nol yang dapat dimiliki fungsi periodik pada: satu) ; 2) pada seluruh sumbu numerik, jika periode fungsi adalah T? Solusi: 1. a) Pada interval [a, b] fungsi periodik mungkin tidak memiliki nol, misalnya f (x) = C, C 0; f (x) = Cos x + 2. b) Pada interval [a, b], fungsi periodik dapat memiliki himpunan nol tak terhingga, misalnya fungsi Direhle 0 jika x adalah bilangan rasional, D (x) = 1 jika x adalah bilangan irasional. c) Pada interval [a, b], fungsi periodik dapat memiliki jumlah nol yang terbatas. Mari kita temukan nomor ini. Misalkan T adalah periode dari fungsi tersebut. Kami menunjukkan X 0 = (min x (a, b) sehingga f (x) = 0). Maka banyaknya angka nol pada ruas [a, b]: N = 1 + E (c-x 0/T). Contoh 1. x [-2, 7π / 2], f (x) = Cos 2 x adalah fungsi periodik dengan periode T = ; x 0 = -π / 2; maka jumlah nol dari fungsi f (x) pada interval yang diberikan N = 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) = 1 + E (8π / 2π) = 5. Contoh 2. f (x) = x - E (x), x [-2; 8.5]. f (x) - fungsi periodik, T + 1, x 0 = -2. Maka jumlah nol dari fungsi f (x) pada interval yang diberikan N = 1 + E (8,5 - (-2) / 1) = 1 + E (10,5 / 1) = 1 + 10 = 11. Contoh 3. f (x) = Cos x, x [-3π; ], T 0 = 2π, x 0 = - 5π / 2. Maka jumlah nol dari fungsi ini pada interval yang diberikan N = 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) = 1 + E (7π / 2π) = 1 + 3 = 4. 2. a) Jumlah nol tak terhingga, karena x 0 D f dan f (x 0 ) = 0, maka untuk semua bilangan X 0 + Tk, dimana k Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) = 0, dan titik berbentuk x 0 ± k adalah himpunan tak hingga; b) tidak memiliki nol; jika f (x) periodik dan untuk sembarang x D f fungsi f (x)> 0 atau f (x) F (x) = Sin x +3.6; f (x) = C, C 0; F (x) = Sin x - 8 + Cos x; F(x) = Sin x Cos x + 5. № 12 Bisakah jumlah fungsi non-periodik menjadi periodik? Larutan. Ya mungkin. Misalnya:
F (x) = f 1 (x) - f 2 (x) = x - E (x) - periodik.
F (x) = f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x - periodik. Jawabannya iya. № 13 Fungsi f (x) dan (x) periodik dengan periode T 1 dan T2 masing-masing. Apakah produk mereka selalu merupakan fungsi periodik? Larutan. Tidak, hanya dalam kasus ketika T 1 dan T2 - sebanding. Misalnya, F(x) = Sin x Sin x, T 1 = 2π, T2 = 2; lalu T1 / T2 = 2π / 2 = adalah bilangan irasional, jadi f (x) tidak periodik. f (x) = (x) Cos x = (x - E (x)) Cos x. Biarkan f 1 (x) = x - E (x), T 1 = 1; f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T2 / T1 = 2π / 1 = 2π, jadi f (x) tidak periodik. Jawaban: Tidak. Tugas untuk solusi independen Manakah dari fungsi yang periodik, tentukan periodenya? 1.f (x) = Sin 2x, 10.f (x) = Sin x / 2 + tan x, 2.f (x) = Cos x / 2, 11.f (x) = Sin 3x + Cos 4x, 3.f (x) = tan 3x, 12.f (x) = Sin 2x+1, 4.f (x) = Cos (1 - 2x), 13.f (x) = tan x + ctg√2x, 5.f (x) = Sin x Cos x, 14.f (x) = Sin x + Cos x, 6.f (x) = ctg x / 3, 15.f (x) = x 2 - E (x 2), 7.f (x) = Sin (3x - / 4), 16.f (x) = (x - E (x)) 2 , 8.f (x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17.f (x) = 2 x - E (x), 9.f (x) = Sin 2 x, 18.f (x) = x - n + 1, jika n x n + 1, n = 0, 1, 2 ... № 14 Misalkan f (x) - T adalah fungsi periodik. Manakah dari fungsi yang periodik (cari T)?
(x + T) = f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 = (x), = T.
Misalkan 1 (x) = a f 2 (x) - periodik, 1 = t / 2; 2 (x) = dalam f (x) - periodik, 2 = T / T = T; 3 (x) = c - periodik, 3 - nomor berapa pun; maka = KPK (T / 2; T) = T, (x) periodik. Jika tidak, karena domain dari fungsi ini adalah seluruh garis bilangan, maka himpunan nilai fungsi f - E f D , maka fungsi (x) periodik dan = T. (x) - periodik dengan periode = T, karena untuk setiap x fungsi f (x) mengambil nilai f (x) 0, yaitu himpunan nilainya E f D , dimana D Apakah domain definisi dari fungsi (z) = z. № 15 Apakah fungsi f (x) = x 2 periodik? Larutan. Perhatikan 0, maka untuk f (х) terdapat fungsi invers , maka pada interval ini f (х) adalah fungsi monoton, maka tidak dapat periodik (lihat No. 10). № 16 Diberikan polinomial P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x. Apakah P(x) merupakan fungsi periodik? Larutan. 1. Jika identitas sama dengan konstanta, maka P(x) adalah fungsi periodik, yaitu, jika sebuah i = 0, dimana i 1. 2. Misalkan P (x) c, di mana c adalah suatu konstanta. Misalkan P (x) adalah fungsi periodik, dan misalkan P (x) memiliki akar-akar real, maka karena P (x) adalah fungsi periodik, maka harus ada jumlah tak terbatas dari mereka. Dan dengan teorema utama aljabar, jumlah mereka k sedemikian rupa sehingga k n. Oleh karena itu, P(x) bukan fungsi periodik. 3. Misalkan P (x) adalah polinomial yang identik bukan nol dan tidak memiliki akar real. Misalkan P (x) adalah fungsi periodik. Kami memperkenalkan polinomial q (x) = a 0 , q (x) adalah fungsi periodik. Pertimbangkan perbedaan P (x) - q (x) = a 1 x 2 +… + a n x n. Karena di ruas kiri persamaan terdapat fungsi periodik, maka fungsi ruas kanan juga periodik, apalagi memiliki paling sedikit satu akar real, x = 0. fungsi periodik, maka harus ada jumlah nol yang tak terbatas. Kami mendapat kontradiksi. P(x) bukan fungsi periodik. № 17 Diberikan fungsi f (t) - T - periodik. Apakah fungsi f(t), dimana k Z, fungsi periodik, bagaimana periode mereka terkait? Larutan. Pembuktian akan dilakukan dengan metode fungsi matematika. Membiarkan f 1 = f (t), maka f 2 = f 2 (t) = f (t) f (t), F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 Adalah fungsi periodik oleh properti item 4. …………………………………………………………………………. Misalkan f k-1 = f k-1 (t) adalah fungsi periodik dan periodenya T k-1 sepadan dengan periode T. Kalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan f(t), kita peroleh f k-1 f (t) = f (t) f k-1 (t), Fk = fk (t) adalah fungsi periodik dengan sifat butir 4. T. № 18 Misalkan f (x adalah fungsi arbitrer yang didefinisikan pada. Apakah fungsi f ((x)) periodik? Jawab: ya, karena himpunan nilai fungsi (x) termasuk dalam domain definisi fungsi f (x), maka menurut sifat butir 3 f ((x)) adalah fungsi periodik, periodenya = T = 1. № 19 F (x) - fungsi arbitrer yang didefinisikan pada [-1; 1], apakah fungsi f (sinx) periodik? Jawab: ya, periodenya adalah = T = 2π (buktinya sama dengan no. 18). ANALISIS HARMONIS pengantar. Perkembangan teknologi modern membuat tuntutan meningkat pada pelatihan matematika insinyur. Sebagai hasil dari perumusan dan studi sejumlah masalah khusus dalam mekanika dan fisika, teori deret trigonometri muncul. Peran paling penting deret Fourier bermain di semua bidang teknologi berdasarkan teori osilasi dan teori analisis spektral. Misalnya, dalam sistem transmisi data untuk menggambarkan sinyal, penerapan praktis representasi spektral selalu mengarah pada kebutuhan implementasi eksperimental dari ekspansi Fourier. Peran deret trigonometri dalam teknik elektro sangat besar dalam studi arus non-sinusoidal periodik: spektrum amplitudo suatu fungsi ditemukan menggunakan deret Fourier dalam bentuk kompleks. Integral Fourier digunakan untuk mewakili proses non-periodik. Deret trigonometri menemukan aplikasi penting dalam berbagai cabang matematika dan menyediakan metode yang sangat nyaman untuk memecahkan masalah fisika matematika yang sulit, misalnya, masalah getaran tali dan masalah perambatan panas dalam batang. Fungsi periodik. Banyak tugas sains dan teknologi dikaitkan dengan fungsi periodik yang mencerminkan proses siklus. Definisi 1. Fenomena yang berulang dalam urutan yang sama dan dalam bentuk yang sama pada interval argumen tertentu disebut periodik. Contoh. Dalam analisis spektral, spektrum. Definisi 2. Fungsi pada = F(x) disebut periodik dengan periode T, jika F(x + T) = F(x) untuk semua x dan x + T dari ruang lingkup fungsi. Pada gambar, periode dari fungsi yang digambarkan T = 2. Definisi 3. Periode positif terkecil dari suatu fungsi disebut periode utama. Setiap kali Anda harus berurusan dengan fenomena periodik, fungsi trigonometri hampir selalu ditemui. Periode fungsi  Periode fungsi trigonometri dengan argumen ( Oh) ditemukan dengan rumus: Contoh. Tentukan periode utama fungsi 1) Larutan. 1) . 2) . Kata pengantar singkat. Jika F(x) memiliki periode T, maka integral dari fungsi ini, diambil dalam batas-batas yang berbeda dengan T, tidak tergantung pada pilihan batas bawah integrasi, yaitu =. Periode utama sulit fungsi periodik pada = F(x) (terdiri dari jumlah fungsi periodik) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari periode fungsi penyusunnya. Artinya, jika F(x) = F 1 (x) + F 2 (x), T 1 - periode fungsi F 1 (x), T 2 - periode fungsi F 2 (x), maka periode positif terkecil T harus memenuhi syarat: T = nT 1 + kT 2, dimana(*) – Dalam tugas sekolah biasa buktikan periodisitas fungsi ini atau itu biasanya tidak sulit: jadi untuk memastikan bahwa fungsi $ y = sin \ frac34 x + sin \ frac27 x $ adalah periodik, cukup dicatat bahwa produk $ T = 4 \ times7 \ times 2 \ pi $ adalah periodenya: jika kita menambahkan angka T ke x, maka produk ini akan "memakan" penyebut dan di bawah tanda sinus, hanya kelipatan bilangan bulat dari $ 2 \ pi $ akan berlebihan, yang sinus itu sendiri akan " makan". Tetapi bukti non-periodisitas Fungsi ini atau itu, secara langsung menurut definisi, mungkin sama sekali tidak sederhana. Jadi, untuk membuktikan non-periodisitas fungsi $ y = \ sin x ^ 2 $ yang dipertimbangkan di atas, kita dapat menulis persamaan $ sin (x + T) ^ 2 = \ sin x ^ 2 $, tetapi tidak menyelesaikan persamaan trigonometri ini di luar kebiasaan, tetapi coba substitusikan ke x = 0, setelah itu selanjutnya akan hampir otomatis: $ \ sin T ^ 2 = 0 $, $ T ^ 2 = k \ pi $, di mana k adalah beberapa bilangan bulat yang lebih besar dari 0, yaitu $ T = \ sqrt (k \ pi) $, dan jika sekarang Anda menebak untuk mengganti $ x = \ sqrt (\ pi) $ ke dalamnya, ternyata $ \ sin (\ sqrt (\ pi) + \ sqrt ( k \ pi)) = 0 $, dari mana $ \ sqrt (\ pi) + \ sqrt (k \ pi) = n \ pi $, $ 1 + \ sqrt (k) = n \ sqrt (\ pi) $, $ 1 + k + 2 \ sqrt (k) = n ^ 2 \ pi $, $ 2 \ sqrt (k) = n ^ 2 \ pi-1-k = n ^ 2 \ pi = m $, $ 4k = n ^ 4 (\ pi) ^ 2 + 2mn ^ 2x + m ^ 2 $, dan dengan demikian bilangan p adalah akar dari persamaan $ n ^ 4x ^ 2 + 2mn ^ 2 \ pi + m ^ 2-4k = 0 $, yaitu adalah aljabar, yang tidak benar: $ \ pi $ adalah, seperti yang kita ketahui, transendental, yaitu. bukan akar dari persamaan aljabar apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Namun, di masa depan kita akan mendapatkan bukti yang lebih sederhana dari pernyataan ini - tetapi dengan bantuan alat analisis matematis. Ketika membuktikan non-periodisitas fungsi, trik logika dasar sering membantu: jika semua fungsi periodik memiliki beberapa properti, tetapi fungsi yang diberikan tidak memilikinya, maka, tentu saja, tidak periodik... Jadi, fungsi periodik mengambil setiap nilai berkali-kali, dan oleh karena itu, misalnya, fungsi $ y = \ frac (3x ^ 2-5x + 7) (4x ^ 3-x + 2) $ tidak periodik, karena nilai 7 hanya membutuhkan dua titik. Seringkali, untuk membuktikan nonperiodisitas, akan lebih mudah untuk menggunakan singularitasnya bidang definisi, dan untuk menemukan properti fungsi periodik yang diinginkan, terkadang Anda harus menunjukkan imajinasi tertentu. Perhatikan juga bahwa sangat sering pertanyaan tentang apa itu fungsi non-periodik dijawab dengan gaya yang kita bicarakan sehubungan dengan fungsi genap dan ganjil, adalah ketika $ f (x + T) \ neq f (x) $, yang tentu saja tidak diperbolehkan. Dan jawaban yang benar tergantung pada definisi spesifik dari fungsi periodik, dan, berdasarkan definisi yang diberikan di atas, tentu saja seseorang dapat mengatakan bahwa suatu fungsi adalah non-periodik jika tidak memiliki periode tunggal, tetapi ini akan menjadi definisi "buruk" yang tidak memberi arah bukti non-periodisitas... Dan jika kita menguraikannya lebih lanjut, menjelaskan apa arti kalimat “fungsi f tidak memiliki titik”, atau, yang sama, “tidak ada bilangan $ T \ neq 0 $ adalah periode dari fungsi f”, maka kita mendapatkan bahwa fungsi f tidak periodik jika dan hanya jika untuk setiap $ T \ neq 0 $ terdapat bilangan $ x \ dalam D (f) $ sedemikian sehingga paling sedikit salah satu bilangan $ x + T $ dan $ xT $ adalah bukan milik D (f), atau $ f (x + T) \ neq f (x) $. Anda juga dapat mengatakan dengan cara lain: “Ada bilangan $ x \ di D (f) $ sehingga persamaan $ f (x + T) = f (x) $ tidak berlaku” - persamaan ini mungkin tidak berlaku untuk dua alasan: entah itu tidak masuk akal, yaitu salah satu bagiannya tidak terdefinisi, atau - jika tidak, salah. Untuk kepentingan, kami menambahkan bahwa efek linguistik, yang kami bicarakan di atas, juga dimanifestasikan di sini: untuk kesetaraan, "tidak benar" dan "tidak benar" bukanlah hal yang sama - kesetaraan mungkin masih tidak masuk akal. Penjelasan terperinci tentang penyebab dan konsekuensi dari efek linguistik ini sebenarnya bukan subjek matematika, tetapi teori bahasa, linguistik, lebih tepatnya, bagian khusus: semantik - ilmu makna, di mana, bagaimanapun, pertanyaan-pertanyaan ini sangat kompleks dan tidak memiliki solusi yang jelas. Dan matematika, termasuk matematika sekolah, dipaksa untuk menghadapi kesulitan-kesulitan ini dan mengatasi "masalah" linguistik - untuk saat ini dan sejak ia menggunakan, bersama dengan bahasa simbolis, alami. Tujuan: untuk meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang topik "Frekuensi fungsi"; mengembangkan keterampilan dalam menerapkan sifat-sifat fungsi periodik, menemukan periode positif terkecil dari suatu fungsi, membangun grafik fungsi periodik; untuk mempromosikan minat dalam studi matematika; mendidik pengamatan, akurasi. Peralatan: komputer, proyektor multimedia, kartu tugas, slide, jam, meja hias, elemen kerajinan rakyat
Selama kelas I. Tahap organisasi. Memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran. Komunikasi topik dan tujuan pelajaran. II. Pemeriksaan pekerjaan rumah. Kami memeriksa pekerjaan rumah dengan sampel, kami membahas poin yang paling sulit. AKU AKU AKU. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan. 1. Pekerjaan frontal lisan. Pertanyaan teori. 1) Bentuk definisi periode fungsi 2) Berapa periode positif terkecil dari fungsi y = sin (x), y = cos (x) 3). Berapa periode positif terkecil dari fungsi y = tg (x), y = ctg (x) 4) Buktikan kebenaran hubungan dengan bantuan lingkaran: y = sin (x) = sin (x + 360) y = cos (x) = cos (x + 360) y = tg (x) = tg (x + 18 0º)y = ctg (x) = ctg (x + 180º) tg (x + n) = tgx, n € Z sin (x + 2π n) = sinx, n € Z 5) Bagaimana cara memplot fungsi periodik? Latihan lisan. 1) Buktikan hubungan berikut sebuah) dosa (740º) = dosa (20º) 2. Buktikan bahwa sudut pada 540º merupakan salah satu periode dari fungsi y = cos (2x) 3. Buktikan bahwa sudut 360 merupakan salah satu periode dari fungsi y = tg (x) 4. Transformasikan ekspresi ini sehingga sudut yang termasuk di dalamnya tidak melebihi 90º dalam nilai absolut. sebuah) tg375º 5. Di mana Anda menemukan kata PERIODE, FREKUENSI? Siswa menjawab: Periode dalam musik adalah struktur di mana ide musik yang kurang lebih lengkap disajikan. Periode geologis merupakan bagian dari suatu zaman dan dibagi menjadi zaman-zaman dengan periode berkisar antara 35 hingga 90 juta tahun. Waktu paruh zat radioaktif. Fraksi periodik. Majalah berkala adalah publikasi tercetak yang muncul pada tanggal yang ditentukan secara ketat. Tabel periodik Mendeleev. 6. Angka-angka tersebut menunjukkan bagian-bagian dari grafik fungsi periodik. Tentukan periode dari fungsi tersebut. Tentukan periode dari fungsi tersebut. Menjawab: T = 2; T = 2; T = 4; T = 8. 7. Di mana dalam hidup Anda, Anda pernah bertemu dengan konstruksi elemen berulang? Jawaban siswa: Unsur ornamen, kesenian rakyat. IV. Pemecahan masalah kolektif. (Memecahkan masalah pada slide.) Pertimbangkan salah satu cara untuk memeriksa fungsi untuk periodisitas. Metode ini menghindari kesulitan yang terkait dengan membuktikan bahwa periode ini atau itu adalah yang terkecil, dan juga menghilangkan kebutuhan untuk menyentuh masalah operasi aritmatika pada fungsi periodik dan periodisitas fungsi kompleks. Penalaran hanya didasarkan pada definisi fungsi periodik dan fakta berikut: jika T adalah periode fungsi, maka nT (n? 0) adalah periodenya. Soal 1. Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f (x) = 1 + 3 (x + q> 5) Solusi: Misalkan periode-T dari fungsi yang diberikan. Maka f (x + T) = f (x) untuk semua x D (f), yaitu, 1 + 3 (x + T + 0,25) = 1 + 3 (x + 0,25) Menempatkan x = -0,25 kita dapatkan (T) = 0<=>T = n, n € Z Kami mendapatkan bahwa semua periode fungsi yang dipertimbangkan (jika ada) adalah di antara bilangan bulat. Mari kita pilih bilangan positif terkecil di antara bilangan-bilangan ini. Ini 1 ... Mari kita periksa apakah itu benar-benar akan menjadi periode 1 . f (x + 1) = 3 (x + 1 + 0,25) +1 Karena (T + 1) = (T) untuk sembarang T, maka f (x + 1) = 3 ((x + 0.25) +1) + 1 = 3 (x + 0.25) + 1 = f (x ), mis. 1 - periode f. Karena 1 adalah yang terkecil dari semua bilangan bulat positif, T = 1. Soal 2. Tunjukkan bahwa fungsi f (x) = cos 2 (x) periodik dan cari periode utamanya. Tugas 3. Temukan periode utama dari fungsi f (x) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x) Misalkan periode-T dari fungsi tersebut, maka untuk sembarang x hubungannya benar sin1,5 (x + T) + 5cos0,75 (x + T) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x) Jika x = 0, maka sin (1,5T) + 5cos (0,75T) = sin0 + 5cos0 sin (1,5T) + 5cos (0,75T) = 5 Jika x = -T, maka sin0 + 5cos0 = sin (-1.5T) + 5cos0.75 (-T) 5 = - sin (1,5T) + 5cos (0,75T)
Menambahkannya bersama-sama, kita mendapatkan: 10cos (0,75T) = 10 2π n, n € Z Mari kita pilih positif terkecil dari semua angka "mencurigakan" untuk suatu periode dan periksa apakah itu adalah periode untuk f. Nomor ini f (x +) = sin (1,5x + 4π) + 5cos (0,75x + 2π) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x) = f (x) Oleh karena itu - periode utama dari fungsi f. Soal 4. Periksa apakah fungsi periodik f (x) = sin (x) Misalkan T adalah periode dari fungsi f. Maka untuk sembarang x sin | x + T | = sin | x | Jika x = 0, maka sin | | = sin0, sin | | = 0 = n, n € Z. Mari kita asumsikan. Bahwa untuk beberapa n bilangan n adalah suatu periode dari fungsi yang dipertimbangkan n> 0. Maka sin | n + x | = sin | x | Ini menyiratkan bahwa n harus genap dan ganjil pada saat yang sama, yang tidak mungkin. Oleh karena itu, fungsi ini tidak periodik. Soal 5. Periksa apakah fungsi periodik f (x) = Misalkan T adalah periode f, maka Karena pembilangnya sama, maka penyebutnya juga sama, oleh karena itu Oleh karena itu, fungsi f tidak periodik. Pekerjaan kelompok. Tugas kelompok 1. Tugas untuk kelompok 2. Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode utamanya (jika ada). f (x) = cos (2x) + 2sin (2x) Tugas kelompok3. Di akhir pekerjaan, kelompok mempresentasikan solusi mereka. vi. Menyimpulkan pelajaran. Cerminan. Guru memberikan kartu gambar kepada siswa dan menawarkan untuk melukis pada bagian gambar pertama sesuai dengan sejauh mana mereka pikir mereka telah menguasai metode mempelajari fungsi periodisitas, dan pada bagian gambar kedua - sesuai dengan kontribusi mereka pada pekerjaan dalam pelajaran. vii. Pekerjaan rumah satu). Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode utamanya (jika ada) B). f (x) = x 2 -2x + 4 C). f (x) = 2tg (3x + 5) 2). Fungsi y = f (x) memiliki periode T = 2 dan f (x) = x 2 + 2x untuk x € [-2; 0]. Temukan arti dari ekspresi -2f (-3) -4f (3,5) Literatur/
|
Apa yang dimaksud dengan fungsi bukan periodik
Pos Terkait
Copyright © 2024 idkuu.com Inc.
