Tentukan bayangan segitiga jkl dengan koordinat j(1 2) k(4 2)

4. Berdasarkan Kegiatan 4 dan hasil pengamatanmu pada Tabel 3.3 di atas, menurutmu bagaimana rumus untuk mendapatkan koordinat bayangan pada sumbu-x dari suatu titik yang direfleksikan terhadap garis x = h?Tuliskan jawabnmu tersebut pada kertasdan paparkan kepada teman sekelasmu. Sedikit Informasi Simetri Lipat Beberapa gambar dapat dilipat sedemikian sehingga setengah bangun tersebut sama dengan bagian yang lain. Lipatan yang dimaksud merupakan garis refleksi yang disebut garis simetri atau simetri lipat. Huruf G tidak memiliki simetri lipat Huruf A memiliki 1 simetri lipat Huruf H memiliki 2 simetri lipat Memiliki lebih dari 2 simetri lipat MATEMATIKA 145Ayo Kita Menalar Setelah kamu melakukan Kegiatan 1 sampai dengan Kegiatan 4, jawablah pertanyaan berikut ini. 1. Tunjukkan bahwa bayangan sebuah titik yang direfleksikan terhadap titik asal sama dengan bayangan titik tersebut jika direfleksikan terhadap sumbu -x dan dilanjutkan refleksi di sumbu-y. 2. Diketahui segitiga ABC yang titik sudutnya di A (3, 2), B (4, 4), dan C (1, 3). Gambarlah segitiga tersebut kemudian gambar hasil bayangannya jika dicerminkan terhadap: a. Sumbu-x b. Sumbu-y c. Titik asal O (0,0) d. Garis y = x e. Garis y = –x f. Garis y = 2 g. Garis x = 3 Ayo Kita Simpulkan Berdasarkan Kegiatan 1, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Berdasarkan Kegiatan 3 dan Kegiatan 4 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Perhatikan contoh kesimpulan berikut ini. Berdasarkan Subkegiatan 3.1 diperoleh kesimpulan bahwa untuk sebarang titik koordinat (x, y) jika dicerminkan terhadap sumbu-x maka koordinat-x tetap sedangkan koordinat-y berlawanan. Sehingga hasil refleksi sembarang titik (x, y) terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan dengan koordinat (x, –y) atau dapat ditulis (x, y) → (x, –y). Buatlah kesimpulan seperti contoh di atas jika diketahui sebarang titik koordinat (x, y) dicerminkan terhadap sumbu-y, titik asal O (0, 0), garis y = x, garis y = –x, garis y = h, dan garis x = h.146 Kelas IX SMP/MTsMateri Esensi 3.1 Pencerminan (Refleksi) Refleksi atau pencerminan merupakan satu jenis transformasi yang memindahkansetiap titik pada suatu bidang dengan mengggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan. Perhatikan gambar di bawah. Gambar di samping menunjukkan contoh BDrefleksi (pencerminan) bangun datar ABCDE Cpada garis m. Perhatikan bahwa ruas garis yang A E mmenghubungkan titik dan bayangannya tegak lurus E’terhadap garis m. Garis m disebut garis refleksi A’untuk ABCDE dan bayangannya A’B’C’D’E’. C’ D’ Karena E terletak pada garis refleksi, titik awal B’dan bayangannya berada di titik yang sama. Jarakantara A terhadap garis m sama dengan jarak A’ terhadap garis m, begitu pula untuktitik sudut yang lainnya dan bayangannya yang memiliki jarak sama terhadap garisrefleksi m. Jika diketahui sebarang titik dengan koordinat (x, y) pada koordinat kartesius,maka koordinat bayangan hasil pencerminannya dapat dilihat pada Tabel 3.4 berikutini. Tabel 3.4 Koordinat Bayangan Hasil Pencerminan dari (x, y)No. Pencerminan Terhadap Titik Koordinat Bayangan1. Sumbu-x (x, –y)2. Sumbu-y (–x, y)3. Titik Asal O (0, 0) (–x, –y)4. Garis y = x (y, x)5. Garis y = –x (–y, –x)6. Garis y = h (x, 2h – y)7. Garis x = h (2h – x, y) MATEMATIKA 147Contoh 1 Pencerminan Terhadap Sumbu-x Segitiga ABC berkoordinat di A (–1, 1), B (–1, 3), dan C (6, 3). Gambar segitigaABC dan bayangannya yang direfleksikan terhadap sumbu-x. Bandingkan koordinattitik-titik ABC dengan koordinat bayangannya.Penyelesaian: y C Perhatikan bahwa titik A berada 1 satuan 4 di atas sumbu-x, maka bayangannya adalahB A’ yang terletak 1 satuan di bawah sumbu-x. 2 Sedangkan titik B dan C berada pada 3 satuan di atas sumbu-x, maka banyangannya A 1 2 3 4 5 6x adalah B’ dan C’ yang terletak 3 satuan–2 0 C’ di bawah sumbu-x. Dengan demikian diperoleh koordinat masing-masing titik dan A’ bayangannya adalah sebagai berikut: B’ –4A (–1, 1) → A’ (–1, –1)B (–1, 3) → B’ (–1, –3)C (6, 3) → C’ (6, –3)Hubungkan ketiga titik sehingga membentuk segitiga A’B’C’.Contoh 2 Pencerminan Terhadap Garis y = x C (-1, 2) Diketahui segi empat ABCD yang memiliki koordinat di A (-1, -1), B (1, 0), C (-1, 2)D (-2, 1) B’ (0, 1) dan D (-2, 1) direfleksikan terhadap garis y = x. Gambar ABCD dan bayangannya yangA’ (-1, -1) B (1, 0) direfleksikan terhadap garis y = x. Bandingkan A (-1, -1) C’ (2, –1) koordinat titik-titik ABCD dengan koordinat bayangannya. D’ (1, -2) Penyelesaian: Untuk menentukan bayangan titik-titik segi empat ABCD, perhatikan jarak titik B ke garis148 Kelas IX SMP/MTsy = x. Dari titik B buat garis yang tegak lurus ke garis y = x (disebut garis BB’)kemudian dapatkan titik B’ yang memiliki jarak yang sama besar dengan jarak titik Bke garis y = x. Titik B’ merupakan bayangan titik B hasil refleksi terhadap garis y = x.Dengan demikian diperoleh koordinat B’ (0, 1). Gunakan cara yang sama, sehinggadiperoleh koordinat bayangan untuk titik-titik yang lainnya sebagai berikut:A (–1, –1) → A’ (–1, –1) B (1, 0) → B’ (0, 1)C (–1, 2) → C’ (2, –1) D (–2, 1) → D’ (1, –2)Hubungkan keempat titik sehingga membentuk segi empat A’B’C’D’. Ayo Kita Tinjau Ulang1. Setelah dicerminkan terhadap titik asal, ∆XYZ memiliki bayangan di X’ (1 ,4), Y’ (2, 2), dan Z’ (–2, –3). Tentukan bayangan ∆XYZ jika direfleksikan terhadap garis x = –1.2. Setelah direfleksikan terhadap sumbu-x, ∆FGH memiliki bayangan di F’(1, 4), G’ ( 4, 2), dan H’ (3, –2). Tentukan bayangan ∆FGH setelah direfleksikan terhadap sumbu-y.1. Latihan 3.1 Pencerminan (Refleksi)1. Tunjukkan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil pencerminan dari gambar yang berwarna merah. Berikan penjelasanmu. a. b. c. d. e. f. MATEMATIKA 1492. Tentukan berapa banyak simetri lipat yang dimiliki gambar berikut. a. d. b. e. c. f. 3. Gambar masing-masing bangun berikut dan bayangannya terhadap refleksi yang diberikan. a. Segi empat JKLM dengan titik sudutnya di J (2, 2), K (7, 4), L (9, –2), dan M (3, –1) terhadap sumbu-y. b. Trapesium dengan titik sudutnya di D (4, 0), E (–2, 4), F (–2, –1), dan G (4, –3) terhadap titik asal. c. ∆ABC dengan titik sudutnya di A (4, –2), B (4, 2), dan C (6, –2) terhadap garis y = x. d. ∆OPQ dengan titik sudutnya di O (–2, 1), P (0, 3), dan Q (2, 2) terhadap garis y = –x.150 Kelas IX SMP/MTse. Segi empat WXYZ dengan titik sudutnya di W (2, –1), X (5, –2), Y (5, –5), dan Z (2, –4) terhadap garis y = 2.4. Cerminkan segitiga DEF terhadap garis y = x. Gambar segitiga D’E’F’ dan tuliskan koordinatnya yang merupakan hasil pencerminan DEF terhadap garis y = x. D 3 2 F E y=x–4 –3 –2 1 234 x –2 –35. Huruf mana yang akan tetap sama jika dicerminkan terhadap suatu garis? ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ6. Segi empat KLMN dengan titik sudut di K (–2, 4), L (3, 7), M (4, –8), dan N (–3, –5) direfleksikan terhadap sumbu-x kemudian direfleksikan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat K’’L’’M’’N’’.7. Segitiga HIJ direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian sumbu-y, kemudian titik asal. Hasilnya refleksinya berkoordinat di H’’’ (2, 3), I’’’ (8, –4), dan J’’’ (–6, –7). Tentukan koordinat H, I, dan J. MATEMATIKA 1513.2 Pergeseran (Translasi) Pertanyaan PentingApa yang dimaksud dengan translasi pada suatu benda? Bagaimana caramumenentukan koordinat bayangan hasil translasi pada koordinat kartesius? Supayakamu mengetahui dan memahami jawaban dari pertanyaan di atas lakukan kegiatan-kegiatan di bawah ini.Kegiatan 1 Translasi Pada Suatu Benda Ayo Kita Amati Pernahkah kamu menggeser meja dari satu tempat ke tempat lainnya? Ketika kamuSumber: Dokumen Kemdikbud berhasil memindahkan meja tersebut makaGambar 3.2 Mendorong meja posisi meja akan berubah dari posisi awal menuju posisi akhir. Gerakan memindahkan a meja tersebut merupakan salah satu contoh a’ dari translasi. Perhatikan bangun datar a pada gambar di samping. Kemudian perhatikan bangun a’ yang merupakan bayangan dari a. Kamu dapat memperoleh bangun datar a’ dengan cara menggeser (mentranslasikan) bangun a.152 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita MencobaUntuk mengetahui jenis translasi yang menggerakkan bangun a sehingga menjadibangun a’, ikuti langkah-langkah berikut ini.1. Pilih sebarang titik sudut pada bangun a awal a (kamu dapat memilih sebarang titik sudut dari bangun), kemudian beri nama titik sudut tersebut A. Pada titik sudut bayangan yang bersesuaian dengan titik A berikan nama A’.2. Dari titik A gambarlah garis horizontal a’ sampai tepat berada pada bagian atas titik A’. Selanjutnya gambarlah garis vertikal dari titik tersebut sehingga garis tersebut bertemu dengan titik A’.3. Hitung berapa satuan panjang garis horizontal yang menunjukkan seberapa jauh bangun datar a bergeser (bertranslasi) secara horizontal (ke kanan).4. Hitung berapa satuan panjang garis vertikal yang menunjukkan seberapa jauh bangun datar a bergeser (bertranslasi) secara vertikal (ke bawah). Ayo Kita Menanya Setelah kamu memahami Kegiatan 1 di atas, sekarang buatlah pertanyaan denganmenggunakan beberapa kata berikut: translasi, sumbu horizontal, sumbu vertikal.Tuliskan pertanyaanmu tersebut dengan rapi pada buku tulismu. Sedikit InformasiJika suatu translasi (pergeseran) pada suatu benda dilakukan sepanjang garishorizontal, maka translasi tersebut akan bernilai positif jika benda ditranslasikanke arah kanan, dan bernilai negatif jika benda ditranslasikan ke arah kiri. MATEMATIKA 153Jika suatu translasi (pergeseran) pada suatu benda dilakukan sepanjang garisvertikal, maka translasi tersebut akan bernilai positif jika benda ditranslasikan kearah atas, dan bernilai negatif jika benda ditranslasikan ke arah bawah. Ayo Kita Gali InformasiBerdasarkan informasi yang telah kamu dapatkan sebelumnya serta Kegiatan 1,jawablah pertanyaan berikut.1. Apakah translasi pada bagian horizontal yang menggerakkan bangun datar a sehingga menjadi a’ bernilai positif atau negatif?2. Apakah translasi pada bagian vertikal yang menggerakkan bangun datar a sehingga menjadi a’ bernilai positif atau negatif?3. Jika menunjukkan translasi yang menggerakan suatu bangun datar dengan x menunjukkan translasi pada garis horizontal dan y menunjukkan translasi pada garis vertikal, coba kamu tuliskan pasangan bilangan translasi yang menggerakkan bangun datar a sehingga menjadi a’.Kegiatan 2 Translasi Pada Koordinat Kartesius Ayo Kita MencobaDiketahui segi empat ABCD memiliki titik sudut di A (1, 2), B (3, 1), C (4, –1) danD (2, 0). Gambarlah segi empat tersebut kemudian gambar hasil bayangannya jikaditranslasikan sejauh 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke bawah. Tuliskan koordinatbayangan hasil translasi segi empat ABCD (Bayangan ABCD selanjutnya disebutdengan A’B’C’D’). Ayo Kita Gali InformasiSetelah kamu melakukan aktivitas Kegiatan 2, coba kamu lengkapi Tabel 3.5 berikutini.154 Kelas IX SMP/MTsTabel 3.5 Koordinat Bayangan Hasil Translasi Segi empat ABCDTitik Sudut ABCD (x – 4, y – 2) Titik Sudut A’B’C’D’A (1, 2) (1 – 4, 2 – 2) (–3, 0)... Titik Asal O (0, 0) (–x, –y)B (3, 1) ... ...C (4, –1) ... ...D (2, 0) ... ... Coba kamu perhatikan Tabel 3.5 di atas. Apakah kolom kedua dan kolom ketigadari tabel di atas memiliki nilai yang sama? Salah satu cara untuk mendapatkankoordinat bayangan hasil translasi adalah dengan menambahkan secara langsungbilangan yang menunjukkan translasi dengan koordinat awal bangun. Jika suatu translasi pada suatu titik dilakukan sepanjang garis horizontal, makabilangan translasi tersebut akan bernilai positif jika titik tersebut ditranslasikan kearah kanan, dan bernilai negatif jika titik ditranslasikan ke arah kiri. Jika translasipada suatu titik dilakukan sepanjang garis vertikal, maka bilangan translasi tersebutakan bernilai positif jika titik ditranslasikan ke arah atas, dan bernilai negatif jika titikditranslasikan ke arah bawah. Ayo Kita Menalar Setelah kamu melakukan Kegiatan 1 dan 2, maka kamu telah mengetahui caramendapatkan koordinat bayangan hasil translasi dari suatu titik maupun bangun datar.Sekarang jawablah pertanyaan di bawah ini agar kamu mengetahui jenis translasiyang menggerakkan koordinat suatu bangun. Tentukan translasi (pasangan bilangan translasi) yang menggerakkan segitigamerah menjadi segitiga biru. MATEMATIKA 155y 4 3 2 1 –4 –2 0 1 3 x –2 –3 –4 Dikusi dan Berbagi Setelah kamu menjawab pertanyaan pada bagian Ayo Kita Menalar, tuliskan jawabanmu di buku tulis. Diskusikan jawabanmu dengan teman sebangkumu. Periksalah apakah kalian memiliki jawaban yang sama. Majulah ke depan kelas, bagikan hasil diskusimu kepada teman sekelasmu. Ayo Kita Simpulkan Setelah kamu melakukan beberapa kegiatan di atas, coba kamu simpulkan bagaimana cara mendapatkan koordinat hasil translasi dari suatu benda pada koordinat kartesius?156 Kelas IX SMP/MTsMateri Esensi 3.2 Pergeseran (Translasi) Translasi merupakan salah satu jenis transformasi yang bertujuan untukmemindahkan semua titik suatu bangun dengan jarak dan arah yang sama. Translasi pada bidang Kartesius dapat dilukis jika kamu mengetahui arah danseberapa jauh gambar bergerak secara mendatar dan atau vertikal. Untuk nilai yangsudah ditentukan a dan b yakni translasi memindah setiap titik P (x, y) darisebuah bangun pada bidang datar ke P’ (x + a, y + b). Translasi dapat disimbolkandengan (x, y) → (x + a, y + b).Sedikit InformasiMenentukan Translasi Dengan Menggunakan Pencerminan BerulangCara lain untuk menentukan translasi adalah dengan menunjukkan pencerminanterhadap dua garis sejajar, kemudian mencerminkan gambar/bangun terhadapgaris lain yang sejajar. Perhatikan contoh berikut ini.Perhatikan gambar di bawah. Garis m dan n sejajar. Tentukan apakah bangunberwarna merah merupakan translasi bangun yang berwarna biru, segi empatABCD. A m B D B’ n C A’ C’ D’ A’’ B’’ D’’ C’’ MATEMATIKA 157PenyelesaianCerminkan segi empat ABCD di garis m. Hasilnya yaitu bangun berwarna hijau,segi empat A’B’C’D’. Kemudian cerminkan bangun berwarna hijau, segi empatA’B’C’D’ di garis n menghasilkan segi empat berwarna merah. Segiemmpatberwarna merah, A’’B’’C’’D’’ memiliki bentuk dan arah yang sama dengan segiempat ABCD.Jadi, segi empat A’’B’’C’’D’’ merupakan bayangan hasil translasi segi empatABCD.Contoh 1 Koordinat Bayangan Hasil Translasi y B’ Gambar di samping menunjukkan B4 segitiga ABC yang ditranslasikan 4 satuan ke kanan dan 3 satuan ke 3 bawah. Hal ini dapat dinyatakan sebagai 2 (x, y) → (x + 4, y – 3).A1 Koordinat bayangan hasil translasinya–4 –3 01 3 x sebagai berikut C –2 A’ A (–3, 1) → A’ (–3 + 4, 1 – 3) atau A’ (1, –2) –3 –4 B (–1, 4) → B’(–1 + 4, 4 – 3) atau B’ (3, 1) C’ C (–2, –1) → C’ (–2 + 4, –1 – 3) atau C’ (2, –4) Ayo Kita Tinjau Ulang Setelah ditranslasikan oleh (x, y) → (x – 4, y + 5), ∆XYZ memiliki bayangan X’(–8, 5), Y’ (2, 7), dan Z’ (3, 1). Tentukan koordinat X, Y, dan Z.Latihan 3.2 Pergeseran (Translasi)1. Tentukan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil pencerminan dari gambar yang berwarna merah. Berikan penjelasanmu.158 Kelas IX SMP/MTsa. d. b. e. c. f. 2. Gambar dan tentukan koordinat hasil translasi dari bangun datar di bawah ini. a. Translasikan segi empat merah sejauh 2 satuan ke kiri dan 5 satuan ke bawah y B A C 3 34 x 2 1 –4 –3 –2 D –2 –3 –4 MATEMATIKA 159b. Translasikan segitiga merah sejauh 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke bawah. y 4 J3 2 1 1234 xLK–4 –3 –2 –2 –3 –43. Segitiga FGH ditranslasi sehingga menghasilkan bayangan ΔPQR. Diketahui koordinat F (3, 9), G (–1, 4), P (4, 2), dan R (6, –3), tentukan koordinat H dan Q. Tentukan pula translasinya.4. Segitiga WAN berkoordinat di W (0, 1), A (1, –2) dan N (–2, 1). Gambarlah segitiga tersebut beserta bayangannya setelah translasi: a. 1 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atas b. (x + 2, y + 4) y 4 c. 3 satuan ke kanan dan 3 satuan 3 ke bawah d. kemudian dicerminkan 2 terhadap sumbu-y. 1 –2 0 1 2 3 4 x5. Jelaskantranslasiyangmenggerakkan –2 bangun datar yang berwarna biru –3 menjadi bangun datar yang berwarna –4 merah. 6. Diketahui Segitiga OPQ berkoordinat di O (2, 5), P (–3, 4), dan Q (4, –2) ditranslasikan sehingga didapatkan koordinat bayangannya adalah O’ di (3, 1). Tentukan pasangan bilangan translasinya dan koordinat titik P’ dan Q’.160 Kelas IX SMP/MTs7. Seekor harimau sedang berburu rusa di dalam hutan. Berdasarkan hasil pemantauan diketahui bahwa koordinat rusa berada di titik A dan koordinat harimau berada pada titik B. Rusa tersebut kemudian bergerak menuju titik C. 8 C 12 3 4567 7 6 5 4 3 A 2 1–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 B –3 –4 a. Tentukan pasangan bilangan translasi yang menggerakkan rusa dari titik A menuju titik C. b. Jika harimau menggunakan translasi yang sama dengan yang dilakukan oleh rusa, apakah harimau dapat menangkap rusa tersebut? c. Tentukan pasangan bilangan translasi yang harus dilakukan oleh harimau agar ia mendapatkan rusa. MATEMATIKA 1613.3 Perputaran (Rotasi) Pertanyaan PentingApakah kamu pernah melihat suatu benda berputar? Apa yang dimaksud denganrotasi pada suatu benda? Bagaimana caramu menentukan koordinat bayangan hasilrotasi pada koordinat kartesius? Supaya kamu dapat mengetahui dan memahamijawaban pertanyaan di atas lakukanlah kegiatan-kegiatan di bawah ini.Kegiatan 1 Rotasi Benda Ayo Kita Amati 12 12 12 11 1 11 1 11 110 2 10 2 10 293 93 938 4 8 4 8 4 7 5 7 5 7 5 6 6 6 (a) (b) (c) Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 3.3 Perputaran roda Coba perhatikan roda yang berputar pada Gambar 3.3 di atas. Roda tersebutdapat diputar searah jarum jam seperti yang terlihat pada Gambar 3.3 (b) atau dapatdiputar berlawanan arah jarum jam seperti yang terlihat pada Gambar 3.3 (c). Gerakanputaran roda merupakan salah satu contoh dari rotasi. Rotasi merupakan salah satubentuk transformasi yang memutar setiap titik pada gambar sampai sudut dan arahtertentu terhadap titik yang tetap. Titik tetap ini disebut pusat rotasi. Besarnya sudutdari bayangan benda terhadap posisi awal disebut dengan sudut rotasi.162 Kelas IX SMP/MTsBeberapa benda dapat berotasi dengan pusat rotasi Kutub Utaraberada di dalam benda itu sendiri. Salah satu contohnyaadalah Planet Bumi berputar atau berotasi pada Kutub Selatanporosnya. Pada pembelajaran terdahulu, kamu juga telah Sumber: http://www.fisikanet.mempelajari bahwa beberapa benda memiliki simetri lipi.go.idputar. Jika suatu bangun/gambar dapat dirotasikankurang dari 360o terhadap titik pusat rotasi sedemikiansehingga bayangan dan gambar awalnya sama, makabangun/gambar tersebut memiliki simetri putar. 61 56 4552 41 36 43 32 21 34 23 1225 14 63 16 65 54 Gambar di atas menunjukkan segi enam beraturan yang memiliki 6 bentuk yangsama jika diputar/dirotasikan. Karena segi enam setelah diputar kurang dari 360o(termasuk 0o) bentuknya sama seperti semula, maka segi enam memiliki simetriputar tingkat enam. Jika suatu bangun setelah diputar satu putaran pada pusatnya dan bentuknyasama sepeti gambar awal setelah n putaran, maka bangun tersebut memiliki simetriputar tingkat n, untuk n > 1. Ayo Kita Gali InformasiSekarang coba kamu sebutkan sedikitnya 5 bangun yang memiliki simetri putar dansebutkan bangun tersebut memiliki simetri putar tingkat berapa. MATEMATIKA 163Kegiatan 2 Merotasi Puzzle Ayo Kita AmatiCoba kamu amati puzzle di samping ini. Tariklah garis lurusdari titik P ke arah pusat puzzle tersebut. Rotasikan puzzletersebut 270o searah jarum jam dengan pusat rotasi di titik P. Puzzle mana yang menjadi hasil rotasinya? P AB C D Ayo Kita Gali Informasi 1. Jika puzzle tersebut dirotasikan 90o berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi titik P, puzzle mana yang menjadi bayangan hasil rotasinya? 2. Jika puzzle tersebut dirotasikan 180o berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi titik P, puzzle mana yang menjadi bayangan hasil rotasinya? Bagaimana jika puzzle tersebut dirotasikan 180o berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi titik P, puzzle mana yang menjadi bayangan hasil rotasinya? Apakah hasilnya sama? 3. Apakah pilihan D merupakan hasil rotasi dari puzzle awal? Jika tidak, jenis transformasi apakah yang ditunjukkan oleh pilihan D terhadap puzzle awal? Ayo Kita Menanya Setelah kamu melakukan Kegiatan 2, buatlah pertanyaan dengan menggunakan beberapa kata berikut: rotasi, searah jarum jam, berlawanan jarum jam, sudut rotasi, dan pusat rotasi. Tuliskan pertanyaanmu tersebut dengan rapi pada buku tulismu.164 Kelas IX SMP/MTsKegiatan 3 Rotasi Titik pada Bidang KoordinatAyo Kita Mencoba Sediakan kertas milimeter (kertas berpetak). Kemudian buatlah koordinatkartesius pada kertas tersebut. Lakukanlah kegiatan di bawah ini.1. Buatlah titik W (7, 7) dan titik A (5, 4). Gambar dan tentukan bayangan titik W dan A pada rotasi 90o dengan pusat rotasi titik asal O (0, 0) searah jarum jam.2. Gambar dan tentukan bayangan titik W dan A pada rotasi 90o dengan pusat rotasi titik asal O (0, 0) berlawanan arah jarum jam.3. Jika titik W dan A dirotasikan sejauh 180o dengan pusat rotasi titik asal O (0, 0) searah jarum jam, berapakah koordinat bayangannya?4. Apakah hasilnya sama jika kamu merotasikan titik tersebut sejauh 180o dengan pusat rotasi titik asal O (0, 0) berlawanan arah jarum jam?Kegiatan 4 Menggambar Rotasi Segitiga Pada Bidang KoordinatAyo Kita Mencoba Sediakan kertas milimeter (kertas berpetak). Kemudian buatlah koordinatkartesius pada kertas tersebut. Lakukanlah kegiatan di bawah ini. Diketahui segitiga PQR memiliki koordinat di P (2, 3), Q (6, 3), dan R (5, 5).Gambarlah ∆PQR dan bayangannya yaitu ∆P’Q’R’ pada rotasi 60o berlawanandengan arah berlawanan perputaran jarum jam terhadap titik asal O (0, 0). Ikutilangkah-langkah di bawah ini.1. Pertama, gambar ∆PQR.2. Gambar ruas garis dari titik asal ke titik P. Tariklah garis OP dengan O menunjukkan titik asal. MATEMATIKA 1653. Gunakan busur untuk mengukur sudut 60o berlawanan arah jarum jam dengan OP sebagai salah satu sisinya. 4. Gambar garis OT sehingga POT membentuk sudut 60o. 5. Gunakan jangka untuk menyalin OP di OT. Beri nama garis OP’. 6. Ulangi langkah di atas untuk titik Q dan R sehingga didapatkan titik Q’ dan R’. Hubungkan titik P’, Q’ dan R’ sehingga terbentuk segitiga P’Q’R’. 7. ∆P’Q’R’ merupakan bayangan hasil rotasi 60o dari ∆PQR berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik asal O (0, 0). Ayo Kita Menalar Bagaimana hasil bayangan dari ∆PQR jika dirotasikan 90o dan 180o searah jarum jam? Berapakah koordinat titik P’, Q’ dan R’ yang merupakan bayangan dari titik P, Q, dan R? Lakukan langkah-langkah yang sama seperti pada bagian Ayo Kita Mencoba. Dikusi dan Berbagi Setelah kamu menjawab pertanyaan pada bagian Ayo Kita Menalar, tuliskan jawabanmu di buku tulismu. Diskusikan jawabanmu dengan teman sebangkumu. Periksalah apakah kalian memiliki jawaban yang sama. Majulah ke depan kelas, bagikan hasil diskusimu kepada teman sekelasmu. Ayo Kita Simpulkan Setelah kamu melakukan Kegiatan 4, apa yang dapat kamu simpulkan? Jika sembarang titik (x, y) dirotasikan 90o dengan pusat rotasi titik asal O (0, 0) searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam bagaimana koordinat bayangan hasil rotasinya?166 Kelas IX SMP/MTsJika sembarang titik (x, y) dirotasikan 180o dengan pusat rotasi titik asal O (0, 0)searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam bagaimana koordinat bayanganhasil rotasinya?Isilah Tabel 3.6 untuk memudahkanmu menarik kesimpulan Tabel 3.6 Koordinat Bayangan Hasil RotasiTitik Pusat Sudut Arah Rotasi Bayangan Rotasi Hasil Rotasikoordinat Rotasi(2, 4) (0, 0) 90o Searah jarum jam ...(x, y) (0, 0) 90o Searah jarum jam ...(x, y) (0, 0) 90o Berlawanan arah jarum jam ..(7, 5) (0, 0) 180o Berlawanan arah jarum jam ...(x, y) (0, 0) 180o Searah jarum jam ...(x, y) (0, 0) 180o Berlawanan arah jarum jam ...Materi Esensi 3.3 Perputaran (Rotasi)Rotasi merupakan salah satu bentuk transformasi rotasiyang memutar setiap titik pada gambar sampai sudutdan arah tertentu terhadap titik yang tetap. Titik tetap sudutini disebut pusat rotasi. Besarnya sudut dari bayangan rotasibenda terhadap posisi awal disebut dengan sudutrotasi. pusat rotasi MATEMATIKA 167Gambar di bawah ini menunjukkan rotasi bangun ABCD terhadap pusat rotasi,R. Besar sudut ARA’, BRB’, CRC’, dan DRD’ sama. Sebarang titik P pada bangunABCD memiliki bayangan P’ di A’B’C’D’ sedemikian sehingga besar ∠PRP’konstan. Sudut ini disebut sudut rotasi. D’ A’ B’ D P’ A C’ m∠D’RD = 60o RC PB m∠P’RP = 60o Suatu rotasi ditentukan oleh arah rotasi. Jika berlawanan arah dengan arahperputaran jarum jam, maka sudut putarnya positif. Jika searah perputaran jarumjam, maka sudut putarnya negatif. Pada rotasi, bangun awal selalu kongruen denganbayangannya.Contoh 1 Menggambar Bayangan Segitiga Hasil Rotasi Tentukan bayangan segitiga JKL dengan koordinat J (1, 2), K (4, 2), dan L (1, –3)pada rotasi 90o berlawanan jarum jam dengan pusat rotasi adalah titik L.Penyelesaian:dapatkan titik K’ sehingga segmen y gambargaris KL memiliki panjang yang Y segitigasama dengan segmen garis K’L’dan membentuk sudut 90o. 4 JKL 3dengan cara yang sama untuk Kmendapatkan J’. Hubungkan ke- Jtiga titik tersebut. 2 1 K’ –4 –3 –2 –1 0 1234 x –1 putar –2 90o J’ –3 L’ L –4 Koordinat bayangannya J’ (–4, –3), K’ (–4, 0), dan L’ (1, –3).168 Kelas IX SMP/MTsContoh 2 Menggambar Bayangan Trapesium Hasil Rotasi Tentukan bayangan trapesium WXYZ dengan koordinat W (–4, 2), X (–3, 4),Y (–1, 4) dan Z (–1, 2) pada rotasi 180o dengan pusat rotasi O (0, 0).Penyelesaian: Y y 4 Xgambar 3 dapatkan titik Z’ sehinggaWXYZ W Z2 segmen garis ZO memiliki putar panjang yang sama dengan Z’O 1 180o dan membentuk sudut 180o. –4 –3 –2 –1 0 1 234 x –2 Z’ W’ dengan cara yang sama dapatkan –3 X’ titik W’, X’, dan Y’. Hubungkan –4 Y’ keempat titik tersebut.Koordinat bayangannya W’ (4, –2), X’ (3, –4), Y’ (1, –4) dan Z’ (1, –2). Ayo Kita Tinjau Ulang Setelah kamu mengamati, menggali informasi, dan menanya, sekarang selesaikanpermasalahan berikut. Gambar bayangan rotasi dari Segi empat ABCD dengan A (–5, 4), B (–5, 1),C (–1, 1) dan D (–2, 4) berikut dengan sudut 90o jika diketahui arah rotasi berlawananjarum jam dan pusat rotasi di titik C. Tentukan koordinat titik-titik bayangannya. Latihan 3.3 Perputaran (Rotasi)1. Jelaskan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil rotasi dari gambar yang berwarna merah. Jika ya, dapatkan berapa besar sudut rotasi dan bagaimana arah dari rotasi tersebut. MATEMATIKA 169y y 4 4 3 3 2 2 1 a. 0 1234x c. –4 –3 –2 –4 –3 –2 0 1234x –2 –2 –3 –3 –4 –4 y b. 2 –4 –3 –2 1 1234x 0 –2 –3 –4 2. Segi empat PQRS berkoordinat di P (2, –2), Q (4, –1), R (4, –3) dan S (2, –4). Gambarlah bayangan PQRS pada rotasi 90o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal. 3. Salinlah ∆WAN berikut. Kemudian rotasikan segitiga tersebut sebesar 90o searah jarum jam yang berpusat di titik H. W H AN 4. Gambar bayangan rotasi setiap bangun berikut dengan sudut 90o jika diketahui arah dan pusat rotasi. Tentukan koordinat titik-titik bayangannya. ∆WAN dengan W (–4, 1), A (–2, 1), dan N (–4, –3) berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik N.170 Kelas IX SMP/MTs5. Gambar bayangan tranformasi untuk setiap segitiga berikut dengan mencerminkan segitiga pada garis yang diketahui. Bayangan akhir dari setiap bangun juga merupakan hasil rotasi. Tentukan koordinat bayangan dan sudut rotasi. a. ∆TUV dengan T (4, 0), U (2, 3), dan V (1, 2) direfleksikan pada sumbu-y dilanjutkan sumbu-x. b. ∆KLM dengan K (5, 0), L (2, 4), dan M (–2, 4) direfleksikan pada garis y = x dilanjutkan sumbu-x. c. ∆XYZ dengan X (5, 0), Y (3, 4), dan Z (–3, 4) direfleksikan pada garis y = –x dilanjutkan garis y = x.6. Diketahui segitiga JKL seperti pada gambar di bawah ini. yJ 4 K 3 2L 1 x–4 –3 –2 0 1234 –2 –3 –4 a. Rotasikan segitiga JKL dengan sudut rotasi 90o searah jarum jam dengan pusat rotasi titik asal (0, 0). Berapakah koordinat titik sudut dari segitiga J’K’L’ yang merupakan bayangan dari segitiga JKL? b. Rotasikan segitiga JKL dengan sudut rotasi180o searah jarum jam dengan pusat rotasi titik asal (0, 0). Berapakah koordinat titik sudut dari segitiga J’K’L’ yang merupakan bayangan dari segitiga JKL? MATEMATIKA 1717. Diketahui segitiga RST dengan koordinat titik sudut di R (3 ,6), S (–5, 2) dan T (3, –3). Gambar bayangan hasil transformasinya jika diketahui segitiga tersebut: a. Dirotasi 90o searah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y. b. Dirotasi 90o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian didilatasi dengan faktor skala 2 berpusat di titik asal. c. Dirotasi 180o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian diitranslasi setelah itu dicerminkan terhadap sumbu-x.  3.4 DilatasiPertanyaan Penting Semua transformasi yang telah kamu pelajari dalam bab ini menghasilkan gambaryang sama dengan gambar aslinya. Dilatasi merupakan jenis lain dari transformasi.Namun, bayangan dilatasi mungkin memiliki ukuran yang berbeda dari gambar aslinya.Dilatasi merupakan transformasi yang mengubah ukuran sebuah gambar. Dilatasimembutuhkan titik pusat dan faktor skala. Apa itu titik pusat dilatasi dan faktor skala?Lakukan kegiatan di bawah ini agar kamu dapat menjawab pertanyaan tersebut.Kegiatan 1 Dilatasi Benda Ayo Kita Amati Gambar di bawah ini menunjukkan bagaimana dilatasi dapat menghasilkanbayangan yang lebih besar dan bayangan yang lebih kecil dari aslinya. Segitiga ABCdidalatasi dengan pusat dilatasi titik awal P (0, 0) sehingga menghasilkan segitigaA2B2C2 dan segitiga A3B3C3.172 Kelas IX SMP/MTsy A3 19 A 18 16 B3 C3 15 C 14 A2 13 B 12 11 B2 C2 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1–3 –2 –1 Ayo Kita Gali Informasi Berapakah koordinat dari titik A, B, dan C? Berapakah koordinat dari titik A2, B2,dan C2? Berapakah koordinat dari titik A3, B3, dan C3? Perhatikan segitiga A2B2C2 dan segitiga ABC. Berapakah panjang PA2jikadibandingkan dengan PA? Bagaimana dengan perbandingan kedua sisi yang lain?Apakah sama? Coba lengkapi bagian kosong di bawah ini untuk memudahkanmumelihat hubungan antara segitiga A2B2C2 dan segitiga ABC. PA2 = ... × (PA) PB2 = ... × (PB) PC2 = … × (PC) Nilai ini selanjutnya disebut dengan faktor skala MATEMATIKA 173Berapakah besarnya faktor skala segitiga A2B2C2 yang merupakan hasil dilatasidari segitiga ABC? Dengan cara yang sama, berapakah faktor skala Segitiga A3B3C3 yang merupakanhasil dilatasi segitiga ABC? Ayo Kita Mencoba Segitiga ABC yang telah kamu amati pada Kegiatan 1, selanjutnya akan didilatasidengan faktor skala 3. Berapa koordinat bayangan hasil dilatasi?Ayo Kita Menanya Setelah kamu melakukan Kegiatan 1, buatlah pertanyaan dengan menggunakanbeberapa kata berikut: koordinat bayangan, dilatasi, dan faktor skala. Tuliskanpertanyaanmu tersebut dengan rapi pada buku tulismu.Kegiatan 2 Menggambar Bayangan Hasil Dilatasi Ayo Kita Mencoba Diketahui segitiga ABC berkoordinat di A (7, 10), B (4, –6), dan C (–2, 3).Tentukan bayangan ∆ABC setelah didilatasi yang berpusat di titik asal dengan faktorskala 2. Gambar segitiga asal dan bayangannya. Ikuti langkah-langkah berikut ini:Langkah 1 Gambar ∆ABC sesuai koordinatnya.Langkah 2 Tentukan titik A’ sehingga OA’ = 2OA, titik B’ sehingga OB’ = 2OB, dan titik C’ sehingga OC’ = 2OC.Langkah 3 Hubungkan titik-titik A’, B’ dan C’ menjadi ∆A’B’C’. Ayo Kita Gali Informasi Berapakah koordinat titik A’, B’ dan C’? Lengkapi bagian kosong di bawah iniuntuk mengetahui hubungan antar titik A’ dan A, B’ dan B, serta titik C’ dan C.174 Kelas IX SMP/MTsA’ = (…,…) = (2 × …, 2 ×…) B’ = (…,…) = (2 × …, 2 ×…) C’ = (…,…) = ( 2 × … , 2 × … ) Nilai ini menunjukkan faktor skala Nilai ini menunjukkan koordinat awal ABC Ayo Kita Menalar Berdasarkan Kegiatan 2, kamu telah mempelajari cara menentukan dilatasidengan pusat di titik asal O (0, 0). Kamu dapat dengan mudah menentukan titik-titik koordinat bayangan dengan mengalikan titik koordinat asli dengan faktor skala.Bagaimana jika pusat dilatasi bukan di titik asal O (0, 0)? Jelaskan bagaimana caramumenentukan bayangan suatu bangun yang berpusat di suatu titik P (a, b). Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan Kegiatan 1, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Setelah kamu melakukan beberapa kegiatan di atas, coba kamu buat kesimpulan dengan menjawab beberapa pertanyaan berikut ini. 1. Apa saja faktor yang menentukan dalam proses dilatasi? 2. Jika suatu titik P (x, y) didilatasi dengan pusat O (0, 0) dengan faktor skala k, bagaimana koordinat akhirnya? 3. Apakah pembesaran dan pengecilan suatu bangun termasuk dilatasi? Jika ya, bagaimana cara membedakannya? MATEMATIKA 175Dikusi dan Berbagi Setelah kamu menjawab pertanyaan pada bagian Ayo Kita Simpulkan, tuliskanjawabanmu di buku tulismu. Diskusikan jawabanmu dengan teman sebangkumu.Periksalah apakah kalian memiliki jawaban yang sama. Majulah ke depan kelas,bagikan hasil diskusimu kepada teman sekelasmu.Materi Esensi 3.4 Dilatasi Dilatasi terhadap titik pusat merupakan perkalian dari koordinat tiap-tiap titikpada suatu bangun datar dengan faktor skala sebesar k. Faktor skala menentukanapakah suatu dilatasi merupakan pembesaran atau pengecilan. Secara umum dilatasidari suatu koordinat (x, y) dengan faktor skala k akan menghasilkan koordinat (kx,ky) atau dapat ditulis (x, y) → (kx, ky). Ketika k > 1 maka dilatasi tersebut termasukke dalam pembesaran, tetapi jika 0 < k < 1 maka dilatasi tersebut termasuk ke dalampengecilan. Untuk memperbesar atau memperkecil bangun, letak pusat dilatasi dapatdi dalam, di luar, atau pada tepi bangun yang akan didilatasikan. y7 B’ A’65432A B1 C C’0 1234567x176 Kelas IX SMP/MTsContoh 1 Dilatasi Pada Segitiga dengan Pusat Dilatasi di Titik AsalDiketahui segitiga ABC dengan titik y B’sudut masing-masing A (1, 3), B (2, 3), 9 A’dan C (2, 1). Gambar segitiga ABC dan C’bayangannya setelah didilatasi dengan 8 56xfaktor skala 3 dengan pusat dilatasi titikawal. 7 6Penyelesaian: 5Titik sudut (3x, 3y) Titik sudut 4 ABC A’B’C’ 3 ABA (1, 3) (3 × 1, 3 × 3) A’ (3, 9) 2B (2, 3) (3 × 2, 3 × 3) B’ (6, 9) 1C 0 1234C (2, 1) (3 × 2, 3 × 1) C’ (6, 3)Contoh 2 Dilatasi Pada Segi Empat dengan Pusat Dilatasi di Titik AsalDiketahui segi empat WXYZ dengan titik sudut ymasing-masing W (–4, –6), X (–4, 8), Y (4, 8)dan Z (4, –6). Gambar segi empat WXYZ dan 10 Ybayangannya setelah didilatasi dengan faktor Xskala 0,5 dengan pusat dilatasi titik awal. 6 X’ Y’Penyelesaian: 2Titik sudut Titik sudut –6 0 0x WXYZ W’X’Y’Z’ (0,5x, 0,5y)W (–4, –6) (0,5 × (–4), 0,5 × (–6)) W’ (–2, –3) W’ Z’ W ZX (–4, 8) (0,5 × (–4), 0,5 × 8) X’ (–2, 4) 8Y (4, 8) (0,5 × 4, 0,5 × 8) Y’ (2, 4)Z (4, –6) (0,5 × 4, 0,5 × (–6)) Z’ (2, –3) MATEMATIKA 177Contoh 3 Dilatasi Pada Segi Empat dengan Pusat Dilatasi di Titik PPersegi panjang KLMN berkoordinat di K (2, 0), L (3, 0), M (3, 2) dan N (2, 2).Tentukan koordinat K’L’M’N’yang merupakan bayangan dari persegi panjang KLMNsetelah didilatasi dengan pusat dilatasi di titik P (1, 4) dan faktor skala 2.PenyelesaianLangkah 1Tentukan titik P dan gambar persegi panjang KLMN pada bidang koordinat.Langkah 2Buat garis dari titik P sehingga PK’ = 2PKPL’ = 2PL, PM’ = 2PM, dan PN’ = 2PN.Sehingga diperoleh titik-titik koordinat bayangan K, L, M, dan N adalah sebagai berikut.K’ (3, -4), L (5, –4), M (5, 0), dan N’ (3, 0).Langkah 3Hubungkan titik-titik K’, L’, M’, dan N’ sehingga terbentuk persegi panjang K’L’M’N’. y 4 P (1, 4) x 3 2 N (2, 2) M (3, 2) 1 K (2, 0) L (3, 0) M’ (5, 0) –3 –2 –1 0 1 23 45 –1 –2 N’ (3, 0) –3 –4 K’ (3, –4) L’ (5, –4) –5178 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Tinjau Ulang1. Bagaimana bentuk bayangan suatu bangun jika didilatasi dengan faktor skala yang bernilai negatif? Apakah arahnya berbeda jika dibandingkan dengan bayangan hasil dilatasi oleh faktor skala positif? Jelaskan.2. ∆DEF berkoordinat di D (5, 8), E (–3, 4), dan F (–1, –6). Tentukan bayangan ∆DEF yang berpusat di titik asal dan faktor skala 3. Gambarlah ∆DEF sebelum dan sesudah didilatasi.Latihan 3.4 Dilatasi1. Tunjukkan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil dilatasi dari gambar yang berwarna merah. Berikan penjelasanmu. a. d. b. e. c. f. MATEMATIKA 1792. Gambar yang berwarna biru merupakan hasil dilatasi dari gambar berwarna merah. Tentukan faktor skala dan jenis dilatasinya. y B’ y87 X6 A’5 443A 32 C’1C 2 X’ 1 B –3 –2 0 1234 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Y’ Z’ –2 Z –3 –4 Y J’ y K’ J K 2 x –10 –4 0 2 –4 ML –8 M’ –10 L’3. Titik sudut dari masing-masing bidang datar diberikan sebagai berikut. Gambar bidang datar yang dimaksud dan bayangannya setelah dilatasi dengan faktor skala yang diberikan masing-masing. Sebutkan jenis dilatasinya. a. A (1, 1), B (1, 4), dan C (3, 1) dengan faktor skala 4 b. G (–2, –2), H (–2, 6), dan J (2, 6) dengan faktor skala 0,25 c. Q (–3, 0), R (–3, 6), S (4, 6), dan T (4, 0) dengan faktor skala 1 3180 Kelas IX SMP/MTs4. Garis TU berkoordinat di T (4, 2) dan U (0, 5). Setelah didilatasi, bayangan yang terbentuk memiliki koordinat di T’ (6, 3) dan U’ (12, 11). Tentukan faktor skala yang digunakan.5. Segitiga KLM berkoordinat di K (12, 4), L (4, 8), dan M (8, –8). Setelah dua kali dilatasi berturut-turut yang berpusat di titik pusat dengan faktor skala yang sama, bayangan akhirnya memiliki koordinat K’’ (3, 1), L’’ (1, 2), dan M’’ (2, –2). Tentukan faktor skala k yang digunakan untuk dilatasi ∆KLM menjadi ∆K’’L’’M’’.6. Gambar sebarang persegi pada bidang koordinat (kamu bebas menentukan panjang sisi dari persegi tersebut). Pilih faktor skala 2, 3, 4, dan 5 kemudian dilatasikan persegi yang telah gambar dengan masing-masing faktor skala tersebut. Gambar bayangan hasil dilatasi dengan masing-masing faktor skala. Hitung luas tiap-tiap persegi, baik persegi awal, maupun persegi hasil dilatasi dengan masing-masing faktor skala. a. Berapa kali lebih besar luas persegi hasil dilatasi dengan menggunakan masing-masing faktor skala jika dibandingkan dengan luas persegi awal? b. Bagaimana rumus untuk mementukan luas persegi hasil dilatasi jika diketahui panjang sisi dari persegi awal adalah r dan faktor skala k? (Dapatkan rumus tersebut tanpa harus menggambar bayangan hasil dilatasi, gunakan perbandingan pada jawaban a) c. Jika diberikan panjang sisi persegi awal 4 satuan, dan faktor skala 7. Berapa kali lebih besar luas persegi hasil dilatasi jika dibandingkan dengan luas persegi awal?7. Gunakan lampu senter dan tanganmu untuk membuat bayangan kelinci pada dinding. a. Menurutmu mana yang lebih besar, apakah tanganmu yang asli atau bayangan tanganmu yang membentuk gambar kelinci? MATEMATIKA 181b. Jika dihubungkan dengan dilatasi, merepresentasikan apakah lampu senter yang digunakan pada percobaan tersebut? c. Berdasarkan hasil perhitungan diketahui bahwa panjang hari tangan 7 cm, sedangkan panjang bayangannya di dinding 14 cm. Berapakah faktor skalanya? d. Jika tanganmu digerakkan mendekati lampu senter, menurutmu apa yang akan terjadi pada bayangannya di dinding? Apa hubungannya dengan faktor skala? 8. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik sudut di A (6, 12), B (–9, 3) dan C (6, –6). Gambar bayangan hasil transformasinya jika diketahui segitiga tersebut: a. Didilatasi dengan menggunakan faktor skala 1 dengan pusat titik asal 3 kemudian dirotasi 90o searah jarum jam yang berpusat di titik asal. b. Didilatasi dengan menggunakan faktor skala 2 dengan pusat titik asal kemudian diitranslasi setelah itu dicerminkan terhadap sumbu-y. Proyek 3 Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 anak.Sebagai tugas dari proyek kali ini, kalian akan membuat permainan tetris dengan versimu sendiri. Sebelum bekerja lebih jauh, kalian perlu mengetahui terlebih dahulu mengenai beberapa hal terkait tetris.Tetris (bahasa Rusia: Тетрис) merupakan teka-teki yang didesain dan diprogram oleh Alexey Pajitnov pada bulan Juni1985, pada saat ia bekerja di Pusat Komputer Dorodnicyn di Akademi Sains Uni Soviet di Moskow. Namanya berasal dari awalan numerik Yunani tetra yang bermakna bangun dengan empat bagian. Permainan ini (atau variasi lainnya) terdapat pada hampir setiap konsol permainan video dan komputer pribadi. Walaupun Tetris muncul kebanyakan pada komputer rumahan, permainan ini lebih sukses pada versi Gameboy yang dirilis pada 1989 yang membuatnya sebagai permainan paling populer sepanjang masa. Pada berita Electronic Gaming Monthly ke-100, Tetris berada pada urutan pertama pada “Permainan Terbaik Sepanjang Masa”. Pada tahun 2007, Tetris berada di urutan kedua pada “100 Permainan Terbaik Sepanjang Masa” menurut IGN.182 Kelas IX SMP/MTsGambar di atas merupakan contoh permainan tetris. Pada permainan iniberbagai macam tetromino yang terdiri dari empat balok akan jatuh. Tujuandari permainan ini adalah bagaimana cara memanipulasi tetromino yang jatuh,dengan mengerakannya ke samping atau memutarnya, sehingga akan terbentukgaris horizontal tanpa celah, ketika sudah terbentuk, tetromino tersebut akanmenghilang, sehingga tetromino diatasnya akan terjatuh. Ketika permainanberlanjut, tetromino tersebut akan jatuh lebih cepat. Permainan akan berakhirapabila tetromino berikutnya terhalang sehingga tidak bisa masuk.Tetromino yang terdapat pada tetris terdiri atas 7 jenis, yaitu I-block, J-block,L-block, O-block, S-block, T-block, dan Z-block. Coba perhatikan gambartetromino yang biasanya terdapat pada permainan tetris di bawah ini. Setelah kalian mengetahui permainan dan cara kerja tetris, kini kalian akanmembuat permainan tetris dari 7 jenis tetromino yang ada dengan menggunakanprinsip transformasi yang telah kalian pelajari pada bab ini.Bahan- Kertas karton putih sebagai papan permainan tetris berukuran 2 meter × 1 meter. MATEMATIKA 183- Kertas karton berwarna biru muda sebagai pembentuk I-block - Kertas karton berwarna biru tua sebagai pembentuk J-block - Kertas karton berwarna orange sebagai pembentuk L-block - Kertas karton berwarna kuning sebagai pembentuk O-block - Kertas karton berwarna hijau muda sebagai pembentuk S-block - Kertas karton berwarna ungu muda sebagai pembentuk T-block - Kertas karton berwarna merah sebagai pembentuk Z-block - Penggaris - Spidol Hitam - Kertas untuk mencatat jenis transformasi pada masing-masing tetromino Langkah-langkah pembuatan permainan 1. Buatlah papan permainan tetris dengan menggunakan kertas karton berwarna putih, spidol hitam, dan penggaris seperti gambar di bawah ini 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D E F G H I J K L M N O 2. Papan permainan tetris berukuran 15 (pada sumbu vertikal) dan 20 (pada sumbu horizontal). Tiap-tiap 1 kotak dalam papan permaian tetris memiliki184 Kelas IX SMP/MTsukuran 5 × 5 cm. Selanjutnya berikan label huruf pada sumbu vertikal dan abel angka pada sumbu horizontal (perhatikan contoh papan permainan tetris di atas). Tujuan dari pemberian label adalah untuk mengetahui posisi/ koordinat dari masing-masing tetromino yang berada di dalam permainan.3. Setelah kamu selesai membuat papan permaian tetris, selanjutnya kamu menbuat tetromino sesuai dengan warna yang telah ditentukan. Buatlah I-block dengan menggunakan kertas karton berwarna biru muda, J-block dengan menggunakan kertas karton berwarna biru tua, L-block dengan menggunakan kertas karton berwarna orange, O-block dengan menggunakan kertas karton berwarna kuning, S-block dengan menggunakan kertas karton berwarna hijau muda, T-block dengan menggunakan kertas karton berwarna ungu muda, dan Z-block dengan menggunakan kertas karton berwarna merah. Perhatikan bahwa ukuran dari tetromino haruslah sesuai dengan papan permainan tetris. Dengan demikian ukuran tiap-tiap kotak tetromino adalah 5 × 5 cm. Untuk tiap-tiap tetromino kalian diwajibkan membuat masing-masing 8 buah.4. Setelah kamu selesai membuat tetromino, berikan label/nama pada masing- masing tetrimino dengan aturan berikut: - Untuk tetromino berbentuk I-block berikan label I-1 sampai dengan I-8 - Untuk tetromino berbentuk J-block berikan label J-1 sampai dengan J-8 - Untuk tetromino berbentuk L-block berikan label L-1 sampai dengan L-8 - Untuk tetromino berbentuk O-block berikan label O-1 sampai dengan O-8 - Untuk tetromino berbentuk S-block berikan label S-1 sampai dengan S-8 - Untuk tetromino berbentuk T-block berikan label T-1 sampai dengan T-8 - Untuk tetromino berbentuk Z-block berikan label Z-1 sampai dengan Z-85. Setelah masing-masing tetromino memiliki label, langkah berikutnya adalah kamu mencoba masing-masing tetromino tersebut benar-benar memiliki ukuran yang bersesuaian dengan papan permainan tetris. Cobalah untuk memutar dan menggeser masing-masing tetromino tersebut pada papan permaian tetris. Jika semua telah sesuai, maka permaian tetris siap untuk dimulai. MATEMATIKA 185Langkah-langkah permainan 1. Pada permainan tetris ini, kamu hanya menggunakan 2 prinsip transformasi, yaitu rotasi dan translasi. 2. Pada bagian awal papan tetris dalam kondisi kosong (tidak ada tetromino sama sekali) 3. Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D 5. Pada permainan tetris, tetromino selalu muncul pada bagian paling atas dari papan permainan. Biasanya tetromino muncul secara acak. Namun pada permainan tetris kali ini, ada beberapa aturan terkait dengan kemunculan tetromino pada bagian atas papan permainan. Perhatikan gambar di atas yang menunjukkan koordinat atau posisi munculnya tetromino pada bagian atas papan permainan. - I-block selalu muncul pada koordinat A1, A2, A3, dan A4 - O-block selalu muncul pada koordinat A5, A6, B5, dan B6 - S-block selalu muncul pada koordinat A8, A9, B7, dan B8 - T-block selalu muncul pada koordinat A10, B9, B10, dan B11 - Z-block selalu muncul pada koordinat A11, A12, B12, dan B13 - J-block selalu muncul pada koordinat A14, B14, B15, dan B16 - L-block selalu muncul pada koordinat A19, B17, B18 dan B19 4. Urutan kemunculan dari tetromino yaitu I- block muncul pertama, kemudian diikuti oleh O-block pada urutan kedua, S-block pada urutan ketiga, T-block pada urutan keempat, Z-block pada urutan kelima, J-block pada urutan keenam, dan terakhir adalah L-block. Jika telah selesai, maka kembali lagi ke I-block, lalu O-block, dan seterusnya seperti urutan yang dijelaskan di atas. Permaian berhenti jika tetromino yang digunakan telah habis.186 Kelas IX SMP/MTs5. Langkah-langkah pada permainan ini yaitu: a. I-block muncul terlebih dahulu kemudian pemain menggerakkan I-block hingga I-block menyentuh bagian paling bawah pada papan permaian tetris. Ketika I-block mencapai bagian bawah papan permaian tetris ada 2 kemungkinan posisi I-block, yaitu posisi horizontal dan vertikal. Perhatikan gambar di bawah ini. Pemain bebas menetukan pada posisi mana sebaiknya L-block diletakkan. b. Setelah I-block telah mencapai bagian bawah papan permainan, selanjutnya muncul O-block. Pemain harus menggerakkan O-block ini hingga mencapai bagian bawah papan permainan. Pemain bebas menentukan di posisi mana O-block akan diletakkan, apakah pada bagian paling bawah dari papan permainan ataukah di atas posisi dari I-block. c. Selanjutnya ketika O-block telah mencapai bagian bawah papan permainan maka muncul S-block. Pemain harus menggerakkan S-block ini hingga mencapai bagian bawah papan permainan. Pemain bebas menentukan di posisi mana S-block akan diletakkan, apakah pada bagian paling bawah dari papan permainan ataukah di bagian atas dari tetromino yang lainnya. Ketika S-block mencapai bagian bawah papan permaian tetris ada 2 kemungkinan posisi S-block, yaitu posisi horizontal dan vertikal. Perhatikan gambar di bawah ini. Pemain bebas menetukan pada posisi mana sebaiknya S-block diletakkan. d. Ketika S-block telah mencapai bagian bawah papan permainan maka muncul T-block. Pemain harus menggerakkan T-block ini hingga mencapai bagian bawah papan permainan. Pemain bebas menentukan di MATEMATIKA 187posisi mana T-block akan diletakkan, apakah pada bagian paling bawah dari papan permainan ataukah di bagian atas dari tetromino yang lainnya. Ketika T-block mencapai bagian bawah papan permaian tetris ada 4 kemungkinan posisi T-block, yaitu posisi horizontal ke atas, horizontal ke bawah, vertikal ke arah kanan, dan vertikal ke arah kiri. Perhatikan gambar di bawah ini. Pemain bebas menetukan pada posisi mana sebaiknya T-block diletakkan. e. Setelah T-block telah mencapai bagian bawah papan permainan, selanjutnya muncul Z-block. Pemain harus menggerakkan Z-block ini hingga mencapai bagian bawah papan permainan. Pemain bebas menentukan di posisi mana Z-block akan diletakkan, apakah pada bagian paling bawah dari papan permainan ataukah di bagian atas dari tetromino yang lainnya. Ketika Z-block mencapai bagian bawah papan permaian tetris ada 2 kemungkinan posisi Z-block, yaitu posisi horizontal dan vertikal. Perhatikan gambar di bawah ini. Pemain bebas menetukan pada posisi mana sebaiknya Z-block diletakkan. f. Ketika Z-block telah mencapai bagian bawah papan permainan maka muncul J-block. Pemain harus menggerakkan J-block ini hingga mencapai bagian bawah papan permainan. Pemain bebas menentukan di posisi mana J-block akan diletakkan, apakah pada bagian paling bawah dari papan permainan ataukah di bagian atas dari tetromino yang lainnya. Ketika J-block mencapai bagian bawah papan permaian tetris ada 4 kemungkinan posisi T-block. Perhatikan gambar berikut ini.188 Kelas IX SMP/MTsPemain bebas menetukan pada posisi mana sebaiknya J-block diletakkan. g. Setelah J-block telah mencapai bagian bawah papan permainan, selanjutnya muncul L-block. Pemain harus menggerakkan L-block ini hingga mencapai bagian bawah papan permainan. Pemain bebas menentukan di posisi mana L-block akan diletakkan, apakah pada bagian paling bawah dari papan permainan ataukah di bagian atas dari tetromino yang lainnya. Ketika L-block mencapai bagian bawah papan permaian tetris ada 4 kemungkinan posisi L-block. Perhatikan gambar di bawah ini. Pemain bebas menetukan pada posisi mana sebaiknya L-block diletakkan. h. Setelah L-block mencapai bagian bawah papan permainan, selanjutnya kembali muncul I-block, kemudian diikuti oleh O-block, S-block, T-block, Z-block, J-block, dan terakhir L-block. Jika telah selesai, maka kembali lagi ke I-block, lalu O-block, dan seterusnya seperti urutan yang dijelaskan sebelumnya. Permainan berhenti jika tetromino yang digunakan telah habis.6. Syarat dari permaian ini yaitu : - Tidak boleh ada kotak yang kosong di sela-sela tetromino - Jika baris bagian bawah dari papan permainan telah penuh, kamu dapat mengisi baris pada bagian yang berada pada posisi lebih atas MATEMATIKA 189- Jika baris bagian bawah dari papan permainan telah penuh, kamu dapat mengisi baris pada bagian yang berada pada posisi lebih atas - Kamu tidak diperbolehkan mengubah urutan dan posisi awal dari kemunculan tetromino - Kamu hanya diperbolehkan melakukan rotasi dan translasi pada masing- masing tetromino - Permainan berhenti jika tetromino telah habisTugasSediakan kertas untuk mencatat, lalu buatlah tabel seperti di bawah iniNo. Nama/Label Tetromino Urutan Translasi 1. I-1 ... 2. O-1 ... 3. S-1 ... 4. ⋮ ⋮Jelaskan rangkaian urutan translasi yang dilakukan oleh masing-masing tetrominodari awal kemunculan hingga mencapai posisi akhir. Catatlah pada tabel di atas.Sajikan hasilmu tersebut di depan kelas.190 Kelas IX SMP/MTsUji Kompetensi 3 Transformasi1. Diketahui gambar berwarna biru merupakan bayangan hasil trasnformasi dari gambar berwarna merah. Tentukan jenis transformasinya. a. e. b. f. c. g. d. 2. Gambar setiap bangun berikut beserta bayangan hasil refleksi yang diberikan. a. Garis MN dengan M (3, 5) dan N (–2, –4) direfleksikan terhadap sumbu-x. b. ∆RST yang berkoordinat di R (2, –3), S (4, 5), dan T (–4, 6) direfleksikan terhadap sumbu-y. MATEMATIKA 191c. ∆KLM yang berkoordinat di K (2, 5), L (3, –4), dan M (–4, –7) direfleksikan terhadap titik asal. d. Segi empat ABCD dengan A (–1, –2), B (2, –3), C (6, 3), dan D (–4, 2) direfleksikan terhadap garis y = x. e. Garis FG dengan F (–4, 6) dan G (7, –9) direfleksikan terhadap garis y = –x.3. Diketahui titik C (u, v) dicerminkan terhadap garis x = 2 menghasilkan bayangan di titik C’ (5, 7). Maka nilai u + v adalah ....4. Diketahui segi empat TUVW berkoordinat T (3, 2), U (1, –4), V (–2, –3) dan W (–2, 4). Gambar bayangan segi empat TUVW setelah ditranslasi oleh dan dicerminkan terhadap garis y = x.5. Diketahui titik sudut sebuah segitiga yaitu I (–2, –1), J (–1, –4), dan K (–4, –1). Gambar bangun tersebut dan bayangannya dengan menggunakan translasi berikut ini. a. 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas b. (x – 2, y + 5) c. 5 satuan ke kiri dan 7 satuan ke bawah d. 6. Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik sudut di A (2, 5), B (–3, 4), C (4, 3) dan D (4, –2). Gambar bayangan hasil transformasinya jika diketahui segi empat tersebut: a. Ditranslasi 3 satuan ke kanan dan 5 satuan ke bawah kemudian dicerminkan terhadap sumbu-x. b. Dirotasi 90o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian ditranslasi (x – 3, y + 2). c. Ditranslasi kemudian didilatasi dengan faktor skala 2 dan berpusat di titik asal.192 Kelas IX SMP/MTs7. PAPAN TULISAndre Joko Vivi Devi Alex Dian DEPANDani Supri Dimas Santi Sumi StevenPaul Panca Wawan Winda Nita BudiWiwin Andy Bernard Ivanka Hafid Putri BELAKANG Boy Fahim Subchan Surya Endah UdinKIRI KANAN Perhatikan denah susunan tempat duduk kelas 9A SMP Ceria di atas pada minggu lalu. Pada minggu lalu Wawan duduk pada posisi nomor 3 dari depan dan lajur ke-3 dari kiri. Pada minggu ini Wawan berpindah pada bangku yang ditempati oleh Putri.Sedangkan Putri berpindah pada bangku yang ditempati oleh Winda, kemudian Winda berpindah pada bangku paling kiri belakang dan Boy menempati bangku yang diisi oleh Wawan pada minggu lalu. a. Jika pergeseran (translasi) posisi tempat duduk bernilai positif jika bergeser ke depan dan ke kanan serta bernilai negatif jika bergeser ke belakang dan ke kiri, maka tentukan pasangan bilangan translasi yang menunjukkan perpindahan posisi tempat duduk dari Wawan, Putri, Winda, dan Boy. b. Jika Andre melakukan translasi , bangku milik siapa yang ditempati oleh Andre pada minggu ini? c. Jika Ivanka, Dani, dan Alex masing-masing ingin bertukar posisi tempat duduk dengan syarat masing-masing siswa tidak diperbolehkan menempati posisi miliknya pada minggu lalu, tentukan 2 kemungkinan translasi yang dilakukan oleh masing-masing siswa tersebut. d. Jika Paul dan Fahim ingin bertukar bangku, tuliskan translasi yang dilakukan oleh masing-masing siswa tersebut. MATEMATIKA 1938. Pada bulan Desember 2015 terjadi kecelakaan kapal yang menyebabkan kapal tersebut hampir tenggelam. Berdasarkan hasil pemantauan di sekitar lokasi, diperkirakan ada 3 koordinat lokasi kemungkinan terjadinya kecelakaan tersebut yaitu di titik B, C, dan D. Titik A menunjukkan koordinat kapal tim SAR. 5 E D 23 45 4 3C B A 2 1 0–5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 –2 –3 –4 –5 a. Tentukan translasi yang harus dilakukan oleh kapal tim SAR jika ingin menuju titik B, C, dan D. b. Berdasarkan perhitungan oleh tim ahli, kemungkinan terbesar lokasi kecelakaan kapal berada pada radius 4 satuan dari posisi kapal tim SAR saat ini. Menurutmu pada titik mana kemungkinan terbesar terjadinya lokasi kecelakaan? c. Selain menggunakan kapal tim SAR, diketahui ada kapal lain, yaitu kapal Marina Emas, yang dapat membantu para korban di lokasi kecelakaan kapal (lokasi kecelakaan kapal berdasarkan jawabanmu pada poin b) dengan posisi koordinat di titik E. Menurutmu, kapal mana yang akan terlebih dahulu sampai ke lokasi terjadinya kecelakaan? Jelaskan.9. Diketahui garis RD berkoordinat di R (2, 5) dan D (–3, –1). a. Gambar bayangan garis RD setelah dilakukan rotasi 90o searah jarum jam dan berpusat di titik asal.

194 Kelas IX SMP/MTs

Page 2

Alternatif Penyelesaian: a. 75 = 25× 3 = 25 × 3 =5 × 3 =5 3 b. 500 = 100 × 5 = 100 × 5 =10 × 5 =10 5 c. 0, 000=081 81= =9 0, 009 1.000.000 1.000 d. 7 3 + 48 − 192 = 7 3 + 16 × 3 − 64 × 3 = 7 3 + 16 × 3 − 64 × 3 = 7 3 + 4 3 − 8 3 = 3 3Contoh 4 Jarak Pandang PesawatJarak pandang pesawat terbang selama terbang pada Sumber: Dokumen Kemdikbudkondisi normal dinyatakan dengan d = 1,5 h , di mana Gambar 1.15 Pesawatd adalah jarak pandang dalam meter dan h adalahketinggian pesawat dalam meter. Jika pengamat beradadalam pesawat yang terbang pada ketinggian 3.600meter, berapa jarak yang dapat dilihat olehnya?Alternatif Penyelesaian:Diketahui:ketinggian pesawat = h = 3.600 meterjarak pandang pesawat = d = 1,5 h = 1,5 3.600 = 1,5 × 60 = 90Jadi, pada ketinggian 3.600 meter jarak pandang pesawat yaitu 90 meter. Ayo Kita Tinjau Ulang1. Tuliskan hasil dari bentuk pangkat berikut ini. a. 3z3 z5 b. (0,5)–3 × (0,5)0 c. 4x−2 x−3 MATEMATIKA 452. Sederhanakan bentuk pangkat berikut. a. 23 d. 1 × 1 25 35 3−4 b. (0,5)–3 e. 24 × 2−2 25 33 × 32 c. f. 3 : 35 3. Sederhanakan bentuk akar berikut. a. 125 b. 600 c. 0, 0000256 d. 5 3 + 243 − 12 Latihan 1.4 Pangkat Nol, Pangkat Negatif, dan Bentuk Akar1. Berpikir Kritis. Bagaimana kamu dapat menuliskan angka 1 sebagai bentuk perpangkatan dengan basis 5 dan perpangkatan dengan basis 7?2. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini. a. 31 + 30 d.  1 −3  6  b. (–2)-6 e.  − 2 −2  3  c. (–33) × (–30) 3. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini. a. 23 × 24 c. 1 × 1 26 35 3−7 b.  − 1 −4 ×  − 1 0 ×  − 1 4 d. (–7)4 × 73 4   4   4  46 Kelas IX SMP/MTs4. Sederhanakan dalam bentuk pangkat negatif. a. abc a3bc4 b. 55 5 2 c. b5 b−3 d. r6 × r–6 5. Sederhanakan dalam bentuk pangkat positif. a. 2m–4 × m–3 b. 6673 c. bb−−63 d. 1 a3bc−46. Sederhanakan bentuk operasi perpangkatan berikut ini. a. 18t3 × 2t–3 b. 2 y0t3 y6t −2 c. 2m0 × m–7 d. m3 + 4 m−37. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penyederhanaan berikut ini. d–5 = (–d) × (–d) × (–d) × (–d) × (–d) = (–d)5 MATEMATIKA 478. Tentukan panjang diagonal ruang balok di bawah ini dengan panjang rusuk AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan CG = 4 cm. HG E D F C A B9. Tantangan. Pada sebuah pabrik kertas HVS Sumber: www.tempo.co.id dilakukan pengemasan kertas per rim (1 rim Gambar 1.16 Pengemasan kertas = 500 lembar). Jumlah pesanan yang harus dipenuhi pabrik tersebut tiap harinya adalah 30 karton box dengan masing-masing karton box berisi 30 rim kertas. Berapakah rim kertas HVS yang harus diproduksi dalam 1 bulan? (1 bulan adalah 30 hari)10. Tantangan. Setiap tanggal 10 Budi melakukan aktivasi paket internet murah dengan kapasitas 1 Gigabyte (GB) untuk telepon selularnya dan masa aktif berlaku sampai tanggal 10 pada bulan berikutnya. Jika Budi melakukan aktivasi pada tanggal 10 Agustus 2016, berapakah kapasitas rata-rata tiap hari yang digunakan Budi agar tetap dapat menggunakan paket internet hingga 9 September 2016? (Tuliskan jawaban kamu dalam satuan Megabyte)11. Tantangan. Pada soal nomor 9, andaikan paket internet Budi habis pada tanggal 30 Agustus 2016, berapa rata-rata kapasitas yang digunakan Budi tiap harinya? (Tuliskan jawaban kamu dalam satuan Byte)12. Setiap kantung darah yang didonasikan oleh para pendonor kepada Palang Merah Indonesia (PMI) berisi 0,5 L darah. (1 mm3 = 10–3 mL) a. Jika dalam setiap 1 mm3 darah mengandung 3 × 104 sel darah putih, berapa jumlah sel darah putih dalam satu kantung darah tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana. b. Jika dalam setiap 1 mm3 darah mengandung 7 × 106 sel darah merah, berapa jumlah sel darah merah dalam satu kantung darah tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.48 Kelas IX SMP/MTs13. Sederhanakan bentuk akar berikut. a. 112 b. 216 c. 605 d. 800 e. 5.000 f. 0,000121 g. 0,00000324 h. 9 2 + 72 − 578 i. 7 3 + 48 − 768 j. 9 5 − 125 + 720 14. Pak Asep memiliki sebuah kolam renang berbentuk silinder di belakang rumahnya. Diameter kolam tersebut adalah 14 3 meter dengan kedalaman 150 2 cm. Apabila Pak Asep ingin mengisi kolam tersebut sampai penuh, berapa liter air yang dibutuhkan oleh Pak Asep? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.15. Sebuah kapal tenaga angin seperti gambar di bawah. Perkirakan panjang tali layar agar menarik kapal pada sudut 45o dan ketinggian layar 150 m. (Soal PISA 2012)tambang 150 m 45o 90o MATEMATIKA 491.5 Notasi Ilmiah (Bentuk Baku) Pertanyaan PentingBagaimana membaca dan menuliskan notasi ilmiah? Kegiatan 1 Menggunakan Kalkulator Ayo Kita MencobaLakukan dan diskusikan bersama temanmu.1. Dengan menggunakan kalkulator, kalikan dua bilangan besar. Sebagai contoh 2 milyar dikalikan dengan 3 milyar 2000.000.000 × 3000.000.000 Berapa nilai yang muncul di layar kalkulator? Kamu mungkin akan melihat bahwa hasilnya Sumber: www.studentcalculators.co.uk Gambar 1.17 Kalkulator adalah 6.00000000e + 18 Bentuk 6.00000000e + 18 bisa dinyatakan dengan 6 × 1018 yang biasa disebut dengan notasi ilmiah (bentuk baku).2. Tentukan hasil perkalian 40.000.000.000 dengan 600.000.000.000 tanpa menggu- nakan kalkulator. Berapa hasilnya?3. Apa yang dapat kamu simpulkan dari hasil (1) dan (2)?4. Ulangi lagi (1) sampai dengan (3) di atas, untuk bilangan besar 70.000.000.000.000 dikalikan dengan 30.000.000.000.000. Ayo Kita MenanyaSetelah melakukan percobaan di atas, buatlah pertanyaan yang berkaitan denganpenulisan perpangkatan yang ditunjukkan kalkulator.50 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Mencoba1. Kalikan dua bilangan yang sangat kecil dengan kalkulator, misalkan 0,000000002 dikalikan dengan 0,000000003. Bagaimana hasil yang ditunjukkan oleh kalkulatormu? Jelaskan.2. Lakukan kembali dengan dua bilangan kecil lainnya.3. Kesimpulan apa yang kamu peroleh? DiskusiBagaimana kamu dapat menuliskan sebuah bilangan dalam bentuk notasi ilmiah?Kegiatan 2 Penulisan Notasi IlmiahAyo Kita MencobaBerikut ini diberikan suatu besaran yangdituliskan dalam bentuk notasi ilmiahdan dalam bentuk bilangan biasa.a. Mengubah bentuk notasi ilmiah Sumber: www.beautiful-indonesia.umm.ac.id menjadi bilangan biasa Gambar 1.18 Peta Indonesia Kisaran luas total daratan Indonesia adalah 1,92 × 1012 m2. Jika dituliskan dalam bentuk bilangan biasa menjadi = 1,92 × 1.000.000.000.000 m2 = 1.920.000.000.000 m2 b. Kisaran diameter galaksi Bimasakti adalah 1,135 × 1018. Tuliskan dalam bentuk bilangan biasa. Sumber: www.guardianlv.com Gambar 1.19 Galaksi Bima Sakti MATEMATIKA 51c. Kisaran diameter bumi adalah 1,27 × 107 m. Tuliskan dalam bentuk bilangan biasa. Sumber: www. smiagiung.blogspot.com Gambar 1.20 Bumid. Kisaran diameter matahari adalah 1.390.000.000 m. Tuliskan dalam bentuk notasi ilmiah. Sumber: www.greenpeace.org Gambar 1.21 Mataharie. Kisaran luas Samudera Pasifik adalah 180.000.000 km2. Tuliskan dalam bentuk notasi ilmiah. Sumber: www.wayantulus.com Gambar 1.22 Samudera Pasifik Ayo Kita SimpulkanSetelah melakukan Kegiatan 1 dan 2, tuliskan kesimpulan mengenai penulisan notasiilmiah (bentuk baku) suatu bilangan.52 Kelas IX SMP/MTsMateri Esensi 1.5 Notasi IlmiahNotasi ilmiah (bentuk baku) dari suatu bilangan positif dituliskan dalam bentuk a × 10n dengan ... 1 < a < 10 ... dan n adalah bilangan bulat. Misalkan notasi ilmiah untuk 2.300 adalahnilai a lebih dari 1 dan kurang 2,3 × 103 nilai n bilangan bulatdari 10Catatan:Bilangan lebih atau sama dengan 10Gunakan pangkat positif ketika kamu memindahkan titik desimal ke kiri.Contoh: 8.500.000 = 8,5 × 1.000.000 = 8,5 × 106 144.000.000 = 1,44 × 100.000.000 = 1,44 × 108Bilangan antara 0 dan 1Gunakan pangkat negatif ketika kamu memindahkan titik desimal ke kanan.Contoh: 0,0000085 = 8,5 : 1.000.000 = 8,5 × 10–6 0,0000000144 = 1,44 : 100.000.000 = 1,44 × 10–8Contoh 1 Menulis Notasi Ilmiah Menjadi Bentuk BiasaNyatakan bentuk ilmiah berikut ini menjadi bentuk biasa.a. 2,16 × 105b. 0,16 × 10–3Penyelesaian:a. 2,16 × 105 = 2,16 × 100.000 Dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dengan basis 10 = 216.000 Lakukan operasi perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 5 tempat ke kanan MATEMATIKA 53b. 0,16 × 10–3 = 0,16 × 0,001 Dapatkan hasil dari perpangkatan (–3) dengan basis 10 = 0,00016 Lakukan perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 3 tempat ke kiriContoh 2 Menulis Notasi Ilmiah dari Suatu BilanganNyatakan dalam bentuk ilmiah.a. 155 × 106b. 46,78 × 10–3c. 2.300.000d. 0,0000695Penyelesaian:a. 155 × 106 = 1,55 × 100 × 106 = 1,55 × 102 × 106 = 1,55 × 108b. 46,78 × 10–3 = 4,678 × 10 × 10–3 = 4,678 × 10–2c. 2.300.000 = 2,3 × 1.000.000 = 2,3 × 106d. 0,0000695 = 6,95 : 100.000 = 6,95 : 105 = 6,95 × 10–5 Ayo Kita Tinjau UlangTuliskan bentuk baku dari Tuliskan bentuk bilangan biasa daribilangan berikut. bilangan berikut. 1. 12 × 105 8. 5.5002. 123 × 10–7 9. 79.9993. 4567 × 106 10. 150.000.0004. 6.780.000 11. 9.876.000.000.0005. 78.000.000.000 12. 0,0077776. 0,000678 13. –0,000001237. 0,00000000078 14. 0,0000000765 54 Kelas IX SMP/MTsLatihan 1.5 Notasi Ilmiah (Bentuk Baku)1. Tantangan. Hikmah membeli flashdisk berkapa- sitas 16 GB dengan kapasitas yang dapat digunakan 95%. Berapa byte kapasitas flashdisk yang bisa digunakan?2. Tentukan jawaban kamu dalam bentuk baku. Beri Sumber: Dokumen Kemdikbud penjelasan singkat bagaimana kamu mendapatkan Gambar 1.23 Flashdisk jawaban tersebut. a. 10,5 × 103 d. 0,455 × 10–6 b. 1,5 × 10–5 e. 5 × 1012 c. 7.125 × 10–163. Tuliskan bilangan berikut dalam bentuk biasa. a. 7 × 103 d. 9,95 × 1015 b. 2,7 × 10–12 e. 3,1 × 103 c. 3,25 × 1054. Tuliskan bilangan berikut dalam bentuk baku. a. 0,00000056 d. 880 b. 120.000.000.000 e. 0,000123 c. 1.000.000.000.000.000 5. Sederhanakan bilangan berikut dan tuliskan jawabanmu dalam bentuk baku. a. (5 × 102) × (3 × 102) b. (7,2 × 10–3) × (4 × 105) c. (5,25 × 106) × (10–12)( ) d. 1, 25×1016 5 ×106 e. MATEMATIKA 556. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penulisan bilangan bentuk baku berikut. a. 125.000.000 = 12,5 × 107 b. 0,0000055 = 5,5 × 106 c. 1,3 × 10–4 = 13.0007. Massa planet Jupiter adalah 1,9 × 1022 kg, sedangkan massa planet Bumi adalah 30% dari Jupiter. Berapakah massa planet Bumi? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk baku atau notasi ilmiah. Sumber: www.teknologi.news.viva.co.id Gambar 1.24 Planet Jupiter8. Massa Bumi adalah 5.972.190.000.000.000.000.000 kg. Tuliskan dalam bentuk baku.9. Tantangan. Lihatlah soal nomor 1. Berapakah kisaran harga memori yang dapat digunakan tiap byte? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk baku.10. Budi sedang melakukan percobaan di laboratorium dengan menggunakan Sumber: www.tsumasaga.wordpress.com mikroskop. Mikroskop yang digunakan Gambar 1.25 Planet Bumi dapat mengamati suatu organisme menjadi 1.000 kali lebih besar dari ukuran sebenarnya. Bakteri yang diamati oleh Budi memiliki diameter dengan ukuran 5 × 10−5 milimeter. Berapa diameter bakteri yang terlihat pada mikroskop (dalam cm)? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk notasi ilmiah.56 Kelas IX SMP/MTsProyek 11. Seorang ayah memberikan sebuah tantangan kepada anaknya untuk menghitung jumlah uang koin yang diperlukan untuk memenuhi papan catur. Pada kotak pertama diberi 1 uang koin, kotak kedua 2 uang koin, 4 uang koin untuk kotak ketiga, 8 koin untuk kotak keempat demikian berlanjut sampai memenuhi 64 kotak. a. Bantu anak tersebut menentukan susunan banyak koin pada tiap-tiap kotak papan catur tersebut. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan. b. Jika berat tiap-tiap uang koin adalah 16 gr, hitunglah berat uang koin pada tiap-tiap kotak. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan. c. Susunlah penyelesaian nomor a dan b dalam satu tabel. d. Banyak uang yang harus dikeluarkan untuk memenuhi papan catur, jika uang koin yang digunakan adalah Rp200,00, berapa rupiah uang yang diperlukan untuk memenuhi semua kotak?2. Gunakan akses internet untuk mendapatkan populasi penduduk di 5 negara dengan penduduk terpadat di dunia. a. Nyatakan jumlah tiap-tiap populasi penduduk tersebut dalam bentuk notasi ilmiah/bentuk baku. b. Carilah luas wilayah di negara tersebut. Selanjutnya hitunglah kepadatan penduduk tiap-tiap negara. Nyatakan jawabanmu dalam bentuk baku. c. Melalui cara yang sama, carilah informasi tentang pertumbuhan penduduk tiap tahunnya. Selanjutnya perkirakan jumlah penduduk 10 tahun ke depan di tiap-tiap negara tersebut. d. Dari informasi yang kamu dapatkan pada butir c, hitunglah kepadatan penduduk 10 tahun ke depan. MATEMATIKA 57Uji Kompetensi 1 Perpangkatan dan Bentuk Akar1. Dapatkan hasil dari operasi perpangkatan berikut ini. 642 +163 452. Dapatkan bentuk perpangkatan yang ekivalen dengan bilangan di bawah ini (Jawaban dapat lebih dari satu bentuk perpangkatan). a. 2 8 b. 3 27( )3. Diketahui xn−1 yn 3 senilai dengan xayb. Tentukan nilai b . x2n y6+n a4. Sederhanakan operasi perpangkatan berikut ini. a. y3 × (3y)2 b. b 2 y5 × b3 6 y2 c. (tn3)4 × 4t3 d. (2x3) × 3(x2y2)3 × 5y4 5. Tuliskan bilangan di bawah ini dalam notasi ilmiah. a. 0,00000056 b. 2.500.000 c. 0,98 d. 10.000.000.000.000 6. Hitung hasil perpangkatan berikut ini. Tuliskan jawabanmu dalam notasi ilmiah. a. 12 × 23 b. 7,27 × 102 – 0,5 × 103 c. (8,32 × 104) : (4 × 10–6) d. 3,7 × 103 × 5,2 × 10–3 58 Kelas IX SMP/MTs7. Diberikan x = 24 dan y = 54. Tentukan hasil operasi di bawah ini. Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan yang paling sederhana. a. x × y b. x y8. Berapakah hasil operasi perpangkatan 4925 – 2465?9. Berapa banyak detik dalam kurun waktu 60.000 tahun? Tuliskan hasilnya dalam notasi ilmiah.10. Tuliskan hasil operasi perpangkatan berikut ini. a. –8 × 26 c. 16 24 b. 54 × 50 d. 98 7311. Tantangan. Pada acara lomba 17 Agustusan di SMPN 1 Taman, diadakan lomba mengisi air dalam wadah berbentuk kerucut dengan melewati perjalanan sejauh 5 m. Pada pengambilan awal, tiap peserta mengisi setiap wadah secara penuh. Setiap meter yang ditempuh maka air akan Sumber: Dokumen Kemdikbud berkurang sebanyak 1 bagian. Berapakah 10 air yang terkumpul dalam satu kali perjalanan? (ukuran wadah: diameter = 10 cm 1 dengan tinggi 12 cm. Vkerucut = 3 πr2t).12. Urutkan bilangan berikut ini, dari yang terbesar ke terkecil. a. 7 d. 0,98 × 104 b. 0,89 e. 0,0045 c. 5,2 × 103 f. 1.000 13. Cahaya bergerak dengan kecepatan 3 × 108 m/detik. Berapa jauh cahaya bergerak dalam satu tahun? Tuliskan hasilnya dalam notasi ilmiah. MATEMATIKA 5914. Tuliskan hasil perpangkatan berikut ini.( ) a. 1 63 − 42 c. (64 – 44) : 3 2 b. 8 + 3 × (–3)4 d. 15. Dapatkan nilai n dari persamaan berikut ini. a. 3n = 243 c. 4n = (–2)0 b. 2n + 1 = 1 d. 48 : 3 = n4 1616. Satu karung yang berisi beras memiliki massa 50 kg. Andaikan tiap-tiap butir beras yang terdapat dalam karung tersebut memiliki massa yang sama, yaitu 2,5 × 10–2 gram. Berapakah banyak butir beras dalam karung tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.17. Seluruh planet yang ada dalam tata surya melakukan gerakan revolusi mengelilingi matahari. Planet Neptunus memerlukan waktu sekitar 2,5 × 102 tahun untuk mengelilingi matahari dalam satu putaran penuh. Matahari memerlukan waktu selama 2,25 × 108 tahun untuk mengelilingi pusat Galaksi Bimasakti dalam satu putaran penuh. Berapa banyak revolusi yang dilakukan oleh Planet Neptunus dalam mengelilingi matahari ketika matahari menyelesaikan gerakan mengelilingi pusat Galaksi Bimasakti dalam satu putaran penuh?18. Setiap jantung manusia rata-rata memompa sekitar 7 × 10–2 liter darah dalam setiap detak jantung. Dalam tiap menitnya, rata-rata jantung manusia berdetak 70 kali. Berapa liter darah yang dipompa oleh jantung manusia dalam waktu 1 tahun (1 tahun = 365 hari)? Tuliskan jawabanmu dalam notasi ilmiah, bulatkan sampai 2 tempat desimal.19. Nyatakan pernyataan matematika berikut sebagai pernyataan Benar (B) atauSalah (S). Berikan alasanmu. a. 63 = 0 c.  52 7 = 27 63  5−7 b. (2 × 6)5 = 25 × 65 d. 43 × 47 = 220 60 Kelas IX SMP/MTs20. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a.  a 5b3c3  ×  8ac   4bc   3bc−3   b. 2m0 × m 2 3 c. m3 + 4 m−321. Diberikan x = 27 dan y = 63. Tentukan hasil dari operasi di bawah ini. Tuliskan jawabanmu dalam bentuk bilangan berpangkat paling sederhana. a. x3y b. x y22. Tuliskan dalam bentuk pangkat paling sederhana. a. 22403 c. 50 625 b. 500 d. 49 9 68623. Perhatikan tabel berikut ini. Panjang (dalam meter) 103 Satuan Panjang 102 Kilometer 101 Hektometer 1 Dekameter 10–1 Meter 10–2 Desimeter 10–3 Sentimeter 10–6 Milimeter 10–9 Mikrometer Nanometer MATEMATIKA 61Dengan menggunakan tabel di atas, isilah titik-titik di bawah ini (nyatakan dalam bentuk perpangkatan) a. 1 hektometer = .... millimeter b. 1 kilometer = .... sentimeter c. 1 dekameter = .... mikrometer d. 1 desimeter = .... nanometer24. Perhatikan tabel unsur-unsur kimia beserta jari-jari atomnya berikut ini. Semua pengukuran dituliskan dalam satuan nanometer.Nama Unsur Jari-jari Atom Magnesium 1,44 × 105 4,8 × 104 Oksigen 9,6 × 104 Pospor 1,92 × 105 Kalsium 2,4 × 105 Barium a. Apakah jari-jari atom Pospor lebih panjang daripada jari-jari atom Magnesium? b. Unsur apa yang memiliki jari-jari atom terbesar dan terkecil? c. Berapa kalikah panjang jari-jari atom Barium jika dibandingkan dengan jari- jari atom Oksigen? d. Berapa kalikah panjang jari-jari atom Kalsium jika dibandingkan dengan jari-jari atom Pospor?25. Misalkan diperoleh data bahwa rata-rata penduduk Indonesia menghasilkan 2,5 liter sampah per hari. Jika diasumsikan total penduduk Indonesia adalah 250 juta jiwa, berapa meter kubik sampah yang dihasilkan oleh seluruh penduduk Indonesia dalam kurun waktu 1 bulan (30 hari)? (1 liter = 1 dm3)62 Kelas IX SMP/MTsBab II Persamaan dan Fungsi Kuadrat Kata Kunci• Fungsi Kuadrat• Akar Kuadrat• Persamaan Kuadrat K ompetensi Sumber: Dokumen Kemdikbud D asar Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang berbentuk3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan f(x) = ax2 + bx + c. Grafik fungsi ini berbentuk parabola karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya yang mempunyai nilai optimum. Dalam aplikasi dunia nyata serta cara penyelesaiannya. ini sangat berguna.3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.3.4 Menjelaskan hubungan antara koefisien dan diskriminan fungsi kuadrat dengan grafiknya.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.4.3 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.4.4 Menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sifat-sifat fungsi kuadrat. Pengalaman Belajar1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengetahui karakteristik penyelesaiannya.2. Menentukan grafik dari fungsi kuadrat.3. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum.4. Menentukan fungsi kuadrat.5. Menjelaskan aplikasi dari fungsi kuadrat. MATEMATIKA 63Peta Menentukan Metode Konsep Akar-akar Pemfaktoran Persamaan Kuadrat Persamaan Metode Kuadrat Kuadrat Aplikasi Sempurna Rumus Kuadratik Grafik Fungsi Grafik Fungsi Kuadrat y = ax2 PERSAMAAN Grafik Fungsi DAN FUNGSI y = ax2 + bx KOORDINAT Grafik Fungsi Sumbu Simetri y = ax2 + c dan Nilai Optimum Pergeseran Grafik Sumbu Simetri Nilai Optimum Mentukan Melalui Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Beberapa Aplikasi Fungsi Titik yang Diketahui Kuadrat64Omar Khayyam lahir 18 Mei 1048 di Nishapur di timur laut Iran. Pada usia muda ia pindah ke Samarkand dan memperoleh pendidikan di sana. Setelah itu ia pindah ke Bukhara dan berhasil menjadi matematikawan besar dan astronom dari periode abad pertengahan. Dia adalah penulis dari salah satu risalah yang paling penting pada aljabar dan ditulis sebelum zaman modern, Treatise on Demonstrasi Masalah Aljabar, yang mencakup metode geometris untuk memecahkan persamaan kubik dengan memotong sebuah hiperbola dengan lingkaran. Omar Khayyam meneruskan tradisi aljabarSumber: http://blog.yovisto.com al-Khawarizmi dengan memberikan persamaan sampai pangkat tiga. Seperti pendahulunya, Omar Khayyam melengkapi dengan persamaan kuadrat baik untuk solusi aritmatika maupun solusi geometri.Omar Khayyam Untuk persamaan-persamaan umum pangkat tiga dipercayainya bahwa solusi untuk aritmatika adalah tidak mungkin (kelak pada abad lima belas dibuktikanbahwa pernyataan ini salah), sehingga dia hanya memberi solusi geometri. Gambar kerucut yang dipotong untuk menyelesaikan persamaan pangkat dua sudahpernah dipakai oleh Menaechmus, Archimedes, dan Alhazen. Namun, Omar Khayyammengambil cara lebih elegan dengan melakukan generalisasi metode guna mencakuppersamaan-persamaan pangkat tiga dengan hasil berupa akar bilangan positif. Untukpersamaan dengan pangkat lebih dari tiga, Omar Khayyam tidak dapat memberigambaran dengan menggunakan metode geometri yang sama. Dianggap bahwa tidakada dimensi lebih dari tiga, “Apa yang disebut dengan kuadrat dikuadratkan oleh paraahli aljabar, memberi daya tarik dari sisi teoritis.” Untuk lebih memudahkan uraian diberikan contoh persamaan: x³ + ax² + b²x + c³ = 0,kemudian, dengan teknik substitusi, mengganti, x² = 2py akan diperoleh 2pxy + 2apy +b²x + c³ = 0. Hasilnya dari persamaan ini adalah hiperbola dan variabel untuk melakukansubstitusi, x² = 2py, adalah parabola. Tampak jelas di sini bahwa hiperbola digambarbersama-sama dengan parabola pada (sistem) ordinat yang sama, sedangkan absismerupakan titik-titik perpotongan parabola dan hiperbola, adalah hasil akar persamaankuadrat. Dia belum menjelaskan tentang koefisien negatif. Niatnya memecahkan problemberdasarkan parameter a, b, c adalah bilangan positif, negatif atau nol. Tidak semua akardari persamaan kuadrat diketahui, karena dia tidak mengetahui akar bilangan negatif.Sumber: http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id, Wikipedia.Hikmah yang bisa diambil1. Kita harus terus berusaha untuk mencapai keberhasilan.2. Kita harus mau dan mampu melakukan pembuktian-pembuktian tentang fenomena alam sekitar yang merupakan bukti kekuasaan Tuhan melalui keilmuan yang diketahui manusia. 652.1 Persamaan Kuadrat Pertanyaan Penting Bagaimana menentukan akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan,melengkapi kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik? Bagaimana karakteristik daripenyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisiennya? Ayo Kita Gali Informasi Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menjumpai beberapa masalah yangterkait dengan persamaan kuadrat. Perhatikan masalah berikut.“Johan dan Mario bekerja bersama-sama mengecat dinding dalam waktu 18 menit.Jika Johan bekerja sendirian, ia memerlukan waktu 15 menit lebih lama daripadawaktu yang diperlukan Mario. Berapa waktu yang diperlukan Johan dan Mariomasing-masing untuk mengecat dinding?”Alternatif Penyelesaian:Misal waktu yang diperlukan oleh Mario untuk mengecat dinding adalah t menit makawaktu yang diperlukan Johan adalah t + 15 menit. Sedangkan jika mereka melakukanbersama-sama maka waktu yang diperlukan adalah 18 menit. Sehingga didapatkanLaju Mario mengecat adalah 1 . tLaju Johan mengecat adalah 1 . t +15Laju mengecat bersama-sama adalah .Dan pada akhirnya didapatkan:Persamaan untuk menyelesaikan masalah ini adalah 1 + t 1 = 1 . t + 15 18Disederhanakan menjadi  1 + t 1  (18t )(t + 15) = 1 .18t(t + 15).  t + 15  1818t(t + 15) 1 + 18t (t + 15)  t 1  = t (t + 15) t + 15 66 Kelas IX SMP/MTs18(t + 15) + 18t = t(t + 15) 18t + 270 + 18t = t2 + 15t 36t + 270 = t2 + 15t t2 – 21t – 270 = 0Persamaan t2 – 21t – 270 = 0 merupakan salah satu contoh persamaan kuadrat danuntuk menyelesaiakannya akan dibahas pada bagian ini. Secara umum persamaankuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua danbiasanya dituliskan sebagai ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a, b, c ∈ R. Bilangana, b, c pada persamaan kuadrat tersebut disebut sebagai koefisien. Akar-akar atau penyelesaian dari ax2+ bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhipersamaan tersebut.Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu:(1) Memfaktorkan(2) Melengkapi Kuadrat Sempurna(3) Rumus Kuadratik (Rumus abc) Untuk lebih jelasnya tentang akar persamaan kuadrat, ikutilah kegiatan belajarberikut.. Kegiatan 1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Salah satu cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 adalahdengan cara memfaktorkan. Sekarang coba kalian perhatikan kembali perkalianbentuk aljabar berikut.Ayo Kita Gali Informasix(x + 2)= x2 + 2x (x + 1)(x + 4) = (x + 1) (x + 4) (3x – 4)(x + 3) = (3x – 4) (x + 3)atau = x2 + 4x + x + 4x2 + 2x = x(x + 2) = x2 + 5x + 4 = 3x2 + 9x – 4x – 12 atau (x + 1)(x + 4)= x2 + 5x + 4 = 3x2 + 5x – 12 atau (3x – 4)(x + 3) = 3x2 + 5x – 12 Bagaimana, jika sebaliknya (dari kanan ke kiri)? MATEMATIKA 67x2 + 2x = x(x + 2) x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4) 3x2 + 5x – 12 = (3x – 4)(x + 3)Bentuk seperti ini disebut dengan “Memfaktorkan”Dengan memfaktorkan persamaan kuadrat, dapat ditentukan akar-akarnya yaitu x2 + 5x + 4 = 0 (x + 1)(x + 4) = 0 x + 1 = 0 atau x + 4 = 0 x = –1 atau x = –4Jadi akar-akarnya adalah –1 dan –4. Ayo Kita Amati Tahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat x2 + bx + c menjadi (x + p)(x + q) atau bisa dituliskan x2 + bx + c = (x + p)(x + q) x2 + bx + c = x2 + (... + ...)x + (... × ...) Jadi, untuk memfaktorkan harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... + ... dan c = ... × ....Berdasarkan pengamatanmu, maka lakukan pemfaktoran berikut dan tentukan akar-akarnya. Ayo Kita Mencoba• Persamaan kuadrat : x2 + 5x + 6 = 0 Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 5 dan pq = 6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = 6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah68 Kelas IX SMP/MTsp q pq p + q 1667 2365 3 ... 6 ... 6 ... 6 ... –1 ... 6 ... –2 ... 6 ... –3 ... 6 ... –6 ... 6 ... Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 5, maka berdasarkan tabel pada baris kedua didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris ketiga dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannya x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Dengan demikian akar-akarnya adalah x = ... dan x = ....• Persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah: p q pq p + q 1 ... –6 ... 2 ... –6 ... 3 ... –6 ... 6 ... –6 ... –1 ... –6 ... –2 ... –6 ... –3 ... –6 ... –6 ... –6 ... MATEMATIKA 69Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 1, maka berdasarkan tabel di atas pada baris ketiga didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris keenam dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannya x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = ... dan x = ....• Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0 Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = –1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah p q pq p + q 1 ... –6 ... 2 ... –6 ... 3 ... –6 ... 6 ... –6 ... –1 ... –6 ... –2 ... –6 ... –3 ... –6 ... –6 ... –6 ... Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = –1, maka berdasarkan tabel tersebut pada baris kedua didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris ketujuh dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannya x2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3) Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = ... dan x = .... Ayo Kita Menalar Dengan melakukan kegiatan di atas anda dapat melakukan pemfaktoran dan penyelesaikan persamaan kuadrat. Bagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah x2 + 2x – 1 = 0? Bisakah anda menyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Mengapa?70 Kelas IX SMP/MTsBagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah 2x2 – 2x – 12 = 0? Bisakah andamenyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Jelaskan? (Petunjuk: uraikanterlebih dahulu 2x2 – 2x – 12 menjadi 2(x2 – x – 6) ). Tuliskan langkah-langkahmenentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan menggunakanmetode pemfaktoran.Jumlahan dan Hasil Kali Akar-akar dari Persamaan KuadratPada langkah penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (bisa ditulisx2 + b x+ c = 0) menggunakan pemfaktoran harus ditentukan p dan q sedemikian a ahingga memenuhi x2 + b x + c = (x + p)(x + q) a a x2 + b x + c = x2 + (p + q)x + (p × q) a aDengan cara ini didapatkan penyelesaiannya adalah x1 = –p dan x2 = –q sehingga ...x1 + x2 = –p – q = –(p + q) = – ... dan x1.x2 = (–p)(–q) = pq = ... . Dari uraian ini ...didapat rumus untuk menentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat. Ayo Kita MenanyaTerkait dengan fokus perhatian di atas, buatlah suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0dengan a, b, dan c tertentu (kalian tentukan sendiri). Dan tanyakan pada temansebangkumu apakah persamaan yang kamu buat tersebut dapat diselesaikan denganmetode di atas? Jika bisa selesaikan.. Kegiatan 2 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Selain menentukan akar persamaan dengan cara memfaktorkan, kalian dapatmemperluas teknik penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkankuadrat sempurna. Sebelum mempelajari lebih lanjut, kalian perlu mengenal terlebihdahulu tentang sifat akar. MATEMATIKA 71Ayo Kita Amati1. Akar persamaan kuadrat x2 = 4 Dengan mudah dapat dihitung bahwa persamaan kuadrat x2 = 4 mempunyai akar- akar x = 4 atau x = – 4 dan dapat disederhanakan menjadi x = 2 atau x = –2. Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa Jika x2 = k, dengan k suatu bilangan tak negatif maka x = ... atau x = - ...2. Akar persamaan (x + 5)2 = 16 Sesuai sifat akar kuadrat maka diperoleh x + 5 = ± 4. Sehingga, x = ± 4 – 5 yang menunjukkan ada dua akar, yaitu x = 4 – 5 atau x = –4 – 5 x = –1 atau x = –9 Jika (x + a)2 = k, dengan k suatu bilangan taknegatif dan a bilangan real, maka x = –a + ... atau x = –a – ... Pada “Ayo Kita Amati” bagian 1 dan 2 di atas dinamakan sebagai bentuk kuadrat sempurna atau secara umum dituliskan sebagai (x + p)2 + q = 0. Metode yang telah kalian pelajari pada Kegiatan 1 relatif mudah untuk diterapkan. Akan tetapi tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara langsung menggunakan metode tersebut. Sehingga kita harus mengembangkan metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lain. Bagaimana jika ada soal-soal persamaan kuadrat seperti berikut? Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan membentuk kuadrat sempurna terlebih dahulu. 1. x2 – 5 = 0 2. x2 + 10x + 24 = 0 3. x2 – 8 = 0 4. x2 + 5x + 3 = 0 5. x2 – 37 = 0 6. 2x2 + 7x + 3 = 0 Untuk menyelesaikan masalah di atas, ayo amati kegiatan berikut.72 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Gali InformasiTahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 + q = 0 (jika diuraikan menjadix2 + 2px + p2 + q = 0).Untuk bentuk kuadrat sempurna, koefisien dari x2 adalah 1 maka persamaan kuadratyang akan diselesaikan (ax2 + bx + c = 0) harus dibagi ... supaya koefisien dari x2juga 1. Sehingga didapat persamaan kuadrat baru yang ingin diselesaikan adalahx2 + b x + c =0 . Langkah berikutnya adalah mencari nilai p dan q sedemikian aahingga memenuhi x2 + b x + c = ( x + p)2 + q aa x2 + b x + c = x2 + 2 px + p2 + q aaJadi untuk membentuk kuadrat sempurna harus dicari bilangan p dan q sedemikianhingga b =2p dan c = ... + ... atau lebih sederhana didapatkan p = b dan a a 2aq= c −  b 2 . a  2a  Ayo Kita Mencoba• Persamaan kuadrat : x2 + 5x + 6 = 0 Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... dan c = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehingga a a bisa dituliskan x2 + 5x + 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x + ...)2 + ... = 0 (x + ...)2 = ... MATEMATIKA 73x + ... = ± ... x = ... ± ...• Persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... dan c = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehingga a a bisa dituliskan x2 + x – 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x + ...)2 + ... = 0 (x + ...)2 = ... x + ... = ± ... x = ... ± ...• Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0 Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... dan c = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehingga a a bisa dituliskan x2 – x – 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x+ ...)2 + ... = 0 (x + ...)2 = ... x + ... = ± ... x = ... ± ... Ayo Kita MenanyaTerkait dengan fokus perhatian di atas, buatlah suatu persamaan kuadrat ax2+ bx + c= 0 dengan a, b, dan c tertentu (kalian tentukan sendiri). Lalu, tanyakan pada temansebangkumu apakah persamaan yang kamu buat tersebut dapat diselesaikan denganmetode di atas? Jika bisa, selesaikan.74 Kelas IX SMP/MTsMisal: Jika terdapat persamaan kuadrat x2 – 5x + 7 = 1.“Manakah cara yang paling mudah untuk menentukan nilai dari persamaan kuadrat?Dengan menggunakan cara memfaktoran atau dengan cara melengkapkan kuadratsempurna?” Ayo Kita MenalarPenurunan rumus kuadratik/rumus abcPada bagian sebelumnya persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (ekivalen denganpersamaan x2 + bx + c = 0) dapat diselesaikan dengan membentuk kuadrat a a b 2sempurna (x + p)2 + q = 0 dengan p = 2a dan q = c −  b  sehingga didapatakar-akar persamaan kuadrat yaitu a  2a(x + p)2 + q = 0(x + p)2 = –...x + p = ± ...x = – ... ± ...x =– b ±  b 2 − c 2a  2a  ax =– b ± b2 − cx 2a 4a2 ax x =– b ± b2 − c 2a 4a2 4a2 = –bb ±± bb242−4a−a22 cc====−−2b2aba±± bb2 2−−cc==−−bb ±± bb2 2−−cc 22aa 44aa2 2 22aa 22aa = −b ± b2 − 4ac 2a MATEMATIKA 75Berdasarkan uraian di atas didapat rumus untuk mendapatkan akar-akar persamaankuadrat atau biasanya disebut sebagai rumus kuadratik/rumus abc yaitu x1,2 = −b ± b2 − 4ac 2aDan nilai di dalam akar disebut sebagai diskriminan (D) yaitu D = b2 – 4acNilai diskriminan ini mempengaruhi penyelesaian/akar-akar dari persamaan kuadrat.Untuk memahami hal ini lakukan pengamatan berikut.Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatan dan informasi yang kalian dapatkan,gunakan nalarkalian untuk menentukan hubungan antara diskriminan dengan jenis-jenis akarselesaian persamaan kuadrat. Ayo perhatikan dan lengkapi tabel berikut.Persamaan Kuadrat Diskriminan Selesaian x2 + 5x + 6 = 0 1 {–2, –3} 2x2 – 5x – 3 = 0 ... x2 + 2x + 1 = 0 0 ... x2 – 4 = 0 ... {–1} 9x2 – 6x + 1 = 0 0 {2, –2} x2 + x + 1 = 0 –3 2x2 + 2x + 1 = 0 ... ... { } (tidak punya akar-akar) ... Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan hasil pengamatan pada tabel di atas dengan mengetahui diskriminanmaka akar-akar dari persamaan kuadrat dibagi menjadi tiga kategori yaitu akar-akarnya kembar, akar-akarnya berbeda, dan tidak mempunyai akar-akar• Untuk D > 0 maka akar-akarnya ...• Untuk D = 0 maka akar-akarnya ...• Untuk D < 0 maka akar-akarnya ...76 Kelas IX SMP/MTsKegiatan 3 Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Masalah Nyata Kalian telah mempelajari tentang persamaan kuadrat. Coba aplikasikan persamaankuadrat tersebut untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.Ayo Kita AmatiLuas sebidang tanah berbentuk persegi panjang adalah 4.320 m2. Panjang tanah itu12 m lebih panjang daripada lebarnya. Berapakah panjang dan lebar sebidang tanahtersebut?Alternatif Pemecahan MasalahMisalnya panjang tanah = p meter lebar tanah = x meter maka p = (12 + x) meter Luas tanah = ... p ... = ... p ... = ... (12 + x)x2 + 12x – 4.320 = 0selesaikan dengan metode yang sudah dibahas sehingga didapatx1 = ... atau x2 = ...Karena ukuran panjang pada sebidang tanah tidak pernah negatif, maka x yangmemenuhi adalah x = ....Untuk x = ... maka panjang tanah adalah x + 12 = ....Jadi, panjang sebidang tanah tersebut adalah ... meter dan lebarnya adalah ... meter.Materi Esensi 2.1 Persamaan KuadratPersamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginyadua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0,a, b, c ∈ R. Konstanta a, b, c pada persamaan ini disebut sebagai koefisien. Beberapacontoh persamaan kuadrat yaitu: 3x2 – 7x + 5 = 0, x2 – x + 12 = 0, x2 – 9 = 0, 2x(x – 7)= 0 dan lainnya. MATEMATIKA 77Akar persamaan kuadrat dari ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaantersebut. Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu:(1) Memfaktorkan(2) Melengkapi Kuadrat Sempurna(3) Rumus Kuadratik (Rumus abc)Dalam hal ini rumus kuadratik (Rumus abc) adalah x1,2 = −b ± b2 − 4ac 2aKarakteristik dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dilihat dari koefisenpersamaannya. Berikut karakteristik-karakteristik dari persamaan kuadrat berdasarkankoefisien-koefisien persamaan kuadratnya:- Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka x1 + x2 = – b dan x1 x2 = c . a a- Misal suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan nilai diskriminannya adalah D = b2 – 4ac maka untuk D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar- akar, D = 0 persamaan kuadrat mempunyai akar-akar kembar, D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar berbeda. Contoh 1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan MemfaktorkanTentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 – 15x + 14 = 0.Alternatif Penyelesaian:Langkah 1:Carilah dua bilangan yang merupakan faktor dari 14 dan jika dijumlah sama dengan –15.Misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka pq = 14 dan p + q = –15 P q p + q pq P Q p + q Pq 1 14 15 14 –1 –14 –15 14 2 7 9 14 –2 –7 –9 14Dengan demikian bilangan yang memenuhi nilai p = –1 dan q = –1478 Kelas IX SMP/MTsLangkah 2:Sehingga bentuk x 2 – 15x + 14 = 0 dapat difaktorkan menjadi x2 – 15x + 14 = 0 (x – 1)(x – 14) = 0 x –1 = 0 atau x – 14 = 0 x1 = 1 atau x2 = 14Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 14} Contoh 2 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat SempurnaTentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x2 + 7x + 3.Alternatif Penyelesaian:2x2 + 7x + 3 = 0 2x2 + 7x = –3 x2 + 7 x = 2x2 + x +  7 2 = + 49  4  16  x + 7 2 =  4   x + 7 2 = 25  4  16  x + 7  = ± 25  4  16 x+ 7 = ± 5 4 4 x1 =–7 + 5 = – 1 4 4 2 x2 =–7 – 5 = –3 4 4 1 x1 = – 2 atau x2 = –3Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {– 1 , –3} 2 MATEMATIKA 79Contoh 3 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadratik (Rumus ABC)Tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x2 + 7x + 3.Alternatif Penyelesaian: x1,2 ==−b ± 2ba2 − 4ac −=7 ± 72 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 −7 ± 5 2⋅2 4Jadi x1 = – 1 dan x2 = –3. 2 Contoh 4 Aplikasi Persamaan Kuadrat Keliling suatu taman kota yang berbentuk persegi panjang adalah 90 m. Jika luas taman 450 m2, berapa panjang dan lebarnya? Alternatif Pemecahan Masalah Misalkan panjang = pSumber: https://repoebliek.files.wordpress.com panjang + lebar = ½ keliling lebar = 45 – p Persamaan : panjang × lebar = luasp(45 – p) = 45045p – p2 = 450p2 – 45p + 450 = 0(p – 15) (p – 30) = 0p – 15 = 0 atau p – 30 = 0p = 15 p = 30Untuk p = 15, maka lebar adalah 45 – 15 = 30Untuk p = 30, maka lebar adalah 45 – 30 = 15Jadi panjang dan lebar taman kota adalah 30 m dan 15 m.80 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Tinjau Ulang1. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 – 3 dan x2 – 3.2. Dengan cara melengkapi kuadrat sempurna tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 + 7x + 3.3. Dengan cara menggunakan rumus kuadratik tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 + 7x + 3.4. Keliling suatu taman kota yang berbentuk persegi panjang adalah 100 m. Jika luas taman 400 m2, berapa panjang dan lebarnya?Latihan 2.1 Persamaan Kuadrat1. Tentukan akar persamaan berikut. a. 3x2 – 12 = 0 b. x2 + 7x + 6 = 0 c. –3x2 – 5x + 2 = 02. Nyatakan persamaan 3(x2 + 1) = x(x – 3) dalam bentuk umum persamaan kuadrat.3. Akar-akar persamaan 3x2 − 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2).4. Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan 3 cara yang telah kalian pelajari. a. x2 – 1 = 0 b. 4x2 + 4x + 1 = 0 c. –3x2 – 5x + 2 = 0 d. 2x2 – x – 3 = 0 e. x2 – x + 1 =0 45. Tentukan nilai diskriminan persamaan pada soal no. 1.6. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 3x2 – 5x + c = 0 adalah 49, tentukan nilai c. MATEMATIKA 817. Ubahlah persamaan 3x2 = 2x – 4 kedalam bentuk umum persamaan kuadrat.8. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut. a. x2 – 5x + 6 = 0 b. x2 + 2x – 15 = 0 c. x2 + 4x – 12 = 09. Bagaimana bentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?10. Nyatakan persamaan 2(x2 + 1) = x(x + 3) dalam bentuk umum persamaan kuadrat.2.2 Grafik Fungsi KuadratPertanyaan Penting Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0, x,y∈R. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c. Bagaimanakahcara menggambar fungsi kuadrat pada bidang kartesius? Apa pengaruh nilai a, b danc terhadap grafik fungsi kuadrat?Kegiatan 1 Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 Gambarlah grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana, yakni ketika b = c = 0.Untuk mendapatkan grafiknya kamu dapat membuat gambar untuk beberapa nilai xdan mensubstitusikannya pada fungsi y = ax2, misalkan untuk a =1, a = –1 dan a = 2.Kerjakan kegiatan ini dengan teman sebangkumu. Ayo Kita Gali Informasi Untuk mendapatkan grafik suatu fungsi kuadrat, kamu terlebih dahulu harusmendapatkan beberapa titik koordinat yang dilalui oleh fungsi kuadrat tersebut. Kamudapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubstitusikan untuk beberapa nilaix yang berbeda.82 Kelas IX SMP/MTsa. Lengkapi ketiga tabel berikut.x y = x2 (x, y) x y = –x2 (x, y) x y = 2x2 (x, y)–3 (–3)2 = 9 (–3, 9) –3 –(–3)2 = –9 (–3, –9) –3 2(–3)2 =18–2 –2 –2–1 –1 –100 011 122 233 3b. Tempatkan titik-titik koordinat berada dalam tabel di atas pada bidang koordinat. (gunakan tiga warna berbeda).c. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna).Keterangan: Gambarkan ketiga grafik tersebut menggunakan bidang koordinat dibawah ini dan amati tiap-tiap grafik. y x MATEMATIKA 83Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatan menggambar grafik maka didapatkan informasi berikut.Grafik y = x2 berupa parabola yang terbuka ke-…Grafik y = –x2 berupa parabola yang terbuka ke-…Grafik y = 2x2 berupa parabola yang terbuka ke-…Grafik y = x2 dan y = 2x2 sama-sama parabola yang terbuka ke-… dan perbedaannyaadalah grafik y = x2 lebih … daripada grafik y = 2x2. Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan Kegiatan 1, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Nilai a pada fungsi y = ax2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya. 1. Jika a > 0 maka ... 2. Jika a < 0 maka ... 3. Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka ... 4. Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka ...Ayo Kita MenanyaBuatlah suatu fungsi kuadrat dan tanyakan kepada teman sebangkumu, “Apakahgrafik dari fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah? Jelaskan.”Kegiatan 2 Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + cPada kegiatan ini kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika b = 0 dan c ≠ 0.Kegiatan ini dibagi menjadi dua subkegiatan. Pada kegiatan ini kamu mengambar grafikfungsi y = x2 + c sebanyak dua kali, yakni untuk c = 1 dan c = –1.84 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Gali Informasia. Lengkapi ketiga tabel berikut.x y = x2 + 1 (x, y) x y = x2 – 1 (x, y)–3 (–3)2 + 1 = 10 (–3, –9) –3 (–3)2 – 1 = 8 (–3, 8)–2 –2–1 –100112233b. Tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel di atas pada bidang koordinat.c. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna).d. Gambarlah kembali grafik y = x2 seperti pada Kegiatan 1.Keterangan: Gambarkan ketiga grafik tersebut menggunakan bidang koordinat dibawah ini dan amati tiap-tiap grafik. y x MATEMATIKA 85Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatanmu, lengkapi kalimat-kalimat berikut.a. Grafik fungsi y = x2 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).b. Grafik fungsi y = x2 + 1 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).c. Grafik fungsi y = x2 – 1 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).d. Grafik fungsi y = x2 + 1 merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ... satuan ke ...e. Grafik fungsi y = x2 – 1 merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ... satuan ke ... Ayo Kita Simpulkan a. Untuk c positif, grafik fungsi y = x2 + c merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ........ satuan ke ....... b. Untuk c negatif, grafik fungsi y = x2 + c merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ........ satuan ke ....... c. Grafik fungsi y = x2 + c memotong sumbu-y di titik koordinat (..... , .....)Ayo Kita MenanyaBuatlah dua fungsi kuadrat dengan nilai c berbeda tapi a dan b sama. Tanyakankepada teman sebangkumu, “Jelaskan pergeseran yang terjadi antara dua grafik darifungsi-fungsi tersebut.”Kegiatan 3 Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + bxPada kegiatan ini kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika c = 0 danb ≠ 0. Kegiatan ini dibagi menjadi tiga subkegiatan, yakni ketika b = 1, b = –1dan b = 2. Pada kegiatan ini kamu akan mengenal titik puncak dari suatu grafikfungsi kuadrat.86 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Gali InformasiKerjakan kegiatan ini bersama teman sebangkumu.a. Lengkapi keempat tabel berikut.x y = x2 + 2x (x, y) x y = x2 – 2x (x, y) (–3, 15)–3 (–3)2 + 2(–3) = 3 (–3, 3) –3 (–3)2 – 2(–3) = 15–2 –2–1 –100112233x y = –x2 + 2x (x, y) x y = –x2 – 2x (x, y)–3 –(–3)2 + 2(–3) = –15 (–3, –15) –3 –(–3)2 – 2(–3) = –3 (–3, –3)–2 –2–1 –100112233b. Tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat (gunakan empat warna berbeda untuk tabel).c. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna). MATEMATIKA 87Keterangan: Gambarkan keempat grafik tersebut menggunakan bidang koordinatdi bawah ini dan amati tiap-tiap grafik. Pada tiap-tiap grafik tentukan koordinat titikyang paling bawah (titik koordinat ini selanjutnya disebut titik puncak). y x Ayo Kita Amatid. Pada dua tabel pertama tentukan nilai y yang paling kecil. Perhatikan hubungan anatara nilai b dengan nilai y yang paling kecil dari tiap tabel tersebut. Apa yang saudara dapatkan?e. Pada dua tabel terakhir tentukan nilai y yang paling besar. Perhatikan hubungan antara nilai b dengan nilai y yang paling besar dari tiap tabel tersebut. Apa yang saudara dapatkan?f. Ulangi kegiatan ini dengan fungsi kuadrat y = –x2 + x, y = –x2 – x. Selanjutnya tentukan titik yang paling atas (titik koordinat ini juga disebut dengan titik puncak).Nilai y yang paling kecil (untuk a > 0) dan y yang paling besar (untuk a < 0)dinamakan nilai optimum (yp) dan jika xp yang menyebabkan nilai y optimummaka (xp, yp) dinamakan titik puncak atau titik optimum. Pembahasan mengenainilai optimum ini akan dijelaskan lebih lanjut pada subbab selanjutnya.88 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita SimpulkanUntuk y = x2 + bx maka nilai optimumnya adalah … dan y = -x2 + bx maka nilaioptimumnya adalah … Ayo Kita MenanyaBuatlah fungsi kuadrat yang berbentuk y = x2 + bx dan tanyakan pada temansebangkumu berapa nilai optimumnya.Materi Esensi 2.2 Grafik Fungsi KuadratFungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0.Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabloa, sehingga dapat dikatakan jugasebagai fungsi parabola. y y = x2 5 y = 2x2 4 3 2 1 x –3 –2 –1 123 –1 –2 –3 –4 y = –x2 –5Gambar Perbandingan Grafik fungsi kuadrat y = x2, y = –x2 dan y = 2x2 MATEMATIKA 89Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jikaa positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya jika a negatif makagrafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknyamenjadi lebih “kurus”. y 5 y = x2 + 2x 4 3 2 1 y = x2 − 3x + 2 x–5 –4 –3 –2 –1 –1 123 45 –2 –3y = –x2 − 5x − 4 –4 –5 Gambar Perbandingan grafik fungsi kuadrat y = x2 + 2x, y = x2 – 3x + 2 dan y = –x2 – 5x – 4 Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinatyang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yangditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu-y.Nilai b pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan letak koordinat titik puncak dansumbu simetri (titik puncak dan sumbu simetri dibahas lebih lanjut pada subbabselanjutnya). Jika a > 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minimum.Jika a < 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak maksimum.Nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsikuadrat tersebut dengan sumbu-y, yakni pada koordinat (0, c).90 Kelas IX SMP/MTsContoh 1 Grafik Fungsi KuadratBerikut ini adalah grafik lima fungsi kuadrat yang berbeda. y x 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –101. Grafik yang berwarna hitam merupakan grafik fungsi kuadrat y = x2 – x + 2. Grafik y = x2 – x + 2 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 2) dan memiliki titik puncak minimum.2. Grafik yang berwarna merah merupakan grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – 6x + 4. Grafik y = 2x2 – 6x + 4 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 4) dan memiliki titik puncak minimum.3. Grafik yang berwarna biru merupakan grafik fungsi kuadrat y = –2x2 + 8. Grafik y = –2x2 + 8 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 8) dan memiliki titik puncak maksimum. MATEMATIKA 914. Grafik yang berwarna merah dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y = x2 – 7x + 10. Grafik y = x2 – 7x + 10 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 10) dan memiliki titik puncak minimum.5. Grafik yang berwarna biru dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y = –x2 – 5x – 6. Grafik y = –x2 – 5x – 6 memotong sumbu-y pada koordinat (0, –6) dan memiliki titik puncak maksimum.6. Ayo Kita Tinjau Ulang1. Mengapa fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c disyaratkan a ≠ 0? Jelaskan alasanmu.2. Terdapat dua fungsi kuadrat, f(x) = ax2 + bx + c dan g(x) = –f(x) = –ax2 − bx − c. Apa yang dapat disimpulkan dari grafik f(x) dan g(x).3. Latihan 2.2 Grafik Fungsi Kuadrat1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. 11 a. y = 2 x2 c. y = - 2 x2 11 b. y = 4 x2 d. y = - 2 x2 2. Dari Soal 1, apa yang dapat kamu simpulkan mengenai grafik y = ax2 dengan |a| < 1 dan a ≠ 0?3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. a. y = x2 + 3x + 2 c. y = x2 + 5x + 6 b. y = x2 – 3x + 2 d. y = x2 – 5x + 6 4. Dari Soal 3, apa yang dapat kamu simpulkan mengenai perbandingan grafik y = ax2 + bx + c dengan y = ax2 – bx + c?5. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. a. y = x2 + 4x + 2 c. y = x2 – 5x + 5 b. y = -x2 + 2x + 3 d. y = –2x2 + 4x + 5 92 Kelas IX SMP/MTs6. Dari soal nomor 5, tentukan titik puncak tiap-tiap grafik. Tentukan pula hubungan titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + c dengan nilai −b . 2a7. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-x? Jelaskan alasanmu.8. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-y? Jelaskan alasanmu.9. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x pada tiga titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.10. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-y pada dua titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu. 2.3 Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Pertanyaan Pentinga. Bagaimana kamu menentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat?b. Bagaimana menentukan nilai optimum fungsi kuadrat tersebut? Kegiatan 1 Pergeseran Grafik Fungsi Kuadrat Ayo Kita Amati1. Gambarlah dan amati grafik fungsi kuadrat di bawah ini pada bidang koordinat. a. f(x) = x2 d. f(x) = (x + 1)2 b. f(x) = (x − 1)2 e. f(x) = (x + 2)2 c. f(x) = (x − 2)2 2. Gambarlah dan amati grafik fungsi kuadrat di bawah ini pada bidang koordinat. a. f(x) = x2 d. f(x) = x2 − 1 b. f(x) = x2 + 1 e. f(x) = x2 − 2 c. f(x) = x2 + 2 MATEMATIKA 93Ayo Kita MenalarBerdasarkan kegiatan di atas, bandingkan grafik lima fungsi pada bagian (1) Grafik f(x) = (x − 1)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = (x − 2)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = (x + 1)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = (x + 2)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Bandingkan grafik dari lima fungsi pada bagian (2) Grafik f(x) = x2 + 1 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = x2 + 2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = x2 − 1 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = x2 − 2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan kegiatan di atas, maka1. Untuk s positif maka grafik f(x) = (x − s)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...2. Untuk s positif maka grafik f(x) = (x + s)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...3. Untuk t positif maka grafik f(x) = x2 + t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...4. Untuk t positif maka grafik f(x) = x2 − t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...5. Untuk s dan t positif maka grafik f(x) = (x − s)2 + t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh ... satuan ke ...

94 Kelas IX SMP/MTs