Apa yang dimaksud dengan barisan geometri

Barisan geometri – Berdasar dengan polanya, barisan bilangan dapat dibagi menjadi 2 bagian, yakni barisan arimetika atau (barisan hitung) dengan barisan geometri atau (barisan ukur). Selain itu, barisan geometri ataupun yang sering disebut dengan “barisan ukur” ialah barisan yang telah memenuhi sifat dari hasil bagi suatu suku dengan suku yang sebelumnya dan berurutan yang bernilai konstan.

Misalnya barisan geometri itu ialah a,b, & c, jadi, c/b = b/a = konstan. Sedangkan hasil bagi dari suku yang telah berdekatan tersebut bisa disebut sebagai rasio barisan geometri atau disimbolkan dengan (r). Untuk lebih jelasnya, kamu bisa langsung simak ulasan tentang barisan geometri dibawah ini.

Yang dimaksud dengan barisan geometri ialah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap diantara 2 suku barisan berurutan.

Hal tersebut tidak sama dengan yang namanya barisan aritmetika, sementara selisih antarsuku barisan biasa disebut dengan rasio (yang dilambangkan dengan bilangan r). Artinya, adalah suku barisan ditentukan perkalian ataupun pembagian oleh sebuah bilangan tetap oleh suku barisan yang sebelumnya.

Diketahui bahwa barisan bilangan memiliki pola dibawah ini.

Jika melihat barisan bilangan diatas, maka mempunyai rasio yang tetap, yakni 2 ataupun r = 2. Ini berarti, barisan itu adalah barisan geometri.

Selanjutnya diketahui barisan bilangan dengan pola dibawah ini.

Pada barisan bilangan diatas juga mempunyai rasio yang tetap, ini berarti bilangan diatas adalah barisan geometri.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan jika barisan geometri mempunyai rasio yang tetap.

Bila r nilainya lebih besar dibandingkan 1, maka barisan geometri tersebut adalah barisan geometri naik. Sementara bila r bernilai lebih kecil dibandingkan 1, maka barisan geometri tersebut adalah barisan geometri turun. Untuk lebih jelasnya, bisa melihat contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Barisan Geometri

Tentukanlah barisan bilangan geometri dibawah ini, apakah barisan geometri naik ataukah turun.

Rumus Barisan Geometri

Selanjutnya, cobalah kamu perhatikan pada barisan bilangan geometri dibawah ini.

U1, U2, U3, U5, U6, …, Un – 1, Un

Dengan melihat dari barisan tersebut, maka diperoleh:

U1 = a

U2 = U1 × = a × r = ar

U3 = U2 × r = (a × r) × r = ar2

U4 = U3 × r = (a × r2) × r = ar3

U5 = U4 × r = (a × r3) × r = ar4

U6 = U5 × r = (a × r4) × r = ar5

…

Un =Un–1 ×r = (a × rn-2) × r =arn-1

Sehingga, untuk mencari suku yang ke-n, dari barisan geometri, bisa digunakan rumus dibawah ini.

Selanjutnya untuk mencari rasio di suatu barisan geometri, maka kamu bisa memperhatikan uraian berikut ini.

Sehingga rasio dalam barisan geometri bisa dinyatakan sebagai berikut ini.

Contoh Soal Barisan Geometri

Jadi suku yang ke 9 pada barisan geometri tersebut ialah 128.

Deret Geometri tak Hingga

Sebagai tambahan, saat kamu menjatuhkan bola bekel yang berasal dari ketinggian 1 meter, kemudian bola tersebut memantul ke atas sampai sejauh 0,8, dari tinggi jatuh sebelumnya. Maka berapakah jarak yang ditempuh oleh bola bekel tersebut sampai bolanya berhenti? Ini adalah salah satu contoh soal deret geomerti tak_hingga yakni deret dengan banyak suku-sukunya yang tak terhingga. Selain itu, jumlah suku-suku pada deret tak hingga juga terdapat kemungkinan hingga ataupun tak hingga.

Itulah artikel tentang barisan geometri. Selamat belajar.

Baca Juga : 

Pada subbab B, Anda telah mempelajari barisan aritmetika. Ciri barisan aritmetika memiliki beda yang sama. Pada subbab ini, Anda akan mempelajari barisan geometri. Apakah perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri? Pelajarilah uraian berikut.

Coba Anda perhatikan barisan berikut.

1. 3, 9, 27, 81, …
2. 32, 18, 8, 4, …

Dari barisan a, dapat dilihat bahwa pada suku-suku yang berdekatan memiliki hasil bagi yang tetap, yaitu:

Berdasarkan perhitungan tersebut, Anda dapat melihat bahwa hasil bagi pada barisan tersebut adalah 3. Barisan tersebut memiliki ciri tertentu, yaitu perbandingan dua suku berurutan memiliki nilai tetap (konstan).

Barisan yang memiliki ciri seperti ini disebut barisan geometri. Perbedaan yang konstan itu disebut rasio. Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki ciri sebagai berikut.

dengan r merupakan rasio barisan geometri. Rasio pada barisan geometri dapat merupakan bilangan bulat (positif dan negatif), dapat pula merupakan bilangan pecahan (positif dan negatif).

Coba Anda lihat barisan b pada pembahasan sebelumnya. Barisan tersebut memiliki urutan bilangan sebagai berikut. 32, 16, 8, 4, …

Rasio pada barisan tersebut adalah

Coba Anda bandingkan barisan a dan barisan b pada pembahasan tersebut. Apa yang dapat Anda simpulkan?

• Jika r > 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga semakin besar.
• Jika < 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga semakin kecil.

Rumus suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut

dengan a merupakan suku ke-1 dan r merupakan rasio bilangan. Dapatkah Anda menentukan rumus suku ke-n pada barisan a dan b

g5

Jadi, rumus suku ke-n barisan 32, 16, 8, 4, … adalah

Contoh Soal barisan geometri 3.9

Berdasarkan penelitian Biro Pusat Statistik (BPS), pertumbuhan penduduk di kota A, selalu meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya. Hasil sensus penduduk tahun 1998 menunjukkan jumlah penduduk di kota tersebut adalah 900.000 jiwa. Tentukan:

1. barisan geometri yang menyatakan jumlah pendudukdi kota A, mulai dari tahun 1998,
2. jumlah penduduk di kota A pada tahun 2008 (menurut penelitian BPS).

Jawab:

1. Jumlah penduduk di kota A tahun 1998 = a = 900.000 Pertumbuhan penduduk meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya, berarti rasio = 3 atau r = 3.

1. Jumlah penduduk tahun 1998 = 900.000 suku ke-1

Jumlah penduduk tahun 1999 = 2.700.000 suku ke-2

Jumlah penduduk tahun 2008 = …? suku ke-11

Berdasarkan pembahasan pada soal a, diperoleh

a = U1 = 900.000

r = 3

diperoleh rumus suku ke-n sebagai berikut

Jumlah penduduk kota A tahun 2008 merupakan bilangan pada suku ke-11 dari barisan geometri sehingga diperoleh

U11 = 300.000  3  11

U11 = 53.144.100.000 jiwa.

Jadi, jumlah penduduk kota A pada tahun 2008 adalah 53.144.100.000 jiwa

Contoh Soal 3.9 merupakan aplikasi dari barisan geometri. Contoh lain dari aplikasi barisan geometri dapat Anda pelajari pada Contoh Soal 3.10 berikut

Contoh Soal barisan geometri 3.10

Biro Pusat statistik memperoleh data yang menyatakan bahwa jika angka pengangguran diurutkan mulai dari tahun 2002 hingga tahun 2007 maka terbentuk suatu barisan geometri. Diperoleh juga informasi bahwa angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000 orang dan tahun 2006 adalah 8000 orang. Berdasarkan ilustrasi tersebut, tulislah barisan geometri yang menyatakan angka dari tahun 2002-tahun 2007.

Jawab: Barisan geometri yang dimaksud adalah sebagai berikut. Angka pengangguran tahun 2002, pengangguran tahun 2003, pengangguran tahun 2004, pengangguran tahun 2005, pengangguran tahun 2006, pengangguran tahun 2007. Berdasarkan barisan geometri tersebut, diperolehketerangan bahwa angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000, merupakan suku ke-3 atau dituliskan U3 = 2000. Dengan memperhatikan bahwa rumus suku ke-n pada barisan geometri dapat ditulis sebagai Un = a.r n–1, maka diperoleh,

diperoleh r1 = 2 dan r2 = –2 Diperoleh 2 buah nilai r, yaitu 2 dan –2. Untuk nilai rasio barisan geometri pada kasus permasalahan ini tidak mungkin bernilai negatif (coba Anda jelaskan mengapa?). Oleh sebab itu, diambil nilai r = 2, kemudian substitusi pada persamaan (3), sehingga diperole :

Oleh karena a menyatakan nilai suku ke-1 maka diperoleh U1 = 500, dan nilai suku-suku ke-2 hingga ke-6 diperoleh dengan perhitungan beriku

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri yang menyatakan angka pengangguran di desa dari tahun 2002 sampai tahun 2007 adalah 500, 1000, 2000, 4000, 8000, 16000.

demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai deret Barisan Geometri : Pengertian, Rumus dan Contoh Soal, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.