Selecione os exercícios por Exercício Contextualizado Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
1320 Jane está em um barco a $2 km$ da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea, localizada $6 km$ ao longo de uma linha costeira retilínea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela rema a $2 km/h$ e caminha a $5 km/h$. Em que ponto da costa ela deve aportar para chegar à cidade no menor tempo possível? 580 Esboce neste mesmo gráfico a reta $y=2x+3$. Indique a região delimitada por esta reta e pelo gráfico de $f\left(x\right) $, para $2\leq x\leq 3$. Calcule a área desta região. 1173 Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).
1611 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln{x}}{cotg{x}}$. 555 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x+\dfrac{1}{x^{2}}$. 1613 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x}$. 1317 Será construído um campo de atletismo retangular, com $x$ unidades de comprimento, tendo nas extremidades duas áreas semicirculares com raio $r$. O campo terá em volta uma pista para corrida com $400 m$ de extensão.
1595 Se uma função par $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$? Ela também terá um máximo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação ao eixo das ordenadas. 624 Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo. 1787
567 Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{3x^{2}+4x}{1+x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 550 Faça um esboço completo do gráfico da função $y=\ln (9-x^{2}).$ Suas derivadas são: $y^{\prime }=-2x/\left( 9-x^{2}\right) $ e $y^{\prime \prime }=-\left( 18+2x^{2}\right) /\left( 9-x^{2}\right) ^{2}$. Determine explicitamente:
1169 Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo:
1319 A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um quadrado é $10$. Ache as dimensões do triângulo e do quadrado que produzem a área total mínima. 1734 A trajetória de uma mosca é descrita pelas seguintes equações de movimento $$x=\dfrac{\cos t}{2+\sin t}, \quad y=3+\sin(2t)-2\sin^2t\quad (0\leq t\leq 2\pi).$$
542 Mostre que um polinômio de terceiro grau $p\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$) sempre possui uma raiz real. Ilustre através de contra-exemplo que isto não é válido para polinômios de grau par, ou seja, para todo $n=2k$ par, existem polinômios de grau $n$ que não possuem raiz real. 629 Dentre todos os retângulos de perímetro fixo $L$, determine aquele de maior área. Justifique a resposta. 1786
1859 Calcule $\sqrt{5}$ com duas casas decimais de precisão, resolvendo a equação $x^2-5=0$ e use esse resultado na fórmula quadrática para obter as raízes de $x^2+x-1=0$. 1139 Um agricultor possui $140$ metros de cerca para construir dois currais: um deles quadrado eu outro retangular, com comprimento igual ao quádruplo da largura. Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, calcule a área do curral quadrado, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas. 622 Se um corpo de peso $P$ é arrastado ao longo de um piso horizontal por meio de uma força de grandeza $F$ e orientada segundo um ângulo $\theta$ radianos com o plano do piso, então $F=\frac{kP}{k\sin \theta +\cos \theta}$, onde $k$ é uma constante. Encontre $\cos \theta$, quando $F$ for mínimo. 628 Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento $3$ e $4cm$, se dois lados do retângulo estiverem sobre o cateto. 1278 Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{2x^{2}}{3x^{2}-3}$ . Para fazê-lo, determine:
\begin{align*} f^{\prime}\left( x\right) & =\frac{4x\left( 3x^{2}-3\right) -2x^{2}\left( 6x\right) }{\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}}\\ & =\frac{-12x}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}} \end{align*} logo a derivada é positiva se $x<0$ e negativa se $x>0$, ou seja $f$ é crescente para $x<0$ e decrescente para $x>0$ $x=0$ é ponto de máximo da função. A função não tem pontos de inflexão pois $\pm1\notin Dom\left( f\right) $ \begin{align*} f"\left( x\right) & =\frac{-12\left( 3x^{2}-3\right) ^{2}+12x2\left( 3x^{2}-3\right) 6x}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{4}}\\ & =\frac{-12\left( 3x^{2}-3\right) +12x2\cdot6x}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{3}}\\ & =\frac{-36x^{2}+36+12^{2}x^{2}}{\left( 3x^{2}-3\right) ^{3}}\\ & =\frac{-12x^{2}+12+48x^{2}}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}}\\ & =12\frac{3x^{2}+1}{\left( x^{2}-1\right) ^{3}} \end{align*} Observando que $3x^{2}+1>0,\forall x$, temos que $f"\left( x\right) >0$ se, e somente se, $x^{2}-1>0$ se, e somente se, $x>1$ ou $x<-1$ logo $f$ tem concavidade para cima se $x\in(-\infty,-1)\cup\left( 1,\infty\right) $ e concavidade par baixo se $x\in\left( -1,1\right) $. Esboço do Gráfico:  1167 Encontre os intervalos abertos nos quais $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$ é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente. 1736 Prove o seguinte resultado: Se $f$ tiver um mínimo absoluto em um intervalo aberto $(a,b)$, então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de $f$. 574 Estude a função $f\left( x\right) =e^{\dfrac{x-1}{x^{2}}}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1324 Ache os extremos da função $f(x)=x+3x^{3/2}$. 627 Uma lata cilíndrica, sem tampa (mas com fundo), é feita para receber um volume de $900ml$ . Encontre as dimensoes que minimizarão o custo do metal para fazer a lata. 1831 Uma grandeza física desconhecida é medida $n$ vezes, obtendo-se valores $x_1,x_2,\ldots,x_n$, cuja variação depende de fatores imprevisíveis, tais como temperatura, pressão atmosférica etc. Desta forma, o cientista enfrenta o problema de obter uma estimativa $\bar{x}$ de uma grandeza desconhecida $x$. Um método de se obter estimativas está baseado no princípio dos mínimos quadrados, o qual estabelece que a estimativa $\bar{x}$ deve ser escolhida de forma a minimizar a função $$ s= (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots +(x_n-\bar{x})^2, $$que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa $\bar{x}$ e os valores medidos. Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é dada por $$ \bar{x}= \dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n), $$ ou seja, $\bar{x}$ é a média aritmética dos valores observados. 1617 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \sin^{-1}(x)}{x- \sin(x)}$. 1609 Se uma quantia $P$ é aplicada à taxa de juros de $100r \%$ ao ano, composta $m$ vezes por ano, então o montante, ao cabo de $t$ anos, é dado por $P(1+rm^{-1})^{mt}$. Considerando $m$ como um número real e fazendo m crescer indefinidamente, diz-se que a taxa é composta continuamente. Mostre que, neste caso, o montante após $t$ anos é $Pe^{rt}$. 1619 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x+\cosh(x)}{x^2+1}$. 1593 Suponha que em qualquer instante $t$ (em segundos) a corrente $i$ (em amperes) em um circuito de corrente alternada é $i = 2\ cos\ t+2\ sin\ t$. Qual a corrente de pico (magnitude máxim para este circuito? 1597 A função$V(x)=x(10-2x)(16-2x),\quad 0<x<5$ modela o volume de uma caixa.
1623 Estime $\pi$ através da aplicação do Método de Newton na equação $tg(x)=0$. Qual cuidado deve ser tomado, neste caso, em relação à escolha do valor inicial? 579 Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =\dfrac{x^{2}-x+1}{2x-2}$, determinando o domínio, pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão e assíntotas. Explicite o valor que a função assume nos pontos em questão. Justifique o seu raciocínio. 535 Encontre $a$ e $b$ tais que a função $f(x)=x^3 +ax^2+b$ tenha um extremo relativo em $(2,4)$. 1313 Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter $180000$ metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca se não há necessidade de cerca ao longo do rio? 1624 Suponha que, em uma aplicação do Método de Newton, o valor de $x_0$ escolhido coincidiu com uma raiz. Suponho que $f'(x_0)$ exista e não seja nula, o que acontecerá com $x_1$ e as aproximações subsequentes? 1622 Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo $x=1+0,5\sin(x)$. O traçado da função $f(x)=x-1-0,5\sin(x)$ sugere que a função possui uma raiz próxima de $x=1,5$. Utilize uma iteração do Método de Newton para melhorar essa estimativa, com $x_0=1,5$. 544 Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade. 1172 Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções (se existirem).
623 Uma página impressa deve ter $24cm^2$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1cm$ nos lados. Quais as dimensões da página de menor área que preenche essas condições? 1248 Seja $ f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}+7x+3}{x^{2}}$
1322 Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo. 1605 Deixa-se cair de um balão um objeto de massa $m$. Se a força de resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade $v(t)$ do objeto no instante $t$, então pode-se mostrar que $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k>0$ e $g$ é uma constante gravitacional. Determine $\lim\limits_{k \to 0^+}s(t)$. 1615 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln({\sin(x)})}{\ln({\sin(2x)})}$. 548 Esboce o gráfico de $f(x)=x^4-5x^2+4$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão. 1277 Esboce o gŕáfico de $f\left( x\right) =\frac{e^{-x}}{x}$ .Para fazê-lo:
1811 As funções da forma $$f(x)=cx^ne^{-x},\quad x>0,$$ onde $n$ é um inteiro positivo e $c=1/n!$ surgem no estudo estatístico do fluxo de tráfego.
1607 O modelo logístico de crescimento populacional prevê o tamanho $y(t)$ de uma população no instante $t$ por meio da fórmula $y(t)=\dfrac{k}{1+ce^{-rt}}$, onde $r$ e $k$ são constantes positivas e $c=\dfrac{k-y(0)}{y(0)}$. Os ecologistas denominam $k$ a capacidade de suporte e o interpretam como o número máximo de indivíduos que o ambiente pode sustentar. Calcule $\lim\limits_{t \to \pm \infty}y(t)$ e discuta o significado gráfico desses limites. 1325 Dentre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio $R$, quais as dimensões daquele que tem a maior área? 1618 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\ln(tg{x}+\cos{x})}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$. 1825 Demonstre a Regra de L'Hospital para a indeterminação da forma $\displaystyle\dfrac{0}{0}$. 1174 O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva quadrática? Justifique. Os pontos de inflexão são os pontos nos quais a curvatura de uma curva troca de sinal, portanto, está associado com trocas de sinal da segunda derivada da função associada à curva. Curvas quadráticas terão derivadas lineares e segundas derivadas constantes. Sendo assim, como a segunda derivada de uma curva quadrática nunca trocará de sinal, uma curva quadrática nunca apresentará pontos de inflexão 1828 Se uma função racional $P(x)/Q(x)$ é tal que o grau do numerador excede o grau do denominador em $1$, então o gráfico de $P(x)/Q(x)$ terá uma assíntota oblíqua, isto é, uma assíntota que não é nem horizontal nem vertical. Para ver por quê, efetuamos a divisão de $P(x)$ por $Q(x)$ obtendo $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= (ax+b) + \dfrac{R(x)}{Q(x)}, $$ onde $(ax+b)$ é o quociente e $R(x)$ é o resto. Use o fato de que o grau do resto $R(x)$ é menor do que o grau do divisor $Q(x)$ para auxiliá-lo a provar que $$ \lim_{x\to \infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0 \quad \text{e} $$ $$ \lim_{x\to -\infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0. $$ Este resultado nos diz que o gráfico da equação $\displaystyle y =P(x)/Q(x)$ "tende" à reta $y=ax+b$ (assíntota oblíqua) quando $x\rightarrow +\infty$ ou $x\rightarrow -\infty$. 1601 Um atleta percorreu as $26,2$ milhas da maratona de Nova York em $2,2$ horas. Demonstre que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a exatas $11mi/h$, supondo que as velocidades inicial e final tenham sido zero. 541 Determine $a$ para que a equação $x^{3}+3x^{2}-9x+a=0$ admita uma única raiz real. Primeiramente, calculamos $f'(x)$ e $f''(x)$. Temos então $f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$ $f''(x)=6x+6$ Pela análise de sinal da segunda derivada, vemos que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1$ e uma concavidade para cima para $x>-1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que há um máximo local em $x=-3$ e um mínimo local em $x=1$. Assim, avaliando a função em $x=-3$ tem-se $f(-3) = 27+ a$. Qualquer valor de $a$ que torne $f(-3)<0$ garante que $f(x)$ terá apenas uma única raiz real. Finalmente, portanto, tem-se: $a<-27$ 537 Seja $g\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$, onde $f\left( t\right) $ é a função cujo gráfico encontra-se abaixo. \begin{equation*} f(t) = \sqrt{|t|}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \end{equation*} Determine os pontos de máximo e mínimo local de $g\left( x\right) $. Justifique a sua resposta 1565 O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$. 1784 Prove que a conclusão do Teorema do Valor Médio de Cauchy pode ser escrita da seguinte forma $$ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, $$ sob as hipóteses adicionais de que $g(b)\neq g(a)$ e que $f'(x)$ e $g'(x)$ nunca são simultaneamente nulas sobre $(a,b)$. 560 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x-e^{x}$. 625 Uma página impressa deve ter $24$ $cm^{2}$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1 cm$ nos lados. Discuta a existência das dimensões (e calcule quando existir) daquelas que tem área total máxima e área total mínima. 572 Estude a função $f\left( x\right) =e^{x}-e^{3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1833 O princípio de Fermat também explica por que um raio de luz passando entre ar e água sofre um desvio de trajetória (refração). Imagine dois meios uniformes (como ar e água) e um raio de luz viajando de uma fonte $A$ em um meio para um observador $B$ em outro meio (figura abaixo). Sabe-se que a luz viaja a uma velocidade constante em um meio uniforme, porém mais vagarosamente no meio mais denso (como a água) do que no meio menos denso (como o ar). Conseqüentemente, o percurso de menor tempo entre $A$ e $B$ não é necessariamente uma reta, mas a união de dois segmentos $AP$ e $PB$, permitindo assim que a luz tome vantagem de sua maior velocidade no meio mais esparso. A Lei de Refração de Snell estabelece que a trajetória do raio de luz é tal que $$ \dfrac{\sin\theta_1}{\nu_1}= \dfrac{\sin\theta_2}{\nu_2}, $$ onde $\nu_1$ é a velocidade da luz no primeiro meio e $\nu_2$ no segundo, $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos de incidência e de refração, respectivamente (figura abaixo). Mostre que isso decorre da hipótese de que o caminho de tempo mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$. 1612 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$. 1592 A altura de um corpo em movimento vertical é dada por$s = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0,\quad g>0$com $s$ em metros e $t$ em segundos. Determine a altura máxima do corpo em função da velocidade inicial $v_0$, da aceleração da gravidade $g$ e da posição inicial $s_0$. 1318 Você está projetando uma lata (um cilindro de revolução) de $1000 cm^3$ cuja manufatura levará o desperdício em conta. Não há desperdício ao se cortar a lateral de alumínio, mas tanto a base como o topo, ambos de raio $r$, serão recortados de quadrados que medem $2r$ de lado.
565 Estude a função $f\left( x\right) =xe^{-3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 553 Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$. 552 Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-5x$. 1785 Teorema de Rolle: Seja $f$ uma função diferenciável em $(a,b)$ e contínua em $[a,b]$; se $f(a)=f(b)=0$, então há pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ tal que $f'(c)=0$. Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de $c$ naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
1276 Seja $f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x-1}$
571 Estude a função $f\left( x\right) =x\ln x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1735 Seja $f(x)=ax^2+bx+c$, onde $a>0$. Prove que $f(x)\geq 0$ para todo $x$ se, e somente se, $b^2-ac\leq 0$. [Sugestão: ache o mínimo de $f(x)$.] 563 Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}-4}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 557 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}-x^{2}+1}{x}$. 1171 Utilize o Teorema de Valor Médio (ou o caso particular do Teorema de Rolle) para mostrar que, para qualquer valor de $c\in\mathbb{R}$, o polinômio $p\left( x\right) =x^{4}+4x+c$ tem no máximo duas raízes reais. 1168 Considere a função $f$ cuja derivada é $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$.
546 Esboce o gráfico de $f(x)= \frac{x^2-2x^3}{x^2-1}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão. 543 Seja $f\left( x\right) =x^{3}+3x.$
1783 Prove a seguinte generalização do Teorema do Valor Médio: Se $f$ é contínua e diferenciável sobre o intervalo $(a,b)$ e os limites $\displaystyle \lim_{y\to a^+}f(y)$ e $\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)$ existem, então existe $x\in (a,b)$ tal que $$f'(x)=\dfrac{\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)-\lim_{y\to a^+}f(y)}{b-a}.$$ (Sua prova deve começar mais ou menos assim: "Esta é uma conseqüência do Teorema do Valor Médio porque ...".) 1594 A função $f(x)=|x|$ tem valor mínimo absoluto quando $x=0$, mesmo que $f$ não seja derivável em $x=0$. Isto é consistente com o Teorema de Fermat sobre máximos e mínimos locais? 556 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =e^{2x}-e^{x}$. 1246 Esboce o gráfico da funçao $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade. 825 Mostre que $|\cos x-\cos y|\leq |x-y|$ quaisquer que sejam $x$ e $y$ reais, enunciando os teoremas utilizados. 620 Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a $27$ litros e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo. 577 Esboce o gráfico e encontre os zeros da função $f\left( x\right) =\left| x-3\right| -\left| x+4\right| +\left| 5-x\right| $. 539 Prove que a equação $x^3-4x+2=0$ tem exatamente três raízes reais distintas. Temos, primeiramente: $f'(x)=3x^2-4$ $f''(x)=6x-4$ É possível ver portanto que $f(x)$ tem dois pontos críticos: $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Como $f''(x)>0$ para $x>0$ e $f''(x)<0$ para $x<0$, $f(x)$ tem uma concavidade para baixo em $x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ e uma concavidade para cima em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Temos que $f(0)=2$. Como na concavidade em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ temos $f(x)<0$, sabemos que a primeira raiz está entre $0$ e $\frac{2}{\sqrt{3}}$. É fácil observar que $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty$, o que nos mostra uma segunda raiz. Finalmente, como $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$, temos uma terceira raiz para algum valor $x<0$, provando então que a função em questão tem três raízes distintas. 1625 Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função. 1813 Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
547 Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-x^2+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão. 1830 Esboce o gráfico completo da função $\displaystyle f(x)=x\tan x,\ -\pi/2<x<\pi/2$, e localize todos os extremos relativos e pontos de inflexão. Utilize um recurso computacional gráfico a fim verificar seu resultado. 1247 Seja $ f(x)=\frac{x^3}{|x^2-1|}.$
1316 Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e, nos outros três lados, por uma cerca elétrica feita de um fio. Com $800 m$ de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões? 1175 O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva cúbica? Justifique. 536 Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$. 758 Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}$ usando uma estratégia algébrica simples e, em seguida, usando a regra de L'Hospital. Compare os resultados. 540 Prove que a equação $x^{3}-3x^{2}+6=0$ admite uma única raiz real, enquanto $x^{3}+x^{2}-5x+1=0$ admite $3$ raízes. Para $f(x)=x^{3}-3x^{2}+6$ e $g(x)=x^{3}+x^{2}-5x+1$, queremos mostrar que $f(x)=0$ admite uma única raiz real enquanto $g(x)=0$ admite $3$ raízes. Primeiramente, analisemos as raízes de $f(x)=0$. Temos: $f'(x)= 3x^2-6x=x(x-2)$ $f''(x)=6(x-1)$ Portanto, a segunda derivada nos diz que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<1$ e uma concavidade para cima para $x>1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $f(x)$ apresenta um máximo local em $x=0$ e um mínimo local em $x=2$. Como $f(2)=2$, temos que não há raiz alguma para $x>1$, dado que a função é uma concavidade para baixo neste intervalo. A única raiz real, portanto, é algum valor $x<1$. O conhecimento do máximo local em $x=0$ nos permite inclusive dizer que é algum valor $x<0$. Repetiremos a análise para $g(x). Temos, portanto: $g'(x)= 2x^2+2x-5=2(x+5/3)(x-1)$ $g''(x)=6(x+1/3)$ Portanto, a segunda derivada nos diz que $g(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1/3$ e uma concavidade para cima para $x>-1/3$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $g(x)$ apresenta um máximo local em $x=-5/3$ e um mínimo local em $x=1$. Como $g(0)=1$ e $g(1)=-2$, sabemos que há duas raízes reais de $g(x)$ no intervalo aberto $x>0$. Como $g(x)$ claramente tende para $-\infty$ para $x\rightarrow \infty$, o valor de $g(0)$ nos diz que a terceira raiz real está localizada no intervalo $x<0$. O conhecimento do máximo local em $x=-5/3$ nos permite inclusive dizer que é algum valor no intervalo aberto $x<-5/3$ 568 Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}-9x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 561 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{cc} e^{-\dfrac{1}{x^{2}}} & \text{se }x\neq 0 \\ 0 & \text{se }x=0 \end{array} \right. $ 1608 A média geométrica de dois números reais positivos $a$ e $b$ é definida como $\sqrt{ab}$. Prove que $\sqrt{ab}=\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x$. 1861 Uma bola esférica oca de raio $2m$ tem densidade específica $\dfrac{1}{4}$, de modo que flutua na água deslocando $\dfrac{1}{4}$ de seu próprio volume. Mostre que a profundidade $x$ à qual fica submersa é uma raiz da equação $x^3-6x^2+8=$ e use o método de Newton para calcular essa raiz com duas casas decimais de precisão. Sugestão: o volume de um segmento esférico de altura $h$ retirado de uma esfera de raio $r$ é $\pi h^2 \left(r-\dfrac{h}{3}\right)$. 1823
570 Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1606 Um peso de massa $m$ é preso a uma bola suspensa a partir de um suporte. O peso é posto em movimento movendo-se o suporte para cima e para baixo de acordo com a fórmula $h=A \cos(\omega t)$, onde $A$ e $\omega$ são constantes positivas e $t$ é o tempo. Se as forças de atrito são desprezíveis, então o deslocamento $s$ do peso em relação à sua posição inicial no instante $t$ é dada por $s=\dfrac{A \omega^2}{\omega_0^2-\omega^2}(\cos(\omega t)-\cos(\omega_0 t))$ com $\omega_0=\sqrt{k/m}$ para uma constante $k$ e com $\omega \neq \omega_0$. Calcule $\lim\limits_{\omega \to \omega_0}s$ e mostre que as oscilações resultantes aumentam em magnitude. 545 Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-6x^2 +9x+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão. 1621 Demonstre que, se $h>0$, aplicando o Método de Newton para $f(x)=\begin{cases} \sqrt{x},\quad \ \ x \geq 0\\ \sqrt{-x},\quad x <0 \end{cases}$,a aproximação tende a $x_1=-h$ se $x_0=h$ e a $x_1=h$ se $x_0=-h$. Desenhe uma figura para mostrar o que ocorre. 1824 Discuta as hipóteses necessárias para que se possa aplicar a Regra de L'Hospital. 1301 Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\cos x-\sin x$ . Para fazê-lo, determine:
1249 Seja $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$.
1596 Se uma função ímpar $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$? Ela terá um mínimo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação à origem. 1166 Encontre, se existirem, o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função $f(x)= \sqrt[3]{x^3-x^2},$ no intervalo $[0,1].$ 575 Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{1+\tan x},x\in \lbrack 0,\dfrac{\pi }{2})$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1814 Use a derivada dada para encontrar as coordenadas $x$ de todos os pontos críticos de $f$ e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
573 Estude a função $f\left( x\right) =\sin x+\cos x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1812 (Teste da Derivada Primeira) Suponha $f$ contínua em um ponto crítico $x_0$.
Esboce algumas curvas para mostrar que as três partes do teste da derivada primeira podem ser falsas, sem a hipótese de que $f$ é contínua em $x_0$. 1827 As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos. Suponha que uma população $y$ cresce de acordo com o modelo logístico acima.
1826 Uma caixa com base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir de uma folha de metal, de forma que o seu volume seja de $500$ cm$^3$. Seja $S$ a área da superfície da caixa e $x$ o comprimento de um lado da base quadrada. Mostre que $\displaystyle S=x^2+2000/x$, para $x>0$, e esboce o gráfico de $S$ em função de $x$ para este caso. 538 Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}+3}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade. 1314 Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de $8 \times 15 pol$ recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume? 534 Dois corredores iniciaram uma corrida ao mesmo tempo e terminaram a corrida empatados. Prove que os dois corredores estiveram à mesma velocidade $v^*$, ainda que talvez em instantes diferentes da corrida. 1829 Seja $f(x)=(x^3+1)/x$. Mostre que o gráfico de $y=f(x)$ tende à curva $y=x^2$ "assintotamente" no sentido de que $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x^2\right] = 0. $$ Esboce o gráfico de $y=f(x)$ mostrando o seu comportamento assintótico. 621 Um funil de volume especificado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado em sua fabricaçao seja a menor possível. 5 Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =x+\dfrac{1}{x}$. 1862 Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão. 1832 O Princípio de Fermat na óptica estabelece que a luz, viajando de um ponto para outro, segue aquele caminho para o qual o tempo total de percurso é mínimo. Em um meio uniforme, os caminhos de "tempo mínimo" e de "menor distância" vêm a ser iguais; assim sendo, se não obstruída, a luz viaja em linha reta. Suponha que temos uma fonte de luz (ponto $A$), um espelho plano e um observador (ponto $B$) em um meio uniforme. Se um raio de luz deixa a fonte, bate num espelho e vai até o observador, então a sua trajetória consiste de dois segmentos de reta, conforme ilustrado na figura abaixo. De acordo com o princípio de Fermat, a trajetória é tal que o tempo gasto no percurso é mínimo ou, como o meio é uniforme, a trajetória será tal que a distância total percorrida de $A$ para $B$ é a menor possível. Supondo que o mínimo ocorre quando $\displaystyle dt/dx=0$, mostre que o raio de luz irá atingir o espelho em um ponto $P$, tal que o "ângulo de incidência" $\theta_1$ é igual ao "ângulo de reflexão" $\theta_2$. 564 Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}}{x+1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1860 Considere uma cápsula esférica de $1cm$ de espessura cujo volume é igual ao volume do espaço oco dentro dela. Use o método de Newton para calcular o raio externo da cápsula com duas casas decimais de precisão. 1603 O gráfico a seguir mostra a receita mensal da empresa Fidelis Ltda. nos últimos 12 anos. Durante aproximadamente quais intervalos de tempo a receita marginal foi crescente? E decrescente? 1822 As curvas de crescimento logístico modelam a taxa de crescimento de uma certa população em função dos fatores ambientais. Em um período prolongado de tempo, a população tende a um valor limite que representa o máximo número de indivíduos que o espaço ou alimento pode sustentar. Estas curvas são da forma $$ y(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ onde $y$ é a população no momento $t$ ($t\geq 0$) e $A$, $k$ e $L$ são parâmetros positivos. Mostre que o ponto de inflexão da curva de crescimento logístico (figura acima) ocorre no tempo $t$ solução da equação $$ \dfrac{L}{2}=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}, $$ para $t$, ou seja, no instante $ t= \dfrac{\ln A}{k}$. 1600 Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de $100km/h$. Ao passar no segundo pedágio, distante $120km$ do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou $30$ minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa? 559 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$. 549 Esboce o gráfico de $f(x)=x^2\sqrt{4-x}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão. 1323 Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1,5$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível? 1616 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x-\cos(x)}{x}$. 1620 Este exercício pretende se debruçar sobre os limites $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x$ e $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.
1170 Encontre os valores máximo e mínimo da função $f\left(x\right) =xe^{-x}$ no intervalo $\left[ -10,10\right]$. $f^{\prime}\left( x\right) =e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left( 1-x\right) $. Como $e^{-x}>0$ temos que $f\left( x\right) =0$ se e somente se $1-x=0$, ou seja, se $x=1$. Os pontos de máximo e mínimo devem ser pontos onde $f^{\prime}\left( x\right) =0$ ou os extremos do intervalo. Avaliamos: $f\left( -10\right) =-10e^{10}$ $f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$ $f\left( 10\right) =\frac{10}{e^{10}}$ Como $-10e^{10}<\frac{10}{e^{10}}<\frac{1}{e}$ temos que o valor máximo é $f\left( 1\right) =\frac{1}{e}$ e o valor mínimo é $f\left( -10\right) =-10e^{10}$. 558 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$. 1599 Um termômetro de mercúrio demorou $14s$ para subir de $-19° C$ para $100° C$ após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de $1mm$, demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a $8,5mm/s$. 562 Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1321 Mostre que a funçao $y(x)$ com $y(0)=0$ que é definida implicitamente pela equaçao $y-x^{2}+y^{3}+xy^{2}+x^{2}y=0$ tem um extremo relativo no ponto $x=0$. Identifique esse extremo. 626 Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível? Se a lata fosse esférica, o gasto de material seria maior ou menor que o gasto de material da lata cilíndrica que voce encontrou? E se a lata fosse cúbica? 554 Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+1$. 566 Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1614 Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \ln{x}}{x+\ln{x}}$. 569 Estude a função $f\left( x\right) =1-e^{-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico. 1610 A velocidade, no tempo $t$, de um objeto de massa $m$ em queda é $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k$ é uma constante e $g$ denota a força da gravidade. Calcule $\lim\limits_{m \to \infty}v(t)$ e conclua que $v(t)$ é aproximadamente proporcional ao tempo $t$ se a massa é muito grande. 1732 Em cada item, esboce o gráfico de uma função contínua $f$ com as propriedades indicadas no intervalo $(-\infty,+\infty)$.
1821 A figura abaixo mostra o gráfico do polinômio $\displaystyle y=\dfrac{1}{10}x^5(x-1)$ gerado no software Mathematica$^\textrm{TM}$ usando uma janela de $[-2;2,5]\times[-1;5]$. |
A figura a seguir mostra uma parte do gráfico da função y x 2 mx n onde V e seu ponto mais baixo
Pos Terkait
Copyright © 2024 idkuu.com Inc.
