Barisan dan Deret yang mempunyai jumlah; 5. menghitung jumlah deret geometri tak hingga; 6. menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma; 7. menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika atau geometri; 8. merumuskan dan menyelesaikan deret yang merupakan model matematika dari masalah; 9. menjelaskan rumusrumus dalam hitung keuangan dengan deret aritmetika atau geometri; 10.menentukan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas. Sumber: www.exterpassive.com Barisan dan Deret Motivasi Pernahkah kalian mengamati lingkungan sekitar? Di sekeliling kalian tentulah banyak terjadi hal-hal yang bersifat rutin. Kejadian rutin adalah kejadian yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu. Amati pola susunan biji pada bunga matahari. Amati pola pertumbuhan populasi makhluk hidup tertentu. Kedua contoh itu sebenarnya membentuk pola keteraturan tertentu berupa barisan. Kita dapat memperkirakan suku pada waktu tertentu. Salah satunya adalah keteraturan populasi makhluk hidup. Untuk menghitung dan memperkirakannya, diperlukan suatu cara tertentu agar lebih mudah menyelesaikannya, yaitu dengan konsep barisan dan deret. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) 154 Khaz Matematika SMA 3 IPS Peta Konsep Barisan dan Deret mempelajari Barisan Deret Notasi Sigma terdiri atas membahas terdiri atas Aritmetika Sifat-Sifat Notasi Sigma Geometri Aritmetika Geometri Hitung Keuangan Geometri Tak Berhingga meliputi Bunga Tunggal Bunga Majemuk Anuitas Kata Kunci • • • • • • • • angsuran anuitas barisan barisan berhingga batas atas batas bawah beda bunga • • • • • • • • bunga majemuk bunga tunggal deret deret tak hingga jumlahan Riemann konvergen modal periode bunga • • • • • • • pola bilangan rasio sigma suku suku awal suku ke-n suku tetap Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Barisan dan Deret 155 Sebelumnya, kalian pernah belajar barisan dan deret ketika duduk di bangku SMP. Pada pokok bahasan ini akan dibahas secara mendalam tentang barisan dan deret, serta hal-hal yang terkait dengan barisan dan deret. Kemudian, akan dijelaskan tentang kegunaan barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari. Sebelum kalian mempelajari materi ini secara mendalam, perlu kalian ingat kembali tentang pola bilangan yang telah kalian pelajari. Untuk itu, kerjakan soal-soal berikut berikut terlebih dahulu. Prasyarat Kerjakan di buku tugas 1. 2. 3. Tentukan rumus umum suku ke-n dari pola bilangan berikut. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 7, 12, 17, ... Jika diketahui rumus suku ke-n adalah Un = 4n + 7, tentukan 5 suku pertamanya. Menurutmu, apa bedanya barisan dan deret? Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan ke materi berikut. A. Barisan dan Deret Kalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa. Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan. 1. Barisan Bilangan Misalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiap minggu Rp10.000,00. Jika setiap minggu uang sakunya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliskan uang saku dari minggu ke minggu berikutnya adalah Rp10.000,00, Rp10.500,00, Rp11.000,00, Rp11.500,00, .... Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan contoh di atas adalah 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... + 500 + 500 + 500 Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) 156 Khaz Matematika SMA 3 IPS Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusun berbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan. Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan kedua ditulis U(2) atau U2, dan seterusnya. Jika kita buat korespondensi, akan terlihat seperti berikut. 1 2 3 4 ... n b b b b b b U1 U2 U3 U4 ... Un Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U1, U2, U3, ..., Un, ... Dalam hal ini, Un = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan. Contoh 1: Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk Un = n2 – 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut. Jawab: Rumus suku ke-n adalah Un = n2 – 2n. Suku pertama dapat dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dan diperoleh U1 = 12 – 2(1) = –1. Suku kedua dicari dengan menyubstitusikan n = 2 dan diperoleh U2 = 22 – 2(2) = 0. Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut. Suku ketiga = U3 = 32 – 2(3) = 3. Suku keempat = U4 = 42 – 2(4) = 8. Suku kelima = U5 = 52 – 2(5) = 15. Jadi, lima suku pertama dari barisan itu adalah –1, 0, 3, 8, 15. Misalkan diberikan suatu barisan bilangan dengan suku ke-n dari barisan bilangan tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita menentukan rumus suku ke-n? Hal ini tidak selalu dapat ditentukan, tetapi pada beberapa barisan kita dapat melakukannya dengan memerhatikan pola suku-suku barisan tersebut. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Barisan dan Deret Contoh 2: 157 Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, .... a. Tentukan rumus suku ke-n. b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199? Jawab: Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ... a. Suku ke-1 = U1 = 4 = 12 + 3 Suku ke-2 = U2 = 7 = 22 + 3 Suku ke-3 = U3 = 12 = 32 + 3 Suku ke-4 = U4 = 19 = 42 + 3 M M Suku ke-n = Un = n2 + 3 Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = n2 + 3. b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti Un = 199 n2 + 3 = 199 n2 = 196 Karena n2 = 196 maka n1 = 14 atau n2 = –14 (dipilih nilai n positif). Mengapa tidak dipilih n = –14? Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke-14. 2. Deret Bilangan Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U1, U2, U3, ..., Un dan Sn adalah jumlah dari suku-suku barisan itu. Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret. Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan. Mari Berdiskusi Berpikir Kritis Apakah deret suatu bilangan dapat disebut suatu barisan? Apa perbedaan barisan dengan deret? Jika pola suku dari deret suatu bilangan diketahui, dapatkan rumus sukunya diketahui? • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 1 1. Tuliskan lima suku pertama dari barisan bilangan berikut. a. Un = 4n – 5 d. Un = (– 1)n + 2n b. Un = 2 – n2 e. Un = c. Un = (–1)n f. Un = 1 4 + 2 5 n 1 2 n+4 Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) 158 Khaz Matematika SMA 3 IPS 2. 3. 4. 5. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 3n2 – 2. a. Tentukan empat suku pertama barisan tersebut. b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 430? Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut, kemudian tentukan suku ke-20 dan suku ke-30. a. 3, 5, 7, 9, ... b. 3, 12, 37, 48, ... c. – 4, 10, –18, 28, ... d. 1 2 3 4 , , , , ... 4 5 6 7 e. 1 1 3 1 < , , < , , ... 81 27 9 9 Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalah Un = an + b. Jika U3 = 18 dan U5 = 28, tentukan U20. Diketahui rumus suku ke-n barisan bilangan adalah Un = an2 + b, U2 + U4 = 50, dan U10 – U5 = 150. Tentukan a. 6. 7. 8. Un; d. U n+1 ; Un e. jumlah 10 suku pertama; b. U50; c. Un+1 – Un; f. jumlah 15 suku pertama. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 2n2 – 4n + 3. a. Tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut. b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 393? c. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 1.923? Diketahui rumus suku ke-n barisan bilangan adalah Un = an2 + b. Jika U2 = 23 dan U4 = 47, tentukan a. Un; d. jumlah 4 suku pertama; b. U20; e. Un + 1. c. U15 + U7; Diketahui rumus suku ke-(n + 1) dari suatu barisan bilangan adalah Un + 1 = an + b. Jika U4 = 11 dan U2 + U7 = 27, tentukan a. rumus Un + 1; b. rumus Un; c. rumus Un – 1; d. jumlah 5 suku pertama; e. U10 + U15. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Barisan dan Deret 159 9. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut, kemudian tentukan suku ke-10 dan ke-12. a. 0, 5, 12, 21, .... b. 2, 4, 8, 14, .... c. –2, 5, 16, 31, .... 10. Diketahui Un–1 = an3 + b. Jika U2 = 50 dan U3 – U1 = 112 maka tentukan a. nilai a dan b; b. rumus Un–1; c. rumus Un; d. rumus Un+1; e. U4 dan U5. B. Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Besar simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut. Bulan Ke-1 Bulan Ke-2 20.000 20.500 Bulan Ke-3 Bulan Ke-4 21.000 21.500 ... ... Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya selalu tetap, yaitu 500. Barisan seperti ini dinamakan barisan aritmetika. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, ... c. 30, 25, 20, 15, ... Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) 160 Khaz Matematika SMA 3 IPS Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmetika. Mari kita tinjau satu per satu. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3 b. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b = 3. 2, 8, 14, 20, ... c. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6. 30, 25, 20, 15, ... +6 –5 +6 +6 –5 –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika U n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut. U1 = a U2 = U 1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b M Un = Un–1 + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b Keterangan: Un a b n = = = = suku ke-n suku pertama beda banyak suku Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Barisan dan Deret Contoh 1: Contoh 2: Problem Solving 161 Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .... Jawab: –3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh Un = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92. Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan Un = 40. Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga 40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15. Suku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturutturut adalah 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut. Jawab: Diketahui U10 = 7 dan U14 = 15. Dari rumus suku ke-n barisan aritmetika Un = a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaitu U10 = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ............................ (1) U14 = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ........................ (2) Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan metode campuran antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a + 9b = 7 Dengan menyubstitusikan b = 2 ke a + 13b = 15 persamaan (1), diperoleh –––––––––– – a + 9(2) = 7 a = –11 –4b = –6 b =2 Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah Un = –11 + (n – 1)2. Jadi, suku ke-20 adalah U20 = –11 + (20 – 1)2 = 27. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) 162 Khaz Matematika SMA 3 IPS • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 2 1. Pada barisan bilangan berikut, mana yang merupakan barisan aritmetika? Berikan alasan. a. 2, 4, 6, 8, 10, ... b. –5, 10, –15, 20, ... c. – 1 , 3, – 12, 28, ... 2 d. 1 7 11 5 , , , ,... 2 6 6 2 e. f. g. 2 , 1 + 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , ... a, ab, ab2, ab3, ... a2, a2 + k3, a2 + 2k3, a2 + 3k2, ... 1 1 2 , 0, , , ... 3 3 3 Carilah suku-suku yang diminta pada barisan berikut ini. a. Suku ke-11 dari barisan –2, 3, 8, ... b. Suku ke-29 dari barisan 20, 17, 14, 11, ... h. 2. 1 4 2 , ,1 , 2,... 5 5 5 d. Suku ke-n dari barisan 6, 15, 24, ... Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada barisan aritmetika berikut. a. a = 8, b = 5; U101 = ... b. a = 3, U15 = 143; b = ... c. b =15, U21 = 295; a = ... c. 3. Suku ke-21 dari barisan 1 3 , Un = ; n = ... 2 16 e. U10 = 34, U17 = 62; a = ... f. U5 = 3, U12 = –18, a = ...; b = ... g. U4 = 4, U8 – U3 = 15, a = ...; b = ... h. 3x + 1, 5x – 3, 6x – 4, ...; x = ... i. 4x + 6, 2x + 7, x + 10, ...; x = ... Sisipkan beberapa bilangan agar membentuk barisan aritmetika. a. Empat bilangan di antara 10 dan 25 b. Enam bilangan di antara –6 dan 29 c. Tiga bilangan di antara 67 dan 7 d. Lima bilangan di antara 2 dan 64 d. 4. < a = 12, b = Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Barisan dan Deret 5. 6. 7. 8. 9. 163 Misalkan a1, a2, dan a3 merupakan barisan aritmetika. Buktikan a + a3 bahwa a2 = 1 . 2 Diketahui Un = suku ke-n barisan aritmetika sehingga Un–1 = Un – b. Nyatakan Un–2, ..., U3, U2, U1, dalam Un, b, dan n. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 35 dan suku ke-9 adalah 43. Tentukan suku ke-35 dan suku ke-100. Penomoran kursi paling pinggir di sebuah gedung bioskop membentuk barisan aritmetika. Jika baris ke-4 bernomor 37 dan baris ke-10 bernomor 109, terletak di baris ke berapakah nomor 313? Jika suku kelima dari barisan aritmetika adalah 24 3 dan suku kedua belas barisan aritmetika adalah 25 3 . Tentukan suku pertama, beda, dan suku kedua puluh satu barisan itu. 10. Diketahui suatu sistem persamaan linear berikut. ¨ 2x + y = 9 © ª< x < 2 y = 2. Namun, pembuktiannya saat itu masih dipertanyakan. Banyak ilmuwan yang penasaran dengan teorema yang dilontarkan Fermat. Paul Wolfskehl, profesor matematik asal Jerman, awal tahun 1900an berusaha membuktikan teorema tersebut, namun gagal. Rasa frustrasi menyelimutinya, ditambah kekecewaan pada kekasihnya membuat ia berniat bunuh diri. Ketika waktu untuk bunuh diri sudah dekat, ia masih penasaran dan mencoba lagi membuktikan Teorema Fermat membuat dia lupa untuk bunuh diri. Sampai akhir hayatnya, teorema ini belum juga terbuktikan. Wolfskehl berwasiat, ia menyediakan uang 100.000 mark bagi orang pertama yang mampu membuktikan teorema itu. Tahun 1995, Dr. Andrew Wiles, matematikawan dari Universitas Princeton, Inggris, berhasil membuktikan teorema Fermat dengan gemilang. Ia akhirnya mendapat hadiah 200.000 dolar dari Yayasan Raja Faisal di Arab Saudi pada tahun 1997. Sumber: www.mate-mati-kaku.com C. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r. Perhatikan contoh barisan-barisan berikut. a. 3, 6, 12, 24, ... 1 1 ... b. 2, 1, , 2 4 c. 2, –4, 8, –16, ... Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) 170 Khaz Matematika SMA 3 IPS Kuis • Kerjakan di buku tugas Tiga bilangan merupakan barisan geometri dengan rasio lebih besar dari satu. Jika bilangan ketiga dikurangi 3 maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan jumlah 54. Selisih suku ketiga dengan suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah .... a. 8 d. 14 b. 10 e. 16 c. 12 Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan di atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut. 6 12 24 a. = ... = 2. Jadi, r = 2. = = 3 6 12 b. 1 12 = = 2 1 1 4 1 2 = 1 1 . Jadi, r = . 2 2 108 n c. 1 - 8( 4 )k k =1 n d. - k 2 3 * 7 1 6 = 40(3 + 3) k =1 4. 5. Kuis • Kerjakan di buku tugas Besar suku ke-p dari suatu deret geometri adalah 2p, sedangkan suku ke-2p adalah p. Jumlah p suku pertama deret itu adalah .... 2p a. p |
Tentukan suku pertama dan bedanya jika diketahui unsur pada barisan Aritmetika U10 7 dan U14 15
Pos Terkait
Copyright © 2024 idkuu.com Inc.
