Apa tujuan dari t skor

Setelah lelah bercerpen ria. Sekarang saya mau istirahat dulu dari menulis cerpen, dan menyajikan materi seperti biasa yang saya sukai, bertutur. Kali ini saya ingin menunjukkan keterkaitan antara Z score dengan Uji-t yang manapun. Dengan melakukan ini saya berharap kita tidak lagi harus menghafal rumus mati-matian atau bolak-balik catetan kalo ujian. Dengan pemahaman ini, saya berharap kita cukup mengingat satu rumus saja dan prinsip dasar serta logikanya sehingga ketika berhadapan dengan tiap situasi, kita bisa menerapkan variasi dari rumus tersebut.

Z score

Rumus? Mari kita baca definisi Z-score sekali lagi: jarak skor seseorang dari mean kelompoknya ini berarti:

dalam satuan Standard Deviasi, ini berarti jarak tadi dibagi Standard Deviasi. Rumusnya jadi begini:

Kegunaan lain dari Z-score adalah kita bisa menghitung persentase orang-orang yang berada di atas atau di bawah skor tertentu. Nah, biasanya diasumsikan sebaran data yang diacu itu normal. Lagi-lagi saya mendengar suara nun jauh di,”Mengapa?”. Karena bentuk ini yang paling mudah dijadikan acuan. Sebenarnya bentuk lain juga bisa dihitung persentasenya, hanya saja akan sangat banyak variasinya sehingga kita harus menghitung kasus per kasus. Ini akan menyulitkan pembuatan formula yang dapat berlaku umum. Oleh karena itu sebaran data yang normal ini yang dijadikan acuan.

Gambarannya seperti ini:

Dalam gambar ini bisa dikatakan area berwarna biru adalah persentase banyaknya orang-orang yang skornya lebih besar dari -2 SD. Sementara area yang berwarna hijau menggambarkan persentase orang-orang yang skornya lebih kecil dari -2SD atau bisa dibilang juga lebih ekstrim. Nah untuk mendapat angka persisnya bisa kita lihat di tabel. Caranya? Lihat posting sebelumnya mengenai Confidential Interval ya.

Contoh? Oke oke… Misalnya contoh yang kita lihat tadi. Benarkah Andi memiliki kemampuan lebih dibanding Budi? Kita tahu bahwa skor Andi itu 9 sementara Budi itu 7. Nah misalnya saja di kelas Andi rata-rata murid mendapat skor 8, sementara Budi 5. Standard Deviasi di kelas Andi dan Budi misalnya sama-sama 1. Dan kita anggap saja kedua kelas memiliki sebaran data yang normal. Nah mari kita terapkan data ini:

OK, dari perhitungan terlihat bahwa ternyata Andi hanya berada dalam jarak 1 SD dari mean kelompoknya, sementara Budi 2 SD lebih tinggi dari mean kelompok. Dari sini sudah terlihat bahwa Budi sebenarnya memiliki skor yang lebih tinggi. Ini makin terlihat jika kita membandingkan persentase orang-orang yang berada di bawah skor mereka. Andi berada di atas 84.13% murid-murid lain di kelasnya, sementara 97.72% murid-murid di kelas Budi berada di bawah nilai Budi. Ini berarti Budi termasuk murid pintar di kelasnya, karena hanya ada 2.28% (100%-97.72%) murid di kelas Budi yang memperoleh nilai sama seperti Budi atau lebih tinggi.

Kita juga bisa berkata bahwa Budi dan 2.28% murid di kelasnya termasuk murid langka, jarang atau sulit ditemui (kayak pejabat aja ya sulit ditemui). Dengan kata lain, jika kita masuk ke kelas dan memilih secara random, kecil kemungkinan kita akan memilih Budi dan 2.28% temannya. Ini yang kemudian akan jadi dasar penentuan uji hipotesis menggunakan signifikasi.

Central Limit Theorem

Nah ide ini kemudian juga digunakan untuk mencari berapa besar probabilitas kita memilih secara random sebuah kelompok dengan mean tertentu dari populasi dengan mean tertentu. Duh bingungin ya. Misalnya begini: berapa besar probabilitas memperoleh sekelompok mahasiswa dengan rata-rata IP di atas 3.5 dari populasi mahasiswa yang rata-rata IP-nya 2.5 secara random?

Jika kita menganggap rerata sampel sebagai unit analisis seperti Budi dalam kasus di atas, kita bisa menerapkan ide yang sama dengan Z score tadi, lihat gambar berikut:

Lingkaran besar ini menggambarkan kelas Budi dalam kasus di atas. Lingkaran kecil di dalamnya menggambarkan tiap siswa di kelas tersebut termasuk Budi. Anggap saja lingkaran kecil tersebut banyak.

Dalam kasus tersebut Budi dan siswa di kelasnya menjadi unit analisis. Tiap siswa merupakan satu unit analisis. Jika kelas Budi berisi 40 siswa, maka ada 40 unit analisis atau kita sering menyebut dengan n = 40. Kita menghitung mean kelas, SD kelas dari unit-unit analisis ini.

Sekarang kita bandingkan seandainya sampel yang menjadi unit analisisnya.

Nah dalam kasus mahasiswa gambarnya kurang lebih seperti ini. Sama? Ya tentu saja karena saya hanya copy paste hehe… Tapi memang idenya sama. Sekarang, lingkaran besar merupakan populasi, dan lingkaran kecil adalah sampel mahasiswa termasuk sampel yang memiliki rerata 3.5.

Hm…sepertinya ada yang salah? Ya berapa SD-nya saudara-saudara? Perhitungan di sini sebenarnya sama dengan perhitungan SD dalam kasus Budi. Perbedaannya, dalam kasus Budi kita menghitung SD dari distribusi skor individu, sementara dalam kasus ini kita menghitung SD dari distribusi mean sampel atau mean dari sekelompok individu. Lihat ilustrasi berikut:

Sama kan?
Hanya saja masalahnya, kita bisa menarik sampel hingga jumlah yang tak terbatas berkali-kali (k=tak terhingga), sehingga menghitung SD dari distribusi mean sampel hampir merupakan pekerjaan mustahil buat kita. Selain itu cara ini mengharuskan kita mengambil sampel sangat banyak dan menghitung meannya padahal ketertarikan kita hanya pada satu sampel dengan mean 3.5. Ini tentunya tidak efisien alias repot!

Untung saja ada Central Limit Theorem (CLT). Salah satu hal yang dinyatakan oleh CLT ini adalah SD dari distribusi mean sampel besarnya akan sama dengan hasil bagi antara SD populasi dengan akar dari besarnya sampel, atau begini:

Yang perlu diingat di sini, sX adalah SD dari populasi bukan SD dari sampel yang kita dapatkan. Tentu saja ini akan menimbulkan masalah baru, tapi untuk sementara anggap saja kita tahu besarnya SD dari populasi.

Jadi mari kita bereskan masalah tadi. Misalnya kita tahu bahwa besarnya sampel mahasiswa dengan rerata IP 3.5 yang kita miliki adalah 9 orang dan SD dari populasi adalah 1.8 Berapa persentase mendapatkan sampel dengan mean IP 3.5 atau lebih besar?

Ini berarti kemungkinan kita memperoleh sampel dengan mean sebesar 3.5 dalam populasi ini sebesar 4.78%. Besarkah atau kecilkah kemungkinannya? Itu tergantung penilaian masing-masing. Beberapa orang menggunakan patokan p lebih kecil dari 0.05 sementara yang lain menggunakan judgment, penilaian sendiri (thanks for Dr Huberty). Penilaian sendiri ini tentunya terkait dengan pertimbangan-pertimbangan tertentu seperti apakah ini penelitian awal atau lanjutan, temuan-temuan dalam penelitian sebelumnya, dsb.

Jadi aplikasinya begini: jika kita mengambil suatu sampel (sebesar 9 orang) secara random dari suatu populasi A, kemudian menghitung mean IP-nya dan mendapatkan angka 3.5, dapat kita simpulkan bahwa sampel kita ini kecil kemungkinannya (jika 4.78% dianggap kecil) berasal dari populasi dengan mean IP 2.5. Kemudian disimpulkan bahwa sampel ini bukan berasal dari populasi dengan IP 2.5. Ini yang kemudian diberi label signifikan: ada perbedaan signifikan antara mean populasi dengan mean sampel. Kesimpulan lanjutannya jadi seperti ini: karena sampel kita kecil kemungkinannya berasal dari populasi dengan mean IP 2.5, ini berarti populasi A (tempat sampel kita berasal) kecil kemungkinannya memiliki mean IP sebesar 2.5.

OK deh. Beres.

Ya ya ya saya tahu. Tadi saya bilang kalo menggunakan standard deviasi populasi (sX) akan menimbulkan masalah tersendiri. Masalahnya, kita seringkali (bahkan hampir selalu) nggak pernah tahu berapa besarnya standard deviasi di populasi. (Saya seakan bisa mendengar,”Hah?! Lalu?”) Ya ya saya bisa paham perasaanmu, seperti tertipu begitu? Tenang, penjelasan tadi memang perlu untuk memahami apa yang akan saya bahas berikutnya dan juga melihat kaitan keduanya.

Distribusi t

Karena kita nggak pernah bisa tahu standard deviasi populasi, kita perlu melakukan estimasi terhadap standard deviasi populasi ini. Estimasinya berasal dari… Yak betul! Dari standard deviasi sampelnya. Jadi kita akan mengganti sX dengan SDX. Di sini muncul masalah baru (duuh masalah mlulu kapan selesainya?). Ternyata dengan mengganti sX dengan SDX distribusi sebaran mean sampel jadi berubah. Bukan lagi mengikuti kurve normal, tetapi mengikuti distribusi baru. Aha! Tepat sekali! Distribusi baru ini adalah distribusi t (t kecil).

Distribusi ini ditemukan oleh seseorang bernama William Gosset dengan nama samaran ‘student’. Oleh karena itu statistik ini disebut ‘student t distribution’. Dia adalah salah satu staf di perkebunan anggur milik Guiness. Hmm… Siapa bilang statistik itu membosankan. Probabilitas ditemukan di meja judi, distribusi t ditemukan di tempat pembuatan bir, F test (yang akan kita pelajari berikutnya) berasal dari jamuan minum teh. Adakah yang lebih menyenangkan dari ini? (Thanks Jon, for the illustration).

Nah sekarang rumusnya akan berubah sedikit menjadi seperti ini:

Teknik atau rumus ini kemudian disebut sebagai one sample-t test, atau t-test untuk satu sample, digunakan untuk menguji perbedaan antara mean satu sample dengan mean populasi atau suatu acuan lainnya.

Dengan demikian sekarang jadi jelas bukan kaitan antara Z dan t. Semua prosesnya kemudian menjadi sama dengan jika kita menggunakan Z. Perbedaannya terletak pada tabel acuan distribusinya. Jika menggunakan Z kita mengacu ke tabel distribusi normal, di sini kita akan menggunakan acuan tabel distribusi t. Selain itu distribusi t ternyata juga berbeda-beda untuk tiap derajat kebebasan/degrees of freedom (db / df). Jadi untuk tiap db akan ada distribusi t-nya sendiri sehingga sangat penting untuk mengetahui db ini. Makin besar dbnya, distribusi t ini akan menyerupai distribusi normal.

Derajat keBebasan?

Ya derajat kebebasan (db). Db ini bersumber dari pemikiran ini: tiap kali kita mengestimasi parameter (karakteristik populasi), kita akan kehilangan satu derajat kebebasan. Ilustrasinya begini: misalnya ada populasi dengan mean sebesar 10. Jika kita diijinkan untuk mengambil sampel sebesar 10 orang dari populasi ini, berapa banyak orang yang dapat kita ambil dengan bebas? Misalnya kita ambil orang pertama secara bebas, ia memiliki skor 14. Orang kedua masih dengan bebas, ia memiliki skor 8. Kemudian berturut-turut orang selanjutnya: 15, 6, 11, 14, 8, 6, 5 dan orang kesepuluh…. Tidak. Orang kesepuluh tidak dapat diambil secara bebas lagi. Jika sudah ada 9 angka, angka ke sepuluh tidak lagi dapat ditentukan dengan bebas agar mendapat estimasi yang sama (mean = 10). Misalnya jumlah skor-skor tadi adalah 87. Agar estimasi yang kita dapatkan sama, yaitu mean = 10, orang kesepuluh harus ditentukan sebesar 13. Dengan demikian dapat dikatakan kita kehilangan satu derajat kebebasan.Nah db inilah yang kemudian digunakan untuk melihat tabel t.

Dalam perhitungan kita tadi, kita hanya mengestimasi satu parameter yaitu sX, oleh karena itu kita hanya kehilangan satu derajat kebebasan, sehingga db yang kita miliki sekarang adalah N-1, yaitu 49-1 = 48.

Contoh

OK, contohnya begini. seorang peneliti sosial ingin mengetahui apakah desa A itu dapat digolongkan dalam desa miskin atau tidak. Peneliti kemudian mengambil data penghasilan penduduk dari sampel yang diambilnya secara random sejumlah 49 KK. Peneliti kemudian menghitung standard deviasi dan mean dari penghasilan 49 KK ini, ditemukan SX=140000, dan Mean penghasilan= 290000 rupiah perbulan. Misalnya batas kemiskinan itu adalah 250.000 rupiah perbulan. Jadi apakah desa A masih dapat digolongkan sebagai desa miskin? Mari kita buktikan:

Dari perhitungan di atas kita mendapatkan p(t(48))=2.55% (baca: probabilitas munculnya t dengan df=48 sama atau lebih besar dari 2 adalah 2.55%). Karena angka sebesar 2.55% itu termasuk kecil (menurut saya) saya bisa berkata bahwa desa A sudah tidak dapat dianggap sebagai desa miskin lagi, tapi sudah di atas peringkat desa miskin. Berapa peringkat di atasnya? Itu tidak dapat dijawab dalam penelitian lagi, diperlukan penelitian lagi dengan acuan yang berbeda.

Nah sekarang baru beres? Belum. Pertanyaan selanjutnya: bagaimana jika yang saya inginkan adalah membandingkan mean dari dua sampel, mean tiga sampel, mean dari sampel-sampel yang berkaitan? Jika demikian tunggu posting berikutnya ya.

Page 2