Se o retângulo da figura possui área igual a 3 125 cm2 qual a área do trapézio

A área de um sólido geométrico pode ser obtida pela soma das áreas de cada uma das figuras geométricas que o compõem. Um tetraedro, por exemplo, é uma pirâmide de base triangular. Essa pirâmide é formada por quatro triângulos: uma base e três faces laterais. Somando as áreas de cada um desses triângulos, teremos a área do tetraedro.
 

A seguir veja as fórmulas usadas para o cálculo de área de alguns sólidos geométricos e exemplos de como usá-las.

Área do paralelepípedo

Considere um paralelepípedo cujo comprimento mede “x”, a largura mede “y” e a altura mede “z”, como o da figura a seguir:
 

A fórmula usada para calcular sua área é:

A = 2xy + 2yz + 2xz

Essa mesma fórmula vale para a área do cubo, que é um caso especial de paralelepípedo. Entretanto, como todas as arestas do cubo são iguais, essa fórmula pode ser reduzida. Assim, a área de um cubo de aresta L é determinada por:
 

A = 6L2

Exemplo 1

Qual é a área de um bloco retangular com comprimento e largura iguais a 10 cm e com altura igual a 5 cm?

Como comprimento = largura = 10 cm, teremos x = 10 e y = 10. Como altura = 5 cm, teremos z = 5. Usando a fórmula da área do paralelepípedo, teremos:
 

A = 2xy + 2yz + 2xz

A = 2·10·10 + 2·10·5 + 2·10·5

A = 200 + 100 + 100

A = 400 cm2

Exemplo 2

Qual a área de um cubo cuja aresta mede 10 cm?

A = 6L2

A = 6·102

A = 6·100

A = 600 cm2

Área do cilindro

Dado o cilindro de raio r e altura h, ilustrado pela figura a seguir, a fórmula usada para calcular sua área é:

A = 2πr(r + h)

Exemplo 3

Determine a área de um cilindro cuja altura mede 40 cm e o diâmetro mede 16 cm. Considere π = 3.

O raio de um círculo é igual à metade de seu diâmetro (16:2 = 8). Assim, o raio da base do cilindro é igual a 8 cm. Basta substituir esses valores na fórmula:
 

A = 2πr(r + h)

A = 2·3·8(8 + 40)

A = 2·3·8·48

A = 6·384

A = 2304 cm2

Área do cone

A fórmula usada para determinar a área do cone é:

A = πr(r + g)
 

A figura a seguir mostra que r é o raio do cone e g é a medida de sua geratriz.
 

Exemplo 4

Calcule a área de um cone cujo diâmetro é igual a 24 cm e cuja altura mede 16 cm. Considere π = 3.

Para descobrir a medida da geratriz do cone, use a seguinte expressão:
 

g2 = r2 + h2
 

Como o raio do cone é igual à metade de seu diâmetro, a medida do raio é 24:2 = 12 cm. Substituindo os valores na expressão, teremos:
 

g2 = r2 + h2

g2 = 122 + 162

g2 = 144 + 256

g2 = 400

g = √400

g = 20 cm

Substituindo a medida do raio e da geratriz do cone na fórmula de área, teremos:
 

A = πr(r + g)

A = 3·12(12 + 20)

A = 36·32

A = 1152 cm2

Área da esfera

A fórmula usada para calcular a área da esfera de raio r é:

A = 4πr2

Exemplo 5

Calcule a área da esfera da imagem a seguir. Considere π = 3.

Usando a fórmula da área da esfera, teremos:

A = 4πr2

A = 4·3·52

A = 12·25

A = 300 cm2

Área da pirâmide

Os prismas e pirâmides não possuem uma fórmula específica para cálculo de área, pois o formato de suas faces laterais e de suas bases é muito variável. Entretanto, é sempre possível calcular a área de um sólido geométrico planificando-o e somando as áreas individuais de cada uma de suas faces.

Quando esses sólidos são retos, como o prisma reto e a pirâmide reta, é possível identificar relações entre as medidas de suas faces laterais.

Veja também: Cálculo da área de um prisma

Exemplo 6

Uma pirâmide reta de base quadrada possui apótema igual a 10 cm e aresta da base igual a 5 cm. Qual é a sua área?

Para resolver esse exemplo, observe a imagem da pirâmide a seguir:
 

Uma pirâmide reta de base quadrada possui todas as faces laterais congruentes. Assim, basta calcular a área de uma delas, multiplicar o resultado por 4 e somar isso ao resultado obtido no cálculo da área da base da pirâmide.

Para calcular a área de um desses triângulos, precisamos da medida de sua altura. Essa medida é igual ao apótema da pirâmide, portanto, 10 cm. Na fórmula a seguir, o apótema será representado pela letra h. Além disso, todas as bases dos triângulos são congruentes, pois todas elas são também lados de um quadrado e medem 5 cm.

Área de uma face lateral:

A =  bh 
      2

A =  5·10 
      2

A =  50 
      2

A = 25 cm2

Área das quatro faces laterais:

A = 4·25

A = 100 cm2

Área da base (que é igual à área de um quadrado):

A = l2

A = 52

A = 25 cm2

Área total dessa pirâmide:

A = 100 + 25 = 125 cm2

Área do prisma

Como dito, não há fórmula específica para a área do prisma. Devemos calcular a área de cada uma de suas faces e somá-las no final.

Exemplo 7

Qual é a área do prisma reto de base quadrada, sabendo que a altura desse sólido é de 10 cm e que a aresta de sua base mede 5 cm?

Solução:

A seguir, veja uma imagem do prisma em questão para auxiliar na construção da solução:
 

O exercício informa que a base do prisma é quadrada. Além disso, as duas bases do prisma são congruentes, ou seja, encontrando a área de uma dessas bases, basta multiplicar essa medida por 2 para determinar a área das duas bases do prisma.

Ab = l2

Ab = 52

Ab = 25 cm2

Além disso, como ele possui base quadrada, fica fácil perceber que ele possui quatro faces laterais, que também são congruentes, pois o sólido é reto. Assim, encontrando a área de uma das faces laterais, basta multiplicar esse valor por 4 para encontrar a área lateral do prisma.

Afl = b·h

Afl = 5·10

Afl = 50 cm2

Al = 4Afl

Al = 4·50

Al = 200 cm2

A área total do prisma é:

A = Ab + Al

A = 25 + 200

A = 225 cm2

Por Luiz Paulo Silva

Graudado em Matemática

A área do triângulo é a medida da sua superfície, que pode ser calculada multiplicando a base pela altura e dividindo por dois, considerando qualquer triângulo. O triângulo é um polígono que possui três lados, e, dependendo das suas características, existem outras maneiras para calcular a sua área. Por exemplo, o triângulo equilátero possui uma fórmula específica que permite encontrar a sua área tendo em mãos apenas as medidas dos seus lados. Nem sempre temos a medida da base e da altura, portanto, de acordo com os dados que temos, podemos calcular a área do triângulo de diferentes maneiras.

Leia também: Área do setor circular — como calcular?

Resumo sobre a área do triângulo

• A área do triângulo é a medida da sua superfície.

• Existem diferentes formas para calcular a medida da área do triângulo.

• A forma mais comum de se calcular a área de qualquer triângulo é multiplicar a base pela altura e dividir por 2:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

• A área de um triângulo equilátero, se sabemos as medidas dos seus lados, pode ser encontrada pela fórmula:

\(A=\frac{l^2\sqrt3}{4}\)

• Quando conhecemos a medida de um ângulo e dois lados do triângulo, podemos utilizar a lei das áreas:

\(A=\frac{c⋅b⋅sen(Â)}2\)

• Outra forma de calcular a área do triângulo é pela fórmula de Heron, que usa o semiperímetro p. Considerando as medidas dos três lados do triângulo, a fórmula de Heron é:

\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

Videoaula sobre área do triângulo

Como se calcula a área do triângulo?

O triângulo é um polígono que possui três lados. Devido à sua vasta aplicação, tanto na Matemática quanto em outras áreas do conhecimento, os cálculos envolvendo triângulo são amplamente estudados, e a área do triângulo é um deles. Existem diversas formas distintas de se obter a área do triângulo, mas a forma mais comum é calcular a metade da multiplicação entre a base e a altura do triângulo.

Tendo em vista o triângulo acima, o cálculo de sua área se dá por meio da seguinte fórmula:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

• A: área

• b: base

• h: altura

Exemplo:

Um triângulo possui base medindo 13 cm e altura medindo 7 cm, então a sua área é igual a:

Resolução:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

\(A=\frac{13\cdot7}{2}\)

\(A=\frac{91}{2}\)

\(A=45,5\ cm^2\)

Área do triângulo retângulo

Um triângulo é conhecido como triângulo retângulo quando ele possui dois lados que são perpendiculares entre si, ou seja, um ângulo de 90°. Os lados perpendiculares são conhecidos como catetos. Nesse caso, um lado do triângulo retângulo será a sua base, e o outro lado será a sua altura. Logo, para calcular a área de um triângulo retângulo basta multiplicar os lados perpendiculares entre si e dividir por dois.

\(A=\frac{a\cdot b}{2}\)

Exemplo:

Um triângulo retângulo possui catetos medindo 8 cm e 15 cm, então a sua área é:

Resolução:

\(A=\frac{8\cdot15}{2}\)

\(A=\frac{120}{2}\)

\(A=60\ cm^2\)

Área do triângulo isósceles

O triângulo é conhecido como isósceles quando ele possui dois lados congruentes. O cálculo da área do triângulo isósceles é feito como o de um triângulo qualquer, ou seja, multiplicando a base pela altura e dividindo por 2. O triângulo isósceles se diferencia dos demais porque também é possível encontrar a sua altura utilizando o teorema de Pitágoras quando conhecemos as medidas dos seus três lados.

Uma propriedade importante do triângulo isósceles é que, ao traçarmos a altura, ela também é mediana, ou seja, divide a base do triângulo em duas partes iguais.

Para encontrar a altura do triângulo isósceles, além da forma tradicional, temos que:

\(a^2=h^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\)

Conhecendo a altura, podemos calcular a área normalmente.

Exemplo:

Um triângulo isósceles possui lado oblíquo medindo 15 cm e base medindo 24 cm. Calcule a área desse triângulo.

Resolução:

Primeiramente, calcularemos o valor da altura.

\(a^2=h^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\)

\({15}^2=h^2+\left(\frac{24}{2}\right)^2\)

\(225=h^2+{12}^2\)

\(225=h^2+144\)

\(225-144=h^2\)

\(81=h^2\)

\(h=\sqrt{81}\)

\(h=9\)

Sabendo que a altura é 9, podemos calcular a área desse triângulo:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

\(A=\frac{24\cdot9}{2}\)

\(A=\frac{216}{2}\)

\(A=108\ cm^2\)

Saiba mais: Aplicações do teorema de Pitágoras

Área do triângulo equilátero

O triângulo é classificado como equilátero quando ele possui todos os lados congruentes. O cálculo da área do triângulo equilátero é feito multiplicando a base pela altura e dividindo por 2, mas também pode ser feito usando as medidas dos seus lados.

Para calcular a área do triângulo equilátero conhecendo a medida dos seus lados, utilizamos a fórmula:

\(A=\frac{l^2\sqrt3}{4}\)

Exemplo:

Calcule a área de um triângulo equilátero com lados medindo 6 cm.

Resolução:

\(A=\frac{l^2\sqrt3}{4}\)

\(A=\frac{6^2\sqrt3}{4}\)

\(A=\frac{36\sqrt3}{4}\)

\(A=9\sqrt3\ cm^2\)

Área do triângulo escaleno

Um triângulo é classificado como escaleno quando ele possui os três lados com medidas diferentes. Para calcular a área desse triângulo, é comum utilizarmos o produto entre a área da base e a altura e dividir por dois, mas existem outras duas formas de calcular a área do triângulo: a lei da área e a fórmula de Heron.

Essas duas formas não são exclusivas do triângulo escaleno, ou seja, servem para os outros triângulos também. Entretanto, como vimos, há caminhos mais fáceis para os demais triângulos, por isso são usadas principalmente em triângulos escalenos. Veremos sobre as duas em detalhes a seguir.

Saiba também: Pontos notáveis de um triângulo — quais são eles?

Outras fórmulas para calcular a área do triângulo

A lei das áreas nada mais é que a aplicação da trigonometria para encontrar a altura do triângulo. Ela é utilizada quando conhecemos dois lados do triângulo e o ângulo que está entre esses dois lados, pois podemos traçar a altura formando um triângulo retângulo.

No triângulo, aplicando sen(Â), temos que:

\(sen(Â)=\frac{h}c\)

Logo, podemos escrever a altura em função do seno do ângulo:

\(h=c\cdot sen(Â)\)

Como sabemos, a área do triângulo é igual ao produto da base pela altura dividido por 2. Substituindo altura por \(c\cdot sen(Â)\):

\(A=\frac{b\cdot c\cdot sen(Â)}{2}\)

De modo geral, há 3 maneiras diferentes de escrever essa mesma relação. Dependendo do lado que considerarmos como base, temos que:

\(A=\frac{b\cdot c\cdot sen(Â)}{2}\)

\(A=\frac{a\cdot c\cdot s e n\left(\hat{B}\right)}{2}\)

\(A=\frac{a\cdot b\cdot s e n\left(\hat{C}\right)}{2}\)

A fórmula de Heron é utilizada quando conhecemos a medida dos três lados do triângulo, mas não temos informações sobre a sua altura ou sobre os seus ângulos.

Considerando um triângulo de lados a, b, e c, a área do triângulo é calculada por:

\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

Sendo que p é o semiperímetro (metade do perímetro) do triângulo:

\(p=\frac{a+b+c}{2}\)

Exercícios resolvidos sobre área do triângulo

Questão 1

Um terreno no formato de um triângulo possui área medindo 196 m². Se um lado desse terreno mede 28 metros, então a medida da altura relativa a esse lado mede:

A) 10 m

B) 12 m

C) 13 m

D) 14 m

E) 15 m

Resolução:

Alternativa D

Sabemos que A = 196 m² e que b = 28 metros. Então, substituindo na fórmula da área do triângulo:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

\(196=\frac{28\cdot h}{2}\)

\(196=14h\ \)

\(\frac{196}{14}=h\)

\(h=14\ m\)

A altura é de 14 metros.

Questão 2

Em uma fazenda, uma área do terreno será separada para preservação da floresta. Sabendo que essa área possui formato de um triângulo retângulo com lados perpendiculares medindo 30 e 40 metros, a medida dessa área em metros quadrados é igual a:

A) 600 m²

B) 750 m²

C) 900 m²

D) 1050 m²

E) 1200 m²

Resolução:

Alternativa A

Calculando a área, temos que:

\(A=\frac{30\cdot40}{2}\)

\(A=30\cdot20\ \)

\(A=600{\ m}^2\)

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática