Trace em seu caderno o gráfico da aceleração escalar em função do tempo correspondente ao gráfico

No gráfico da velocidade escalar (v) em função do tempo (t), a “área” A compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos, do instante t 1 até o instante t 2, expressa a variação de espaço

Apesar de essa propriedade ter sido demonstrada no Capítulo 1 para o caso particular do movimento uniforme, frisamos que ela é válida para qualquer movimento.

Velocidade escalar média no MUV

O movimento uniformemente variado tem uma propriedade bastante útil: a velocidade escalar média entre dois instantes, t 1 e t 2 , é a média aritmética entre as velocidades escalares v 1 e v 2 nesses instantes. Para provar essa propriedade, vamos usar o gráfico anterior, lembrando que a área A de um trapézio é dada por:

A =

Então: 

Como

QUESTÕES COMENTADA

1 Um automóvel está a 30 m/s quando seus freios são acionados, garantindo -lhe uma aceleração de retardamento de módulo 5 m/s 2 , suposta constante. Determine quanto tempo decorre até o automóvel parar.

CJT/Zapt

RESOLUÇÃO

Vamos representar o automóvel numa trajetória supostamente orientada, como na figura:

Durante todo o movimento, a velocidade escalar do automóvel é positiva, uma vez que ele se move no sentido da trajetória. Como o movimento é retardado, a aceleração escalar deve ter sinal oposto ao da velocidade escalar. Assim, a aceleração escalar é negativa e vale:

Como:

Fazendo v=0 calculamos t:

 Resposta: 6 s

Movimento uniformemente variado I CAPÍTULO 2 45

=PG=46=

2 A velocidade escalar de um móvel variou com o tempo conforme o gráfico a seguir: 

Calcule:

b) a velocidade escalar.

RESOLUÇÃO 

a) Como a velocidade escalar instantânea foi positiva durante todo o intervalo de tempo considerado, a distância percorrida (d) é igual à variação de espaço (

d= ‘‘área’’ =

2 b) Aplicando a fórmula da velocidade escalar média, temos:

=

Note que v m é a média aritmética entre as velocidades nos instantes 0 s e 5 s:

=

Respostas: a) 100 m; b) 20 m/s.

QUESTÕES PROPOSTAS

FAÇA NO CADERNO.

3. É dada a seguinte função horária da velocidade escalar de uma partícula em movimento uniformemente variado: v = 15 + 20t (SI)

Determine: a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar da partícula; b) a velocidade escalar no instante 4 s; c) o instante em que a velocidade escalar vale 215 m/s.

4. No instante t 0 = 0 s, um automóvel a 20 m/s passa a frear com aceleração escalar constante igual a -2 m/s 2 . Determine: a) a função horária de sua velocidade escalar; b) o instante em que sua velocidade escalar se anula.

5. A velocidade escalar de um móvel variou com o tempo conforme o gráfico ao lado. Calcule a velocidade escalar desse móvel no instante t =3,5 s. 

6. Trace em seu caderno o gráfico da aceleração escalar em função do tempo, correspondente ao gráfico v X t dado ao lado. 

7. Um motociclista entra em um túnel a 10 m/s. A partir desse instante, acelera uniformemente a 2 m/s 2 , chegando ao fim do túnel com velocidade de 26 m/s. a) Trace em seu caderno o gráfico da velocidade escalar do motociclista em função do tempo desde o instante t 0 =0 s (entrada no túnel) até o instante de saída (t'). b) Calcule o comprimento do túnel.

8. A velocidade escalar de um corpo variou de acordo com o gráfico ao lado. Dessa maneira, ele percorreu uma determinada distância d. Que velocidade escalar constante esse corpo deveria manter no mesmo intervalo de tempo de 60 s para percorrer a mesma distância d? v 9. Um automóvel A encontra -se em repouso diante de um semáforo fechado. Assim que o semáforo abre, A está A entrando em movimento e outro automóvel B está passando por ele. O gráfico ao lado mostra as velocidadesescalares de A e B em função do tempo. a) Em que instante t os automóveis voltam a se encontrar? b) Qual foi a máxima distância entre eles no intervalo de tempo de 0 s a t?

10. Uma locomotiva parte de uma estação A e para em uma estação B, distante 1 200 m de A. O máximo módulo da aceleração que ela consegue manter é de 3 m/s 2 , tanto na fase de aceleração como na de retardamento. Sabendo que é proibido trafegar nessa região com velocidade superior a 30 m/s, calcule o mínimo intervalo de tempo possível para ir de A a B, sem problemas com a fiscalização. Sugestão: Resolva essa questão utilizando o gráfico da velocidade escalar em função do tempo.

11. Releia a questão anterior. Agora, resolva -a supondo que não haja limitação para a velocidade.

Page 2

24 Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a 5,0 km tem águas que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade 30 km/h. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a 50 km/h em relação às águas, faz a travessia do rio. a) Qual é o mínimo intervalo de tempo possível para que o barco atravesse o rio? b) Para atravessar o rio no intervalo de tempo mínimo, que distância o barco percorre paralelamente às margens? c) Qual é o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio percorrendo a menor distância possível? 

RESOLUÇÃO

a) A travessia do rio é feita no menor intervalo de tempo possível quando a velocidade do barco em relação às águas é mantida perpendicular à velocidade da correnteza. (O movimento relativo é independente do movimento de arrastamento.)

Travessia em tempo mínimo 

b) A distância D que o barco percorre paralelamente às margens, arrastado pelas águas do rio, é calculada por:

c) A travessia do rio é feita com o barco percorrendo a menor distância possível entre as margens quando sua velocidade em relação ao solo (velocidade resultante) é mantida perpendicular à velocidade da correnteza.

Travessia em distância mínima.

I. Pelo Teorema de Pitágoras:

= (

II. =

Observe que, neste caso, o barco “anda pouco”, mas “demora muito”, já que parte do “esforço” de seu motor é utilizado para “brigar” com a água.

Respostas: a) 6,0 min; b) 3,0 km; c) 7,5 min.

Vetores e cinemática vetorial I CAPÍTULO 4 77

=PG=78=

25 Um disco rola sobre uma superfície plana, sem deslizar. A velocidade do centro O é 

RESOLUÇÃO

Os pontos A e B têm dois movimentos parciais: o relativo, provocado pela rotação do disco, e o de arrastamento, provocado pela translação. O movimento resultante, observado do plano de rolagem, é a composição desses movimentos parciais. Como não há deslizamento da roda, a velocidade do ponto B, em relação ao plano de rolagem, é nula. Por isso, as velocidades desse ponto, devidas aos movimentos relativo e de arrastamento, devem ter mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos, como está representado nas figuras a seguir:

a) Ponto B: = + =

=

b) Ponto A: 

=

Em situações como essa, podemos raciocinar também em termos do centro instantâneo de rotação (CIR), que, no caso, é o ponto B. Tudo se passa como se A e B pertencessem a uma “barra rígida”, de comprimento igual ao diâmetro do disco, articulada em B. Essa barra teria, no instante considerado, velocidade angular 

Ponto A:

Ponto O:

Comparando-se as duas expressões, conclui-se que:

Respostas: a) 

QUESTÕES PROPOSTAS

FA‚A NO CADERNO.

26. Um garoto vai da base de uma escada rolante até seu topo e volta do topo até sua base, gastando um intervalo de tempo total de 12 s. A velocidade dos degraus da escada rolante em relação ao solo é de 0,50 m/s e a velocidade do garoto em relação aos degraus é de 1,5 m/s. Desprezando o intervalo de tempo gasto pelo garoto na inversão do sentido do seu movimento, calcule o comprimento da escada rolante.

28. Seja 

29. Um trem dotado de janelas laterais retangulares de dimensões 80 cm (base) x 60 cm (altura) viaja ao longo de uma ferrovia retilínea e horizontal com velocidade constante de intensidade 40 km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva vertical (chuva sem vento), de modo que as gotas apresentam, em relação ao solo, velocidade constante de intensidade v. Sabendo que o trajeto das gotas de chuva observado das janelas laterais do trem tem a direção da diagonal dessas janelas, determine: a) o valor de v; b) a intensidade da velocidade das gotas de chuva em relação a um observador no trem.

30. Um inseto percorre o raio AO =10 cm da polia representada na figura, com velocidade de intensidade constante igual a 5,0 cm/s, medida em relação à polia. Esta, por sua vez, está rigidamente acoplada ao eixo de um motor que gira de modo uniforme, realizando 30 rotações por minuto. Sabendo que o inseto passa pelo ponto O no instante t 0 = 0,

78

UNIDADE 1 I CINEMÁTICA

=PG=79=

31. Considere um rio de margens paralelas e cuja correnteza tem velocidade constante de módulo v C. . Uma lancha tem velocidade relativa às águas constante e de módulo 10 m/s. Navegando em linha reta, a lancha parte do ponto A e atinge a margem oposta no ponto B, indicado na figura, gastando um intervalo de tempo de 100 s.

32. Um carro trafega a 100 km/h sobre uma rodovia retilínea e horizontal. Na figura, está representada uma das rodas do carro, na qual estão destacados três pontos: A, B e C. Desprezando derrapagens, calcule as intensidades das velocidades de A, B e C em relação à rodovia. Adote nos cálculos

33. O tanque de guerra esquematizado na figura está em movimento retilíneo e uniforme para a direita, com velocidade de módulo v. Não há escorregamento da esteira em relação ao solo nem da esteira em relação aos roletes.

Os roletes maiores têm raio R e giram em torno dos respectivos eixos com frequência de 50 rpm. Os roletes menores, das extremidades, têm raio 2  também giram em torno dos respectivos eixos. Sabendo que determinado elo da esteira gasta 1,5 s para se deslocar do ponto A até o ponto B, conforme indicado na figura, e que nesse intervalo de tempo esse elo sofre um deslocamento de 6,0 m em relação ao solo, calcule: a) o valor de v, bem como o do comprimento L; b) a frequência de rotação dos roletes menores.

DESCUBRA MAIS

1 No capítulo 3, Movimento circular uniforme, você viu a definição de velocidade escalar angular, medida no SI em rad/s, e que, de forma geral, expressa a rapidez de varredura de

ângulos. Em uma avaliação mais ampla, que passe pelo estudo da rotação de sólidos, a velocidade angular é uma grandeza escalar ou vetorial? Pesquise.

2 Admita que exista uma longa ferrovia retilínea denominada Norte-Sul superposta a um dos meridianos terrestres e que cruze a linha do Equador. Um trem-bala trafega regularmente

nessa ferrovia com velocidade constante de intensidade igual a 500 km/h em relação ao solo. Considere o movimento de rotação da Terra com período de 24 h e suponha que o planeta seja esférico com raio igual a 610 6 m. Em relação a um referencial fixo no centro da Terra, qual é a intensidade da velocidade do trem, em km/h, no instante em que ele cruza a linha do Equador?

3 Se a calota de um carro que se desloca em movimento retilíneo e uniforme se desprender da roda, no instante em que ela tocar o solo, ainda em rotação em um plano perpendicular

ao da estrada e deslocando-se no sentido do movimento do carro, seu centro desenvolverá uma velocidade de translação relativa ao solo menor que a do veículo. Por isso, o acessório se distanciará do automóvel, tendendo a se tornar um objeto perdido. Suponha que, no instante em que a calota toca o solo, sua velocidade angular seja igual à velocidade angular de rotação das rodas do carro. Explique por que a calota se distancia do veículo e substancie sua justificativa em expressões matemáticas.

Vetores e cinemática vetorial I CAPÍTULO 4 79

=PG=80=

Furacão: ira da natureza

O vocábulo furacão vem da cultura maia, dos povos que habitavam a península de Yucatán, na América Central. É uma referência ao deus Huracan, divindade que se incumbia da constante tarefa de destruir e reconstruir a natureza, sendo por isso associado a tormentas e vendavais.

Os furacões são ciclones tropicais de grande intensidade que se originam em latitudes geralmente baixas, nas regiões próximas à linha do Equador, quando aglomerados de nuvens de chuva recebem, por convecção, o ar quente e úmido que sobe das águas mornas dos oceanos. São sistemas de baixa pressão que fazem com que grandes massas de ar girem como um vórtice (redemoinho) em torno de um núcleo central denominado olho, provocando, em terra, tempestades muito fortes e ventos de até 320 km/h. Constituem, com os terremotos, uma força natural de imenso poder destruidor. Na maior parte dos casos, no hemisfério Sul os ciclones tropicais têm rotação horária, ocorrendo o oposto no hemisfério Norte. O sentido com que se movimentam as massas de ar é determinado principalmente pela rotação da Terra, que impõe às diversas camadas atmosféricas forças de cisalhamento diferentes entre si. Essas forças são mais intensas nas proximidades da linha do Equador, onde os pontos do solo giram ao redor do eixo do planeta com velocidades tangenciais maiores, impondo ao ar das proximidades movimentos mais céleres.

Se os furacões fossem simétricos e permanecessem imóveis em relação ao solo, os ventos soprariam em posições equidistantes do olho com velocidades de mesma intensidade. Em razão de seu deslocamento paralelo à crosta, porém, os ventos em posições equidistantes do olho apresentam velocidades distintas em relação a um referencial terrestre, fruto da composição dos movimentos relativo e de arrastamento a que ficam sujeitas as massas de ar.

O furacão Andrew, que atingiu o estado da Flórida em agosto de 1992, foi o mais devastador já registrado nos Estados Unidos. O pior de todos até o momento, entretanto, foi o Mitch, que, em outubro e novembro de 1998, provocou verdadeira desolação em Honduras, Nicarágua, El Salvador, Guatemala e sul da Flórida, tendo sido classificado como de categoria 5 na escala de Saffir-Simpson, que vai de 1 a 5. O Katrina, de categoria 4, atingiu de forma contundente a cidade de Nova Orleans, no estado estadunidense de Luisiana, em agosto de 2005.

No Brasil, é comum a ocorrência de ciclones extratropicais, sobretudo na Região Sul, porém com ventos menos intensos que os de um ciclone tropical ou mesmo um furacão. Os ciclones extratropicais se formam em águas de temperaturas mais baixas, por volta de 24 ºC.

Um furacão oriundo das águas do Mar do Caribe, que aparece nesta fotografia de satélite obtida em setembro de 2004, ao adentrar a costa leste dos Estados Unidos, teve maior potencial destrutivo do lado direito do seu olho, já que, devido à composição dos movimentos relativo e de arrastamento, a velocidade dos ventos em relação ao solo nessa região foi maior que em posições simétricas do lado esquerdo.

Compreensão, pesquisa e debate

1. Junto com um colega, pesquise acerca das diferenças entre ciclones e furacões. Além disso, descubra o que são e como se formam os tornados. Compartilhe, com os demais colegas e o professor, as informações obtidas.

2. O número de ciclones extratropicais tem aumentado significativamente no Brasil, especialmente na Região Sul do país. Que teorias melhor justificam esse fato? Se necessário, peça orientação ao professor para realizar essa pesquisa. Professores de outras disciplinas também podem ser consultados.

80

UNIDADE 1 I CINEMÁTICA

=PG=81=

A Dinâmica é a parte da Física que estuda os movimentos considerando as causas que os produzem e modificam. Esse setor da Mecânica exige em sua apresentação outras grandezas além de comprimento e tempo. São necessários também os conceitos de massa, força, energia e quantidade de movimento, entre outros. 

=PG=82=

CAPÍTULO

5

PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

1. INTRODUÇÃO

Hoje, temos à nossa disposição muito mais tecnologia do que tinham as pessoas dos séculos passados. Dispomos atualmente de telefones celulares, laptops, tablets, TVs de plasma, entre outros itens que proporcionam nossa conectividade e conforto.

Mas de onde veio esse conhecimento que culminou em todas essas tecnologias que não param de evoluir? Ele surge com os primeiros humanos, seres inteligentes, que nunca pararam de inovar e aprimorar seus inventos.

Devemos, então, contemplar as eras passadas com respeito, gratidão e admiração, uma vez que a evolução do conhecimento ocorre de maneira interligada, com uma descoberta fomentando a aparição das próximas.

Vivemos em um Universo em movimento. Galáxias se movem; o mesmo acontece com estrelas, planetas etc. Uma pedra em queda, uma pessoa caminhando ou um elétron se movimentando no interior de um acelerador de partículas são situações de movimento que exigem análise e compreensão.

Os movimentos fascinam o espírito indagador humano desde os mais remotos tempos. Muitos pensadores formularam hipóteses na tentativa de explica-los. O filósofo grego Aristóteles apresentou teorias que vigoraram por muitos séculos, pois se adequavam ao pensamento religioso da época. Posteriormente, entretanto, suas ideias foram em grande parte refutadas por Galileu Galilei. Depois deste, seguiram-se Isaac Newton e Albert Einstein, que deram sustentação matemática às teorias já existentes e ampliaram o conhecimento sobre os movimentos.

A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda os movimentos, considerando os fatores que os produzem e modificam.

Nessa parte da Física, aparecem as leis que regem os movimentos, envolvendo os conceitos de massa, força e energia, entre outros. Em nosso estudo, abordaremos a chamada Mecânica Clássica, que é baseada nos pensamentos de Galileu e Newton. Apresentaremos em Física Moderna os fundamentos da Mecânica Relativística de Einstein.

Aristóteles (384 a.C.‑322 a.C.). Considerado um dos maiores pensadores do Ocidente, nasceu na Grécia, na cidade de Estagira (hoje em dia, Stavros), dominada na época pelos macedônios. Discípulo de Platão, durante grande parte da sua vida viveu em Atenas, onde produziu uma obra de importância fundamental para o desenvolvimento do pensamento humano, abrangendo praticamente todos os assuntos de interesse para a Filosofia e a Ciência. Seus postulados constituem a base da lógica e muitas de suas citações sobre os movimentos tiveram, no mínimo, relevância histórica, já que estimularam outros pensadores a iniciar uma discussão mais fundamentada sobre o assunto.

Galileu Galilei (1564‑ ‑1642). Italiano de Pisa, é considerado o fundador da Ciência Moderna pela introdução o método científico – compreensão e comprovação das leis da natureza por meio da experimentação sistemática. Estudou a queda dos corpos e inventou uma série de instrumentos científicos ligados à Hidrostática e à Astronomia. Desenvolveu o telescópio, que lhe permitiu observar a Lua, os anéis de Saturno, os satélites de Júpiter e as manchas solares. Deu forte apoio à teoria heliocêntrica de Copérnico, o que lhe custou enfrentamentos com a Igreja.

UNIDADE 2 I DINÂMICA

=PG=83=

Na Cinemática, estudamos diversas situações em que a aceleração vetorial não é nula, ou seja, as partículas movimentam-se com velocidade vetorial variável. É o que acontece, por exemplo, nos movimentos acelerados, em que há aumento do módulo da velocidade no decorrer do tempo. Entretanto, esses movimentos de aceleração não nula foram apresentados sem que fosse feita uma pergunta fundamental: quem é o agente físico causador da aceleração? E a resposta aqui está: é a força.

Somente sob a ação de uma força é que uma partícula pode ser acelerada, isto é, pode experimentar variações de velocidade vetorial ao longo do tempo.

Força é o agente físico cujo efeito dinâmico é a aceleração.

Os dragsters são veículos capazes de arrancar com acelerações muito elevadas, se comparadas às dos carros comuns, conseguindo atingir 500 km/h em apenas 8 s, depois de partirem do repouso. Isso se deve a um motor especial, de grande potência, instalado em uma estrutura leve e de aerodinâmica adequada. Para obter essa aceleração, os dragsters requerem uma força propulsora externa que é aplicada pelo solo sobre as rodas motrizes traseiras.

3. CONCEITO DE FORÇA RESULTANTE

Consideremos o arranjo experimental representado na figura a seguir, em que um bloco, apoiado em uma mesa horizontal e lisa, é puxado horizontalmente pelos garotos A e B.

O garoto A puxa o bloco para a direita, aplicando-lhe uma força 

Isaac Newton (1642‑1727). Inglês, natural de Woolstorpe, fundamentou‑ ‑se nos trabalhos de Galileu para apresentar as leis do movimento em seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Elaborou a extremamente importante Lei da Atração das Massas, que deu à Física e à Astronomia explicações essenciais. Formulou teo rias sobre Óptica e estudou a decomposição da luz branca em prismas. Ao perceber que a matemática da época era insuficiente para descrever completamente os fenômenos físicos conhecidos, desenvolveu o Cálculo Diferencial e Integral, abrindo novos horizontes aos pesquisadores.

Albert Einstein (1879‑ ‑1955). Alemão de Ulm, publicou, em 1905, a Teoria da Relatividade ao descobrir que os princípios da Mecânica Clássica de Galileu e Newton eram inadequados para descrever movimentos de corpos a velocidades próximas à da luz no vácuo (aproximadamente 3,0 10 8 m/s). Em sua teoria, os conceitos de comprimento, massa e tempo adquirem caráter relativo, já que dependem da velocidade do corpo considerado. Einstein, homem genial, foi distinguido com o Nobel de Física, em 1921, por trabalhos sobre o efeito fotoelétrico.

Princípios da Dinâmica I CAPÍTULO 5 83

=PG=84=

Se apenas A puxasse o bloco, este seria acelerado para a direita, com aceleração 

Supondo que A e B puxem o bloco conjuntamente, observaremos como produto final uma aceleração  , que poderá ter características diversas. Tudo dependerá da intensidade de  A comparada à de  B:

• se 

• se , teremos   = 0 ;

• se 

A força resultante de  e  equivale a uma força única que, atuando sozinha, imprime ao bloco a mesma aceleração    que  e  imprimiriam se agissem em conjunto.

Considere a partícula da figura ao lado submetida à ação de um sistema de n forças.

A resultante () desse sistema de forças é a soma vetorial das n forças que o compõem:

É fundamental destacar, porém, que a resultante F não é uma força a mais a agir na partícula; F é apenas o resultado de uma adição vetorial.

4. EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA

Dizemos que uma partícula está em equilíbrio em relação a um dado referencial quando a resultante das forças que nela agem é nula.

Distinguem-se dois tipos de equilíbrio para uma partícula: equilíbrio estático e equilíbrio dinâmico.

Equilíbrio estático

Dizemos que uma partícula está em equilíbrio estático quando se apresenta em repouso em relação a um dado referencial.

Estando em equilíbrio estático, uma partícula tem velocidade vetorial constante e nula (  = constante =  ).

Considere, por exemplo, a situação da figura abaixo, em que um homem pendurou no teto de uma sala uma pequena esfera, utilizando um cordão. Suponha que ele tenha associado a um dos cantos da sala um referencial cartesiano, formado pelos eixos x (abscissas), y (ordenadas) e z (cotas).

Se a posição da esfera é invariável em relação ao referencial adotado, temos uma situação de equilíbrio estático. A esfera está em repouso (velocidade vetorial nula) e a resultante das forças que nela agem é nula.

Equilíbrio dinâmico

Dizemos que uma partícula está em equilíbrio dinâmico quando se apresenta em movimento retilíneo e uniforme (MRU) em relação a um dado referencial.

Estando em equilíbrio dinâmico, uma partícula tem velocidade vetorial constante e não nula (  = constante  ).

Considere, por exemplo, uma rampa seguida de uma plataforma plana, horizontal e infinitamente longa. Uma partícula parte do repouso no ponto A, desce a rampa em movimento acelerado e atinge a plataforma horizontal.

Por algum tempo, a partícula percorre a plataforma até parar. Por que a partícula para? Isso se deve às forças resistentes que se opõem ao seu movimento: a força de atrito, entre a partícula e a superfície da plataforma, e a força de resistência exercida pelo ar.

84

UNIDADE 2 I DINÂMICA

=PG=85=

Se fosse possível eliminar completamente o atrito e a resistência do ar, o que ocorreria se, mais uma vez, a partícula fosse abandonada no ponto A? Agora ela desceria a rampa aceleradamente e, na plataforma horizontal, se moveria indefinidamente, já que a plataforma é suposta infinita. Durante o movimento na plataforma, a partícula estaria livre da ação de uma força resultante. Assim, não haveria força alguma favorecendo o movimento ou opondo-se a ele. Sob resultante nula, a partícula seguiria com velocidade vetorial constante e não nula, isto é, seguiria em movimento retilíneo e uniforme.

Nas condições do último caso, temos, no trecho horizontal, uma situação de equilíbrio dinâmico.

Outro exemplo em que se pode analisar o equilíbrio dinâmico é o lançamento de uma nave espacial da Terra rumo a um astro distante. Inicialmente seu movimento é acelerado sob a ação dos sistemas propulsores em franco funcionamento.

Ao atingir regiões do espaço onde as influências gravitacionais são desprezíveis, entretanto, os sistemas propulsores podem ser desligados. Com esses sistemas desligados a nave não para; segue em movimento retilíneo e uniforme, mantendo constante a velocidade que tinha no instante do desligamento. Livre de ações gravitacionais significativas e com os sistemas propulsores desligados, a nave está em equilíbrio dinâmico.

5. CONCEITO DE INÉRCIA

Inércia é a tendência dos corpos em conservar sua velocidade vetorial.

Exemplifiquemos o conceito de inércia abordando uma situação conhecida de todos: trata-se do corriqueiro caso do passageiro que viaja de pé no corredor de um ônibus.

Suponhamos que o ônibus esteja parado diante de um semáforo. Quanto valem as velocidades do ônibus e do passageiro em relação à Terra? Zero! Então, o ônibus arranca e, como se diz na linguagem cotidiana, o passageiro é “jogado para trás”. Nesse momento, ele está manifestando inércia de repouso, pois tende a continuar, em relação à Terra, parado no mesmo lugar. É importante frisar que, em relação à Terra, o passageiro não foi “jogado para trás”: na realidade, seu corpo apenas manifestou uma tendência de manter a velocidade nula.

Vamos supor ainda que o ônibus esteja viajando por uma estrada retilínea, plana e horizontal, com velocidade de 60 km/h. Quanto vale a velocidade do passageiro, nesse caso, em relação à Terra? Também 60 km/h. Então, o ônibus freia bruscamente e o passageiro é “atirado para a frente”. Nessa situação, ele está manifestando inércia de movimento, pois tende a continuar, em relação à Terra, com a mesma velocidade (60 km/h), em movimento retilíneo e uniforme. É importante destacar que, em relação à Terra, o passageiro não foi “atirado para a frente”: na realidade, seu corpo apenas manifestou uma tendência de manter a velocidade anterior à freada.

Princípios da Dinâmica I CAPÍTULO 5 85

=PG=86=

Tudo o que possui matéria tem inércia. A inércia é uma característica própria da matéria.

Para que as tendências inerciais de um corpo sejam vencidas, é necessária a intervenção de força externa.

6. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA

(1 a LEI DE NEWTON)

Este princípio está implícito nas seções anteriores. Vamos agora formalizá-lo por meio de dois enunciados equivalentes.

Primeiro enunciado

Se a força resultante sobre uma partícula é nula, ela permanece em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, por inércia.

Como exemplo, admitamos um grande lago congelado, cuja superfície é perfeitamente lisa, plana e horizontal. No local, não há presença de ventos e a influência do ar é desprezível. Em um caminhão parado no meio do lago, a força resultante é nula. Se o motorista tentar arrancar com o veículo, não conseguirá, pois, por causa da inexistência de atrito, o caminhão permanecerá “patinando”, sem sair do lugar.

Vamos supor, no entanto, que alguma força externa coloque o caminhão em movimento e, imediatamente, pare de atuar sobre ele. Após isso, a velocidade do veículo será constante, ou seja, ele seguirá em linha reta, em movimento uniforme. Se o motorista virar o volante para qualquer lado ou acionar os freios, nada ocorrerá. Pelo fato de a força resultante ser nula, o movimento do caminhão não será afetado.

Segundo enunciado

Um corpo livre de uma força externa resultante é incapaz de variar sua própria velocidade vetorial.

Para entender o Princípio da Inércia nesse ponto de vista, analisemos o próximo exemplo.

Na figura a seguir, está representada uma superfície plana, horizontal e perfeitamente lisa, sobre a qual um bloco, ligado à superfície por um fio inextensível, realiza um movimento circular e uniforme (MCU) em torno do centro O.

Nesse caso, embora tenha módulo constante, a velocidade vetorial do bloco varia em direção de um ponto para outro ponto da trajetória. Quem provoca essa variação na direção da velocidade do bloco? É a força aplicada pelo fio que, em cada instante, tem a direção do raio da circunferência e está dirigida para o centro O. É ela que mantém o bloco em movimento circular.

Suponha que, em dado instante, o fio se rompa. O bloco “escapará pela tangente”, passando a descrever, sobre a superfície, um movimento retilíneo e uniforme (MRU).

86

UNIDADE 2 I DINÂMICA

=PG=87=

Note que, para variar a velocidade vetorial de um corpo, é necessária a intervenção de uma força resultante, fruto das ações de agentes externos ao corpo. Sozinho (livre de força resultante externa), um corpo em movimento mantém, por inércia, velocidade vetorial constante.

FAÇA você mesmo

Observando a inércia de repouso de uma moeda

Manifestações da inércia dos corpos podem ser notadas em diversas ocorrências do dia a dia, como na situação que propomos a seguir.

Material necessário

• 1 moeda de 1 real ou equivalente;

• 1 placa retangular bem lisa, de acrílico ou papelão;

Procedimento

I. Coloque a moeda sobre a placa e esta sobre a boca do copo, apoiando todo o conjunto em cima de uma mesa. Cuide para que durante o procedimento o copo não se desloque.

• 1 copo de vidro transparente.

II. Puxe vigorosa e rapidamente a placa, na direção horizontal. Você perceberá a moeda cair dentro do copo, atingindo seu fundo.

Analisando o experimento

1. Com base nos conceitos de força resultante e peso, e também na 1 a Lei de Newton (Princípio da Inércia), redija uma explicação para o fenômeno observado. Compare seu texto com o de seus colegas e discuta os resultados obtidos.

2. Se a placa retangular fosse bastante áspera, ainda assim a moeda cairia dentro do copo?

3. Se você puxasse a placa retangular lentamente, ainda assim a moeda cairia dentro do copo?

4. Enumere outras situações práticas similares à da atividade experimental proposta que você já tenha vivenciado em seu dia a dia.

5. Considere um enorme bloco de gelo em forma de paralelepípedo apoiado sobre a carroceria de um caminhão inicialmente em repouso em uma estrada reta, plana e horizontal. Despreze qualquer atrito entre o gelo e a superfície de apoio, bem como a resistência do ar. Admita ainda que a carroceria do veículo consista simplesmente de uma plataforma plana paralela ao solo. Se o caminhão arrancar, imprimindo um movimento acelerado, o que ocorrerá com o bloco de gelo? Justifique sua resposta com base em princípios físicos.

Princípios da Dinâmica I CAPÍTULO 5 87

=PG=88=

AMPLIANDO O OLHAR

Newton versus Einstein

As concepções de Isaac Newton fecharam harmoniosamente um momento de verdadeira gênese da Física, liderada por Copérnico, Kepler e Galileu. Newton publicou, em 1687, sua obra-mestra, Principia, em que, fundamentado nos trabalhos de seus predecessores, teceu considerações filosóficas e formulou suas três consagradas leis, além da Lei da Gravitação. Ele se mostrou humilde e reverente em reconhecer a fundamentalidade dessas três figuras, dizendo: “Se enxerguei mais longe foi porque subi em ombros de gigantes”.

A chamada Física Clássica, que teve seu apogeu entre os séculos XVI e XIX, explica satisfatoriamente os fatos que ocorrem na escala humana, isto é, no mundo macroscópico e ponderável. O equilíbrio de estruturas, o movimento de animais e corpos terrestres de dimensões métricas e o escoamento de fluidos, tudo isso, entre outras coisas, é descrito de forma convincente por meio de leis primordiais que se baseiam essencialmente no conceito de força.

Os preceitos formulados pelo grego Arquimedes no século III a.C. explicam o comportamento de alavancas, parafusos e outras máquinas simples, além de objetos submetidos à ação da força de empuxo, inerente a situações de imersão em líquidos e gases. Galileu Galilei (1564-1642), por sua vez, rompeu com a simplória conduta empirista, baseada meramente em observações, substanciando suas explicações com linguagem matemática, como pode ser notado em seus escritos sobre a queda dos corpos e hidrostática. Já Isaac Newton (1642- 1727) deu um passo além ao incorporar definitivamente a Matemática à Física e formular a Lei da Gravitação, que trouxe explicações essenciais a uma melhor compreensão do movimento dos astros catalogados até sua época.

A eficiência da Física Clássica em explicar os fenômenos conhecidos era tamanha que, em meados do século XIX, muitos cientistas, ainda privados dos prodígios que apareceriam mais tarde com o advento dos equipamentos elétricos, foram levados a um momento de acomodação ao acreditarem que não haveria nada mais a ser desvendado. Isso certamente foi um equívoco!

Hoje em dia, veículos convencionais e dispositivos utilizados para diversos fins operam conforme as regras da Física Clássica. Também a primeira viagem tripulada à Lua, ocorrida em julho de 1969, baseou-se quase exclusivamente nas imposições e tecnologias egressas da Mecânica Newtoniana.

No princípio do século XX, porém, iniciou-se uma nova era – a da Física Moderna –, mais voltada para o conceito de energia, agora definitivamente estabelecido. Essa etapa foi catalisada por melhores instrumentos experimentais, movidos a eletricidade, e outros recursos, como os aceleradores de partículas, que colaboraram para trazer à luz situações cuja descrição não se coadunava com as leis anteriormente propostas. Fenômenos como o da emissividade do corpo negro, analisado pelo alemão Max Planck (1858-1947), e do efeito fotoelétrico, descrito brilhantemente por Albert Einstein (1879-1955), mostraram os limites da Física Clássica, que se apresentava cada vez mais impotente para explicar as ocorrências do recém-descoberto mundo quântico.

Isso desencadeou nas cinco primeiras décadas do século XX, principalmente, uma verdadeira corrida científica em que, além de Planck e Einstein, algumas figuras se notabilizaram, como Ernest Rutherford, Madame Marie Curie, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Louis de Broglie, entre outras.

Mas os trabalhos de Einstein foram realmente decisivos para o que viria a seguir. O cientista jamais imaginou que sua explicação do efeito fotoelétrico lhe renderia um Prêmio Nobel, em 1921, nem que conduziria os mentores das futuras tecnologias a construir sistemas capazes de abrir e fechar portas automaticamente ou acender e apagar lâmpadas sem a ação humana. Calculadoras eletrônicas, fotômetros

Page 3

Neste boxe, você verá imagens fotográficas acompanhadas de títulos instigadores. Esses títulos são propostos quase sempre em forma de perguntas ou simples provocações, cujo objetivo é motivá-lo a fazer a leitura do conteúdo, estabelecendo conexões com situações do cotidiano.

Ampliando o olhar

Nesta seção, você encontrará textos complementares cuja intenção é propor outras referências fenomenológicas, históricas e tecnológicas, além de curiosidades e justificativas que poderão contribuir para a construção do conhecimento da Física e sua relação com outras áreas do conhecimento.

Em busca de explicações

Nos textos propostos nesta seção, você verá questionamentos e problematizações interessantes acompanhados de uma explicação da Física, ou de verificações matemáticas.

Page 4

INTRODUÌO Ë Física

=PG=17=

pensou nisto

Pensando o sistema inglês

Converse com seus colegas e procure identificar o que precisaria acontecer para que os brasileiros e todos os demais povos pudessem substituir o sistema inglês pelo SI na aquisição de televisores e aparelhos de ar‑condicionado, na calibração de pneus, na navegação aérea e marítima etc.

6. ORDEM DE GRANDEZA

Observe as potências de dez: 10 –2 , 10 –1 , 10 0 , 10 1 , 10 2 , 10 3 e 10 4 .

Se você quiser escolher uma delas para melhor representar, em centímetros, a altura de uma geladeira, qual escolherá?

Certamente, escolherá 10 2 , pois 10 2 cm é igual a 100 cm, o que equivale a 1 m.

Perceba que 10 1 e 10 3 fogem muito da realidade já que não é nada comum uma geladeira com altura próxima de 10 cm ou de 1 000 cm (dez metros)!

A potência de dez que melhor representa uma grandeza é denominada ordem de grandeza da grandeza.

Assim, em centímetros, a ordem de grandeza da altura de uma geladeira é 10 2 , não importando se sua altura é 160 cm, 180 cm ou 200 cm, por exemplo.

A ordem de grandeza, apesar de ser uma “aproximação da aproximação”, é importante em todas as ciências naturais.

Não se sabe, por exemplo, qual é o tamanho de um elétron. Entretanto, um experimento realizado em mecânica quântica revela indícios de que ele mede menos que 10 –16 m, o que já é um começo do conhecimento.

Se perguntarem qual é a espessura de uma folha de papel deste livro, sem um instrumento de grande precisão você não saberá responder. Entretanto, sem usar instrumento nenhum, é possível fazer uma estimativa.

Separe um conjunto de folhas que você julgue ter 1 cm de espessura, conte o número de folhas do conjunto e faça um cálculo.

O autor fez isso, tomando um conjunto de folhas da página 115 à 275: o número de páginas é 160 (275 – 115), mas o número de folhas é 80 – a metade de 160 – porque cada folha tem duas páginas.

Em seguida, dividiu 1 cm por 80 folhas:

Portanto, a ordem de grandeza da espessura da folha é 10 -2  cm, já que a potência de 10 mais próxima de 1,25 é 10 0 , que é igual a 1.

Note que manter o 1,25 seria uma falsa informação de precisão, uma vez que o julgamento da grossura do conjunto das 80 folhas foi feito a olho.

Destaque‑se que conhecer simplesmente a ordem de grandeza – uma potência de dez – é muito bom quando se trata de mera estimativa.

Físicos, químicos, biólogos e outros cientistas de áreas afins lidam muito com ordens de grandeza, principalmente quando precisam fazer estimativas rápidas. Exemplo:

O diâmetro médio de uma célula de nosso corpo é da ordem de 10m (10-5 m). Determine a ordem de grandeza da quantidade de células em um ser humano adulto. Resolução: Tratando‑se de uma estimativa, vamos imaginar uma célula como um pequeno cubo de aresta da ordem de 10-5 m. Assim, a ordem de grandeza do volume de uma célula é (10-5 m) 3 , que é igual a 10 -15 m 3 .

Um adulto modelado por um prisma.

O volume desse adulto é dado pela multiplicação: 30 cm 20 cm  1,7 m = 0,3 m0,2 m  1,7 m = 3  10 -1 m  2  10 -1 m  1,7 m = 1,02  10 -1 m 3 .

Antes de continuar, perceba que, em meio a tanta imprecisão, não faz sentido preocupar‑se com os algarismos significativos!

Continuando, concluímos que a ordem de grandeza do volume desse adulto é 10 -1 m 3 .

Vamos, finalmente, determinar a ordem de grandeza da quantidade de células que cabe em 10 -1 m 3 :

A Física 17

=PG=18=

A MECÂNICA, UMA DAS PARTES DA FÍSICA

1. MECÂNICA

Astros girando em torno de outros astros, meteoroides caindo na atmosfera de nosso planeta, brisas levando jangadas da terra para o mar ou do mar para a terra, vendavais e furacões ocorrendo aqui e acolá, pessoas caminhando pelas ruas, atletas correndo em provas esportivas, veículos trafegando nas estradas, águas descendo rios, sangue correndo em nossas artérias e veias, ondas propagando‑se na superfície da água, ondas sonoras que saem de um alto‑falante e chegam aos ouvintes, uma quantidade imensa de ondas eletromagnéticas (luz visível, ultravioleta, infravermelha, micro‑ondas, entre outras) passando por nós, átomos e moléculas em agitação no interior dos corpos, elétrons percorrendo fios condutores em circuitos elétricos, partículas atingindo rapidez extraordinária nos aceleradores de partículas. Em todas as situações citadas, que são apenas alguns exemplos entre tantos, está presente o conceito de movimento, ou seja, em todas elas algo está mudando de lugar.

Também vemos, em nosso cotidiano, corpos que não estão em movimento, isto é, corpos que não saem do lugar em que estão. Dizemos que esses corpos estão em repouso. É o caso, por exemplo, das nossas casas e dos postes de distribuição de energia elétrica.

Neste livro trataremos da Mecânica Clássica, que, para abreviar, chamaremos simplesmente de Mecânica.

A Mecânica é a parte da Física que estuda o movimento e o repouso dos corpos, sem levar em conta os movimentos microscópicos que acontecem no interior deles, como oscilações de núcleos atômicos e movimentos de elétrons. Assim, a Mecânica estuda, por exemplo, o movimento de um avião, mas não trata do movimento de agitação de seus átomos e moléculas. Apesar desse enfoque limitado, ela fornece subsídios fundamentais para as demais áreas da Física.

Desde a Antiguidade, o ser humano preocupa‑se em explicar os fenômenos que ocorrem na natureza. O movimento dos corpos foi alvo das primeiras atenções. A Mecânica é a mais antiga das partes da Física, contudo não se sabe ao certo quando começou seu desenvolvimento.

Podemos citar Aristóteles, Arquimedes, Ptolomeu, Copérnico, Galileu, Kepler e Newton como alguns dos grandes expoentes na evolução da Mecânica. Einstein também deu passos gigantescos, porém já na era da chamada Física Moderna.

2. AS PARTES DA MECÂNICA

Thinkstock/Getty Images

Vista aérea de complexo viário em Los Angeles, Califórnia.

Ela mostra, em um certo momento, veículos em movimento retilíneo e veículos em movimento curvilíneo. Certamente alguns estão mais velozes que outros.

A partir do instante em que essa fotografia foi tirada, é possível que, durante algum tempo, certos veículos tenham mantido sua velocidade e que outros tenham se tornado mais rápidos ou mais lentos.

A descrição de tudo isso, qualitativa e quantitativamente, é feita por meio de conceitos e grandezas definidos em uma parte da Mecânica denominada Cinemática.

Page 5

UNIDADE 1 I CINEMÁTICA

=PG=29=

Dessa maneira, por meio de um sinal ( + ou - ) atribuído aos espaços, distinguimos as posições à direita de O das posições à esquerda desse ponto, de modo análogo ao que se faz com a reta numérica em Matemática.

Agora podemos responder à pergunta formulada. Se a partícula estiver no ponto A, seu espaço será: s A = + 2 m (o sinal de + pode ser omitido). Se estiver em B, seu espaço será: s B = - 2 m. E, obviamente, se ela estiver em outro lugar, seu espaço terá outro valor.

Se fosse adotada outra orientação para a trajetória, como está indicado na figura a seguir, os sinais dos espaços ficariam trocados.

Espaço(s) de uma partícula é a grandeza que determina sua posição em relação à trajetória, posição esta dada pelo comprimento do trecho de trajetória compreendido entre a partícula e o ponto O, acrescido de um sinal positivo ou negativo, conforme a região em que ela se encontra. O ponto O é denominado origem dos espaços. Note que a orientação da trajetória indica o sentido dos espaços crescentes.

Símbolos de unidades e símbolos de grandezas

As unidades de medida das grandezas têm símbolos bem determinados. O Sistema Internacional de Unidades estabelece, por exemplo, que o símbolo do metro é m e o do quilograma é kg. As grandezas, entretanto, não têm símbolos oficiais. Assim, cada grandeza pode ser simbolizada por qualquer letra. Por isso, podemos encontrar a grandeza espaço simbolizada pelas letras e, s, x, y, entre outras.

Variação de espaço (ou deslocamento escalar)

Observe, na figura a seguir, uma partícula que se desloca do instante t 1 , em que o espaço vale s 1 , até o instante t 2 , em que o espaço vale s 2.

Ilustra•›es: CJT/Zapt

A variação de espaço s (lê-se “delta esse”) entre t 1 e t 2 é dada por:

s =

Das duas posições consideradas, uma é inicial e outra é final. Assim, a variação de espaço é o espaço na posição final menos o espaço na posição inicial.

É importante notar que, se a posição inicial e a posição final coincidirem, teremos s  igual a zero. Se a partícula mover-se no sentido da trajetória, s 2 será maior que s 1 e, portanto, s  será positivo. Entretanto, se a partícula mover-se em sentido contrário ao da trajetória, s 2 será menor que s 1 e, assim, s  será negativo.

Diversas grandezas escalares podem assumir valores positivos ou negativos. Chama-se módulo ou valor absoluto da grandeza o número, sem sinal, acompanhado da unidade de medida (símbolo do módulo: | |).

Distância percorrida

Distância percorrida é uma grandeza que informa quanto a partícula percorreu entre dois instantes, devendo ser calculada sempre em valor absoluto.

É preciso considerar dois casos:

1 o caso: A partícula desloca-se sempre em um mesmo sentido

Iniciação à cinemática escalar e movimento uniforme I CAPÍTULO 1 29

Nesse caso, a distância percorrida é igual ao módulo da variação do espaço.

Na primeira figura, s  é positivo. Na segunda, s  é negativo. Entretanto, nas duas figuras, temos:

distância percorrida = |s|

2 o caso: A partícula inverte o sentido de seu movimento

Nesse caso, a distância percorrida é calculada adicionando-se os módulos da variação de espaço em cada sentido, isto é, o s  na ida com o s  na volta, ambos tomados em módulo:

distância percorrida = |s ida | + |s volta|

NOTA

Nos dois casos, a distância percorrida é o d usado na definição de rap m .

9. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

Observe as cenas representadas a seguir.

De acordo com as figuras, um automóvel partiu às 6 horas da manhã de uma cidade situada no km 10 de uma rodovia. Seguindo por essa rodovia, esse automóvel chegou às 10 horas da mesma manhã ao seu destino, que era outra cidade situada no km 250. Analisando esses dados, concluímos que a variação de espaço do automóvel foi de 240 km (s = 250 km - 10 km = 240 km) num intervalo de tempo de 4 horas (t = 10 h - 6 h = 4 h). Assim, podemos afirmar que, em média, a variação de espaço foi de 60 km por hora. Essa grandeza é denominada velocidade escalar média e simbolizada por v m.

Page 6

UNIDADE 1 I CINEMÁTICA

=PG=41=

Gráficos: CJT/Zapt 

2. ACELERAÇÃO ESCALAR

Para comparar o desempenho de automóveis, são realizados testes em pistas de prova.

Suponha que dois automóveis, A e B, tenham sido testados em uma mesma pista.

Dirigindo o veículo A, o piloto de provas conseguiu uma variação de velocidade escalar de 0 km/h a 100 km/h, em aproximadamente 40 s.

Dividindo essa variação (100 km/h) pelo intervalo de tempo (40 s) em que ela ocorreu, obtemos:

Uma interpretação imediata desse resultado poderia ser: em cada segundo da duração do teste, a velocidade escalar do veículo A sempre variou 2,5 km/h. Isso, entretanto, é pouco provável.

É muito mais provável que em alguns segundos a variação da velocidade escalar tenha sido maior e, em outros, menor que 2,5 km/h.

Assim, o resultado

Ao testar o veículo B, o piloto conseguiu uma variação de velocidade escalar, de 0 km/h a 100 km/h, em cerca de 10 s.

Observe que a variação da velocidade foi igual à do teste anterior (100 km/h), mas aconteceu em um intervalo de tempo menor (10 s).

Dividindo a citada variação pelo intervalo de tempo, obtemos:

Esse resultado, que é a aceleração escalar média do automóvel B no teste realizado, significa que a velocidade escalar desse veículo variou, em média, 10 km/h em cada segundo.

Portanto, a velocidade escalar de B variou mais rapidamente que a de A, e por isso o desempenho de B, nesse aspecto, é melhor que o de A.

Formalizando a definição da aceleração escalar média, que vamos simbolizar por  m

(lê-se “alfa m”), temos:

Page 7

• Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores-parcelas não altera o vetor-soma.

• Se a linha poligonal dos vetores-parcelas for fechada, então o vetor-soma será nulo, como ocorre no caso da soma dos vetores  ,

  +   =

Vetores e cinemática vetorial I CAPÍTULO 4 61

=PG=62=

Adição de dois vetores

Considere os vetores  e  na figura 1. Admitamos que seus segmentos orientados representativos tenham “origens” coincidentes no ponto O e que o ângulo formado entre eles seja.

Na figura 2 foi feita a adição +pela regra do polígono: 

Observe que o segmento orientado representativo do vetor resultante s nada mais é que a diagonal do paralelogramo formado ao traçarmos linhas paralelas aos vetores.

Assim, dados dois vetores, é sempre possível obter graficamente o vetor-soma (resultante) pela regra do paralelogramo: fazemos que os segmentos orientados representativos dos vetores tenham “origens” coincidentes; da ponta aguçada do segmento orientado que representa um dos vetores, traçamos uma paralela ao segmento orientado que representa o outro vetor e vice-versa; o segmento orientado representativo do vetor resultante está na diagonal do paralelogramo obtido.

Nota-se que o módulo do vetor-soma (resultante) s pode ser obtido aplicando-se uma importante relação matemática denominada Lei dos cossenos ao triângulo formado pelos segmentos orientados representativos de ,  e .

Sendo a o módulo de , b o módulo de   e s o módulo de , temos:

=

Mas: =

Assim: =

Subtração de dois vetores

Considere os vetores  e  representados na figura abaixo. Admita que os segmentos orientados representativos de  e  tenham “origens” coincidentes no ponto O e que o ângulo formado entre eles seja.

O vetor diferença entre  e 

O oposto do vetor , ou seja, o vetor -, tem mesmo módulo e mesma direção de , porém sentido contrário, o que será justificado um pouco mais à frente.

Graficamente, temos:

O vetor  fica então representado na figura 1 como aparece a seguir. 

O módulo de  também fica determinado pela Lei dos cossenos.

=

Variação de uma grandeza vetorial

A subtração de dois vetores tem caráter fundamental no estudo da Física.

A variação de uma grandeza vetorial qualquer (, por exemplo) é obtida subtraindo-se a grandeza inicial (

=

62

UNIDADE 1 I CINEMÁTICA

=PG=63=

Determinemos agora as características da variação 

A direção e o sentido de estão caracterizados na figura abaixo.

A intensidade de  é determinada pela Lei dos cossenos: 

=

=

Observe que, nesse exemplo, a intensidade da variação da velocidade vetorial ( 72 km/h) é diferente do módulo da variação da velocidade escalar (20 km/h).

Suponha que um tenista receba a bola com velocidade horizontal 

= =

A intensidade de  é obtida por: 

Decomposição de um vetor

Considere o vetor , representado na figura ao lado, e as retas x e y que se intersectam no ponto O, “origem” de .

Conforme a regra O do paralelogramo, podemos imaginar que o vetor  é o resultante da soma de dois vetores, 

Os vetores  e  são, portanto, componentes do vetor a nas direções x e y.

Incita especial interesse, entretanto, o caso particular das componentes do vetor a contidas em duas retas x e y perpendiculares entre si. 

Levando em conta a regra do paralelogramo, teremos as componentes  x e , representadas na figura anterior. Observando o triângulo retângulo destacado na figura e sendo a x o módulo de  , a y o módulo de , a o módulo de 

Teorema de Pitágoras: 

Exemplo: Nesta situação, estão calculadas as intensidades das componentes x e y da força  representada na figura: y

Consideremos os seguintes dados:

F = 20 N; sen 37° = 0,60; cos 37° = 0,80.

Vetores e cinemática vetorial I CAPÍTULO 4 63

=PG=64=

F x = F cos 37°  F x = 20 0,80 (N)F x = 16 N

F y = F sen 37°  F y = 20 0,60 (N)  F y =12 N

Por outro lado, a Lei dos senos, que estabelece a proporcionalidade entre a medida do lado de um triângulo qualquer e o seno do ângulo oposto a ele, pode ser muito útil no estudo dos vetores.

Considere, por exemplo, o triângulo ao lado, cujos lados medem a, b e c e cujos ângulos α, β e são ângulos internos desse triângulo, opostos respectivamente aos b lados de medidas a, b e c. c

A Lei dos senos estabelece que:

Multiplicação de um número real por um vetor

O produto de um número real n, não nulo, por um vetor 

Exemplo 1:

Admitamos, por exemplo, n = 3. Sendo   o vetor representado na figura, determinamos o vetor

Exemplo 2:

Consideremos n= . Sendo 

Exemplo 3:

Façamos n=. Sendo 

QUESTÕES COMENTADAS

1 Num plano α, temos dois vetores  e  com origens coincidentes, formando um ângulo . Se os módulos de  e  são, respectivamente, iguais a 3 u e 4 u, determine o módulo do vetor-soma em cada um dos casos seguintes: a) =0° b) =90° c) =180° d) =60°

RESOLUÇÃO

a) Se o ângulo formado pelos vetores é 0°, eles possuem a mesma direção e o mesmo sentido: 

Sendo s o módulo do vetor-soma, temos, pela Lei dos cossenos:

=

=

Assim: s = 3+4

b) Se =90°, e s é o módulo do vetor-soma, temos, pela Lei dos cossenos:

=

=

Podemos calcular s aplicando o Teorema de Pitágoras: 

=

c) Se o ângulo formado pelos vetores é 180°, eles possuem a mesma direção, mas sentidos opostos:

Sendo s o módulo do vetor-soma temos, pela Lei dos cossenos:

=

=

Assim: s = 4 – 3

d) Para =60°, aplicando a Lei dos cossenos, obtemos:

=

=

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