Uma expressão que permite calcular cada termo dessa sequência de acordo com a sua posição

Sequência numérica é uma lista formada por números que possui uma ordem, geralmente, bem definida. Uma sequência contém o que conhecemos como lei de formação, ou lei de recorrência, o que nos permite encontrar os próximos termos do seguimento. Por exemplo, podemos montar a sequência formada pelos números pares em ordem crescente (0, 2, 4, 6,…), ou então a sequência dos números múltiplos de 10 (0, 10, 20, 30, 40,…), entre outras várias sequências possíveis.

Uma sequência pode ser finita ou infinita, dependendo da quantidade de elementos que ela possui. Ela também pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante. Além disso, existem casos particulares de sequência, conhecidos como progressões. Elas podem ser classificadas como progressões aritméticas ou geométricas.

Leia também: Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

Resumo sobre sequência numérica

• Sequência é uma lista de números organizados em ordem.

• Exemplos de sequência numérica:

  • Sequência decrescente dos divisores de 20: (20, 10, 5, 4, 2, 1).

  • Sequência de números ímpares: (1, 3, 5, 7,…).

• Uma sequência pode ser finita ou infinita.

  • Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.

  • Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.

• Uma sequência é classificada como crescente, descrente, constante ou oscilante.

• São casos especiais de sequência a progressão aritmética e a progressão geométrica.

Chamamos de sequência numérica uma lista de números com ordem determinada. Para denotar uma sequência, escrevemos os números entre parênteses, como no exemplo a seguir:

(a1, a2, a3,..., an)

• a1 é o 1º termo da sequência.

• a2 é o 2º termo da sequência.

• a3 é o 3º termo da sequência.

• an é o n-ésimo termo da sequência.

Conhecemos como lei de ocorrência a regra que rege a sequência numérica. Podemos ter vários critérios para a formação de uma sequência numérica, de acordo com determinadas características desses números. Vejamos alguns exemplos a seguir.

• Exemplo 1: lei de ocorrência da sequência dos números múltiplos de 4:

(0, 4, 8, 12, 16, 20,…)

• Exemplo 2: lei de ocorrência da sequência dos números ímpares:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…)

• Exemplo 3: lei de ocorrência da sequência dos números negativos maiores que -5:

(-4, -3, -2, -1)

Leia também: Curiosidades sobre os números

Classificação de sequência numérica

Existem duas maneiras de classificar uma sequência. Uma delas tange a quantidade de termos, definindo as sequências como finita ou infinita. A outra refere-se a seu comportamento, distinguindo as sequências como crescente, decrescente, constante ou oscilante.

→ Classificação da sequência numérica quanto à quantidade de termos

• Finita: quando a sequência possui uma quantidade limitada de termos.

Exemplos:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10)

b) (1, -1, 2, -2, 3, -3)

c) (1, 4, 9, 16, 25)

• Infinita: quando a sequência possui uma quantidade ilimitada de termos.

Exemplos:

a) (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…)

b) (3, 6, 9, 12,…)

c) (3, 9, 27, 81,…)

→ Classificação da sequência numérica quanto ao comportamento

• Crescente: quando um termo da sequência é menor que o seu sucessor.

Exemplos:

a) (1, 2, 3, 4, 5,…)

b) (-2, 0, 2, 4, 6)

• Decrescente: quando um termo da sequência é maior que o seu sucessor.

Exemplos:

a) (16, 13, 10, 7,…)

b) (-3, -9, -27, -81,…)

• Constante: quando um termo da sequência é sempre o mesmo.

Exemplos:

a) (0, 0, 0, 0, 0)

b) (4, 4, 4, 4,...)

• Oscilante: quando a sequência não se comporta de nenhuma das maneiras citadas, ou seja, ela não é crescente, nem decrescente, nem constante.

Exemplos:

a) (0, 1, 0, 1, 0, 1)

b) (1, -2, 3, -4, 5, -5,…)

Lei de formação da sequência numérica

A lei de formação de uma sequência é uma expressão algébrica que nos permite encontrar cada um dos termos da sequência por meio de uma fórmula. Existem algumas sequências em particular com lógicas demonstráveis por meio de uma lei de formação. Vejamos alguns casos a seguir.

Exemplo:

Uma sequência possui lei de formação do tipo an = n² + n. Encontre os seus 6 primeiros termos.

a1 = 1² + 1 = 1 + 1 = 2

a2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6

a3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12

a4 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20

a5 = 5² + 5 = 25 + 5 = 30

a6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42

(2, 6, 12, 20, 30, 42,…)

Progressão aritmética e progressão geométrica

Existem casos particulares de sequência denominados progressões. Elas se subdividem em dois tipos: progressões aritméticas e geométricas.

Para que uma sequência seja considerada uma progressão aritmética (PA), a diferença entre um termo qualquer da sequência e o seu sucessor é sempre constante. Essa diferença é conhecida como razão, representada por r.

Exemplos:

a) Progressão aritmética de razão 3: (1, 4, 7, 10, 13,…). Note que de um termo para o seu sucessor, basta somar 3.

b) Progressão aritmética de razão -5: (16, 11, 6, 1, -4,…).

Para que uma sequência seja considerada uma progressão geométrica (PG), a divisão entre um termo e o seu antecessor tem sempre o mesmo quociente. Esse resultado é representado por q, tido como a razão de uma progressão geométrica.

Exemplos:

a) Progressão geométrica de razão 2: (2, 4, 8, 16, 32,…).

b) Progressão geométrica de razão -3: (5, -15, -45, -135,…).

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Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Questão 1

(Instituto Consulplan) Observe a sequência numérica: 12, 14, 17, 21, 26, 32, 39,.... A soma dos dois próximos números da sequência é:

A) 99

B) 101

C) 103

D) 105

Resolução:

Alternativa C.

Analisando a sequência, é necessário compreender qual é a lógica para identificação dos próximos termos. Note que o primeiro termo é 12 e nele foi adicionado 2.

12 + 2 = 14

Já ao termo 14 foi adicionado 3:

14 + 3 = 17

Ao 17, foi adicionado 4:

17 + 4 = 21

Continuando com essa mesma lógica, temos que:

21 + 5 = 26

26 + 6 = 32

32 + 7 = 39

Agora queremos encontrar os dois próximos termos:

39 + 8 = 47

47 + 9 = 56

Então a soma 47 + 56 = 103

Questão 2

Os números abaixo estão dispostos em uma sequência lógica:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, A, B, 55, 89,...

Nesse caso, pode-se afirmar que A+B é igual a:

A) 55

B) 64

C) 74

D) 82

Resolução:

Alternativa A.

É possível perceber que a partir do 3º termo, para encontrar um próximo na sequência basta somar os dois antecessores ao número verificado:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

Assim sucessivamente. Então, podemos afirmar que A + B = 55

Progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que possui a seguinte definição: a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a uma constante, geralmente chamada de razão da PA. É possível, a partir apenas do primeiro termo e da razão de uma PA, encontrar o valor de qualquer termo. Esse cálculo depende de sua posição na sequência numérica e pode ser feito por meio da fórmula do termo geral de uma PA, discutida mais adiante neste artigo. Antes, porém, é importante conhecer bem o conceito que define uma PA.

Razão de uma PA

Uma sequência numérica é um conjunto em que os números estão em alguma ordem. No caso da PA, o que determina essa ordem é a razão. A sequência numérica abaixo é uma PA. Observe:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …)

A diferença entre dois termos consecutivos quaisquer (razão) é 1. As reticências indicam que a lista de números continua, ou seja, o próximo termo sempre será igual ao anterior somado com a razão 1.

Veja agora a sequência abaixo:

(1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, …)

Esse exemplo não é uma PA, pois a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 1, mas a diferença entre o quinto e o quarto termo é igual a 2.

Assim, razão é o número a que cada termo deve ser adicionado para obter o próximo.

Termo geral de uma PA

A partir da conclusão anterior, podemos começar a pensar em uma maneira de obter qualquer termo de uma PA.

Considere que primeiro termo de uma PA é a1 e os seguintes são a2, a3, …

Antes de mais nada, observe que as duas progressões aritméticas a seguir possuem a mesma razão:

A = (1, 5, 9, 13, …)

B = (2, 6, 10, 14, …)

Entretanto, o quarto termo dessas PAs é diferente, pois a4 = 13 e b4 = 14. Isso acontece porque o primeiro termo dessas progressões é diferente. Dessa maneira, o primeiro termo influencia o valor do termo que queremos encontrar, que será representado por an.

Sabendo disso, escreveremos alguns termos da primeira PA em função do primeiro. Observe:

a1 = 1

a2 = 5 = 1 + 4 = a1 + r

a3 = 9 = 1 + 8 = a1 + 2r

a4 = 13 = 1 + 12 = a1 + 3r

…

Observe apenas a parte inicial e final das igualdades:

a1 = 1

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

…

O número que multiplica a razão sempre é uma unidade menor que a posição do termo que estamos calculando. Por isso, podemos escrever as seguintes expressões:

a1 = 1

a2 = a1 + r = a1 + (2 – 1)r

a3 = a1 + 2r = a1 + (3 – 1)r

a4 = a1 + 3r = a1 + (4 – 1)r

…

Dessa maneira, podermos imaginar que um termo qualquer (an) é obtido pela soma do primeiro termo (a1) com o produto entre n – 1 e r. Assim, a fórmula do termo geral de uma PA é a seguinte:

an = a1 + (n – 1)r

Testando a fórmula

Note que essa fórmula necessita de três informações para ser utilizada: a posição do termo que se quer descobrir, representada pela letra n; o primeiro termo da PA e a sua razão. Observe o exemplo a seguir, que será resolvido de duas maneiras diferentes.

→ Qual o décimo termo da PA (2, 4, 6, …)?

Para encontrar o décimo termo dessa PA, basta continuar somando a razão ao último termo até encontrá-lo. A PA obtida será: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...

Utilizando a fórmula do termo geral de uma PA, teremos:

an = a1 + (n – 1)r

a10 = 2 + (10 – 1)·2

a10 = 2 + (9)·2

a10 = 2 + 18

a10 = 20

Exemplo:

Calcule o 500º termo da PA (2, 5, …).

O primeiro termo dessa PA é 2, e a razão é 3. Na fórmula do termo geral, teremos:

an = a1 + (n – 1)r

a500 = 2 + (500 – 1)·3

a500 = 2 + (499)·3

a500 = 2 + 1497

a500 = 1499