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Log. 35 Log. del radio. Comp. log. 42.
Suma ó log. sen. C. . 19,9208187 que en las tablas corresponde á 56° 27' ; luego el ángulo A es de 33° 33. 729 Cuestion IV. Dados en el triángulo rectángulo ABC los dos lados del ángulo recto, hallar los 167. ángulos y la hypotenusa. El ángulo A se hallará por la siguiente analogía (725) AB : DC :: R: tang. A, la qual, en el supuesto de ser AB de 35 pies , y BC de 15 , es 35: 15 :: R:tang. A. Por logaritmos. Log. de 15. : 1,1760913 Log. del radio. Compl. log. 35. . 8,4559320 Suma ó log. tang. A. 19,6320233 al qual corresponde á 23° 12. Para hallar el lado AC, se practicará , despues de determinado el ángulo A, lo propio que en la III cuestion. Pero no hay necesidad de calcular el ángulo A, basta la proposicion demostrada (58.). Sumando , pues , 225 , quadrado de 15, con 1225, quadrado de 35 , la suma 1450 de los dos quadrados será el quadrado de AC ; cuya raiz quadrada 38,08 será el valor de AC con diferencia de menos de una centésima. Por la misma razon , si dada la hypotenusa AC, y el uno de los lados del ángulo recto, se pidiese el valor del lado BC, no habria necesidad de calcular el ángulo A: el quadrado del lado conocido AB se restaria del quadrado de la hypotenusa ; la raiz quadrada de la resta seria el valor del lado BC. Re Page 3
Fig. las dos; la menor vale la mitad de la suma menos la mitad de la diferencia de las dos. Si la suma de dos cantidades es 57 , y su diferencia es 17 , la una de las dos es 37 y la otra 20; añadiendo por un lado la mitad de 17 à la mitad de 57, y restando por otro lado la mitad de 17 de la mitad de 57 Porque ya que la suma incluye la mayor y la menor , si á la suma añado la diferencia , saldrá el duplo de la cantidad mayor ; luego esta vale la mitad del total, esto es la mitad de la suma de las dos cantidades, mas la mitad de su diferencia. Si por el contrario, de la suma rebajo la diferencia, quedará el duplo de la parte menor ; luego la parte menor vale la mitad de la resta, esto es, la mitad de la suma , menos la mitad de la diferencia. 735 Siempre que en un triángulo rectilineo ABC se baje desde el uno de los ángulos una perpendicular al lado opuesto, será cierto que El lado AC sobre el qual, ó sobre cuya prolonga169. cion cae la perpendicular, es á la suma AB+BC de y los otros dos lados, como la diferencia AB-BC de 170. los mismos lados es á la diferencia de los segmentos AD, DC, quando la perpendicular cae dentro del triángulo, ó a su suma quando la perpendicular cae fuera del triángulo. Desde el centro B, y con radio igual al lado BC 169. trácese la circunferencia CEGF, y prolonguese el lado AB hasta que la encuentre en E; serán, pues, AE, AC dos secantes tiradas desde un mismo punto fuera del círculo ; luego tendremos (538) AC: AE:: AG: AF. Pero AE=BA+BE=AB + BC; AG=AB-BG=AB-BC; AF-AD-DF=AD170. DC. En la otra figura AF=AD+DF=AD+DC; en cuyo caso será AC : AB+BC:: AB-BC: AD Page 4
nero humano la multiplicidad de lenguas, por la razon que si hablasen una misma todos los hombres, no necesitaríamos de intérpretes. 744 No basta , dicen algunos, que sea ventajoso reducir todas las medidas á la uniformidad: nada adelantamos si no se allanan las dificultades que forzosamente ha de encontrar esta reduccion, Nadie se persuadirá á que Oficiales, Labradores , Jornaleros se convengan en desechar la medida á que están hechos desde su niñez por otra que se subst tituya en su lugar. El que esperare hallar en ellos la docilidad en que deberia afianzarse el beneficio de esta providencia , ignoraria á buen seguro quán rendido y obstinado obedece el vulgo al imperio de la costumbre. Fuera de que, la mayor parte de los derechos se pagan en frutos, y estos se miden con medida distinta en cada Provincia, y aun en cada Partido. Si se admitiese una medida general, se ria preciso alterar todos los títulos antiguos, cuya operacion encontraria muchas oposiciones, y no seria la menor la de las partes interesadas. Pero si está patente el beneficio que se seguiria de usar sola una medida, no deben usarse muchas sino en el caso de haber una imposibilidad real es la reduccion: si esta no es mas que dificil , conviene procurar vencer los obstáculos que la estorban, y bastaría quizá para conseguirlo considerarlos con algun cuidado. No sé yo que sea más dificil introducir en un Reyno una medida nueva, que dar curso á una nueva moneda , ó mudar el valor de la antigua ; cuya operacion se ha executado varias veces. 745 Convengo sin embargo en que podria seguirse algun inconveniente de abrogar por una ley absoluta todas las medidas antiguas, mandando se hiciese uso de sola la nueva , antes que se les hu Page 5
Pie Frances . ., 1,000 Fig. Amsterdan , Holanda. Palmo, tercio del pie. 0, 2875 Berlin, Prusia. Pie . 0,9535 Burgos, Castilla. Pie .. 0,8571 Constantinopla, Turquía. Pie . 2, обо Copenhaguen, Dinamarca. Foot, pie 0, 966 Cracovia , Polonia. Pie . 1, 0972 Estocolmo, Suecia. Pie . 0,9146 Lisboa, Portugal. Craveiro ó palmo. 0,6729 Londres, Inglaterra. Foot ó pie. 0,9386 Moscow, Moscovia, ó Rusia. Pie 1,0299 Nápoles, Italia. Palmo . 0, 8090 Palermo, Sicilia. Pie 0, 7451 Petersburgo, Rusia. Pie . 1,0903 Rinlandico , (Pie). 0, 9667 Roma, Italia. Pie . 0, 9170 Viena, Austria. . . . 0, 9732
Usos de la tabla. 749 El valor del pie de Castilla es por la tabla o, 8571 lo que significa que siendo uno el pie Frances, el pie castellano es !? (156); ó, lo que es lo mismo, que un pie castellano vale 0, 8571 partes del frances. Luego si multiplico iyo, 8571 por 10, los productos 10 y 8, 571 han de ser iguales ; de donde se sigue que 10 pies castellanos valen 8, 571 pies franceses. Por consiguiente si adelanto la coma dos lugares ácia la derecha, y multiplico i por 100, sacaré 85, 71 y 100, lo que significa que 100 pies castellanos valen 85, 71 pies franceses; que si adelanto la coma tres lugares a mano derecha saldrá 857, 1 y 1000, lo que significa que 1000 pies castellanos valen 857 pies franceses ; y finalmente, que si adelanto la coma quatro lugares á la derecha, los números 10000 y 8571 significarán que Page 6
Fig. gan, cada una en la suya , sobre cada extremo de la linea propuesta. Aqui se toma con el compas la li175. nea AB. En todo estuche hay diferentes compases, pero nunca falta uno que tiene una pierna cuya mi tad es de quita y pon : entonces en la mitad su176. perior de dicha pierna hay un hueco 4, como si la hubieran taladrado, donde se introduce el sobrante m. de la otra mitad ; y apretando el tornilloin, su cabeza aprieta la parte metida, y la sujeta de tal modo, que el compas sirve lo mismo que si cada una de sus piernas fuera de sola una pieza. El fin de este artificio es que un compas solo supla por muchos ,''substituyendo en lugar de la parte de quita y pon otras piezas de uso muy socor rido. 177. La primera es esta , en la qual se introduce un poco de lápiz , que con ella compone media pierna del instrumento. Esta pieza está cortada longitudinalmente ácia sų boca, a fin de que ensanchándose esta se le pueda introducir la cabeza del lapiz; metida esta, se empuja ácia abaxo la argolla ó sortija a, con lo qual se arriman una á otra las dos partes de la boca , y afianzan el lápiz. Mediante esta pieza sirve el compas para trazar cfrculos'; se planta en el punto céritrico la punta de la pierna firme, y dando vueltas la otra al rededor queda trazada la figura. No hay duda en que tambien se podrian trazar círculos con la pierna sin lápiz; pero sobre que su punta rasgaría el papel, munca dexa las figuras tan señaladas y perceptibles como el lápiz. :D 178. En lugar de la media pierna de quita y pon se substituye tambien estotra que remata en una co- mo espuela, la que sirve para trazar lineas ocultas. •; Substitúyese últimamente otra media pierna que se Page 7
Fig. El nombre mismo de este instrumento está di ciendo que sirve para tirar una linea paralela á otra dada. Supongamos que dada la linea AB ocurra ti182. rarle una paralela que pase por el punto C. Se aplicará una esquina de las dos reglas sobre la linas AB, apretándola con el piton de modo que se quede inmoble; se cogerá despues la otra regla de su piton , y se la apartará de la primera hasta que su esquina caiga encima del punto C; la linea que se tirare entonces á lo largo de ella, será la paralela que se habia de tirar por el punto C. Si el punto C estuviese tan distante de la linea dada AB, que despues de abiertas las reglas todo lo que permiten las charnelas, la regla superior no Hegue al punto C, no se podrá tirar la paralela conforme hemos dicho. Pero despues de arrimar, en este caso, la regla superior todo lo posible al punto C, se la asegurará , y se le arrimará la regla inferior hasta que las dos reglas se toquen , se arrimará otra vez la de arriba al punto C; si no le alcánzare , se repetirá lo mismo; si le alcanzare, se tirará por él la paralela pedida. Con las reglas paralelas se puede partir una linea dada AB en un número de partes iguales , el que se quiera, v. gr. en cinco. Tírese la linea indefinita BC, que forme con la 183. AB un ángulo , sea el que fuere; abrase el com pas lo que acomode, trasládese su abertura cinco veces sobre la BC, lo que señalará en ella cinco partes iguales Bi, 1, 2; 2, 3; 3, 4; 4, 5; apliquese la una de las dos reglas paralelas sobre las dos lineas, de modo que la una de sus esquinas enrase con los puntos 5, A, donde se tirará la linea 5A; aplicando despues succesivamente la esquina de la otra regla paralela sobre los puntos 4, 3, 2, 1, se tirarán por ella lineas paralelas á la A, y quedará la Page 8
círculo; apliquese al rededor de su circunferencia la linea AB, y quedará trazada la figura pedida. De las Escalas planas. 767 Las escalas planas sirven para tantas y tan diferentes operaciones, que por lo mismo es muy varia su construccion. Por las lineas que en ellas van señaladas se indicia desde luego el uso de cada una : diréinos, pues, aquí quales son estas lineas; despues irémos recorriendo una por una todas las escalas para manifestar sus usos, menos de algu nas cuya aplicacion corresponde á los tratados cuyas son las operaciones para que se necesitan. Lineas que se señalan en las escalas planas y Nombres de las lineas...! ! 1 Como se señalan. I. Lineas de las partes iguales. E. P. I. II. Lineas de las cuerdas. :. Cuer? III. Lineas de los rumbos, Rum. IV. Lineas de los senos. ' á Sen. V. Lineas de las tangentes. - Tang Ví. Lineas de las secantes. Seca VII. Lineas de las sernitangentes. · S. T. VIII. Lineas de las longitudes. .Long IX. Lineas de las latitudes. .. . X. Lineas de las horas. .. . Hor. XI. Lineas de las inclinaciones. incl. Mer. Lineas de las partes iguales 768 Para hacer estas escalas se trazan tres lineas paralelas á distancias desiguales, estando las dos de abajo mas proximas unia á otra' que no a la de arriba. Estas tres paralelas se dividen en un número de partes iguales, el que se tiene por conveniena te , con lineas que las cortan al traves ; y como es tas lineas atravesadas son perpendiculares o inclina das Page 9
Fig. 876, 87 u 870 partes iguales , sean leguas , millas &c. se plantará la una punta del compas en la octava de las divisiones mayores , contándolas de la izquierda a la derecha ; se abrirá el compas, hasta que su otra punta cayga sobre la 7ma de las divisio190. nes menores, contándolas de la derecha a la izquier da , la distancia entre las dos puntas del compas expresará una linea de 876 , 87, ú 870 millas , leguas, ó lo que fuere , y las mismas en el dibujo con proporcion à la cosa dibujada. 77!! Pero si se quisiese expresar una cantidad de pies y pulgadas, las divisiones mayores serán pies , y las pulgadas se tomarán en la parte superior de la primer division , la qual, segun se dixo antes, está dividida en doce partes.' En virtud de esto, para tomar una linea de 7 pies 5 pulg. se plantará la una punta del compas en la quinta division de las doce menores , contáadolas de la derecha a la izquierda ; se alargará la otra punta hasta 7 de las divisiones mayores, la distancia de punta á punta expresará una linea de 7 pies 5 pulgadas. Es muy fácil de aplicar esta práctica á otro caso qualquiera. 772 II. Escalas diagonales. El modo de hacer y usar estas escalas quedó declarado ya en la Geometría, por lo que escusamos repetir aquí su construccion. So191. lo propondremos dos casos particulares de los mu chos á que pueden aplicarse. 773 Propongamos dibujar una tierra triangular ABC, cuyo lado AB es de 327 estadales : AC de 192, 298, y el ángulo A es de 445 Por medio de la escala diagonal se tirará la AB de 327 partes ; poniendo el centro de la regla graduada en A, se hará el ángulo BAC de 441"; hágase la AC de 208 partes; últimamente, tírese la CB , y todas las partes del triángulo ABC trazado, en el Page 10
Fig. sirven estando el instrumento de todo punto abier to, porque en cada una de sus piernas hay una parte no mas de cada una de estas escalas. 794 Las escalas dobles de lineas , cuerdas, senos, y de las tangentes altas y baxas, esto es las de los arcos mayores y menores de 45 grados , son todas de un mismo radio ó largo ; todas empiezan 195 desde el centro del instrumento, y rematan muy cerca del otro extremo de cada pierna ; es á saber, ·la escala de las lineas en la division 10, la de las cuerdas en la division 60, la de los senos en la division 90, y la de las tangentes en la division 45; las demas tangentes ó las de los arcos que pasan de 45°, están en otras escalas que empiezan una quarta parte dellargo de la pierna mas abaxo del centro, donde está señalado el número 45, y corren hasta cerca de 76.° 795 Las secantes tambien empiezan a la misma distancia del centro, donde hay esta señal o, desde donde prosiguen todo lo que permite el largo de la pantómetra , esto es hasta cerca de 75.° Toda escala doble, por lo mismo que cada una de las dos que la componen está señalada en cada pierna, y ambas empiezan desde el centro, forma un ángulo , y en la misma disposicion están todas las escalas dobles, sean de lineas, ó cuerdas, ó senos, ó tangentes hasta 45.o Y los ángulos que forman las escalas de las tangentes altas y de las secantes son tambien iguales, cuyos ángulos á veces se hacen iguales con los de las demas escalas dobles. 797 Las escalas de los polígonos están mas proximas que todas las demas al canto interior de cada pierna ; no empiezan desde el centro, sino desde el número 4 señalado cerca de 60 de la linea de las cuerdas. Desde este 4 están señalados ácia el Page 11
quiero decir, desde 1, desde 10, cuyas divisiones Fig. se señalarán con los guarismos 2, 3,4,5,6,7, 8, 9 por su orden. Como las tres primeras figuras de los logaritmos de 3 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 son respectivamente 301 , 477, 602, 699 , 778, 845 , 903 , 954, estos son los números que se han de tomar en la escala de partes iguales para señalarlos en cada intervalo, empezando desde el principio de este. 3.° Las distancias que expresan los logaritmos de los números entre 1o y 20, 20 y 30, 30 y 40, 40 y 50, 50 y 60, 60 y 70, 70 y 80, 80 y 90., 90 y 100 (desechadas sus características) se toman tambien en la escala de partes iguales para señalarlas en la escala logarítmica , en cada uno de los interva- 195. los primarios, respectivamente entre las señales i . y 2, 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5 , 5 y 6, 6 y 7, 7 y 8,8 y 9, 9 y 10, contando cada una de ellas desde el principio del intervalo respectivo donde se han de poner. 4. Las últimas subdivisiones del segundo intervalo principal se pueden subdividir en otras, quantas admita la escala , lo que se hace con señalar los logaritmos de dichas divisiones intermedias, segun se tenga por conveniente. Escala de los Logaritmos de los Senos.
804 Tómense en la escala de partes iguales las distancias que expresan el complemento arismético de los logaritmos de los senos (6 de las secantes de los complementos) de 80° , 70, 60, 50 , 40, 30, 20, 10 grados , respectivamente, desechando sus características. Señalense estas distancias en la escala de los logaritmos de los senos, empezando á contar cada una de ellas desde la señal que se quie Page 12
Fig. sus divisiones con lineas tiradas al traves. Como de las tres lineas paralelas solo la que está mas próxima al canto interior de la pierna es la que se dirige al centro del instruigento, en ella han de esa tar las puntas, del compas comun siempre que con él se haya de tomar alguna distancia transversal.
Usas de la escala de las lineas. ) Cuestion, I Dadas dos lineas AB=2 y BC 198. = 6, ballar entre ellas una tercera proparcional, Tómese con un compaş la distancia lateral de la segunda linea , ó del segundo término 6 ; 20 pongase la una de sus puntas en la division que expresa el primer término 2, en la uną pierna de la pantómetra, y ábrase esta hasta que la otra punta caiga encima de la correspondiente division de la otra pierna ; 3.° Manténgase el instrumento en esta posicion ; tómese, la distancia lateral del segundo término 6 , y esta distancia será el tercer término que se pide. 4: Si se mide lateralmente esta distancia, el múmero 18 donde rematare expresará el valor del tercer término , porque 2 : 6 :: 6: 18. Si la proporcion fuese decreciente , tómese lateralmente la distancia 2, y apliquese, transversalmente sobre 6 y 6, estando abierta como conviene la Pantómetra, entonces la distancia, transversal de 2 á 2 llevada con el compas lateralmente desde el centro, del instrumento á la escala de las lis neas , dará = ; valor del tercer término. 818 Si acaso el segundo término fuese tan grande que su distancia lateral no pueda caber entre las dos piernas del instrumento abiertas quanto quepa entre las divisiones que expresan el primer término, se tomará ... ;, & ú otra par te Page 13
824 Cuestion. Partir una linea dada en un numero determinado de partes iguales , en 9 v. gr. Hágase distancia transversal de 9 á 9 la linea dada ó alguna de sus partes conocida ; la distancia transversal entre iyi, será suyo, ó el mismo submultiplo de su que lo fuere de toda la linea la parte tomada. 825 A esta cuestion se refiere el método de bacer una escala larga lo que se quiera , la qual tenga, ó exprése un número determinado de partes iguales, cuya operacion ocurre con frecuencia á los que copian planos de terrenos , dibujos de edificios civiles ó militares, los quales han de tener una proporcion señalada con la cosa que representan. 1. Supongamos, v. g. que cogiendo 6 pulgadas de largo la escala de un plan que contiene 140 varas, se quiera que sirva de tal escala la linea de las partes iguales ¿cómo se ha de abrir la Pantómetra para este fin? Hágase de 3 pulgadas, mitad de 6, la distancia transversal entre 7 y 7 ó 70 y 70, mitad de 140; estando así abierta la pantómetra , la linea de las lineas servirá de escala para el fin propuesto. 826 II. Para hacer una escala que teniendo dos pulgadas no mas de largo represente 140 varas , se hará de una pulgada la distancia transversal entre 7 y 7, y estará abierta como corresponde la pantómetra. 827 Por el mismo método se podrá hacer una escala larga un número señalado de pulgadas, que coja un número determinado de veces otra medida conocida mayor. 828 Dividir una linea dada , de 5 pulgadas v. gr. en una proporcion determinada como de 4 á 5. Tómese con un compas el largo de la linea , esto es 5 pulgadas, y hágasela distancia transversal en tre Page 14
tre 9 y 9, suma de las dos partes en que se la ha de Fig. dividir ; la distancia transversal entre los números 4 y 5 expresará las partes propuestas.
Algunos usos de la escala de los Polígonos.
829 Cuestion. Inscribir un octógono regular en un circulo dado cuyo diámetro es AB. Abrase la Pantómetra hasta que la distancia transversal entre 6 y 6 sea igual á AB; la distancia transversal entre 8 y 8 será entonces el lado del pentágono propuesto. Del mismo modo se inscribirá otro polígono qualquiera, como no pase de 12 lados. 830 Cuestion. Sobre una linea AB trazar un pentágono regular. Hágase AB distancia transversal entre 5 y 5, 2.0 201. ábrase la Pantómetra y tómese la distancia transversal entre 6 y 6; con este radio y desde los centros A y B trácense arcos que se cortarán en C; 3.° desde el centro C, y con el mismo radio tracese una circunferencia que pasará por los puntos Ay B; en este círculo se podrá trazar el pentágono cua yo lado es AB. Del mismo modo se trazará sobre una linea dada otro polígono qualquiera, como no pase de 12 lados. Las dos últimas operaciones, y otras parecidas tambien se pueden hacer con la linea de las cuerdas , conforme vamos á declarar. 831 Supongamos que en el circulo cuyo diámetro es AB se baya de trazar un polígono de 24 lados. Hágase el diámetro AB distancia transversal en- 202. tre 60 y 6o en la escala de las cuerdas: 2.° pártase 360 por 24, el cociente será 15; 3.° tómese la distancia transversal entre 15 y 15, y esta será la cuerda de la 24.ma parte de la circunferencia. Bb 2 Co Page 15
Fig. La distancia desde 9 á li, trasladada desde 144 lles gará á 16, este será el cociente, 846 III. Hallar el cociente de 1728 partido por 12. La distancia de 12 á I se llevará desde 1728, y llegará á 144; este será el cociente. : 847 Cuestion. Hallar un quarto proporcional á los tres números 3, 8, 15. Tómese la distancia de 3 á 8 plántese la una punta del compas en 15, la otra llegará á 40, y este será el quarto proporcional. -1848. II. Hallar un quarto proporcional a los tres números 5; 12, 38... ujasisi ...Tómese la distancia de s á 12, llévese desde 38, y llegará á 915 849 II. Hallar: un quarto proporcional a los tres números 18, 4, 364. i!. reg., sp Tómeşe la distancia entre 18 y 4, y llévese desa de 364, llegará á 80%. 850 Cuestion. Hallar entre 1 y 2 una serie de medios i continuo proporcionales. Llévese la distancia entre ry 2, desde 2 à 4, y desde 4 á 8 en el primer intervalo; desde 8 á 16 en el segundo, desde 16 á 32, desde 32 á 64 &c. La misma distancia llegará tambien desde iç á 3, desde 3 á 6. desde 6 à 12, desde 12 a 24 &c. Tambien llegará desde 2 1.5 desde 5 á 10, desde 10 à 20, desde 20 á 40 &c. La operacion se hará del mismo modo, aunque la razon entre los términos sea otra que la de i á 2. Este exemplo sirve para hallar las divisiones de la escala de los números con la puntualidad que conviene señalarlas. 851. La escala logarítmica sirve para otras mus ehas operaciones, sobre cuyas aplicaciones se han escrito varios tratados en ingles. Como nuestro animo no es declarar aquí todas las operaciones. que con Page 16
En los senos, la distancia transversal entre 90 Fig. y go será el radio correspondiente. En las tangentes bajas, la distancia transversal entre 45 y 45 , cerca del extremo de la Pantómetra, será el radio. En las tangentes altas, la distancia transversal entre 45 y 45 cerca del centro del instrumento en la linea de las tangentes altas, será el radio. En las secantes, la distancia transversal entre o y o, principio de las secantes, cerca del centro del instrumento, será el radio, 864 Cuestion. Dado el radio correspondiente á una linea que exprese un seno, una tangente ó una secante , ballar á que grados corresponde la tal linea. Póngase la Pantómetra al radio dado con arreglo al seno, tangente, ó secante. Tómese la linea dada con un compas, aplíquense sus dos puntos, una en cada pierna de la Pantómetra, sobre la escala correspondiente ; háganse correr las dos puntas á lo largo de las dos piernas hasta que aquellas caygan en cada una de estas sobre una misma division ; estas divisiones señalarán los grados y y partes de grado correspondientes á la linea dada. 865 Cuestion. Hallar el largo del seno verso de radio y número de grados dado. Hágase en la escala de los senos distancia transversal entre 9o y 9o al radio dado; tómese la distancia transversal del seno del complemento de los grados dados. Si el número de los grados dados no llegare á 90, la diferencia entre el seno del complemento, y el radio será el seno verso. Si los grados pasaren de 90, la suma del seno del complemento y del radio, será el seno verso. 866 Cuestion. Abrir la Pantómetra de modo que cada una de sus correspondientes escalas dobles de Page 17
Fig. de 126, suma de los lados dados , hasta 22 , dife rencia de los inismos lados ; llévesela á los logarit- tese el compas, y llévese esta distancia desde 45° ácia la izquierda , donde señalará 14° 31', valor de x. En virtud de esto , la suina de 56° o' y 14° 31', Para hallar AC. Tómese en los logaritmos de 206. los senos la distancia desde 41° 29', valor de C, á 68° 0', valor de B; y llevada esta á la escala de Al buscar la tangente de x , esto es de la mitad Con Page 18
Fig. Se tomará en los senos la distancia lateral de 34°, mitad del ángulo dado 68° ; 2° se la hará distancia transversal de 30 en los senos; 3.o estando así abierta la pantómetra , se tomará en las lineas la distancia desde 74 en la una pierna hasta 52 de la otra; 4.° se llevará esta distancia á las lineas para que sea distancia lateral, y llegará á 72, 75, este será el valor del lado AC. Los dos primeros puntos de esta operacion enseñan como se ponen las escalas dobles para un ángulo dado. 875 Quando el ángulo B formado por los dos 206. lados , es de 90° , los ángulos A y C se hallan mas pronto, como lo manifestará el exemplo siguiente, ya resolucion se funda en una proposicion demostrada (725), esto es, que en un triángulo rectilineo rectángulo, uno de los lados es al radio , como el otro lado es a la tangente del ángulo opues Exemplo 4. En el triángulo ABC es dado el 207. lado AB de 45; BC de 65; el ángulo B de 90°, y queremos hallar los ángulos A, C, y el lado AC.. Para el ángulo A la proporcion es AB : BC::R: tang. A; y rebajando el ángulo A de 90° , la resta será el ángulo C: hecho esto , el lado AC se hallará conforme enseñamos en el último exemplo.
Por las escalas logarítmicas.
876 Tómese en los números el intervalo desde 45=AB á 65= BC ; llévesele á las tangentes desde 45 y llegará á 55° 18', este será el valor del ángulo A. Aquí el ángulo A sale de 55° 18', porque el segundo término BC es mayor que el primero AB. Pe Page 19
mo se trazan y dividen en la Pantómetra las li- Fig. mer division que representa el lado del primer qua- drado y el inenor de todos : la segunda division se señala 2', y representa el lado de un quadrado du- plo; y prosiguiendo á este tenor la serie de los nú- meros naturales, se van señalando los lados de los quadrados en que cabe el primero ó menor, dos, tres, quatro &c. veces. La linea de los planos sir- ve para lo que vamos a manifestar. 887 Cuestion. Para hacer una figura plana ma- Quando la figura propuesta es regular , como un quadrado, un pentágono , un círculo , un triángulo equilátero, basta hallar el lado de la figura que se busca. Supongamos que me ocurre aumentar un quadrado en la razon de 4 á 9: llevo el lado del quadrado propuesto desde 4 á 4 en la linea de los planos ; el intervalo entre 9 y 9 señalará el lado del quadrado, con el qual el propuesto tendrá la razon de 4 á 9. Porque las lineas transversales tienen unas con otras la misma razon que las laterales (814); pero las lineas 4 y 9 son los lados de los quadrados entre los quales hay la razon de 4 y 9; luego las lineas transversales tambien serán lados de los quadrados entre los quales habrá la misma razon. Quando la figura propuesta es irregular; entónces es preciso buscar muchos lados para trazar la figura semejante que se busca , y por lo mismo se ha de repetir la operacion tantas veces quanto3 lados tiene. 888 Cuestion. Hallar la razon que hay entre dos figuras semejantes dadas. Page 20
bos de sus lados homólogos, será duplo de otro sólido semejante aquel cuyo lado cubicado tuviere por expresion un número duplo del número que exprese el cubo del lado del primero. Todo esto presupuesto, declarémos los usos de la linea de los sólidos. 890 Cuestion. Hacer un sólido mayor o menor de lo que es, en una razon dada. Propongámonos hallar v. g. un cubo duplo de otro. Llevarémos el lado del cubo propuesto sobre unos números escogidos á arbitrio , v. g. sobre 20 y 20. Estando la pantómetra como para esto es menester , se tornará el intervalo entre 40 y 40, núinero duplo del primero ; este intervalo será el lado del cubo que se busca. Si hubiésemos de hacer una esfera tripla de otra, llevariamos el diámetro de la esfera desde 20 á 20 V. g. el intervalo entre 60 y 60 seria el diámetro de la esfera tripla de la otra. La operacion se hace al reves quando los sólidos se han de achicar en razon dada. Y si los lados homólogos de los sólidos cogiesen de largo tanto que no cupiesen entre las piernas de la pantómetra , se tomaria su mitad , su tercio &c. , y lo que saliere seria la mitad, el tercio &c. de la dimension que se buscare. 891 Cuestion Averiguar que razon hay entre dos sólidos dados. Se llevará a la linea de los sólidos entre dos números los que se quiera ó mas acomoden , el lado de uno de los sólidos ; se mirará despues á que intervalo corresponde el lado del otro solido semejante. Los números á que correspondan dichos lados homólogos expresarán la razon del un sólido con el otro. 892 Cuestion. Hallar un solido igual á la suma de Page 21
Fig. igual diámetro, como 32 á 59. Luego &c. 901 Cuestion. Determinar que cantidad se necesita de un metal para hacer un cuerpo semejante é igual a otro hecho de qualquiera de los demas metales. Supongamos que un artifice quiera hacer de plata una estatua semejante é igual á otra hecha de estaño, y quiera averiguar que cantidad de plata necesitará. 1.° Se pesará con cuidado la estatua de estaño, y supondremos que pesa 36 libras. 2.° Se tomará en la linea de los metales la distancia desde el centro de la Pantómetra al caracter de la plata, de cuyo metal se intenta hacer la estatua. 3.° Teniendo abierto el instrumento, se trasladará esta distancia á la linea de los sólidos desde 36 á 36. 4.° Finalmente, se tomará en la misma linea de los metales la distancia desde el centro del instrumento al caracter del estaño: manteniendo la Pantómetra abierta como se requiere para lo dicho, se mirará á que números de la linea de los sólidos corresponde esta distancia; y suponiendo que corresponda á 50 y 50, esto manifestará que se necesitarán 50 libras de plata para hacer una estatua ú otro cuerpo semejante é igual al propuesto. 902 Cuestion. Hallar que razon tienen unos con otros los pesos de dos cuerpos semejantes y de distintos metales, siendo conooidos sus diámetros ó lados bomologos. bola de estaño, y GH el diámetro de una bola de Llevarémos el diámetro EF, abriendo la Pantó- metra desde á ; estando así apartadas las pier- nas Page 22
trecho es despreciable, conforme luego se verá, la di- Fig. ferencia de uno a otro. 912. Esto presupuesto, la nivelacion puede practicarse de dos modos, porque puede el práctico plantar su instrumento, quanto cabe, á igual distancia de los dos términos , ó primero en el uno y despues en el otro. 913 1.° No hay duda en que si desde una misma estacion , con un instrumento de altura invariable, el qual siempre sirve de un mismo modo, se determinan dos o mas puntos de mira , ó se dirige la puntería á dos ó mas puntos que esten á igual distancia del ojo del práctico, todos ellos estarán á igual distancia del centro de la tierra, estando igualmente altos ó baxos, respecto del nivel verdadero, y estarán por lo mismo todos á un nivel, bien que no lo esten respecto del ojo del observador. Supongamos v. gr. colocado el instrumento en B á igual distancia de los dos términos C, D; los dos 218. puntos de mira señalados, en las perpendiculares CG, DH estan á un nivel , bien que no lo esten con el punto B. 914 Propongámonos señalar en las dos perpendiculares, ó los dos estadales BC, ED dos puntos 219. de nivel. Plantarémos el instrumento en B, suponiendo el ojo en F, y la puntería en G; trasladarémos despues el instrumento á E, colocándole, quanto cabe, de modo que el ojo esté á la altura G. Si el segundo punto de mira cae en F, donde estuvo el ojo, los dos términos estarán á un nivel, con tal que haya entera seguridad de no haber padecido alteracion alguna el instrumento entre una operacion y otra. Si en la segunda estacion no cayera el ojo en G, 220. pero sí en otro punto H ; si el segundo punto de mira I distase tanto de F como H, de G , todos los puntos estarán tambien á un nivel. Page 23
Fig. 915 Si el instrumento levantára ó bajára la pun teria, de modo que las dos lineas de ambas opera- Supongamos primero que á la distancia BE el instrumento levante la puntería 6 pulgadas; le plan- tarémos primero en B, estando el ojo en F y la pun- tería en G; para la segunda estacion se trasladaráel instrumento al término E , y refiriendo la altura 221. del ojo al punto G, se señalará la segunda puntería mas arriba de la primera altura del ojo, segun que 916 Quando las dos lineas se encuentran dentro del ángulo, v. gr. en K, se partirá por medio cada 222. una de las dos distancias FH, GI, la una en L, la otra en M, cuyos dos puntos estarán á nivel, y la 917 Finalmente, si las dos lineas no se encon traren dentro, sí fuera del ángulo , como aquí en K, 223. se dividirán por medio las dos distancias FH,00, la una en L, la otra en I, y los dos puntos I, L es- 918 Un instrumento puede levantar ó bajar la puntería respecto del nivel aparente, cuya variedad es proporcional a las distancias; quiero decir que quando el instrumento levanta ó baja la puntería 3 pulgadas, v. gr. á una distancia determinada , la le- vantará 6, 9, 12 pulgadas á una distancia dupla, tri- pla, quadrupla, &c. Si un nivel puesto en B, seña224. la á la distancia BD de 200 varas la linea de puntería CE que remata en E, 3 pulgadas mas arriba que Page 24
quales la primera es un caxon ABCD de madera Fig. ligera, en el qual hay dos vasijas de hoja de lata EFG, EFG, donde se echa agua, cada una de it pulgadas, 8 lineas de largo, por 8 pulgadas 2 lineas 226. de ancho desde H á I, y 5 pulgadas 3 lineas de fondo, comunicándose una con otra por medio de dos tubos EG. La distancia de una vasija á otra pende de lo que cogen de largo los anteojos, y de la que se dexa entre las caxas donde se meten, lo qual compone la segunda parte del instrumento. Esta segunda parte se compone de tres tubos M, M, M y dos caxas L, L, cerradas por todos 227. lados, de 9 pulgadas, 11 lineas de largo cada una, por 7 pulgadas de ancho, y 4 pulgadas 8 lineas de profundidad, sobre las quales estan soldados ó firmemente asegurados por lo menos los tres tubos. 226. En LML se demuestra esta segunda parte vista de 227. lado, la segunda figura demuestra su cara superior, у la tercera la pinta vista por un extremo. 228. Los dos tubos NO, NO de los dos lados son dos anteojos contrapuntados, esto es, que llevan los vidrios que sirven para mirar y estan del lado del 227. ojo, por cuyo motivo se llaman oculares, en extremos encontrados; mediante lo qual se puede mirar al lado que se quiera sin necesidad de volver el instrumento, cuyos anteojos son necesarios para ajustarle y versificarle. En el suelo de afuera de cada caxa L, L hay pegada ó soldada una platina de plomo de unas dos libras de peso ; y ademas de este peso hay otro P tambien de plomo de una media libra en el tubo del medio, al qual se le empuja del lado que se quiera por medio del tornillo QR. Este tornillo ha de estar sin vaga alguna, y muy ajustado en sus dos extremos, para lo qual se procura esté muy arrimado a las entradas interiores de Tom. I. Ee las Page 25
Fig. El tubo del anteojo también tiene en un lado una abertura de unas tres pulgadas y media de largo, la qual se cierra con una portezuela asegurada en un lado del tubo del anteojo por medio de una charnela, y por el otro se suelta con una aldavilla que pasa por muchos anillos, del mismo modo que se cierran cun una cadena las maletas. 226. La caxa ABCD lleva una tapa de la misma ma dera , abierta por sus dos extremos , cuya tapa sirve para precaver que con el viento bambolee el nivel. El pie del instrumento se hace como el de ua grafómetro , solo que "las piernas han de ser mas fuertes. En medio de la caxa hay un hueco K de madera en el qual encaxa la cabeza del pie; el hueco está asegurado por medio de un travesaño de madera, clavado en los dos costados de la caxa. Con la mira de que el pie se pueda llevar con comodidad, y meter en una misma caxa con el nivel, se quebrantan por medio sus tres piernas, y se doblan mediante una charnela, llevando cada pierna una virola de cobre ó hierro de la misma forma que ella , para que corra hasta la junta de la charnela quando se quiera que las dos piezas de ca da pierna se mantengan derechas. mo esta , las quales sirven de tente mozo al nivel 3:7 Asegurados que esten los dos tentemozos cada uno á un cabo de la caxa , se planta encima el ni- Page 26
Fig. voz, ó por señas al Oficial que suba ó baxe la ta blita hasta que el encuentro de los hilos dé en la linea orizontal que separa la mitad blanca de la mitad negra : hecho esto, hace seña al Oficial de apretar la llave para asegurar la tablita en aquel punto que será el de la puntería. Esta operacion se repite respecto de cada término.
Nivelacion simple. AC, y supongamos sea de 6. pies que se apuntarán 9-0-0 6-0--0 3-0-0 gundo término B. es mas baxo que el primero. En este exemplo los dos términos de la nivelacion están debaxo de la linea y de los puntos de nivel, como succede comunmente ; pero si estuvie sen mas arriba , como aquí A, B que son los tér234. minos de la nivelacion , y C, D los puntos de ni vel ; se medirá la distancia AC de 6 pies , y la BD 3--0-0
Finalmente, si el uno de los dos términos estuviese mas alto , y el otro mas baxo que la linea de |
A raiz quadrada de 225 crresponde a 15
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