You're Reading a Free Preview Show
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi elips yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semua gambar grafik yang terdapat di sini merupakan produk dari penggunaan aplikasi GeoGebra Classic 5. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 371 KB). Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Hiperbola Soal Nomor 1Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, dan persamaan sumbu simetri dari elips $16x^2+25y^2=400$.
Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $400$ sehingga diperoleh Soal Nomor 2Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, dan persamaan sumbu simetri dari elips $25x^2+16y^2=400$.
Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $400$ sehingga diperoleh Karena elips ini vertikal dan berpusat di titik asal, maka sumbu simetrinya adalah sumbu $Y$ dengan persamaan $x=0$. Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.
Soal Nomor 3Tentukan titik pusat, jari-jari pendek, dan jari-jari panjang dari persamaan elips $4x^2+9y^2+16x-18y-11=0$.
Ubah persamaan elips itu ke bentuk umum (kanonik). Soal Nomor 4Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, dan persamaan sumbu simetri dari elips $9x^2+25y^2-36x+50y-164=0$.
Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan prosedur berikut. Soal Nomor 5Ubahlah persamaan elips $225(x-2)^2+289(y-3)^2 = 65.025$ ke bentuk kanonik, lalu tentukan koordinat titik balik, titik fokus, persamaan sumbu mayor dan minor, dan panjang latus rektum.
Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya (bentuk kanonik) dengan membagi kedua ruasnya dengan 65.025 sehingga didapat Soal Nomor 6Ubahlah persamaan elips $4x^2+8y^2-4x-24y-13=0$ ke bentuk kanonik, lalu tentukan koordinat titik balik, titik fokus, persamaan sumbu mayor dan minor, dan panjang latus rektum.
Persamaan elips tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya (bentuk kanonik) dengan prosedur berikut. Soal Nomor 7Tentukan persamaan elips yang memiliki titik puncak di $(\pm 6, 0)$ dan sumbu minornya sepanjang $10$.
Diketahui: panjang sumbu minor = $2b = 10$ atau $b = 5$. Soal Nomor 8Tentukan persamaan elips yang memiliki titik puncak di $(0,\pm 8)$ dan titik-titik ujung sumbu minor di $(\pm 3,0).$
Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik puncak elips di $(0, \pm 8)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(0,0)$ dan $b = 8$. Soal Nomor 9Tentukan persamaan elips yang memiliki titik puncak di $(1 \pm 5,1)$ dan satu fokus di $(3,1)$.
Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik puncak elips di $(1 \pm 5, 1)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(1,1)$ dan $a = 5$. Soal Nomor 10Tentukan persamaan elips yang memiliki puncak di $(0,13)$, fokus terdekat dengan titik puncak itu adalah $(0,5)$, dan pusatnya di titik asal.
Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui $x_p = y_p = 0$ (pusat di titik asal) dan satu puncak elips di $(0,13)$. Ini berarti, $b = 13$. Soal Nomor 11Tentukan persamaan elips yang memiliki titik puncak di $(\pm 4, 0)$ dan panjang latus rektumnya $2$.
Koordinat titik puncak elips dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik puncak elips di $(\pm 4,0)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(0,0)$ dan $a = 4$. Soal Nomor 12Tentukan persamaan elips yang memiliki titik ujung sumbu minor di $(\pm 4,0)$ dan panjang latus rektumnya $4$.
Titik ujung sumbu minor dinyatakan oleh $(x_p \pm a, y_p)$ dengan $(x_p, y_p)$ adalah koordinat titik pusat elips. Ini berarti, koordinat titik pusat elips di $(0,0)$ dan $a = 4$. Soal Nomor 13Tentukan persamaan elips yang memiliki fokus di $(\pm 4,0)$ dan panjang latus rektumnya $12$.
Koordinat titik fokus elips ditentukan oleh $(x_p \pm c, y_p)$ dengan $(x_p, y_p)$ adalah koordinat titik pusat elips. Ini berarti, koordinat titik pusat elips di $(0,0)$ dan $c = 4$. Dari sini juga diketahui bahwa elips ini horizontal, sebab fokusnya berubah di absis. Soal Nomor 14Tentukan persamaan elips yang memiliki fokus di $(5+4\sqrt{3}, 1)$ dan $(5-4\sqrt{3}, 1)$ dan latus rektumnya sepanjang $4$.
Koordinat titik fokus elips dinyatakan oleh $(x_p \pm c, y_p)$ dan $(x_p, y_p \pm b)$ (untuk elips horizontal) dengan $(x_p, y_p)$ merupakan koordinat titik pusat elips. Diketahui titik fokus elips di $(5 \pm 4\sqrt{3}, 1)$. Dari sini, diperoleh titik pusatnya di $(5,1)$ dan $c = 4\sqrt{3}$, serta elipsnya horizontal (sebab fokusnya memengaruhi absis). Soal Nomor 15Tentukan persamaan elips yang berpusat di $(3,-2)$, salah satu puncak di $(8,-2)$, dan salah satu fokus di $(-1,-2)$.
Dari koordinat titik pusat, titik fokus, dan titik puncaknya, diketahui bahwa elips tersebut adalah elips horizontal (karena yang berubah adalah absisnya). Soal Nomor 16Tentukan persamaan elips yang fokusnya di $(2,3)$ dan $(2,-7)$, serta panjang sumbu minornya dua per tiga dari panjang sumbu mayor.
Dari koordinat titik fokusnya, diketahui bahwa elips tersebut adalah elips vertikal (karena ordinatnya yang berubah). Soal Nomor 17Tentukan persamaan elips yang ujung sumbu minornya di $(0,5)$ dan $(0,-7)$, ujung salah satu latus rektum di $(6\sqrt{3}, 2)$ dan $(6\sqrt{3},-4)$.
Diketahui panjang sumbu minor = $2b = 5-(-7)=12$ atau didapat $b = 6$ dengan titik pusat terletak di tengah-tengah kedua titik ujung sumbu minor, yaitu $(0,-1)$. Soal Nomor 18Tentukan persamaan elips yang memiliki latera rekta di $$\left(\sqrt{3},\dfrac{1}{2}\right), \left(\sqrt{3},-\dfrac{1}{2}\right), \left(-\sqrt{3},\dfrac{1}{2}\right), \left(-\sqrt{3},-\dfrac{1}{2}\right)$$ dan sumbu mayornya sepanjang sumbu $X$.
Diketahui sumbu mayor elips sepanjang sumbu $X$. Ini berarti, elipsnya horizontal dengan titik pusat di $(0,0)$. Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Soal Nomor 19Tentukan persamaan elips yang latera rektanya di $(9,2), (9,-6), (-7,2)$, dan $(-7,-6)$.
Dari koordinat latera rekta elips, diketahui elips ini horizontal dengan titik pusat di $\left(\dfrac{9+(-7)} {2}, \dfrac{2+(-6)} {2}\right) = (1,-2).$ Koordinat latera rekta elips ditentukan oleh $\left(x_p \pm \sqrt{a^2-b^2}, y_p \pm \dfrac{b^2}{a}\right)$ dengan $(x_p, y_p) = (1,-2)$. Untuk itu, didapat $\sqrt{a^2-b^2} = 8$ dan $\dfrac{b^2}{a} = 4$. Dari persamaan yang bawah, kita peroleh $b^2 = 4a$. $\begin{aligned} \sqrt{a^2-b^2} & = 8 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ a^2-b^2 & = 64\\ a^2-4a- 64 & = 0 \end{aligned}$ Gunakan rumus ABC: $\begin{aligned} a_{1,2} & = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-64)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{4 \pm \sqrt{272}}{2} \\ &= 2 + 2\sqrt{17} \end{aligned}$ Persamaan kuadrat di atas memiliki akar positif $a = 2+2\sqrt{17}$ sehingga $a^2 = (2+2\sqrt{17})^2 = 72+8\sqrt{17}.$ Untuk itu, juga didapat $b^2 = 8+8\sqrt{17}$. Jadi, persamaan elipsnya adalah $\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}&= 1 \\ \dfrac{(x-1)^2}{72+8\sqrt{17}}+\dfrac{(y+2)^2}{8+8\sqrt{17}} &=1. \end{aligned}$
Soal Nomor 20Tentukan persamaan elips yang memiliki puncak di $(2,0)$ dan $(-2,0)$ serta melalui titik $\left(-1, \dfrac{1}{2}\sqrt{3}\right).$
Titik pusat berada di tengah puncak, yaitu $(x_p, y_p) = (0,0)$. Soal Nomor 21Jika eksentrisitas suatu elips adalah $\dfrac{12}{13}$ dan jarak antara dua titik fokusnya $36$, tentukan persamaan elips tersebut.
Diketahui Soal Nomor 22Tentukan persamaan yang titik apinya terletak pada sumbu $X$ dan simetris terhadap titik $O$ dengan sumbu panjangnya $20$ dan eksentriksitas numeriknya $e = \dfrac{3}{5}$.
Diketahui: Soal Nomor 23Tentukan persamaan elips dengan pusat $(1,2)$ dan eksentrisitas numeriknya $\dfrac{4}{5}$ serta persamaan direktriksnya $4x = 25$.
Persamaan direktriks pada elips ditentukan oleh $\boxed{x = \pm \dfrac{a^2}{c}}$ Soal Nomor 24Tentukan persamaan elips yang berfokus di $(-1,0)$ dan $(7,0)$ serta melalui titik $\left(0,\dfrac{12}{5}\right)$.
Karena titik fokusnya berada pada sumbu $X$, elips ini adalah elips horizontal. Soal Nomor 25Diketahui koordinat titik fokus suatu elips adalah $F_1(8,-1)$ dan $F_2(-4,-1)$ serta salah satu koordinat ujung sumbu minornya adalah $(2,7)$. Tentukan persamaan elips tersebut.
Dilihat dari koordinat titik fokusnya yang ordinatnya sama, elips ini adalah elips horizontal. Soal Nomor 26Tentukan kedudukan garis-garis berikut terhadap elips $x^2+4y^2=16$.
Jawaban a) Soal Nomor 27Tentukan persamaan garis singgung elips $\dfrac{x^2}{30}+\dfrac{y^2}{24}=1$ di titik yang absisnya $5$.
Akan dicari titik singgungnya terlebih dahulu. Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips yang berpusat di $(0,0)$ menyinggung di $(x_1,y_1)$, yaitu $\boxed{\dfrac{x \cdot x_1}{a^2}+\dfrac{y \cdot y_1}{b^2} =1}$ diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{5x} {30} + \dfrac{2y} {24} & = 1 \\ \text{Kalikan 120}~&~\text{pada kedua ruas} \\ 20x + 10y & = 120 \\ 2x + y & = 12 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned} \dfrac{5x} {30} + \dfrac{-2y} {24} & = 1 \\ \text{Kalikan 120}~&~\text{pada kedua ruas} \\ 20x- 10y & = 120 \\ 2x- y & = 12. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung elips itu adalah $\boxed{2x+y=12}$ dan $\boxed{2x-y=12}$ Soal Nomor 28Tentukan persamaan garis singgung elips $16x^2+25y^2=400$ di titik yang ordinatnya $2$.
Bentuk kanonik persamaan elips itu (didapat setelah membagi kedua ruasnya dengan $400$) adalah $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Pusat elips di $(0,0$). Soal Nomor 29Tentukan nilai $k$ sehingga garis $y =-x+k$ menyinggung elips $x^2+4y^2=20$.
Substitusikan $y =-x+k$ ke persamaan elips itu. Soal Nomor 30Tentukan persamaan garis singgung pada elips $x^2+4y^2=20$ yang tegak lurus garis $2x-3y-13=0.$
Gradien garis $2x-3y-13=0$ adalah Soal Nomor 31Tentukan koordinat titik $M$ pada elips $8x^2+18y^2=144$ yang terdekat dengan garis $2x-3y+25=0$.
Untuk mencari titik pada elips yang terdekat dengan garis $2x-3y+25=0$, carilah garis yang sejajar dengannya dan menyinggung elips itu. Soal Nomor 32Tentukan persamaan garis singgung pada elips $24x^2+30y^2=720$ yang sejajar garis $y = 3x.$ Tentukan juga garis normal yang melalui titik singgungnya.
Gradien garis $y=3x$ adalah $m_1 = 3$. Selanjutnya, akan ditentukan titik singgungnya. Selanjutnya, akan ditentukan titik singgung yang lain. Soal Nomor 33Dari titik $A(10,-8)$ dibuat garis yang menyinggung elips $16x^2+25y^2=400$. Tentukan persamaan tali busur yang menghubungkan dua titik singgung yang terbentuk.
Persamaan tali busur elips $16x^2+25y^2 = 400$ dari titik $(x_1, y_1) = (10,-8)$ adalah $\begin{aligned} 16x_1x + 25y_1y & = 400 \\ 16(10)x+25(-8)y & = 400 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan}~40 \\ 4x- 5y & = 10. \end{aligned}$ Jadi, persamaan tali busurnya adalah $\boxed{4x-5y=10}$. Gambar berikut merepresentasikannya secara geometris pada bidang koordinat.
Soal Nomor 34Tentukan persamaan tali busur elips $x^2+2y^2=8$ yang dibagi sama panjang oleh titik $A(2,1)$.
Persamaan garis yang melalui titik $(2,1)$ dan bergradien $m$ adalah $\begin{aligned} y & = m(x-x_1) + y_1 \\ \Rightarrow y & = m(x-2)+1. \end{aligned}$ Substitusikan $y= m(x-2)+1$ pada persamaan elipsnya. $$\begin{aligned} x^2 + 2y^2 & = 8 \\ x^2 + 2(m(x-2)+1)^2 & = 8 \\ x^2 + 2m^2(x-2)^2+4m(x-2)+2 & = 8 \\ x^2 + 2m^2(x^2- 4x + 4) + 8mx- 8m + 2- 8 & = 0 \\ (2m^2+1)x^2- 4m(2m-1)x + 2(4m^2- 4m- 3) & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $x_1, x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat di atas. Jumlah akarnya adalah $ x_1+x_2 = \dfrac{4m(2m-1)}{2m^2+1}.$ Diketahui $\dfrac{x_1+x_2}{2} = 2$, berarti $\begin{aligned} \dfrac{2m(2m-1)}{2m^2+1} & = 2 \\ 4m^2- 2m & = 4m^2 + 2 \\-2m & = 2 \\ m & =-1. \end{aligned}$ Jadi, gradiennya $m =-1$ sehingga persamaan tali busurnya adalah $y =-x+3$. Perhatikan sketsa grafiknya. Perhatikan bahwa panjang $BA$ sama dengan panjang $AC$.
Soal Nomor 35Tentukan titik kutub garis $2x-3y=12$ terhadap elips $2x^2+3y^2=12.$
Persamaan garis kutub pada elips tersebut adalah $2\color{red}{x_1}x + 3\color{red}{y_1}y = 12 \equiv 2x- 3y = 12$ Ini berarti, $x_1 = 1$ dan $y_1 =-1$ sehingga titik kutubnya adalah $(1,-1)$.
Catatan: Ambil titik apapun dari garis $2x- 3y = 12$, kemudian tarik garis sedemikian sehingga menyinggung elips di dua titik singgung. Tarik garis yang melalui dua titik singgung tersebut. Garis ini selanjutnya disebut sebagai garis kutub. Setiap garis kutub dalam kasus ini selalu melalui satu titik tertentu, yaitu titik $(1,-1)$ sehingga disebut titik kutub. Soal Nomor 36Buktikan persamaan garis singgung di titik $(x_1,y_1)$ pada elips $\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k) ^2}{b^2}=1$ adalah $$\dfrac{(x_1-h) (x-h)}{a^2}+\dfrac{(y_1-k)(y-k) }{b^2}=1.$$
Karena titik $(x_1, y_1)$ berada pada elips, berlaku $\dfrac{(x_1-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y_1-k)^2}{b^2}=1.$ Soal Nomor 37Tentukan luas elips $x^2+4y^2+6x-16y-11=0.$
Ubah persamaan elips itu menjadi bentuk kanonik. Soal Nomor 38Suatu kelengkungan berbentuk setengah elips dengan lebar alas $48$ meter dan tinggi $20$ meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian $10$ meter dari alas?
Perhatikan gambar berikut. Soal Nomor 39Suatu jembatan yang berbentuk elips dibangun di atas jalan raya. Panjang dan ketinggian busur elips jembatan tersebut secara berturut-turut adalah $10$ meter dan $6$ meter.
Akan ditentukan persamaan elips yang mewakili jembatan tersebut terlebih dahulu. Soal Nomor 40Di Washington, D.C., terdapat taman yang dinamai The Ellipse. Taman ini terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington.
Diketahui: Soal Nomor 41Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik (ultrasonic shockwave) sehingga pecahannya dapat lolos dari tubuh. Alat yang dipakai adalah litotripter, berbentuk setengah elips $3$ dimensi yang mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips. Alat ini dipakai untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk ditembakkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Perhatikan gambar berikut untuk lebih jelasnya.
Diketahui: Soal Nomor 42Jembatan-jembatan tertentu memiliki pintu air yang berbentuk setengah elips seperti gambar berikut.
Karena lebar dari pintu air tersebut adalah 30 meter, maka panjang sumbu mayornya adalah $2a = 30$ sehingga diperoleh $a = \dfrac{30}{2} = 15$. Tunggi pintu airnya 8 meter, berarti panjang sumbu semi minornya adalah $b = 8$. Dengan memisalkan titik pertemuan kedua elips tersebut sebagai titik asal, maka titik pusat dari elips sebelah kiri dan sebelah kanan secara berturut-turut adalah $(–15, 0)$ dan $(15, 0)$. |