Putarlah rotasikan trapesium yang kamu buat dan geserlah menuju trapesium TUVW

Top 1: Perhatikan gambar berikut! Trapesium PTUV se... - Roboguru

Pengarang: roboguru.ruangguru.com - Peringkat 203

Ringkasan: Karena Trapesium PTUV sebangun dengan trapesium PQRS, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama. Sehingga panjang SR dapat ditentukan dengan cara berikut.   Selanjutnya dengan cara yang sama panjang PQ dapat ditentukan sebagai berikut.   Luas PQRS dapat ditentukan dengan cara berikut.   Jadi, luas PQRS adalah 234 cm2 .

Hasil pencarian yang cocok: Perhatikan gambar berikut! Trapesium PTUV sebangun dengan trapesium PQRS. Luas daerah trapesium PQRS adalah ... ...

Top 2: ditanya; Luas daerah trapesium PQRS adalah... a. - Brainly.co.id

Pengarang: brainly.co.id - Peringkat 100

Ringkasan: Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. maka banyaknya titik sampel dari percobaan tersebut adalah …. . Dua buah benda saling digosokkan sehingga keduanya bermuatan. pasangan yang tepat antara benda dan proses pemuatannya berturut-turut adalah... . Dua dadu dilempar undi bersama-sama 72 kali. frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah kurang dari 5 adalah … kali . Empat lusin mainan anak dibeli dengan rp 284.000,00 kemudian dijual dan ternyata mengalami k

Hasil pencarian yang cocok: Trapesium PTUV sebangun dengan trapesium PQRS. -ditanya; Luas daerah trapesium PQRS adalah... a. 117 cm^2 b. 210 cm^2 c. 234 cm^2 d. 468 cm^2 [ ... ...

Top 3: Diketahui trapesium PQRS dan QTUV pada gambar berikut sebangun ...

Pengarang: brainly.co.id - Peringkat 102

Ringkasan: . Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. maka banyaknya titik sampel dari percobaan tersebut adalah …. . Dua buah benda saling digosokkan sehingga keduanya bermuatan. pasangan yang tepat antara benda dan proses pemuatannya berturut-turut adalah... . Dua dadu dilempar undi bersama-sama 72 kali. frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah kurang dari 5 adalah … kali . Empat lusin mainan anak dibeli dengan rp 284.000,00 kemudian dijual dan ternyata mengalam

Hasil pencarian yang cocok: Maka, Panjang PQ adalah 40 cm. Penjelasan dengan langkah-langkah: Suatu bangun dikatakan sebangun dengan bangun lain jika: Sisi yang bersesuaian ... ...

Top 4: Perhatikan gambar berikut... | Lihat cara penyelesaian di QANDA

Pengarang: qanda.ai - Peringkat 103

Hasil pencarian yang cocok: Perhatikan gambar berikut! 4 cm V 6 cm 8 cm 20 cm T. 0. Trapesium PTUV sebangun dengan trapesium PQRS. Luas daerah trapesium PQRS adalah .... A. 117 cm? ...

Top 5: UN SMP 2017, perhatikan gambar berikut, trapesium PTUV sebangun ...

Pengarang: m.youtube.com - Peringkat 108

Hasil pencarian yang cocok: Trapesium PTUV sebangun dengan trapesium PQRS.4 cm 6 cm8 cm ... Seorang anak yang tingginya 150 cm mempunyai panjang bayangan 2 m . Bila panjang bayangan ... ...

Top 6: KESEBANGUNAN DAN KONGRUENSI - Matematika - Page 2

Pengarang: colearn.id - Peringkat 167

Ringkasan: Foto soal MaFiA terus pelajari konsep dan pembahasan soalnya dengan video solusi.Matematika, Fisika dan KimiaSD (Kelas 5-6), SMP dan SMA300,000+ video solusiSemua video udah dicek kebenarannya!

Hasil pencarian yang cocok: Trapesium PTUV sebangun dengan trapesium PQRS.4 cm 6 cm8 cm ... S R T U P Q Pada gambar tersebut diketahui PQ=22 cm dan SR=. ...

Top 7: Kesebangunan dua bangun datar - Matematika | CoLearn

Pengarang: colearn.id - Peringkat 174

Ringkasan: Foto soal MaFiA terus pelajari konsep dan pembahasan soalnya dengan video solusi.Matematika, Fisika dan KimiaSD (Kelas 5-6), SMP dan SMA300,000+ video solusiSemua video udah dicek kebenarannya!

Hasil pencarian yang cocok: 11 Feb 2019 — Jika persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang GHIJ, maka keliling persegi ... Trapesium PTUV sebangun dengan trapesium PQRS. ...

Top 8: soal dan pembahasan matematika kelas 9 smp - ronald samosir

Pengarang: ronaldsamosir1011.blogspot.com - Peringkat 143

Ringkasan: . 1. Topik : Perbandingan Perbandingan panjang dan lebar persegi panjang adalah 4 : 3. Jika kelilingnya 84 cm, luasnya adalah…. 234 cm2. 324 cm2. 432 cm2. 452 cm2 . Jawaban : C Pembahasan: Maka, dengan menggunakan perbandingan panjang dan lebarnya, diperoleh: . 2. Topik : Bilangan bentuk akar a. 10 b. 25 c. 40 d. 45 Jawaban : A Pembahasan : . 3. Topik: Pola barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan berikut ini! 24, 12, 36, 18, 54…, … Ten

Hasil pencarian yang cocok: 26 Feb 2021 — Panjang sisi yang bersesuaian pada trapesium ABCD dan PQRS AB = PQ BC = AD = QR = SP DC ... Trapesium PQRS sebangun dengan trapesium PTUV. ...

Top 9: DIKTAT PEMBELAJARAN MATEMATIKA KELAS IX SEM 2

Pengarang: fliphtml5.com - Peringkat 83

Ringkasan: No Text Content! (keliling alas x tinggi tabung) = = = Contoh 1: Sebuah tabung memiliki jari-jari 10 cm dan tinggi 20 cm. Tentukan luas permukaan tabung! Penyelesaian: Diketahui: r = 10 cm t = 20 cm Ditanya: Luas permukaan tabung Jawab: Contoh 2: Sebuah pabrik akan memproduksi 10.000 batang paralon yang panjangnya per batang 4 meter dan diameternya 7 cm. Paralon tersebut terbuat dari PVC (polyvinyl chloride). Berapakah luas seluruh paralon yang diproduksi? Penyelesaian: Diketahui: Banyak paralo

Hasil pencarian yang cocok: N/A ...

b. Gambar bayangan garis RD setelah rotasi 180o berlawanan arah jarum jam dan berpusat di titik asal.10. Perhatikan gambar di bawah ini. AP BC ED FG Gambar bayangan hasil rotasi bangun datar tersebut terhadap titik P dengan sudut rotasi yang ditentukan a. Rotasi 90o searah jarum jam b. Rotasi 180o searah jarum jam c. Rotasi 90o berlawanan arah jarum jam d. Rotasi 270o searah jarum jam e. Rotasi 450o searah jarum jam11. Diketahui titik sudut dari tiap-tiap bangun datar sebagai berikut. Rotasikan bangun datar berikut dan gambar bayangannya (pusat rotasi di titik asal). a. A (3, –2), B (–4, –5), C (–4, 3) dan D (3, 4) dirotasikan 90o searah jarum jam b. I (3, 5), J (–3, 4) dan K (5, –3) dirotasikan 180o searah jarum jam c. P (3, 4), Q (–3, 2), R (–4, –6) dan S (5, –3) dirotasikan 90o berlawanan arah jarum jam d. K (4, 7), L (–3, 5), M (–5, –7) dan N (4, –2) dirotasikan 270o searah jarum jam MATEMATIKA 19512. 5 A4 3 2 B C1 0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 –5 Perhatikan ∆ABC pada gambar di atas. Gambarlah bayangan hasil transformasinya jika diketahui ∆ABC tersebut a. Dicerminkan terhadap garis y = 1 kemudian ditranslasi b. Dicerminkan terhadap garis x = 1 kemudian dirotasi 90o searah jarum jam yang berpusat di titik asal c. Dicerminkan terhadap sumbu-y kemudian dirotasi 180o searah jarum jam yang berpusat di titik asal dan ditranslasi (x – 2, y + 4)13. Diketahui titik sudut dari tiap-tiap bangun datar seperti berikut. Gambar bangun datar berikut beserta bayangan hasil dilatasi dengan faktor skala yang diberikan (pusat dilatasi titik asal). Sebutkan jenis dilatasi pada masing-masing bangun datar a. A (2, –2), B (–2, 5), C (4, 2), k = 3 b. I (4, 8), J (–8, 12) dan K (16, –8), k = c. P (1, 1), Q (–2, 3), R (–1, –3) dan S (3, –3), k = 4 d. K (2, 4), L (–4, 4), M (–8, –6) dan N (4, –6), k =14. Seorang bajak laut sedang berburu harta karun. Sang asisten ingin membantu bajak laut untuk mendapatkan harta karun tersebut. Berdasarkan peta yang mereka dapatkan, diketahui bahwa lokasi harta karun berada pada titik B, sedangkan posisi196 Kelas IX SMP/MTsbajak laut dan asistennya saat ini di titik A. Dengan menggunakan transformasi berikut ini maka bajak laut akan menemukan harta karun yang dicarinya. Akan tetapi tidak semua transformasi di bawah ini dapat digunakan dengan tepat untuk membantu sang bajak laut. Jika kamu menjadi asisten langkah-langkah transformasi apa saja yang akan kamu lakukan? Gunakan masing-masing transformasi berikut ini tepat satu kali. 5 4 B 3 2 1 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 A –4 –5 a. Rotasi 180o searah jarum jam yang berpusat di titik asal b. Pencerminan terhadap sumbu-y c. Pencerminan terhadap sumbu-x d. Rotasi 90o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal e. Translasi 1 langkah ke atas f. Translasi 2 langkah ke kanan dan 2 langkah ke bawah15. Bangun berwarna biru merupakan bayangan hasil transformasi dari bangun berwarna merah. Sebutkan langkah-langkah tranformasi yang dilakukan terhadap bangun berwarna merah sehingga diperoleh bayangan berupa bangun berwarna biru. MATEMATIKA 197a. y d. y 48 37 26 15 –4 –3 –2 0 1 2 3 4 x 4 3 –2 2 –3 1 –4 –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4x b. y e. y 4 4 3 3 2 2 1 1 –4 –3 –2 0 1 2 3 4 x –4 –3 –2 0 1 2 3 4 x –2 –2 –3 –3 –4 –4 c. y f. y 4 4x 4 3 3 2 1 –4 –3 –2 1 –4 –3 –2 0 1 2 0 1234x –2 –2 –3 –3 –4 –4198 Kelas IX SMP/MTsBab IV Kekongruenan dan Kesebangunan Kata Kunci• Kongruen• Faktor Skala• Sebangun K ompetensi D asar3.6 Menjelaskan dan menentukan kesebangunan dan kekongruenan antarbangun datar.4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kesebangunan dan kekongruenan antarbangun datar. Sumber: Dokumen KemdikbudPengalaman Coba amatilah pigura foto presiden RI dan wakilnyaBelajar yang ada di kelasmu. Apakah bentuk dan ukurannya sama? Bagaimana pigura tersebut dibanding pigura lukisan atau dibanding dengan papan tulis yang ada di kelasmu, apakah sebangun? Pernahkah kamu membayangkan bagaimana memperkira- kan ukuran tinggi pohon, tiang bendera, atau gedung tanpa harus mengukurnya secara langsung? Bagaimana mengukur lebar sungai atau danau tanpa harus mengukurnya secara langsung? Semua itu merupakan beberapa contoh manfaat konsep kekongruenan dan kesebangunan geometri dalam ke- hidupan sehari-hari. Nah, masalah-masalah tersebut di atas dapat diselesaikan dengan konsep kekongruenan dan kesebangunan. Konsep ini akan kita pelajari bersama dalam Bab IV ini.1. Mengidentifikasi, mendeskripsikan, menjelaskan sifat atau karaketristik benda dengan permukaan yang kongruen atau sebangun berdasarkan hasil pengamatan.2. Membuat model, menggambar atau melukis, dan menentukan bangun-bangun datar yang kongruen atau sebangun dengan berbagai cara dan posisi.3. Menguji dua segitiga sebangun dan dua segitiga kongruen.4. Menentukan panjang sisi, besar sudut, atau unsur lainnya berkaitan dengan bangun datar yang kongruen atau sebangun dan menyelesaikan permasalahan nyata yang terkait dengan konsep kekongruenan dan kesebangunan. MATEMATIKA 199Peta Konsep Kekongruenan dan Kesebangunan Bangun Datar Syarat Kekongruenan Syarat Kesebangunan Bangun Datar Bangun Datar Kekongruenan Kesebangunan Segitiga Segitiga Syarat Kekongruenan Syarat Kesebangunan Segitiga Segitiga Syarat: Syarat: Syarat: Syarat: 1. Perbandingan Sisi-sisi Sisi Sisi Sudut Sudut yang Bersesuaian Senilai Sisi Sudut Sisi Sudut Sisi 2. Dua Pasang Sudut yang Sisi Sudut Sisi Bersesuaian Sama Besar Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut dari Segitiga- segitiga Sebangun dan Kongruen200Thales merupakan salah seorang filsuf Yunani yang hidup pada abad ke-6 SM. Ia (624-546 SM) lahir di kota Miletus. Awalnya, Thales adalah seorang pedagang, profesi yang membuatnya sering melakukan perjalanan. Kondisi kota Miletos yang cukup makmur memungkinkan orang-orang di sana untuk mengisi waktu dengan berdiskusi dan berpikir tentang segala sesuatu yang ada di sekitar mereka, sehingga banyak para filsuf Yunani pertama yang lahir di tempat ini. Pemikiran Thales dianggap sebagai kegiatan berfilsafat pertama karena ia mencoba menjelaskan dunia dan gejala- gejala di dalamnya dengan menggunakan rasio manusia dan tidak bergantung pada mitos yang berkembang diSumber: www.windows2universe.org masyarakat. Ia juga dikenal sebagai salah satu dari Tujuh Orang Bijaksana (dalam bahasa Yunani disebut dengan hoi hepta sophio), yang oleh Aristoteles diberi gelar Thales 'filsuf yang pertama'. Thales juga dikenal sebagai ahli geometri, astronomi, dan politik. Pada bidang matematika, Thales mengungkapkan salah satu gagasan yang cukup fenomenal,yakni di bidang kesebangunan. Diceritakan bahwa dia dapat menghitung tinggi piramida denganmenggunakan bantuan dari bayangan suatu tongkat. Thales menggunakan kenyataan bahwasegitiga yang dibentuk oleh piramida dan bayangannya sebangun dengan segitiga kecil yangdibentuk oleh tongkat dan bayangannya. Dengan menggunakan perbandingan kesebangunandua segitiga itu ia dapat memperkirakan tinggi dari piramida tersebut. Selain itu, dia juga dapat mengukur jauhnya kapal di laut dari pantai. Kemudian Thalesmenjadi terkenal setelah dia berhasil memprediksi terjadinya gerhana matahari pada tanggal28 Mei atau 30 September tahun 609 SM. Dia dapat melakukan prediksi tersebut karena diatelah mempelajari catatan-catatan astronomis yang tersimpan di Babilonia sejak tahun 747 SM.Thales tidak meninggalkan cukup bukti tertulis mengenai pemikiran filsafatnya. Pemikirannyadidapatkan melalui tulisan Aristoteles tentang dirinya. Aristoteles mengatakan bahwa Thalesadalah orang yang pertama kali memikirkan tentang asal mula terjadinya alam semesta. Olehkarena itu, Thales juga dianggap sebagai perintis filsafat alam (natural philosophy).Sumber: www.wikipedia.com dan Ensiklopedia Matematika, 2013)Hikmah yang bisa diambil1. Thales adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. Dia selalu memikirkan setiap kejadian alam yang ada di sekitarnya dan mencari tahu penyebabnya. Ia mencoba memprediksi gerhana matahari dengan menggunakan ilmu pengetahuan yang telah dia pelajari tanpa bersandar pada mitos yang ada.2. Tidak mudah puas terhadap sesuatu yang sudah didapatkan, sehingga terus berfikir melakukan inovasi untuk menemukan sesuatu yang baru. Hal ini bisa kita lihat dari gagasannya dalam mengukur tinggi piramida tanpa perlu mengukur secara langsung, tapi dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan dari bayangan suatu tongkat dan konsep kesebangunan yang dikemukakannya.3. Matematika adalah ilmu yang menarik untuk kita pelajari, bukan ilmu yang menyeramkan seperti dikatakan sebagian orang. Karena telah banyak sejarah yang menceritakan tentang peran matematika dalam memajukan peradaban manusia, salah satunya adalah konsep kesebangunan dari Thales yang berguna dalam kehidupan manusia saat ini. 2014.1 Kekongruenan Bangun DatarPertanyaan PentingBagaimana kamu dapat mengidentifikasi dua bangun datar dikatakan kongruen? Supaya kamu dapat mengetahui dan memahami jawaban pertanyaan diatassilakan amati gambar-gambar di bawah ini dengan seksama.Kegiatan 1 Mengidentifikasi Dua Benda Kongruen atau TidakAyo Kita AmatiCoba kamu amati gambar di bawah ini dengan seksama.(a) Dua gambar mobil yang kongruen (b) Dua gambar mobil yang tidak kongruenSumber: Dokumen KemdikbudGambar 4.1 Sepasang mobil kongruen dan tidak kongruenPerhatikan pula pasangan di bawah ini dengan teliti. (a) Dua gambar kursi yang kongruen (b) Dua gambar kursi yang tidak kongruen Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 4.2 Sepasang kursi kongruen dan tidak kongruen202 Kelas IX SMP/MTs(a) Lima gambar pensil yang kongruen (b) Dua gambar pensil tidak kongruenSumber: Dokumen KemdikbudGambar 4.3 Pensil-pensil yang kongruen dan tidak kongruenCoba kamu amati pula Gambar 4.4 dan 4.5 di bawah ini. 40 cm 40 cm 60 cm 60 cmSumber: Dokumen Kemdikbud 80 cmGambar 4.4 Dua pigura lukisan yang kongruen 30 cm40 cm 40 cmSumber: Dokumen KemdikbudGambar 4.5 Dua pigura lukisan yang tidak kongruen Ayo Kita MenalarGunakan Kalimatmu SendiriSetelah mengamati Gambar 4.1 sampai dengan Gambar 4.5, menurutmu mengapadua bangun atau lebih dikatakan kongruen? MATEMATIKA 203Ayo Kita BerbagiCoba carilah contoh lainnya di sekitarmu. Kemudian diskusikan dengan temanmudan paparkan hasil Kegiatan 1 dari kelompokmu ini kepada teman sekelasmu.Kegiatan 2 Menemukan Konsep Dua Bangun KongruenPerhatikanlah beberapa pasangan bangun berikut ini. 3 cm 3 cm (a) Dua persegi panjang kongruen (b) Dua persegi kongruen (c) Tiga bintang kongruen (d) Tiga tabung kongruen Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 4.6 Pasangan bangun yang kongruen Gambar di bawah ini adalah contoh pasangan bangun tidak kongruen. 3 cm 3 cm (a) Dua persegi panjang tidak kongruen (b) Dua segi empat tidak kongruen204 Kelas IX SMP/MTs(c) Dua bintang tidak kongruen (d) Dua tabung tidak kongruenSumber: Dokumen KemdikbudGambar 4.7 Pasangan bangun yang tidak kongruen Ayo Kita MenalarDiskusikan dengan kelompokmu, lalu paparkan hasilnya kepada teman-temansekelasmu.1. Mengapa bangun-bangun pada Gambar 4.6 kongruen, tetapi bangun-bangun pada Gambar 4.7 tidak kongruen?2. Syarat apakah yang dipenuhi oleh bangun-bangun pada Gambar 4.6 yang tidak dipenuhi oleh bangun-bangun pada Gambar 4.7?Kegiatan 3 Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan TranslasiAyo Kita MencobaPerhatikanlah bangun di bawah ini. E F ABD CH G Gambar 4.81. Salinlah persegi panjang ABCD pada Gambar 4.8 pada kertas lain kemudian guntinglah. MATEMATIKA 2052. Geser (tranlasikan) persegi panjang ABCD yang kamu buat tadi sehingga titik A berimpit dengan E, dan titik B berhimpit dengan titik F. Apa yang terjadi dengan titik-titik lain?3. Apakah persegi panjang ABCD tepat menempati (menutupi) persegi panjang EFGH? Jika benar setiap titik pada persegi panjang ABCD dapat menempati titik-titikpersegi panjang EFGH, maka dikatakan bahwa persegi panjang ABCD kongruendengan persegi panjang EFGH. Bangun ABCD kongruen dengan EFGH disimbolkan dengan ABCD ≅ EFGH.Kegiatan 4 Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Rotasi Ayo Kita U MencobaLakukan kegiatan di bawah ini bersama temanmu.Perhatikan bangun di bawah ini. S RT PQ W V Gambar 4.91. Jiplaklah bangun trapesium PQRS (lihat Gambar 4.9) pada kertas lain lalu guntinglah.2. Putarlahlah (rotasikan) trapesium yang kamu buat dan geserlah menuju trapesium TUVW. Apakah trapesium PQRS tepat menempati trapesium TUVW? Jika benar, maka PQRS ≅ TUVW.206 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Berbagi Berdasarkan Kegiatan 3 dan 4 yang sudah kamu kerjakan bersama temanmu,diskusikan dengan temanmu hubungan transformasi dengan bangun yang kongruen.Silakan paparkan kepada teman sekelasmu.Kegiatan 5 Syarat Dua Bangun Segi Banyak (Poligon) KongruenPerhatikan bangun di bawah ini. B 1. Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-AS sudut segi empat ABCD dan segi empat D C R PQRS. Tuliskan pada Gambar 4.10.Gambar 4.10 P 2. Tuliskan sisi-sisi yang bersesuaian. Bagaimana panjang sisi-sisi yang bersesuaian tersebut? Q 3. Tuliskan sudut-sudut yang bersesuaian. Bagaimana besar sudut-sudut yang bersesuaian tersebut?4. Apakah kedua bangun itu kongruen? Jelaskan.5. Menurut kamu, apa saja syarat-syarat dua bangun segi banyak (poligon) kongruen? Jelaskan.6. Carilah benda-benda di sekitarmu yang permukaannya kongruen. Selidikilah apakah syarat-syarat yang kamu berikan untuk dua bangun kongruen terpenuhi? Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan Kegiatan 5, kesimpulan yang kamu peroleh adalah: Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu: 1. ... 2. ... MATEMATIKA 207Ayo Kita MenalarApakah jika sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang sudah menjamin dua bangunkongruen?Apakah jika sudut-sudut yang bersesuaian sama sudah menjamin dua bangun kongruen?Materi Esensi 4.1 Syarat Dua Bangun Datar KongruenDua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. sisi AB dan JK Sudut-sudut yang bersesuaian: sisi yang ber sesu aian ∠A dan ∠J → m∠A = m∠J A B ∠B dan ∠K → m∠B = m∠K ∠C dan ∠L → m∠C = m∠L J K ∠D dan ∠M → m∠D = m∠M D C Sisi-sisi yang bersesuaian: M L AB dan JK → AB = JK BC dan KL → BC = KL∠D dan ∠M adalah sudut → CD = LM yan g be rses uaia n CD dan LM → DA = MJ DA dan MJ Jika bangun ABCD dan JKLM memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangunABCD dan JKLM kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM. Jika bangun ABCD dan JKLM tidak memenuhi kedua syarat tersebut makabangun ABCD dan JKLM tidak kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM.Catatan: Ketika menyatakan dua bangun kongruen sebaiknya dinyatakan berdasarkantitik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:ABCD ≅ JKLM atau BADC ≅ KJML atau CDAB ≅ LMJK208 Kelas IX SMP/MTsContoh 1 Menentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang BersesuaianSegi empat ABCD dan WXYZ pada gambar di bawah kongruen. Sebutkan sisi-sisi dansudut-sudut yang bersesuaian A BW X D CZ YAlternatif Penyelesaian:Sisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian: AB dan WX ∠A dan ∠W BC dan XY ∠B dan ∠X CD dan YZ ∠C dan ∠Y DA dan ZW ∠D dan ∠ZContoh 2 Mengidentifikasi Dua Bangun Kongruen 8 9 8888 99 88 (c) 8 9 (a) (b)Manakah persegi di atas yang kongruen? Jelaskan.Alternatif Penyelesaian:Dua bangun dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:(i) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Setiap persegi mempunyai empat sudut siku-siku, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegi (a), (b) dan (c) besarnya pasti sama. MATEMATIKA 209(ii) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang Persegi (a) dan persegi (b) Panjang setiap sisi persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (b) tidak sama panjang. Persegi (b) dan persegi (c) Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah 8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (b) dan (c) tidak sama panjang. Persegi (a) dan persegi (c) Panjang setiap sisi persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah 8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (c) sama panjang.Berdasarkan (i) dan (ii) di atas, maka persegi yang kongruen adalah persegi (a) dan (c).Contoh 3 Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum DiketahuiPerhatikan gambar trapesium ABCD dan PQRS yang kongruen di bawah ini.A 40 cm x S x B R 16 cm DC 21 cm 15 cm P Qa. Jika panjang sisi AB = 40 cm, BC = 21 cm, RS = 16 cm, dan PS = 15 cm, tentukan panjang sisi AD, DC, PQ, dan QR.b. Jika besar ∠A = 60o, ∠B = 40o. Berapakah besar ∠R dan ∠S? (selanjutnya, besar ∠A ditulis dengan m∠A, seperti yang sudah kamu kenal di kelas 7 dan 8)Alternatif Penyelesaian:Diketahui: bangun ABCD ≅ PQRS, berarti• sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang• sudut-sudut yang bersesuaian sama besara. Untuk menentukan panjang sisi AD, DC, PQ, dan QR, tentukan terlebih dulu sisi- sisi yang bersesuaian yaitu:210 Kelas IX SMP/MTsAB dengan PQ → AB = PQBC dengan QR → BC = QR menentukan sisi-sisi yang bersesuaianDC dengan SR → DC = SR AD dengan PS → AD = PS (mengapa bukan AB = SR? Jelaskan) Dengan demikian, jika AB = 40 cm, BC = 21 cm, RS = 16 cm, dan PS = 15 cm maka: AD = PS = 15 cm DC = SR = 16 cm QR = BC = 21 cm PQ = AB = 40 cmb. Untuk menentukan m∠R dan m∠S, tentukan terlebih dulu sudut-sudut yang bersesuaian yaitu:∠A = ∠P → m∠A = m∠P∠B = ∠Q → m∠B = m∠Q menentukan sudut-sudut yang bersesuaian∠C = ∠R → m∠C = m∠R∠D = ∠S → m∠D = m∠S Dengan demikian, jika m∠A = 60o, m∠B = 40o maka: m∠P = m∠A = 60o dan (Mengapa bukan m∠P = m∠B? Jelaskan) m∠Q = m∠B = 40o (Mengapa bukan m∠Q = m∠A? Jelaskan) m∠R + m∠Q = 180o (Mengapa? Ingat pelajaran kelas VII) m∠R = 180o – m∠Q m∠R = 180o – 40o m∠R = 140o m∠S = 180o – m∠P (Mengapa? Ingat pelajaran kelas VII) m∠S = 180o – 60o m∠S = 120o Jadi m∠R = 140o dan m∠S = 120o. MATEMATIKA 211Ayo Kita Tinjau UlangManakah pasangan bangun berikut ini yang kongruen dan tidak kongruen? Jelaskan.4 cm 4 cm 4 cm 4 cm (a) (b)Latihan 4.1 Kekongruenan Bangun Datar1. Manakah di antara gambar di bawah ini yang kongruen? (e) (a) (b) (c) (d)(f) (g) (h) (i) (j)2. Manakah di antara gambar di bawah ini yang kongruen? (g) (h) (i) (a) (b) (c) (d) (e) (f) Sumber: www.edapoenya.files.wordpress.com212 Kelas IX SMP/MTs3. Apakah menurutmu pensil warna pada gambar di samping ini kongruen? Jelaskan.4. Tuliskan pasangan bangun yang kongruen. Sumber: www.kameradroid.comA BC D E FG HIJ KL M NO Tuliskan langkahmu menentukan bangun tersebut, digeser (translasi), diputar (rotasi), atau gabungannya?5. Berikut ini adalah pasangan bangun yang kongruen. Tuliskan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian.A O N A D B B M M C C N P (i) O (ii) D ABA JK E F DCBC M L (iii) (iv) K R PW QV LQ XJS T N MV T S RZ Y (v) (vi) MATEMATIKA 2136. Manakah belah ketupat di bawah ini yang kongruen? Jelaskan. 50o 5,5 cm 130o5 cm 50o 5 cm (a) (b) (c)7. Diketahui trapesium ABCD dan D 13 cm C H G trapesium FEHG adalah kongruen. 12 cm BE 22 cm F Jika panjang sisi AD = 12 cm, A DC = 13 cm dan EF = 22 cm maka tentukan panjang EH.8. Perhatikan gambar berikut ini. 135o Jika dua gambar di samping kongruen, tentukan nilai u dan v pada gambar tersebut.80o u 135o 75o v9. Perhatikan dua gambar rumah tampak dari depan yang kongruen berikut ini. A J 5m 5m K E B 5m L4m 4m N DC 8m 4m Ma. Tentukan sisi-sisi yang bersesuaian.b. Tentukan sudut-sudut yang bersesuaian.c. Berapa panjang KJ, KL, dan LM?d. Berapa keliling dan luas JKLMN jika jarak J ke LM adalah 7 m?214 Kelas IX SMP/MTs10. Analisis Kesalahan 6 6 Jelaskan dan perbaikilah pernyataan yang 6 salah berikut.66 “Kedua bangun di samping mempunyai 66 6 empat sisi dan sisi-sisi yang bersesuaian11. Benar atau Salah sama panjang, jadi kedua bangun tersebut kongruen” A B Trapesium pada gambar di samping ini kongruen. 140o Tentukan pernyataan berikut ini benar atau salah. Jelaskan. C Besar ∠Z = 140o D X Besar ∠C = 40o Sisi WZ bersesuaian dengan sisi CB W Keliling bangun ABCD sama dengan keliling 40o WXYZ. Luas bangun ABCD tidak sama dengan luas 90o WXYZ. ZY12. Bernalar Gambar di samping menunjukkan dua cara menggambar satu garis untuk membagi persegi panjang menjadi dua Sumber: Dokumen Kemdikbud bangun yang kongruen. Gambarkan tiga cara lainnya.13. Berpikir Kritis Apakah luas dua bangun yang kongruen pasti sama? Apakah dua bangun dengan luas yang sama pasti kongruen? Jelaskan dengan gambar atau diagram untuk mendukung jawabanmu. MATEMATIKA 21514. Berpikir Kritis Berapa banyak segitiga sama sisi kongruen paling sedikit yang diperlukan untuk membentuk segitiga samasisi yang ukurannya lebih besar dari segitiga sama sisi semula? Demikian juga, berapa persegi kongruen paling sedikit yang diperlukan untuk menghasilkan persegi yang ukurannya lebih besar dari persegi semula? Dapatkah hasil ini diperluas untuk segi-n beraturan yang lain? Jelaskan alasanmu. Harus ditambah berapa banyak segi-n beraturan lagi supaya tetap jadi segi-n? 4.2 Kekongruenan Dua Segitiga Pertanyaan Penting Berdasarkan Subbab 4.1, dua bangun dikatakan kongruen jika panjang sisi-sisiyang bersesuaian adalah sama dan besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama.Sehingga, dua segitiga dikatakan kongruen jika ketiga pasang sisi yang bersesuaiansama panjang dan ketiga pasang sudut yang bersesuaian sama besar. Apakah perlu diuji keenam pasang unsur tersebut untuk menentukan dua segitigakongruen atau tidak? Atau ada alternatif lain untuk menguji kekongruenan dua segitiga? Untuk mengetahui jawabannya coba lakukan kegiatan-kegiatan berikut inidengan teman sekelompokmu.Kegiatan 1 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sisi – SisiSediakan alat dan bahan sebagai berikut: - Selembar kertas (kertas berpetak akan lebih memudahkan) - Pensil - Batang lidi - Penggaris - Gunting - Busur derajatLakukan kegiatan berikut ini.1. Potonglah batang lidi menjadi 3 potong dengan ukuran-ukuran yang bisa dibentuk menjadi segitiga (ingat kembali tentang syarat panjang sisi segitiga di kelas VII).216 Kelas IX SMP/MTsMisalnya: 5 cm, 6 cm, dan 7 cm. Kemudian bentuklah ketiga potongan lidi tersebut menjadi segitiga.2. Salinlah segitiga yang terbentuk tersebut pada selembar kertas.3. Ukurlah besar tiap-tiap sudut pada segitiga itu dengan busur.4. Lakukan lagi langkah 1 sampai 3 oleh anggota lain di kelompokmu (dengan ukuran potongan lidi yang sama dengan di langkah 1).5. Bandingkan dengan segitiga yang dihasilkan temanmu. Apakah kamu mendapatkan pasangan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?6. Atau gunting salah satu dari gambar segitiga tersebut kemudian tempelkan pada segitiga satunya, apakah kedua segitiga itu tepat saling menutupi?7. Menurutmu, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan. Tuliskan kesimpulanmu. Alternatif kegiatan pada Kegiatan 1 ini dapat juga kamu lakukan kegiatan dibawah ini:Sediakan alat dan bahan sebagai berikut: - Selembar kertas - Pensil - Penggaris - Busur derajat - Jangka dan guntingLakukan kegiatan berikut ini.1. Gambarlah ΔABC dan ΔDEF dengan panjang sisi AB = DE, BC = EF, dan AC = DF pada selembar kertas dengan langkah sebagai berikut. (lihat gambar) a) Gambarlah garis k sebarang pada selembar kertas. b) Pada garis k, buatlah segmen garis AB dan DE, dengan AB = DE. c) Dengan menggunakan jangka, lukislah dua busur lingkaran masing-masing berpusat di A dan D, dengan jari-jari sama. d) Dengan menggunakan jangka, lukislah dua busur lingkaran masing-masing berpusat di B dan E, dengan jari-jari sama. (jari-jari tidak harus sama dengan jari-jari pada langkah c) MATEMATIKA 217e) Beri label titik C dan F pada perpotongan kedua busur lingkaran di atas. Hubungkan titik C dengan A dan B maka terbentuklah ΔABC. Hubungkan titik F dengan D dan E maka terbentuklah ΔDEF. Apakah kamu memperoleh panjang AB = DE, BC = EF, dan AC = DF? CF k A BD E2. Guntinglah ΔDEF dan tumpukkan di atas ΔABC, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.3. Untuk memastikan jawaban kamu pada no. 2, ukurlah sudut-sudut yang bersesuaian. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Berikan penjelasan. Ayo Kita SimpulkanDari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika ...Kegiatan 2 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sudut – SisiSediakan alat sebagai berikut. - Gunting - Selembar kertas - Busur - Pensil - Penggaris Lakukan kegiatan berikut ini.1. Gambarlah ΔABC dan ΔDEF dengan panjang sisi AB = DE, m∠A = m∠D, dan AC = DF pada selembar kertas dengan langkah sebagai berikut: (lihat gambar)218 Kelas IX SMP/MTsa) Gambarlah garis k sebarang pada selembar kertas.b) Pada garis k, buatlah segmen garis AB dan DE, dengan AB = DE.c) Buatlah garis p melalui titik A dan buatlah garis n melalui titik D, sedemikian hingga garis p sejajar dengan q. Apakah m∠A = m∠D? Jelaskan.d) Buatlah segmen garis AC pada garis p, dan segmen garis DF pada garis q, sedemikian hingga panjang AC = DF.e) Hubungkan titik B dengan titik C dan juga hubungkan titik E dengan titik F sehingga terbentuk ΔABC dan ΔDEF dengan panjang AB = DE, m∠A = m∠D, dan AC = DF. p qC F k A BD E2. Guntinglah ΔDEF dan tumpukkan di atas ΔABC, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.3. Untuk memastikan jawaban kamu pada no. 2, ukurlah besar sudut-sudut dan panjang sisi yang lainnya. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Apakah sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang? Berikan penjelasan. Ayo Kita SimpulkanDari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika ... MATEMATIKA 219Kegiatan 3 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sudut – Sisi – SudutSediakan alat sebagai berikut. - Selembar kertas - Gunting - Pensil - Busur - Penggaris Lakukan kegiatan berikut ini.1. Gambarlah ΔABC dan ΔDEF dengan m∠A = m∠D, AB = DE, dan m∠B = m∠E pada selembar kertas dengan langkah sebagai berikut: (lihat gambar) a) Gambarlah garis k sebarang pada selembar kertas. b) Pada garis k, buatlah segmen garis AB dan DE, dengan AB = DE. c) Buatlah garis r melalui titik A dan buatlah garis s melalui titik D, sedemikian hingga garis r sejajar dengan s. Apakah m∠A = m∠D? Jelaskan. d) Buatlah garis p melalui titik B dan buatlah garis q melalui titik E, sedemikian hingga garis p sejajar dengan q. Apakah m∠B = m∠E? Jelaskan. e) Titik perpotongan garis r dan p beri nama titik C, perpotongan garis s dan q beri nama titik F, sehingga terbentuk ΔABC dan ΔDEF dengan m∠A = m∠D, AB = DE, dan m∠B = m∠E . r s q p C F k A BD E 2. Guntinglah ΔDEF dan tumpukkan di atas ΔABC, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan. 3. Untuk memastikan jawaban kamu pada no. 2, ukurlah besar sudut-sudut dan panjang sisi yang lainnya. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Apakah sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang? Berikan penjelasan.220 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita SimpulkanDari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika ...Kegiatan 4 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sudut – SudutSediakan alat sebagai berikut: - Selembar kertas - Penggaris - Gunting - Busur Lakukan kegiatan berikut ini.1. Gambarlah ΔABC dan ΔDEF dengan m∠A = m∠D, m∠C = m∠F, dan AB = DE pada selembar kertas dengan langkah sebagai berikut: (lihat gambar)a) Gambarlah garis k sebarang pada selembar kertas.b) Buatlah garis r yang memotong garis k di titik A.c) Buatlah garis s yang memotong garis k di titik D dan sejajar dengan garis r.d) Pada garis r, buatlah segmen garis AB. qk F Pada garis s, buatlah segmen garis DE dengan DE = AB.e) Dari titik B buatlah garis p yang p s memotong garis k. Perpotongan antara D E garis p dan garis k beri nama titik C. C rf) Dari titik E buatlah garis q yang B memotong garis k di titik F dan sejajar A dengan garis p. Perpotongan antara garis q dan garis k beri nama titik F.g) Apakah pasti m∠A = m∠D dan m∠C = m∠F? Jelaskan. MATEMATIKA 221h) Terbentuk ∆ABC dan ∆DEF dengan AB = DE, m∠A = m∠D, dan m∠C = m∠F. (kriteria sisi – sudut – sudut)2. Guntinglah ∆DEF dan tumpukkan di atas ∆ABC, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.3. Untuk memastikan jawaban kamu pada no. 2, ukurlah besar sudut-sudut dan panjang sisi yang lainnya. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Apakah sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang? Berikan penjelasan. Ayo Kita SimpulkanDari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Dua segitiga disebut kongruen jika memenuhi beberapa syarat, yaitu .... Ayo Kita Menalar Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaiansama besar pasti kongruen? Jelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu. Ayo Kita Gali Informasi Kegiatan 1 sampai dengan Kegiatan 4 di Subbab 4.2 ini, kamu sudah menemukansyarat-syarat (kriteria) dua segitiga kongruen. Coba carilah kriteria lain untuk mengujidua segitiga kongruen.kongruen. Syarat Dua Segitiga Kongruen Materi Esensi 4.2 Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.Dua segitiga dikatakan kongruen jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini: (i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.222 Kelas IX SMP/MTs∠B dan ∠E adalah sudut yang bersesuaian BE A CD F Sisi AC dan DF adalah sisi yang bersesuaianSisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian: AB dan DE → AB = DE ∠A dan ∠D → m∠A = m∠D BC dan EF → BC = EF ∠B dan ∠E → m∠B = m∠E CA dan FD → CA = FD ∠C dan ∠F → m∠C = m∠F atau dengan kata lain A=B B=C A=C 1 DE EF DF Jika ∆ABC dan ∆DEF memenuhi syarat tersebut, maka ∆ABC dan ∆DEFkongruen, dinotasikan dengan ∆ABC ≅ ∆DEF. Jika ∆ABC dan ∆DEF tidak memenuhi syarat tersebut maka maka ∆ABC dan∆DEF tidak kongruen, dinotasikan dengan ∆ABC ≇ ∆DEF.Catatan: Ketika menyatakan dua segitiga kongruen sebaiknya berdasarkan titik-titik sudutyang bersesuaian dan berurutan, contohnya:∆ABC ≅ ∆DEF atau ∆BAC ≅ ∆EDF atau ∆CBA ≅ ∆FEDbukan ΔABC ≅ ΔEDF atau ΔABC ≅ ΔEFD atau yang lainnya. MATEMATIKA 223Untuk menguji apakah dua segitiga kongruen atau tidak , tidak perlu menguji semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu kondisi berikut ini: 1. Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sisi – sisi. 2. Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sudut – sisi. 3. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sisi – sudut. 4. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sudut – sisi. 5. Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian sama panjang.224 Kelas IX SMP/MTsContoh 1 Membuktikan Dua Segitiga Kongruena. Perhatikan gambar di samping. A B Buktikan bahwa ∆ABC ≅ ∆EDC. C Alternatif Penyelesaian: DE Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa: AC = EC (diketahui ada tanda sama panjang) m∠ACB = m∠ECD (karena saling bertolak belakang) BC = DC (diketahui ada tanda sama panjang) Jadi, ∆ABC ≅ ∆EDC (berdasarkan kriteria sisi – sudut – sisi). b. Perhatikan gambar di samping. P Buktikan bahwa ∆PQS ≅ ∆RQS. Q S Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan gambar di samping diperoleh bahwa: R PQ = RQ (diketahui ada tanda sama panjang) PS = RS (diketahui ada tanda sama panjang) QS pada ∆PQS sama dengan QS pada ∆RQS (QS berimpit) Jadi, ∆PQS ≅ ∆RQS (berdasarkan kriteria sisi – sisi – sisi). Ayo Kita Tinjau UlangJelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu.1. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang pasti kongruen?2. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen?3. Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sepasang sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen?4. Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang pasti kongruen? MATEMATIKA 225Latihan 4.2 Kekongruenan Dua SegitigaSelesaikan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis.1. Perhatikan gambar di bawah ini. S P Q R Tunjukkan bahwa ∆PQS dan ∆RQS kongruen.2. Perhatikan gambar di bawah ini. D E Panjang AB = DE dan AB//DE. C Tunjukkan bahwa ∆ABC dan ∆EDC kongruen.AB3. A C Titik C adalah titik pusat lingkaran. Tunjukkan bahwa dua segitiga pada gambar di samping adalah B D kongruen. E4. Bangun WXYZ adalah segi empat dengan sisi-sisi W X yang berhadapan panjangnya sama. XZ adalah salah Z Y satu diagonalnya. a. Tunjukkan bahwa ∆WXZ ≅ ∆ZYX. b. Tunjukkan bahwa WXYZ adalah jajargenjang.226 Kelas IX SMP/MTs5. Perhatikan gambar di bawah ini. O Titik O adalah pusat lingkaran dalam dan lingkaran P luar. AB adalah garis singgung dan titik P adalah titik singgung pada lingkaran kecil. A B Dengan menggunakan kekongruenan segitiga, tunjukkan bahwa titik P adalah titik tengah AB.6. Perhatikan gambar di bawah ini. A Pada segitiga ABC, BM tegak lurus dengan AC, CN tegak lurus dengan AB. Panjang BM = CN. NM Tunjukkan bahwa ∆BCM ≅ ∆CBN BC7. Perhatikan gambar di bawah ini. P Titik M adalah titik tengah QR. Garis XM X dan YM masing-masing tegak lurus pada PQ dan PR. Panjang XM = YM. Buktikan bahwa Y ∆QMX ≅ ∆RMY. Q R M8. Menalar SR Diketahui SR//PQ, OP = OQ, OS = OR. O Ada berapa pasang segitiga yang kongruen? Sebutkan P dan buktikan. Q9. Berpikir Kritis Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen? Jelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu. MATEMATIKA 22710. Berpikir Kritis Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sepasang sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen? Jelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu.11. Membagi Sudut Gambarlah sebuah sudut dan beri nama ∠ABC, kemudian lakukan langkah berikut. a. Dengan menggunakan jangka, bagilah ∠ABC tersebut menjadi dua sama besar. b. Gambarlah lagi ∠ABC yang sama, kemudian tanpa menggunakan jangka maupun busur derajat, bagilah ∠ABC tersebut menjadi dua sama besar. (petunjuk: gunakan konsep segitiga kongruen)12. Mengukur Panjang Danau Chan ingin mengukur panjang sebuah danau Q R tetapi tidak memungkinkan mengukurnya R' secara langsung. Dia merencanakan suatu cara yaitu ia memilih titik P, Q, R dan mengukur P jarak QP dan RP (lihat ilustrasi gambar). Kemudian memperpanjang QP menuju ke Q' Q'dan RP menuju ke R' sehingga panjang QP = PQ' dan RP = PR'. Chan menyimpulkan bahwa dengan mengukur panjang Q'R' dia mendapatkan panjang danau tersebut. Apakah menurutmu strategi Chan benar? Jelaskan.4.3 Kesebangungan Bangun Datar Pertanyaan Penting Bagaimana kamu dapat mengidentifikasi kesebangunan dua bangun atau lebih? Bagaimana kamu dapat menggunakan perbandingan (proportion) untuk membantumu dalam desain grafis, fotografi, atau membuat layout majalah? Ketika kamu mengedit foto dalam komputer, kamu meng-klik dan menggeser (drag) foto pada sisi foto (ke atas, ke bawah, atau ke samping) maka ukurannya228 Kelas IX SMP/MTsterhadap foto asli menjadi tidak proporsional. Tetapi jika kamu menge-klik danmenggeser (drag) foto pada sisi sudut foto maka ukuran foto proporsional terhadapfoto aslinya. Foto asli di drag ke atas di drag ke samping di drag pada sudut fotoSumber: www.static.inilah.comGambar 4.11Kegiatan 1 Kesebangunan Bangun DatarAlat dan bahan yang diperlukan: - Pas foto ukuran 2 × 3, 3 × 4, dan 4 × 6 - Penggaris - Busur derajat - Pensil Lakukan kegiatan di bawah bersama temanmu.1. Siapkan pas fotomu ukuran 2 × 3, 3 × 4, dan 4 × 6 masing-masing 1 lembar. (i) (ii) (iii) MATEMATIKA 229 Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 4.122. Ukurlah kembali foto-foto itu dengan penggaris untuk memastikan bahwa ukurannya sesuai.3. Selidikilah manakah menurut kalian di antara foto-foto tersebut yang sebangun, manakah yang tidak sebangun.4. Menurutmu, bagaimana cara menentukan dua bangun sebangun atau tidak?Kegiatan 2 Masalah Nyata Sederhana: Optical Zoom 2× optical zoom Coba selesaikan masalah berikut iniOriginal bersama temanmu. Optical zoom atau perbesaran optik sering dijumpai pada kamera. Fasilitas optical zoom pada kamera adalah berfungsi untuk memperbesar tampilanSumber: www.aiptek.com.tw gambar. Jika gambar diperbesar dua kali disebut 2× zoom. Kata optical berarti menggunakan lensa kamera bukan menggunakan sistem digital. 4× Misalkan telepon genggam Ayahoptical memiliki 2× optical zoom sedangkanzoom telepon genggam Ibu memiliki 4×Sumber: www.amazon.co.uk optical zoom. Gambar bunga krisan di samping ukuran gambar awalnyaadalah 1,6 cm × 1,4 cm. Gambar orang main ski di samping ukuran gambar awalnyaadalah 1,9 cm × 1,2 cm.a. Berapakah ukuran gambar bunga krisan dan gambar orang main ski pada kamera telepon genggam ayah?b. Berapakah ukuran gambar bunga krisan dan gambar orang main ski pada kamera telepon genggam ibu? Ayo Kita Gali InformasiCoba carilah informasi melalui buku, majalah, internet dan lain-lain mengenaiperalatan atau teknologi yang prinsip kerjanya menggunakan konsep kesebangunan.230 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita BerbagiBuatlah presentasi mengenai informasi yang telah kamu peroleh di atas, lalu paparkankepada teman-temanmu di kelas.Kegiatan 3 Syarat-syarat Dua Bangun Segi Banyak (Poligon) SebangunAlat yang diperlukan:- Pensil- Penggaris- Busur derajatKerjakanlah kegiatan di bawah ini bersama temanmu.Perhatikan gambar di bawah ini. E F AB DC G H1. Ukurlah panjang sisi dan besar sudut bangun pada gambar di atas.2. Lengkapilah tabel di bawah ini. Panjang Sisi (dalam satuan cm)AB = ... BC = ... CD = ... AD = ...EF = ... EH = ... FG = ... GH = ...m∠A = ... o. m∠D = ... o.m∠E = ... o. Besar Sudut m∠H = ... o. m∠B = ... o. m∠C = ... o. m∠F = ... o. m∠G = ... o.3. Tuliskan pasangan sisi-sisi yang bersesuaian. Bagaimana perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian?4. Tuliskan pasangan sudut-sudut yang bersesuaian. Bagaimana besar sudut-sudut yang bersesuaian? MATEMATIKA 231Ayo Kita SimpulkanDari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Dua bangun segi banyak (poligon) sebangun jika memenuhi syarat: ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................Materi Esensi 4.3 Kesebangunan Bangun Datar Dua bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama disebut sebangun. Tidakperlu ukurannya sama, tetapi sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (proportional) dansudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Perubahan bangun satu menjadi bangunlain yang sebangun melibatkan perbesaran atau pengecilan.Dengan kata lain dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat:(i) perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai A=B B=C C=D AD EF FG GH EH(ii) sudut yang bersesuaian besarnya samam∠A = m∠E C G Fm∠B = m∠F D BHm∠C = m∠Gm∠D = m∠H AE Jika bangun ABCD dan EFGH memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangunABCD dan EFGH sebangun, dinotasikan dengan ABCD ∼ EFGH. Jika bangun ABCD dan EFGH tidak memenuhi kedua syarat tersebut makabangun ABCD dan EFGH tidak sebangun, dinotasikan dengan ABCD ≁ EFGH.232 Kelas IX SMP/MTsCatatan:Ketika menyatakan dua bangun sebangun sebaiknya dinyatakan berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya: ABCD ∼ EFGH atau BADC ∼ FEHG atau CDAB ∼ GHEFContoh 1 Menentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang BersesuaianPerhatikan gambar dua bangun yang sebangun di bawah ini.PQ EF Tentukan: a. Sisi-sisi yang bersesuaian RS G H b. Sudut-sudut yang bersesuaianUT JIAlternatif Penyelesaian:Sisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian:PQ → EF ST → HI ∠P → ∠E ∠S → ∠HQR → FG TU → IJ ∠Q → ∠F ∠T → ∠IRS → GH UP → JE ∠R → ∠G ∠U → ∠JContoh 2 Mengidentifikasi Dua Bangun SebangunPerhatikan gambar di bawah ini.Manakah pasangan persegi panjang yang sebangun? Jelaskan.A 12 cm B E 8 cm F 3 cm IJ8 cm H 6 cm DC (ii) G 4 cm (i) LK (iii) MATEMATIKA 233Alternatif Penyelesaian: Periksa sudut-sudut yang bersesuaian: Ketiga gambar tersebut adalah persegi panjang, maka besar setiap sudutnya adalah 90o. Sehingga, sudut-sudut yang bersesuaian pasti sama besar yaitu 90o. Periksa perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian: - Persegi panjang (i) dan (ii) AB = DC = 12 = 3 EF HG 8 2 AD = BC = 8 = 4 EH FG 6 3 Diperoleh bahwa perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian tidak sama. Jadi, persegi panjang (i) dan (ii) tidak sebangun. - Persegi panjang (i) dan (iii) AB = DC = 12 = 3 JK IL 4 1 AD = BC = 8 JI KL 3 Tampak bahwa perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian tidak sama. Jadi, persegi panjang (i) dan (iii) tidak sebangun. - Persegi panjang (ii) dan (iii) EF = HG = 8 = 2 JK IL 4 1 EH = FG = 6 = 2 JI KL 3 1 Tampak bahwa perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai. Jadi, persegi panjang (ii) dan (iii) sebangun. Ingat: EFGH sebangun dengan JKLI, tetapi EFGH tidak sebangun dengan IJKL Jadi, pasangan persegi panjang yang sebangun adalah persegi panjang (ii) dan (iii).234 Kelas IX SMP/MTsContoh 3 Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui Dari Dua Bangun Datar SebangunPerhatikan gambar di bawah ini. D yo C 22,6oE 15 cm H zo xo 20 cm A 16 cm BF 20 cm GBangun ABCD dan EFGH sebangun.Tentukan:a. nilai x, y dan z,b. panjang sisi EF, BC, dan HG,c. perbandingan luas EFGH dan ABCD.Alternatif Penyelesaian:Bangun ABCD dan EFGH sebangun berarti sudut-sudut yang bersesuaian sama besardan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai, yaitu: m∠E = m∠A, m∠F = m∠B, m∠G = m∠C, m∠H = m∠D, EF = FG = GH = HE AB BC CD DAa. Bangun ABCD dan EFGH sebangun dengan sudut-sudut yang bersesuaian m∠E = m∠A, m∠F = m∠B, m∠G = m∠C, dan m∠H = m∠D, Sehingga, m∠G = m∠C ⇔ xo = 22,6o m∠D = 180o – m∠C ⇔ yo = 180o – xo = 180o – 22,6o = 157,4o (Mengapa?) m∠H = m∠D ⇔ zo = yo = 157,4o Jadi, nilai adalah xo = 22,6o, yo = 157,4o, dan zo = 157,4o MATEMATIKA 235b. Perbandingan sisi yang bersesuaian adalah EF = FG = GH = HE AB BC CD DA pada gambar diketahui bahwa HE = 15 = 3 DA 20 4 Sehingga, EF = HE = 3 AB DA 4 EF = 3 16 4 EF = 16 × 3 = 12 4 Selanjutnya, menghitung panjang BC sebagai berikut: FG = 3 BC 4 20 = 3 BC 4 BC = 20 × 4 = 26 2 33 E 15 cm H Untuk mencari panjang HG, buat garis bantuan HO seperti pada gambar di samping. Sehingga,12 cm ? FO = EH = 15 cm, HO = EF = 12 cm, OG = FG – FOF 15 cm O G = 20 – 15 = 5 cm 5 cm Gunakan teorema Phytagoras untuk menghitung panjang HG (lihat segitiga HOG) HG = HO2 + OG2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 13 Jadi, panjang EFB=C1=2 c2m0,×BC4 = 26 2 cm, dan HG = 13 cm. 33236 Kelas IX SMP/MTsc. C E 15 cm H D yo 22,6o 12 cm zo 20 cm 26 2 cm = 80 cm 33 xo F 20 cm G A 16 cm B ½ ( EH + FG ) × EF ½ ( AD + BC ) × AB Luas EFGH = Luas ABCD = ½ (15 + 20) × 12 3 ½  20 + 80  × 16 4  3  35 × 3 = 140 3 × 4 = 35 × 3 × 3 = 9 4 140 4 16 Jadi, perbandingan luas EFGH dan ABCD adalah 9 : 16. Ayo Kita Tinjau UlangPada Contoh 3, misalkan perbandingan luas EFGH dan ABCD adalah 9 : 16. Apakahkaitannya dengan perbandingan sisi yang bersesuaian bangun EFGH dan ABCD yaitu EF = FG = GH = HE = 3 AB BC CD DA 4Diketahui dua bangun segi banyak (poligon) yang sebangun. Jika perbandinganpanjang sisi yang bersesuaian adalah x : y, apakah pasti perbandingan luasnya adalahx2 : y2? Berikan penjelasan.Diketahui dua bangun segi banyak (poligon) yang sebangun. Jika perbandinganpanjang sisi yang bersesuaian adalah x : y, apakah pasti perbandingan volumenyaadalah x3 : y3? Berikan penjelasan. MATEMATIKA 237Latihan 4.3 Kesebangunan Bangun DatarSelesaikan soal-soal di bawah ini dengan benar dan sistematis.1. Selidikilah apakah dua trapesium di bawah ini sebangun? Jelaskan. S 16 cm R D 2 cm C A 8 cm B P 4 cm Q2. Carilah pasangan bangun yang sebangun di antara gambar di bawah ini. A 6 cm B 28 cm C 3 cm 4 cm 42 cm 3 cm 3 m 80o 3 m 3 m 70o 3 m 50 cm 50 cm D 100o 110o E F 70o 3m 3m 3m 3m 50 cm 110o 50 cm 8m G 2 cm 4m 80o I 4 cm H 2 cm 2 cm 100o 3. Perhatikan dua bangun yang sebangun pada gambar di bawah ini. 32 cm A B P 24 cm Q E 48 cm 18 cm R D T C 21 cm S Hitunglah panjang sisi AE, ED, dan QR.238 Kelas IX SMP/MTs4. Dua buah bangun di bawah ini sebangun.E 16 cm H C zo 127o D yo 35 cm xo F 28 cm GA 20 cm B Hitunglah:a. Panjang EF, HG, AD, dan DC.b. Nilai x, y dan z.5. Sebuah gambar berbentuk persegi panjang berukuran 16,8 cm × 8,4 cm. Gambar tersebut diperkecil sehingga ukurannya menjadi k cm × 2 cm. Hitunglah panjang k. 8,4 cm 2 cm k cm 16,8 cm Sumber: www.prasoudadietreviewblog.com6. Sebuah foto diletakkan pada selembar karton yang berukuran 50 cm × 40 cm, sebelum dipasang di pigura. Di bagian sisi kiri, kanan, atas, dan bawah foto diberi jarak seperti nampak pada gambar. Foto dan karton tersebut sebangun. 3 cm 5 cm 5 cm 40 cm a = .... ? 50 cm Sumber: Dokumen Kemdikbud MATEMATIKA 239a. Berapa lebar karton di bagian bawah yang tidak tertutup oleh foto tersebut? b. Berapa perbandingan luas foto dan luas karton? 7. Sebuah batako berukuran panjang 24 cm, lebar 12 cm, dan tingginya 8 cm dengan berat 1,6 kg. Terdapat miniatur batako yang sebangun dengan batako tersebut dan terbuat dari bahan yang sama dengan batako asli. Ukuran panjang miniatur batako 6 cm. Hitunglah: a. lebar dan tinggi miniatur batako, b. perbandingan volume batako asli dan batako miniatur, c. berat miniatur batako (dalam gram). 8. Panjang sisi terpendek dari dua buah segi enam (hexagon) sebangun adalah 10 cm dan 8 cm. Jika luas segi enam yang besar adalah 200 cm2, berapakah luas segi enam yang kecil? 9. Usaha Konveksi Wina mempunyai usaha konveksi. Untuk mengetahui bahan kain yang dibutuhkan, sebelum memproduksi dalam jumlah besar ia membuat sampel baju ukuran kecil dengan skala ¼ terhadap ukuran sebenarnya. Ternyata satu sampel tersebut membutuhkan kain Sumber: Dokumen Kemdikbud sekitar 0,25 m2. Berapa luas kain yang dibutuhkan jika ia mendapat pesanan untuk memproduksi baju tersebut sebanyak 1.000 baju? 10. Botol Air Mineral Ada dua macam kemasan air mineral, yaitu botol ukuran sedang dan besar. Kedua kemasan tersebut sebangun. Botol sedang tingginya 15 cm dan botol besar tingginya 25 cm. Volume botol besar adalah 1.250 ml. Berapa volume botol kecil? Sumber: Dokumen Kemdikbud240 Kelas IX SMP/MTs11. Denah Rumah Perhatikan gambar denah rumah di bawah ini. Sumber: www.desainic.com Denah di atas menggunakan skala 1 : 200. Hitunglah: a. ukuran dan luas garasi sebenarnya, b. ukuran dan luas kamar mandi sebenarnya, c. luas taman depan sebenarnya, d. luas rumah sebenarnya (tanah dan bangunan).12. Miniatur Kereta Api Sebuah miniatur salah satu gerbong kereta api dibuat dengan material yang sama dengan kereta api sebenarnya. Panjang miniatur kereta api tersebut adalah 40 cm, panjang sebenarnya adalah 10 m, dan berat miniatur adalah 4 kg. Berapakah berat kereta api sebenarnya? Sumber: www.kereta-api.co.id MATEMATIKA 2414.4 Kesebangunan Dua Segitiga Pertanyaan PentingTahukah kamu, pada saat teknologi mesin fotokopi, kamera, dan komputer belumditemukan bagaimana cara manusia menduplikat, memperbesar, atau memperkecilsuatu gambar?Bagaimana mengidentifikasi dua segitiga atau lebih sebangun? Bagaimana syaratyang harus dipenuhi sehingga dua segitiga atau lebih dikatakan sebangun?Bagaimana pula cara mengukur tinggi bangunan atau pohon yang tinggi tanpamengukurnya secara langsung?Kegiatan 1 Pantograf Ada salah satu alat gambar yang diciptakan oleh Christooph Scheiner sekitartahun 1630 yang digunakan untuk membuat salinan gambar dengan skala yaitupantograf. Prinsip kerja pantograf menggunakan konsep kesebangunan.Ayo Kita AmatiAmatilah gambar pantograf di bawah ini. skrup pensil Saat pensil pada gambar asli digerakkan, pensil pada sisi sumbu kanan secara otomatis akan membuat salinannya. Ukurantitik tetap salinan gambar dapat disesuaikan dengan mengubah posisi sumbu. gambar asli gambar salinanSumber: www.desainic.com Dengan mengamati dan memahami cara kerja pantograf, kamu bisa membuatpantograf sendiri dan membuat salinan gambar dengan skala tertentu.242 Kelas IX SMP/MTsBerdasarkan gambar di samping, sumbu-sumbu pada gambar pantograf tersebutdapat diwakili oleh gambar di bawah ini. B Pada gambar di samping titik tetapnya adalah A E dan gambar aslinya adalah D. Pensil gambar salinan berada pada titik C. Lengan AB dan BC samaF panjang. FD selalu sejajar dengan BC dan AB selalu sejajar dengan DE.AD C Menurut kamu apakah ΔABC dan ΔAFD sebangun? Untuk menjawabnya coba kamu selidiki besar sudut-sudut dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. Untuk menyelidiki besar sudut-sudutnya gunakan sifat-sifat garis sejajar yangdipotong oleh suatu garis.Perhatikan ΔABC dan ΔAFD.m∠BAC = m∠... (karena .............................................................................................)m∠ABC = m∠... (karena .............................................................................................)m∠BCA = m∠... (karena .............................................................................................)Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?Misalkan dibuat rancangan pantograf berukuran AF = 10 cm, FB = 30 cm, EC = 30cm, BE = 10 cm, AD = 14 cm, dan DC = 42 cm.Berapa panjang DE dan FD?Berapa skala perbesaran pada pantograf tersebut? 30 cm B Seperti tampak pada gambar di samping 10 cm bahwa FD sejajar dengan BE dan FB sejajar F E dengan DE, akibatnya jelas bahwa FD = BE =10 cm 10 cm dan DE = FB = 30 cm. 30 cm Sekarang coba selidiki perbandinganAD C sisi-sisi yang bersesuaian yaitu AB , BC , AC AF FD ADApakah A=C A=B BC ? AD AF FDBerapa skala perbesaran pantograf tersebut?Gambar yang dihasilkan nanti berapa kali ukuran gambar aslinya? MATEMATIKA 243Nah, dengan menyelesaikan permasalahan di atas kamu telah menggunakan konsepkesebangunan dua bangun yaitu gambar asli dengan gambar hasil perbesarannya. Ayo Kita Mencoba Bersama temanmu, coba buatlah pantograf yang bisa menghasilkan salinangambar lima kali lebih besar. Presentasikan pantograf hasil karya kelompokmu tersebut beserta gambarsalinannya. Pada Subbab B kamu telah mempelajari bahwa dua bangun datar dikatakansebangun jika memenuhi dua syarat sebagai berikut.a. perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilaib. sudut yang bersesuaian besarnya sama Bagaimana menguji kesebangunan dua segitiga tanpa harus menguji kedua syaratdi atas? Melalui kegiatan berikut ini, coba kamu temukan jawabannya.Kegiatan 2 Syarat Dua Segitiga SebangunKerjakanlah kegiatan berikut ini bersama kelompokmu.1. Gambarlah ΔABC dengan panjang sisi sesuai keinginanmu Misalkan seperti gambar berikut: C’ C6 cm 5 cm 6k cm 5k cmA 7 cm B A’ 7k cm B’2. Gambarlah ΔA'B'C' dengan panjang sisi k kali panjang sisi ΔABC. (boleh diperbesar atau diperkecil)3. Ukurlah besar tiap-tiap sudut ΔABC dan ΔA'B'C' dengan menggunakan busur derajat. Bandingkan sudut-sudut yang bersesuaian dari dua segitiga tersebut.

244 Kelas IX SMP/MTs

Page 2

Alternatif Penyelesaian: a. 75 = 25× 3 = 25 × 3 =5 × 3 =5 3 b. 500 = 100 × 5 = 100 × 5 =10 × 5 =10 5 c. 0, 000=081 81= =9 0, 009 1.000.000 1.000 d. 7 3 + 48 − 192 = 7 3 + 16 × 3 − 64 × 3 = 7 3 + 16 × 3 − 64 × 3 = 7 3 + 4 3 − 8 3 = 3 3Contoh 4 Jarak Pandang PesawatJarak pandang pesawat terbang selama terbang pada Sumber: Dokumen Kemdikbudkondisi normal dinyatakan dengan d = 1,5 h , di mana Gambar 1.15 Pesawatd adalah jarak pandang dalam meter dan h adalahketinggian pesawat dalam meter. Jika pengamat beradadalam pesawat yang terbang pada ketinggian 3.600meter, berapa jarak yang dapat dilihat olehnya?Alternatif Penyelesaian:Diketahui:ketinggian pesawat = h = 3.600 meterjarak pandang pesawat = d = 1,5 h = 1,5 3.600 = 1,5 × 60 = 90Jadi, pada ketinggian 3.600 meter jarak pandang pesawat yaitu 90 meter. Ayo Kita Tinjau Ulang1. Tuliskan hasil dari bentuk pangkat berikut ini. a. 3z3 z5 b. (0,5)–3 × (0,5)0 c. 4x−2 x−3 MATEMATIKA 452. Sederhanakan bentuk pangkat berikut. a. 23 d. 1 × 1 25 35 3−4 b. (0,5)–3 e. 24 × 2−2 25 33 × 32 c. f. 3 : 35 3. Sederhanakan bentuk akar berikut. a. 125 b. 600 c. 0, 0000256 d. 5 3 + 243 − 12 Latihan 1.4 Pangkat Nol, Pangkat Negatif, dan Bentuk Akar1. Berpikir Kritis. Bagaimana kamu dapat menuliskan angka 1 sebagai bentuk perpangkatan dengan basis 5 dan perpangkatan dengan basis 7?2. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini. a. 31 + 30 d.  1 −3  6  b. (–2)-6 e.  − 2 −2  3  c. (–33) × (–30) 3. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini. a. 23 × 24 c. 1 × 1 26 35 3−7 b.  − 1 −4 ×  − 1 0 ×  − 1 4 d. (–7)4 × 73 4   4   4  46 Kelas IX SMP/MTs4. Sederhanakan dalam bentuk pangkat negatif. a. abc a3bc4 b. 55 5 2 c. b5 b−3 d. r6 × r–6 5. Sederhanakan dalam bentuk pangkat positif. a. 2m–4 × m–3 b. 6673 c. bb−−63 d. 1 a3bc−46. Sederhanakan bentuk operasi perpangkatan berikut ini. a. 18t3 × 2t–3 b. 2 y0t3 y6t −2 c. 2m0 × m–7 d. m3 + 4 m−37. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penyederhanaan berikut ini. d–5 = (–d) × (–d) × (–d) × (–d) × (–d) = (–d)5 MATEMATIKA 478. Tentukan panjang diagonal ruang balok di bawah ini dengan panjang rusuk AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan CG = 4 cm. HG E D F C A B9. Tantangan. Pada sebuah pabrik kertas HVS Sumber: www.tempo.co.id dilakukan pengemasan kertas per rim (1 rim Gambar 1.16 Pengemasan kertas = 500 lembar). Jumlah pesanan yang harus dipenuhi pabrik tersebut tiap harinya adalah 30 karton box dengan masing-masing karton box berisi 30 rim kertas. Berapakah rim kertas HVS yang harus diproduksi dalam 1 bulan? (1 bulan adalah 30 hari)10. Tantangan. Setiap tanggal 10 Budi melakukan aktivasi paket internet murah dengan kapasitas 1 Gigabyte (GB) untuk telepon selularnya dan masa aktif berlaku sampai tanggal 10 pada bulan berikutnya. Jika Budi melakukan aktivasi pada tanggal 10 Agustus 2016, berapakah kapasitas rata-rata tiap hari yang digunakan Budi agar tetap dapat menggunakan paket internet hingga 9 September 2016? (Tuliskan jawaban kamu dalam satuan Megabyte)11. Tantangan. Pada soal nomor 9, andaikan paket internet Budi habis pada tanggal 30 Agustus 2016, berapa rata-rata kapasitas yang digunakan Budi tiap harinya? (Tuliskan jawaban kamu dalam satuan Byte)12. Setiap kantung darah yang didonasikan oleh para pendonor kepada Palang Merah Indonesia (PMI) berisi 0,5 L darah. (1 mm3 = 10–3 mL) a. Jika dalam setiap 1 mm3 darah mengandung 3 × 104 sel darah putih, berapa jumlah sel darah putih dalam satu kantung darah tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana. b. Jika dalam setiap 1 mm3 darah mengandung 7 × 106 sel darah merah, berapa jumlah sel darah merah dalam satu kantung darah tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.48 Kelas IX SMP/MTs13. Sederhanakan bentuk akar berikut. a. 112 b. 216 c. 605 d. 800 e. 5.000 f. 0,000121 g. 0,00000324 h. 9 2 + 72 − 578 i. 7 3 + 48 − 768 j. 9 5 − 125 + 720 14. Pak Asep memiliki sebuah kolam renang berbentuk silinder di belakang rumahnya. Diameter kolam tersebut adalah 14 3 meter dengan kedalaman 150 2 cm. Apabila Pak Asep ingin mengisi kolam tersebut sampai penuh, berapa liter air yang dibutuhkan oleh Pak Asep? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.15. Sebuah kapal tenaga angin seperti gambar di bawah. Perkirakan panjang tali layar agar menarik kapal pada sudut 45o dan ketinggian layar 150 m. (Soal PISA 2012)tambang 150 m 45o 90o MATEMATIKA 491.5 Notasi Ilmiah (Bentuk Baku) Pertanyaan PentingBagaimana membaca dan menuliskan notasi ilmiah? Kegiatan 1 Menggunakan Kalkulator Ayo Kita MencobaLakukan dan diskusikan bersama temanmu.1. Dengan menggunakan kalkulator, kalikan dua bilangan besar. Sebagai contoh 2 milyar dikalikan dengan 3 milyar 2000.000.000 × 3000.000.000 Berapa nilai yang muncul di layar kalkulator? Kamu mungkin akan melihat bahwa hasilnya Sumber: www.studentcalculators.co.uk Gambar 1.17 Kalkulator adalah 6.00000000e + 18 Bentuk 6.00000000e + 18 bisa dinyatakan dengan 6 × 1018 yang biasa disebut dengan notasi ilmiah (bentuk baku).2. Tentukan hasil perkalian 40.000.000.000 dengan 600.000.000.000 tanpa menggu- nakan kalkulator. Berapa hasilnya?3. Apa yang dapat kamu simpulkan dari hasil (1) dan (2)?4. Ulangi lagi (1) sampai dengan (3) di atas, untuk bilangan besar 70.000.000.000.000 dikalikan dengan 30.000.000.000.000. Ayo Kita MenanyaSetelah melakukan percobaan di atas, buatlah pertanyaan yang berkaitan denganpenulisan perpangkatan yang ditunjukkan kalkulator.50 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Mencoba1. Kalikan dua bilangan yang sangat kecil dengan kalkulator, misalkan 0,000000002 dikalikan dengan 0,000000003. Bagaimana hasil yang ditunjukkan oleh kalkulatormu? Jelaskan.2. Lakukan kembali dengan dua bilangan kecil lainnya.3. Kesimpulan apa yang kamu peroleh? DiskusiBagaimana kamu dapat menuliskan sebuah bilangan dalam bentuk notasi ilmiah?Kegiatan 2 Penulisan Notasi IlmiahAyo Kita MencobaBerikut ini diberikan suatu besaran yangdituliskan dalam bentuk notasi ilmiahdan dalam bentuk bilangan biasa.a. Mengubah bentuk notasi ilmiah Sumber: www.beautiful-indonesia.umm.ac.id menjadi bilangan biasa Gambar 1.18 Peta Indonesia Kisaran luas total daratan Indonesia adalah 1,92 × 1012 m2. Jika dituliskan dalam bentuk bilangan biasa menjadi = 1,92 × 1.000.000.000.000 m2 = 1.920.000.000.000 m2 b. Kisaran diameter galaksi Bimasakti adalah 1,135 × 1018. Tuliskan dalam bentuk bilangan biasa. Sumber: www.guardianlv.com Gambar 1.19 Galaksi Bima Sakti MATEMATIKA 51c. Kisaran diameter bumi adalah 1,27 × 107 m. Tuliskan dalam bentuk bilangan biasa. Sumber: www. smiagiung.blogspot.com Gambar 1.20 Bumid. Kisaran diameter matahari adalah 1.390.000.000 m. Tuliskan dalam bentuk notasi ilmiah. Sumber: www.greenpeace.org Gambar 1.21 Mataharie. Kisaran luas Samudera Pasifik adalah 180.000.000 km2. Tuliskan dalam bentuk notasi ilmiah. Sumber: www.wayantulus.com Gambar 1.22 Samudera Pasifik Ayo Kita SimpulkanSetelah melakukan Kegiatan 1 dan 2, tuliskan kesimpulan mengenai penulisan notasiilmiah (bentuk baku) suatu bilangan.52 Kelas IX SMP/MTsMateri Esensi 1.5 Notasi IlmiahNotasi ilmiah (bentuk baku) dari suatu bilangan positif dituliskan dalam bentuk a × 10n dengan ... 1 < a < 10 ... dan n adalah bilangan bulat. Misalkan notasi ilmiah untuk 2.300 adalahnilai a lebih dari 1 dan kurang 2,3 × 103 nilai n bilangan bulatdari 10Catatan:Bilangan lebih atau sama dengan 10Gunakan pangkat positif ketika kamu memindahkan titik desimal ke kiri.Contoh: 8.500.000 = 8,5 × 1.000.000 = 8,5 × 106 144.000.000 = 1,44 × 100.000.000 = 1,44 × 108Bilangan antara 0 dan 1Gunakan pangkat negatif ketika kamu memindahkan titik desimal ke kanan.Contoh: 0,0000085 = 8,5 : 1.000.000 = 8,5 × 10–6 0,0000000144 = 1,44 : 100.000.000 = 1,44 × 10–8Contoh 1 Menulis Notasi Ilmiah Menjadi Bentuk BiasaNyatakan bentuk ilmiah berikut ini menjadi bentuk biasa.a. 2,16 × 105b. 0,16 × 10–3Penyelesaian:a. 2,16 × 105 = 2,16 × 100.000 Dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dengan basis 10 = 216.000 Lakukan operasi perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 5 tempat ke kanan MATEMATIKA 53b. 0,16 × 10–3 = 0,16 × 0,001 Dapatkan hasil dari perpangkatan (–3) dengan basis 10 = 0,00016 Lakukan perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 3 tempat ke kiriContoh 2 Menulis Notasi Ilmiah dari Suatu BilanganNyatakan dalam bentuk ilmiah.a. 155 × 106b. 46,78 × 10–3c. 2.300.000d. 0,0000695Penyelesaian:a. 155 × 106 = 1,55 × 100 × 106 = 1,55 × 102 × 106 = 1,55 × 108b. 46,78 × 10–3 = 4,678 × 10 × 10–3 = 4,678 × 10–2c. 2.300.000 = 2,3 × 1.000.000 = 2,3 × 106d. 0,0000695 = 6,95 : 100.000 = 6,95 : 105 = 6,95 × 10–5 Ayo Kita Tinjau UlangTuliskan bentuk baku dari Tuliskan bentuk bilangan biasa daribilangan berikut. bilangan berikut. 1. 12 × 105 8. 5.5002. 123 × 10–7 9. 79.9993. 4567 × 106 10. 150.000.0004. 6.780.000 11. 9.876.000.000.0005. 78.000.000.000 12. 0,0077776. 0,000678 13. –0,000001237. 0,00000000078 14. 0,0000000765 54 Kelas IX SMP/MTsLatihan 1.5 Notasi Ilmiah (Bentuk Baku)1. Tantangan. Hikmah membeli flashdisk berkapa- sitas 16 GB dengan kapasitas yang dapat digunakan 95%. Berapa byte kapasitas flashdisk yang bisa digunakan?2. Tentukan jawaban kamu dalam bentuk baku. Beri Sumber: Dokumen Kemdikbud penjelasan singkat bagaimana kamu mendapatkan Gambar 1.23 Flashdisk jawaban tersebut. a. 10,5 × 103 d. 0,455 × 10–6 b. 1,5 × 10–5 e. 5 × 1012 c. 7.125 × 10–163. Tuliskan bilangan berikut dalam bentuk biasa. a. 7 × 103 d. 9,95 × 1015 b. 2,7 × 10–12 e. 3,1 × 103 c. 3,25 × 1054. Tuliskan bilangan berikut dalam bentuk baku. a. 0,00000056 d. 880 b. 120.000.000.000 e. 0,000123 c. 1.000.000.000.000.000 5. Sederhanakan bilangan berikut dan tuliskan jawabanmu dalam bentuk baku. a. (5 × 102) × (3 × 102) b. (7,2 × 10–3) × (4 × 105) c. (5,25 × 106) × (10–12)( ) d. 1, 25×1016 5 ×106 e. MATEMATIKA 556. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penulisan bilangan bentuk baku berikut. a. 125.000.000 = 12,5 × 107 b. 0,0000055 = 5,5 × 106 c. 1,3 × 10–4 = 13.0007. Massa planet Jupiter adalah 1,9 × 1022 kg, sedangkan massa planet Bumi adalah 30% dari Jupiter. Berapakah massa planet Bumi? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk baku atau notasi ilmiah. Sumber: www.teknologi.news.viva.co.id Gambar 1.24 Planet Jupiter8. Massa Bumi adalah 5.972.190.000.000.000.000.000 kg. Tuliskan dalam bentuk baku.9. Tantangan. Lihatlah soal nomor 1. Berapakah kisaran harga memori yang dapat digunakan tiap byte? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk baku.10. Budi sedang melakukan percobaan di laboratorium dengan menggunakan Sumber: www.tsumasaga.wordpress.com mikroskop. Mikroskop yang digunakan Gambar 1.25 Planet Bumi dapat mengamati suatu organisme menjadi 1.000 kali lebih besar dari ukuran sebenarnya. Bakteri yang diamati oleh Budi memiliki diameter dengan ukuran 5 × 10−5 milimeter. Berapa diameter bakteri yang terlihat pada mikroskop (dalam cm)? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk notasi ilmiah.56 Kelas IX SMP/MTsProyek 11. Seorang ayah memberikan sebuah tantangan kepada anaknya untuk menghitung jumlah uang koin yang diperlukan untuk memenuhi papan catur. Pada kotak pertama diberi 1 uang koin, kotak kedua 2 uang koin, 4 uang koin untuk kotak ketiga, 8 koin untuk kotak keempat demikian berlanjut sampai memenuhi 64 kotak. a. Bantu anak tersebut menentukan susunan banyak koin pada tiap-tiap kotak papan catur tersebut. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan. b. Jika berat tiap-tiap uang koin adalah 16 gr, hitunglah berat uang koin pada tiap-tiap kotak. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan. c. Susunlah penyelesaian nomor a dan b dalam satu tabel. d. Banyak uang yang harus dikeluarkan untuk memenuhi papan catur, jika uang koin yang digunakan adalah Rp200,00, berapa rupiah uang yang diperlukan untuk memenuhi semua kotak?2. Gunakan akses internet untuk mendapatkan populasi penduduk di 5 negara dengan penduduk terpadat di dunia. a. Nyatakan jumlah tiap-tiap populasi penduduk tersebut dalam bentuk notasi ilmiah/bentuk baku. b. Carilah luas wilayah di negara tersebut. Selanjutnya hitunglah kepadatan penduduk tiap-tiap negara. Nyatakan jawabanmu dalam bentuk baku. c. Melalui cara yang sama, carilah informasi tentang pertumbuhan penduduk tiap tahunnya. Selanjutnya perkirakan jumlah penduduk 10 tahun ke depan di tiap-tiap negara tersebut. d. Dari informasi yang kamu dapatkan pada butir c, hitunglah kepadatan penduduk 10 tahun ke depan. MATEMATIKA 57Uji Kompetensi 1 Perpangkatan dan Bentuk Akar1. Dapatkan hasil dari operasi perpangkatan berikut ini. 642 +163 452. Dapatkan bentuk perpangkatan yang ekivalen dengan bilangan di bawah ini (Jawaban dapat lebih dari satu bentuk perpangkatan). a. 2 8 b. 3 27( )3. Diketahui xn−1 yn 3 senilai dengan xayb. Tentukan nilai b . x2n y6+n a4. Sederhanakan operasi perpangkatan berikut ini. a. y3 × (3y)2 b. b 2 y5 × b3 6 y2 c. (tn3)4 × 4t3 d. (2x3) × 3(x2y2)3 × 5y4 5. Tuliskan bilangan di bawah ini dalam notasi ilmiah. a. 0,00000056 b. 2.500.000 c. 0,98 d. 10.000.000.000.000 6. Hitung hasil perpangkatan berikut ini. Tuliskan jawabanmu dalam notasi ilmiah. a. 12 × 23 b. 7,27 × 102 – 0,5 × 103 c. (8,32 × 104) : (4 × 10–6) d. 3,7 × 103 × 5,2 × 10–3 58 Kelas IX SMP/MTs7. Diberikan x = 24 dan y = 54. Tentukan hasil operasi di bawah ini. Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan yang paling sederhana. a. x × y b. x y8. Berapakah hasil operasi perpangkatan 4925 – 2465?9. Berapa banyak detik dalam kurun waktu 60.000 tahun? Tuliskan hasilnya dalam notasi ilmiah.10. Tuliskan hasil operasi perpangkatan berikut ini. a. –8 × 26 c. 16 24 b. 54 × 50 d. 98 7311. Tantangan. Pada acara lomba 17 Agustusan di SMPN 1 Taman, diadakan lomba mengisi air dalam wadah berbentuk kerucut dengan melewati perjalanan sejauh 5 m. Pada pengambilan awal, tiap peserta mengisi setiap wadah secara penuh. Setiap meter yang ditempuh maka air akan Sumber: Dokumen Kemdikbud berkurang sebanyak 1 bagian. Berapakah 10 air yang terkumpul dalam satu kali perjalanan? (ukuran wadah: diameter = 10 cm 1 dengan tinggi 12 cm. Vkerucut = 3 πr2t).12. Urutkan bilangan berikut ini, dari yang terbesar ke terkecil. a. 7 d. 0,98 × 104 b. 0,89 e. 0,0045 c. 5,2 × 103 f. 1.000 13. Cahaya bergerak dengan kecepatan 3 × 108 m/detik. Berapa jauh cahaya bergerak dalam satu tahun? Tuliskan hasilnya dalam notasi ilmiah. MATEMATIKA 5914. Tuliskan hasil perpangkatan berikut ini.( ) a. 1 63 − 42 c. (64 – 44) : 3 2 b. 8 + 3 × (–3)4 d. 15. Dapatkan nilai n dari persamaan berikut ini. a. 3n = 243 c. 4n = (–2)0 b. 2n + 1 = 1 d. 48 : 3 = n4 1616. Satu karung yang berisi beras memiliki massa 50 kg. Andaikan tiap-tiap butir beras yang terdapat dalam karung tersebut memiliki massa yang sama, yaitu 2,5 × 10–2 gram. Berapakah banyak butir beras dalam karung tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.17. Seluruh planet yang ada dalam tata surya melakukan gerakan revolusi mengelilingi matahari. Planet Neptunus memerlukan waktu sekitar 2,5 × 102 tahun untuk mengelilingi matahari dalam satu putaran penuh. Matahari memerlukan waktu selama 2,25 × 108 tahun untuk mengelilingi pusat Galaksi Bimasakti dalam satu putaran penuh. Berapa banyak revolusi yang dilakukan oleh Planet Neptunus dalam mengelilingi matahari ketika matahari menyelesaikan gerakan mengelilingi pusat Galaksi Bimasakti dalam satu putaran penuh?18. Setiap jantung manusia rata-rata memompa sekitar 7 × 10–2 liter darah dalam setiap detak jantung. Dalam tiap menitnya, rata-rata jantung manusia berdetak 70 kali. Berapa liter darah yang dipompa oleh jantung manusia dalam waktu 1 tahun (1 tahun = 365 hari)? Tuliskan jawabanmu dalam notasi ilmiah, bulatkan sampai 2 tempat desimal.19. Nyatakan pernyataan matematika berikut sebagai pernyataan Benar (B) atauSalah (S). Berikan alasanmu. a. 63 = 0 c.  52 7 = 27 63  5−7 b. (2 × 6)5 = 25 × 65 d. 43 × 47 = 220 60 Kelas IX SMP/MTs20. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a.  a 5b3c 3   8ac   4bc   3bc−3   × b. 2m0 × m 2 3 c. m3 + 4 m−321. Diberikan x = 27 dan y = 63. Tentukan hasil dari operasi di bawah ini. Tuliskan jawabanmu dalam bentuk bilangan berpangkat paling sederhana. a. x3y b. x y22. Tuliskan dalam bentuk pangkat paling sederhana. a. 22403 c. 50 625 b. 500 d. 49 9 68623. Perhatikan tabel berikut ini. Panjang (dalam meter) 103 Satuan Panjang 102 Kilometer 101 Hektometer 1 Dekameter 10–1 Meter 10–2 Desimeter 10–3 Sentimeter 10–6 Milimeter 10–9 Mikrometer Nanometer MATEMATIKA 61Dengan menggunakan tabel di atas, isilah titik-titik di bawah ini (nyatakan dalam bentuk perpangkatan) a. 1 hektometer = .... millimeter b. 1 kilometer = .... sentimeter c. 1 dekameter = .... mikrometer d. 1 desimeter = .... nanometer24. Perhatikan tabel unsur-unsur kimia beserta jari-jari atomnya berikut ini. Semua pengukuran dituliskan dalam satuan nanometer.Nama Unsur Jari-jari Atom Magnesium 1,44 × 105 4,8 × 104 Oksigen 9,6 × 104 Pospor 1,92 × 105 Kalsium 2,4 × 105 Barium a. Apakah jari-jari atom Pospor lebih panjang daripada jari-jari atom Magnesium? b. Unsur apa yang memiliki jari-jari atom terbesar dan terkecil? c. Berapa kalikah panjang jari-jari atom Barium jika dibandingkan dengan jari- jari atom Oksigen? d. Berapa kalikah panjang jari-jari atom Kalsium jika dibandingkan dengan jari-jari atom Pospor?25. Misalkan diperoleh data bahwa rata-rata penduduk Indonesia menghasilkan 2,5 liter sampah per hari. Jika diasumsikan total penduduk Indonesia adalah 250 juta jiwa, berapa meter kubik sampah yang dihasilkan oleh seluruh penduduk Indonesia dalam kurun waktu 1 bulan (30 hari)? (1 liter = 1 dm3)62 Kelas IX SMP/MTsBab II Persamaan dan Fungsi Kuadrat Kata Kunci• Fungsi Kuadrat• Akar Kuadrat• Persamaan Kuadrat K ompetensi Sumber: Dokumen Kemdikbud D asar Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang berbentuk3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan f(x) = ax2 + bx + c. Grafik fungsi ini berbentuk parabola karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya yang mempunyai nilai optimum. Dalam aplikasi dunia nyata serta cara penyelesaiannya. ini sangat berguna.3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.3.4 Menjelaskan hubungan antara koefisien dan diskriminan fungsi kuadrat dengan grafiknya.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.4.3 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.4.4 Menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sifat-sifat fungsi kuadrat. Pengalaman Belajar1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengetahui karakteristik penyelesaiannya.2. Menentukan grafik dari fungsi kuadrat.3. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum.4. Menentukan fungsi kuadrat.5. Menjelaskan aplikasi dari fungsi kuadrat. MATEMATIKA 63Peta Menentukan Metode Konsep Akar-akar Pemfaktoran Persamaan Kuadrat Persamaan Metode Kuadrat Kuadrat Aplikasi Sempurna Rumus Kuadratik Grafik Fungsi Grafik Fungsi Kuadrat y = ax2 PERSAMAAN Grafik Fungsi DAN FUNGSI y = ax2 + bx KOORDINAT Grafik Fungsi Sumbu Simetri y = ax2 + c dan Nilai Optimum Pergeseran Grafik Sumbu Simetri Nilai Optimum Mentukan Melalui Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Beberapa Aplikasi Fungsi Titik yang Diketahui Kuadrat64Omar Khayyam lahir 18 Mei 1048 di Nishapur di timur laut Iran. Pada usia muda ia pindah ke Samarkand dan memperoleh pendidikan di sana. Setelah itu ia pindah ke Bukhara dan berhasil menjadi matematikawan besar dan astronom dari periode abad pertengahan. Dia adalah penulis dari salah satu risalah yang paling penting pada aljabar dan ditulis sebelum zaman modern, Treatise on Demonstrasi Masalah Aljabar, yang mencakup metode geometris untuk memecahkan persamaan kubik dengan memotong sebuah hiperbola dengan lingkaran. Omar Khayyam meneruskan tradisi aljabarSumber: http://blog.yovisto.com al-Khawarizmi dengan memberikan persamaan sampai pangkat tiga. Seperti pendahulunya, Omar Khayyam melengkapi dengan persamaan kuadrat baik untuk solusi aritmatika maupun solusi geometri.Omar Khayyam Untuk persamaan-persamaan umum pangkat tiga dipercayainya bahwa solusi untuk aritmatika adalah tidak mungkin (kelak pada abad lima belas dibuktikanbahwa pernyataan ini salah), sehingga dia hanya memberi solusi geometri. Gambar kerucut yang dipotong untuk menyelesaikan persamaan pangkat dua sudahpernah dipakai oleh Menaechmus, Archimedes, dan Alhazen. Namun, Omar Khayyammengambil cara lebih elegan dengan melakukan generalisasi metode guna mencakuppersamaan-persamaan pangkat tiga dengan hasil berupa akar bilangan positif. Untukpersamaan dengan pangkat lebih dari tiga, Omar Khayyam tidak dapat memberigambaran dengan menggunakan metode geometri yang sama. Dianggap bahwa tidakada dimensi lebih dari tiga, “Apa yang disebut dengan kuadrat dikuadratkan oleh paraahli aljabar, memberi daya tarik dari sisi teoritis.” Untuk lebih memudahkan uraian diberikan contoh persamaan: x³ + ax² + b²x + c³ = 0,kemudian, dengan teknik substitusi, mengganti, x² = 2py akan diperoleh 2pxy + 2apy +b²x + c³ = 0. Hasilnya dari persamaan ini adalah hiperbola dan variabel untuk melakukansubstitusi, x² = 2py, adalah parabola. Tampak jelas di sini bahwa hiperbola digambarbersama-sama dengan parabola pada (sistem) ordinat yang sama, sedangkan absismerupakan titik-titik perpotongan parabola dan hiperbola, adalah hasil akar persamaankuadrat. Dia belum menjelaskan tentang koefisien negatif. Niatnya memecahkan problemberdasarkan parameter a, b, c adalah bilangan positif, negatif atau nol. Tidak semua akardari persamaan kuadrat diketahui, karena dia tidak mengetahui akar bilangan negatif.Sumber: http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id, Wikipedia.Hikmah yang bisa diambil1. Kita harus terus berusaha untuk mencapai keberhasilan.2. Kita harus mau dan mampu melakukan pembuktian-pembuktian tentang fenomena alam sekitar yang merupakan bukti kekuasaan Tuhan melalui keilmuan yang diketahui manusia. 652.1 Persamaan Kuadrat Pertanyaan Penting Bagaimana menentukan akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan,melengkapi kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik? Bagaimana karakteristik daripenyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisiennya? Ayo Kita Gali Informasi Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menjumpai beberapa masalah yangterkait dengan persamaan kuadrat. Perhatikan masalah berikut.“Johan dan Mario bekerja bersama-sama mengecat dinding dalam waktu 18 menit.Jika Johan bekerja sendirian, ia memerlukan waktu 15 menit lebih lama daripadawaktu yang diperlukan Mario. Berapa waktu yang diperlukan Johan dan Mariomasing-masing untuk mengecat dinding?”Alternatif Penyelesaian:Misal waktu yang diperlukan oleh Mario untuk mengecat dinding adalah t menit makawaktu yang diperlukan Johan adalah t + 15 menit. Sedangkan jika mereka melakukanbersama-sama maka waktu yang diperlukan adalah 18 menit. Sehingga didapatkanLaju Mario mengecat adalah 1 . tLaju Johan mengecat adalah 1 . t +15Laju mengecat bersama-sama adalah .Dan pada akhirnya didapatkan:Persamaan untuk menyelesaikan masalah ini adalah 1 + t 1 = 1 . t + 15 18Disederhanakan menjadi  1 + t 1  (18t )(t + 15) = 1 .18t(t + 15).  t + 15  1818t(t + 15) 1 + 18t (t + 15)  t 1  = t (t + 15) t + 15 66 Kelas IX SMP/MTs18(t + 15) + 18t = t(t + 15) 18t + 270 + 18t = t2 + 15t 36t + 270 = t2 + 15t t2 – 21t – 270 = 0Persamaan t2 – 21t – 270 = 0 merupakan salah satu contoh persamaan kuadrat danuntuk menyelesaiakannya akan dibahas pada bagian ini. Secara umum persamaankuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua danbiasanya dituliskan sebagai ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a, b, c ∈ R. Bilangana, b, c pada persamaan kuadrat tersebut disebut sebagai koefisien. Akar-akar atau penyelesaian dari ax2+ bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhipersamaan tersebut.Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu:(1) Memfaktorkan(2) Melengkapi Kuadrat Sempurna(3) Rumus Kuadratik (Rumus abc) Untuk lebih jelasnya tentang akar persamaan kuadrat, ikutilah kegiatan belajarberikut.. Kegiatan 1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Salah satu cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 adalahdengan cara memfaktorkan. Sekarang coba kalian perhatikan kembali perkalianbentuk aljabar berikut.Ayo Kita Gali Informasix(x + 2)= x2 + 2x (x + 1)(x + 4) = (x + 1) (x + 4) (3x – 4)(x + 3) = (3x – 4) (x + 3)atau = x2 + 4x + x + 4x2 + 2x = x(x + 2) = x2 + 5x + 4 = 3x2 + 9x – 4x – 12 atau (x + 1)(x + 4)= x2 + 5x + 4 = 3x2 + 5x – 12 atau (3x – 4)(x + 3) = 3x2 + 5x – 12 Bagaimana, jika sebaliknya (dari kanan ke kiri)? MATEMATIKA 67x2 + 2x = x(x + 2) x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4) 3x2 + 5x – 12 = (3x – 4)(x + 3)Bentuk seperti ini disebut dengan “Memfaktorkan”Dengan memfaktorkan persamaan kuadrat, dapat ditentukan akar-akarnya yaitu x2 + 5x + 4 = 0 (x + 1)(x + 4) = 0 x + 1 = 0 atau x + 4 = 0 x = –1 atau x = –4Jadi akar-akarnya adalah –1 dan –4. Ayo Kita Amati Tahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat x2 + bx + c menjadi (x + p)(x + q) atau bisa dituliskan x2 + bx + c = (x + p)(x + q) x2 + bx + c = x2 + (... + ...)x + (... × ...) Jadi, untuk memfaktorkan harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... + ... dan c = ... × ....Berdasarkan pengamatanmu, maka lakukan pemfaktoran berikut dan tentukan akar-akarnya. Ayo Kita Mencoba• Persamaan kuadrat : x2 + 5x + 6 = 0 Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 5 dan pq = 6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = 6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah68 Kelas IX SMP/MTsp q pq p + q 1667 2365 3 ... 6 ... 6 ... 6 ... –1 ... 6 ... –2 ... 6 ... –3 ... 6 ... –6 ... 6 ... Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 5, maka berdasarkan tabel pada baris kedua didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris ketiga dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannya x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Dengan demikian akar-akarnya adalah x = ... dan x = ....• Persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah: p q pq p + q 1 ... –6 ... 2 ... –6 ... 3 ... –6 ... 6 ... –6 ... –1 ... –6 ... –2 ... –6 ... –3 ... –6 ... –6 ... –6 ... MATEMATIKA 69Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 1, maka berdasarkan tabel di atas pada baris ketiga didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris keenam dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannya x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = ... dan x = ....• Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0 Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = –1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah p q pq p + q 1 ... –6 ... 2 ... –6 ... 3 ... –6 ... 6 ... –6 ... –1 ... –6 ... –2 ... –6 ... –3 ... –6 ... –6 ... –6 ... Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = –1, maka berdasarkan tabel tersebut pada baris kedua didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris ketujuh dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannya x2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3) Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = ... dan x = .... Ayo Kita Menalar Dengan melakukan kegiatan di atas anda dapat melakukan pemfaktoran dan penyelesaikan persamaan kuadrat. Bagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah x2 + 2x – 1 = 0? Bisakah anda menyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Mengapa?70 Kelas IX SMP/MTsBagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah 2x2 – 2x – 12 = 0? Bisakah andamenyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Jelaskan? (Petunjuk: uraikanterlebih dahulu 2x2 – 2x – 12 menjadi 2(x2 – x – 6) ). Tuliskan langkah-langkahmenentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan menggunakanmetode pemfaktoran.Jumlahan dan Hasil Kali Akar-akar dari Persamaan KuadratPada langkah penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (bisa ditulisx2 + b x+ c = 0) menggunakan pemfaktoran harus ditentukan p dan q sedemikian a ahingga memenuhi x2 + b x + c = (x + p)(x + q) a a x2 + b x + c = x2 + (p + q)x + (p × q) a aDengan cara ini didapatkan penyelesaiannya adalah x1 = –p dan x2 = –q sehingga ...x1 + x2 = –p – q = –(p + q) = – ... dan x1.x2 = (–p)(–q) = pq = ... . Dari uraian ini ...didapat rumus untuk menentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat. Ayo Kita MenanyaTerkait dengan fokus perhatian di atas, buatlah suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0dengan a, b, dan c tertentu (kalian tentukan sendiri). Dan tanyakan pada temansebangkumu apakah persamaan yang kamu buat tersebut dapat diselesaikan denganmetode di atas? Jika bisa selesaikan.. Kegiatan 2 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Selain menentukan akar persamaan dengan cara memfaktorkan, kalian dapatmemperluas teknik penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkankuadrat sempurna. Sebelum mempelajari lebih lanjut, kalian perlu mengenal terlebihdahulu tentang sifat akar. MATEMATIKA 71Ayo Kita Amati1. Akar persamaan kuadrat x2 = 4 Dengan mudah dapat dihitung bahwa persamaan kuadrat x2 = 4 mempunyai akar- akar x = 4 atau x = – 4 dan dapat disederhanakan menjadi x = 2 atau x = –2. Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa Jika x2 = k, dengan k suatu bilangan tak negatif maka x = ... atau x = - ...2. Akar persamaan (x + 5)2 = 16 Sesuai sifat akar kuadrat maka diperoleh x + 5 = ± 4. Sehingga, x = ± 4 – 5 yang menunjukkan ada dua akar, yaitu x = 4 – 5 atau x = –4 – 5 x = –1 atau x = –9 Jika (x + a)2 = k, dengan k suatu bilangan taknegatif dan a bilangan real, maka x = –a + ... atau x = –a – ... Pada “Ayo Kita Amati” bagian 1 dan 2 di atas dinamakan sebagai bentuk kuadrat sempurna atau secara umum dituliskan sebagai (x + p)2 + q = 0. Metode yang telah kalian pelajari pada Kegiatan 1 relatif mudah untuk diterapkan. Akan tetapi tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara langsung menggunakan metode tersebut. Sehingga kita harus mengembangkan metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lain. Bagaimana jika ada soal-soal persamaan kuadrat seperti berikut? Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan membentuk kuadrat sempurna terlebih dahulu. 1. x2 – 5 = 0 2. x2 + 10x + 24 = 0 3. x2 – 8 = 0 4. x2 + 5x + 3 = 0 5. x2 – 37 = 0 6. 2x2 + 7x + 3 = 0 Untuk menyelesaikan masalah di atas, ayo amati kegiatan berikut.72 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Gali InformasiTahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 + q = 0 (jika diuraikan menjadix2 + 2px + p2 + q = 0).Untuk bentuk kuadrat sempurna, koefisien dari x2 adalah 1 maka persamaan kuadratyang akan diselesaikan (ax2 + bx + c = 0) harus dibagi ... supaya koefisien dari x2juga 1. Sehingga didapat persamaan kuadrat baru yang ingin diselesaikan adalahx2 + b x + c =0 . Langkah berikutnya adalah mencari nilai p dan q sedemikian aahingga memenuhi x2 + b x + c = ( x + p)2 + q aa x2 + b x + c = x2 + 2 px + p2 + q aaJadi untuk membentuk kuadrat sempurna harus dicari bilangan p dan q sedemikianhingga b =2p dan c = ... + ... atau lebih sederhana didapatkan p = b dan a a 2aq= c −  b 2 . a  2a  Ayo Kita Mencoba• Persamaan kuadrat : x2 + 5x + 6 = 0 Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... dan c = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehingga a a bisa dituliskan x2 + 5x + 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x + ...)2 + ... = 0 (x + ...)2 = ... MATEMATIKA 73x + ... = ± ... x = ... ± ...• Persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... dan c = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehingga a a bisa dituliskan x2 + x – 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x + ...)2 + ... = 0 (x + ...)2 = ... x + ... = ± ... x = ... ± ...• Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0 Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... dan c = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehingga a a bisa dituliskan x2 – x – 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x+ ...)2 + ... = 0 (x + ...)2 = ... x + ... = ± ... x = ... ± ... Ayo Kita MenanyaTerkait dengan fokus perhatian di atas, buatlah suatu persamaan kuadrat ax2+ bx + c= 0 dengan a, b, dan c tertentu (kalian tentukan sendiri). Lalu, tanyakan pada temansebangkumu apakah persamaan yang kamu buat tersebut dapat diselesaikan denganmetode di atas? Jika bisa, selesaikan.74 Kelas IX SMP/MTsMisal: Jika terdapat persamaan kuadrat x2 – 5x + 7 = 1.“Manakah cara yang paling mudah untuk menentukan nilai dari persamaan kuadrat?Dengan menggunakan cara memfaktoran atau dengan cara melengkapkan kuadratsempurna?” Ayo Kita MenalarPenurunan rumus kuadratik/rumus abcPada bagian sebelumnya persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (ekivalen denganpersamaan x2 + bx + c = 0) dapat diselesaikan dengan membentuk kuadrat a a b 2sempurna (x + p)2 + q = 0 dengan p = 2a dan q = c −  b  sehingga didapatakar-akar persamaan kuadrat yaitu a  2a(x + p)2 + q = 0(x + p)2 = –...x + p = ± ...x = – ... ± ...x =– b ±  b 2 − c 2a  2a  ax =– b ± b2 − cx 2a 4a2 ax x =– b ± b2 − c 2a 4a2 4a2 = –bb ±± bb242−4a−a22 cc====−−2b2aba±± bb2 2−−cc==−−bb ±± bb2 2−−cc 22aa 44aa2 2 22aa 22aa = −b ± b2 − 4ac 2a MATEMATIKA 75Berdasarkan uraian di atas didapat rumus untuk mendapatkan akar-akar persamaankuadrat atau biasanya disebut sebagai rumus kuadratik/rumus abc yaitu x1,2 = −b ± b2 − 4ac 2aDan nilai di dalam akar disebut sebagai diskriminan (D) yaitu D = b2 – 4acNilai diskriminan ini mempengaruhi penyelesaian/akar-akar dari persamaan kuadrat.Untuk memahami hal ini lakukan pengamatan berikut.Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatan dan informasi yang kalian dapatkan,gunakan nalarkalian untuk menentukan hubungan antara diskriminan dengan jenis-jenis akarselesaian persamaan kuadrat. Ayo perhatikan dan lengkapi tabel berikut.Persamaan Kuadrat Diskriminan Selesaian x2 + 5x + 6 = 0 1 {–2, –3} 2x2 – 5x – 3 = 0 ... x2 + 2x + 1 = 0 0 ... x2 – 4 = 0 ... {–1} 9x2 – 6x + 1 = 0 0 {2, –2} x2 + x + 1 = 0 –3 2x2 + 2x + 1 = 0 ... ... { } (tidak punya akar-akar) ... Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan hasil pengamatan pada tabel di atas dengan mengetahui diskriminanmaka akar-akar dari persamaan kuadrat dibagi menjadi tiga kategori yaitu akar-akarnya kembar, akar-akarnya berbeda, dan tidak mempunyai akar-akar• Untuk D > 0 maka akar-akarnya ...• Untuk D = 0 maka akar-akarnya ...• Untuk D < 0 maka akar-akarnya ...76 Kelas IX SMP/MTsKegiatan 3 Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Masalah Nyata Kalian telah mempelajari tentang persamaan kuadrat. Coba aplikasikan persamaankuadrat tersebut untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.Ayo Kita AmatiLuas sebidang tanah berbentuk persegi panjang adalah 4.320 m2. Panjang tanah itu12 m lebih panjang daripada lebarnya. Berapakah panjang dan lebar sebidang tanahtersebut?Alternatif Pemecahan MasalahMisalnya panjang tanah = p meter lebar tanah = x meter maka p = (12 + x) meter Luas tanah = ... p ... = ... p ... = ... (12 + x)x2 + 12x – 4.320 = 0selesaikan dengan metode yang sudah dibahas sehingga didapatx1 = ... atau x2 = ...Karena ukuran panjang pada sebidang tanah tidak pernah negatif, maka x yangmemenuhi adalah x = ....Untuk x = ... maka panjang tanah adalah x + 12 = ....Jadi, panjang sebidang tanah tersebut adalah ... meter dan lebarnya adalah ... meter.Materi Esensi 2.1 Persamaan KuadratPersamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginyadua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0,a, b, c ∈ R. Konstanta a, b, c pada persamaan ini disebut sebagai koefisien. Beberapacontoh persamaan kuadrat yaitu: 3x2 – 7x + 5 = 0, x2 – x + 12 = 0, x2 – 9 = 0, 2x(x – 7)= 0 dan lainnya. MATEMATIKA 77Akar persamaan kuadrat dari ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaantersebut. Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu:(1) Memfaktorkan(2) Melengkapi Kuadrat Sempurna(3) Rumus Kuadratik (Rumus abc)Dalam hal ini rumus kuadratik (Rumus abc) adalah x1,2 = −b ± b2 − 4ac 2aKarakteristik dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dilihat dari koefisenpersamaannya. Berikut karakteristik-karakteristik dari persamaan kuadrat berdasarkankoefisien-koefisien persamaan kuadratnya:- Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka x1 + x2 = – b dan x1 x2 = c . a a- Misal suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan nilai diskriminannya adalah D = b2 – 4ac maka untuk D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar- akar, D = 0 persamaan kuadrat mempunyai akar-akar kembar, D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar berbeda. Contoh 1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan MemfaktorkanTentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 – 15x + 14 = 0.Alternatif Penyelesaian:Langkah 1:Carilah dua bilangan yang merupakan faktor dari 14 dan jika dijumlah sama dengan –15.Misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka pq = 14 dan p + q = –15 P q p + q pq P Q p + q Pq 1 14 15 14 –1 –14 –15 14 2 7 9 14 –2 –7 –9 14Dengan demikian bilangan yang memenuhi nilai p = –1 dan q = –1478 Kelas IX SMP/MTsLangkah 2:Sehingga bentuk x 2 – 15x + 14 = 0 dapat difaktorkan menjadi x2 – 15x + 14 = 0 (x – 1)(x – 14) = 0 x –1 = 0 atau x – 14 = 0 x1 = 1 atau x2 = 14Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 14} Contoh 2 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat SempurnaTentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x2 + 7x + 3.Alternatif Penyelesaian:2x2 + 7x + 3 = 0 2x2 + 7x = –3 x2 + 7 x = 2x2 + x +  7 2 = + 49  4  16  x + 7 2 =  4   x + 7 2 = 25  4  16  x + 7  = ± 25  4  16 x+ 7 = ± 5 4 4 x1 =–7 + 5 = – 1 4 4 2 x2 =–7 – 5 = –3 4 4 1 x1 = – 2 atau x2 = –3Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {– 1 , –3} 2 MATEMATIKA 79Contoh 3 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadratik (Rumus ABC)Tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x2 + 7x + 3.Alternatif Penyelesaian: x1,2 ==−b ± 2ba2 − 4ac −=7 ± 72 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 −7 ± 5 2⋅2 4Jadi x1 = – 1 dan x2 = –3. 2 Contoh 4 Aplikasi Persamaan Kuadrat Keliling suatu taman kota yang berbentuk persegi panjang adalah 90 m. Jika luas taman 450 m2, berapa panjang dan lebarnya? Alternatif Pemecahan Masalah Misalkan panjang = pSumber: https://repoebliek.files.wordpress.com panjang + lebar = ½ keliling lebar = 45 – p Persamaan : panjang × lebar = luasp(45 – p) = 45045p – p2 = 450p2 – 45p + 450 = 0(p – 15) (p – 30) = 0p – 15 = 0 atau p – 30 = 0p = 15 p = 30Untuk p = 15, maka lebar adalah 45 – 15 = 30Untuk p = 30, maka lebar adalah 45 – 30 = 15Jadi panjang dan lebar taman kota adalah 30 m dan 15 m.80 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Tinjau Ulang1. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 – 3 dan x2 – 3.2. Dengan cara melengkapi kuadrat sempurna tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 + 7x + 3.3. Dengan cara menggunakan rumus kuadratik tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 + 7x + 3.4. Keliling suatu taman kota yang berbentuk persegi panjang adalah 100 m. Jika luas taman 400 m2, berapa panjang dan lebarnya?Latihan 2.1 Persamaan Kuadrat1. Tentukan akar persamaan berikut. a. 3x2 – 12 = 0 b. x2 + 7x + 6 = 0 c. –3x2 – 5x + 2 = 02. Nyatakan persamaan 3(x2 + 1) = x(x – 3) dalam bentuk umum persamaan kuadrat.3. Akar-akar persamaan 3x2 − 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2).4. Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan 3 cara yang telah kalian pelajari. a. x2 – 1 = 0 b. 4x2 + 4x + 1 = 0 c. –3x2 – 5x + 2 = 0 d. 2x2 – x – 3 = 0 e. x2 – x + 1 =0 45. Tentukan nilai diskriminan persamaan pada soal no. 1.6. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 3x2 – 5x + c = 0 adalah 49, tentukan nilai c. MATEMATIKA 817. Ubahlah persamaan 3x2 = 2x – 4 kedalam bentuk umum persamaan kuadrat.8. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut. a. x2 – 5x + 6 = 0 b. x2 + 2x – 15 = 0 c. x2 + 4x – 12 = 09. Bagaimana bentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?10. Nyatakan persamaan 2(x2 + 1) = x(x + 3) dalam bentuk umum persamaan kuadrat.2.2 Grafik Fungsi KuadratPertanyaan Penting Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0, x,y∈R. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c. Bagaimanakahcara menggambar fungsi kuadrat pada bidang kartesius? Apa pengaruh nilai a, b danc terhadap grafik fungsi kuadrat?Kegiatan 1 Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 Gambarlah grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana, yakni ketika b = c = 0.Untuk mendapatkan grafiknya kamu dapat membuat gambar untuk beberapa nilai xdan mensubstitusikannya pada fungsi y = ax2, misalkan untuk a =1, a = –1 dan a = 2.Kerjakan kegiatan ini dengan teman sebangkumu. Ayo Kita Gali Informasi Untuk mendapatkan grafik suatu fungsi kuadrat, kamu terlebih dahulu harusmendapatkan beberapa titik koordinat yang dilalui oleh fungsi kuadrat tersebut. Kamudapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubstitusikan untuk beberapa nilaix yang berbeda.82 Kelas IX SMP/MTsa. Lengkapi ketiga tabel berikut.x y = x2 (x, y) x y = –x2 (x, y) x y = 2x2 (x, y)–3 (–3)2 = 9 (–3, 9) –3 –(–3)2 = –9 (–3, –9) –3 2(–3)2 =18–2 –2 –2–1 –1 –100 011 122 233 3b. Tempatkan titik-titik koordinat berada dalam tabel di atas pada bidang koordinat. (gunakan tiga warna berbeda).c. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna).Keterangan: Gambarkan ketiga grafik tersebut menggunakan bidang koordinat dibawah ini dan amati tiap-tiap grafik. y x MATEMATIKA 83Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatan menggambar grafik maka didapatkan informasi berikut.Grafik y = x2 berupa parabola yang terbuka ke-…Grafik y = –x2 berupa parabola yang terbuka ke-…Grafik y = 2x2 berupa parabola yang terbuka ke-…Grafik y = x2 dan y = 2x2 sama-sama parabola yang terbuka ke-… dan perbedaannyaadalah grafik y = x2 lebih … daripada grafik y = 2x2. Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan Kegiatan 1, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Nilai a pada fungsi y = ax2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya. 1. Jika a > 0 maka ... 2. Jika a < 0 maka ... 3. Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka ... 4. Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka ...Ayo Kita MenanyaBuatlah suatu fungsi kuadrat dan tanyakan kepada teman sebangkumu, “Apakahgrafik dari fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah? Jelaskan.”Kegiatan 2 Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + cPada kegiatan ini kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika b = 0 dan c ≠ 0.Kegiatan ini dibagi menjadi dua subkegiatan. Pada kegiatan ini kamu mengambar grafikfungsi y = x2 + c sebanyak dua kali, yakni untuk c = 1 dan c = –1.84 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Gali Informasia. Lengkapi ketiga tabel berikut.x y = x2 + 1 (x, y) x y = x2 – 1 (x, y)–3 (–3)2 + 1 = 10 (–3, –9) –3 (–3)2 – 1 = 8 (–3, 8)–2 –2–1 –100112233b. Tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel di atas pada bidang koordinat.c. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna).d. Gambarlah kembali grafik y = x2 seperti pada Kegiatan 1.Keterangan: Gambarkan ketiga grafik tersebut menggunakan bidang koordinat dibawah ini dan amati tiap-tiap grafik. y x MATEMATIKA 85Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatanmu, lengkapi kalimat-kalimat berikut.a. Grafik fungsi y = x2 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).b. Grafik fungsi y = x2 + 1 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).c. Grafik fungsi y = x2 – 1 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).d. Grafik fungsi y = x2 + 1 merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ... satuan ke ...e. Grafik fungsi y = x2 – 1 merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ... satuan ke ... Ayo Kita Simpulkan a. Untuk c positif, grafik fungsi y = x2 + c merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ........ satuan ke ....... b. Untuk c negatif, grafik fungsi y = x2 + c merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ........ satuan ke ....... c. Grafik fungsi y = x2 + c memotong sumbu-y di titik koordinat (..... , .....)Ayo Kita MenanyaBuatlah dua fungsi kuadrat dengan nilai c berbeda tapi a dan b sama. Tanyakankepada teman sebangkumu, “Jelaskan pergeseran yang terjadi antara dua grafik darifungsi-fungsi tersebut.”Kegiatan 3 Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + bxPada kegiatan ini kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika c = 0 danb ≠ 0. Kegiatan ini dibagi menjadi tiga subkegiatan, yakni ketika b = 1, b = –1dan b = 2. Pada kegiatan ini kamu akan mengenal titik puncak dari suatu grafikfungsi kuadrat.86 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita Gali InformasiKerjakan kegiatan ini bersama teman sebangkumu.a. Lengkapi keempat tabel berikut.x y = x2 + 2x (x, y) x y = x2 – 2x (x, y) (–3, 15)–3 (–3)2 + 2(–3) = 3 (–3, 3) –3 (–3)2 – 2(–3) = 15–2 –2–1 –100112233x y = –x2 + 2x (x, y) x y = –x2 – 2x (x, y)–3 –(–3)2 + 2(–3) = –15 (–3, –15) –3 –(–3)2 – 2(–3) = –3 (–3, –3)–2 –2–1 –100112233b. Tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat (gunakan empat warna berbeda untuk tabel).c. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna). MATEMATIKA 87Keterangan: Gambarkan keempat grafik tersebut menggunakan bidang koordinatdi bawah ini dan amati tiap-tiap grafik. Pada tiap-tiap grafik tentukan koordinat titikyang paling bawah (titik koordinat ini selanjutnya disebut titik puncak). y x Ayo Kita Amatid. Pada dua tabel pertama tentukan nilai y yang paling kecil. Perhatikan hubungan anatara nilai b dengan nilai y yang paling kecil dari tiap tabel tersebut. Apa yang saudara dapatkan?e. Pada dua tabel terakhir tentukan nilai y yang paling besar. Perhatikan hubungan antara nilai b dengan nilai y yang paling besar dari tiap tabel tersebut. Apa yang saudara dapatkan?f. Ulangi kegiatan ini dengan fungsi kuadrat y = –x2 + x, y = –x2 – x. Selanjutnya tentukan titik yang paling atas (titik koordinat ini juga disebut dengan titik puncak).Nilai y yang paling kecil (untuk a > 0) dan y yang paling besar (untuk a < 0)dinamakan nilai optimum (yp) dan jika xp yang menyebabkan nilai y optimummaka (xp, yp) dinamakan titik puncak atau titik optimum. Pembahasan mengenainilai optimum ini akan dijelaskan lebih lanjut pada subbab selanjutnya.88 Kelas IX SMP/MTsAyo Kita SimpulkanUntuk y = x2 + bx maka nilai optimumnya adalah … dan y = -x2 + bx maka nilaioptimumnya adalah … Ayo Kita MenanyaBuatlah fungsi kuadrat yang berbentuk y = x2 + bx dan tanyakan pada temansebangkumu berapa nilai optimumnya.Materi Esensi 2.2 Grafik Fungsi KuadratFungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0.Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabloa, sehingga dapat dikatakan jugasebagai fungsi parabola. y y = x2 5 y = 2x2 4 3 2 1 x –3 –2 –1 123 –1 –2 –3 –4 y = –x2 –5Gambar Perbandingan Grafik fungsi kuadrat y = x2, y = –x2 dan y = 2x2 MATEMATIKA 89Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jikaa positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya jika a negatif makagrafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknyamenjadi lebih “kurus”. y 5 y = x2 + 2x 4 3 2 1 y = x2 − 3x + 2 x–5 –4 –3 –2 –1 –1 123 45 –2 –3y = –x2 − 5x − 4 –4 –5 Gambar Perbandingan grafik fungsi kuadrat y = x2 + 2x, y = x2 – 3x + 2 dan y = –x2 – 5x – 4 Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinatyang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yangditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu-y.Nilai b pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan letak koordinat titik puncak dansumbu simetri (titik puncak dan sumbu simetri dibahas lebih lanjut pada subbabselanjutnya). Jika a > 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minimum.Jika a < 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak maksimum.Nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsikuadrat tersebut dengan sumbu-y, yakni pada koordinat (0, c).90 Kelas IX SMP/MTsContoh 1 Grafik Fungsi KuadratBerikut ini adalah grafik lima fungsi kuadrat yang berbeda. y x 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –101. Grafik yang berwarna hitam merupakan grafik fungsi kuadrat y = x2 – x + 2. Grafik y = x2 – x + 2 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 2) dan memiliki titik puncak minimum.2. Grafik yang berwarna merah merupakan grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – 6x + 4. Grafik y = 2x2 – 6x + 4 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 4) dan memiliki titik puncak minimum.3. Grafik yang berwarna biru merupakan grafik fungsi kuadrat y = –2x2 + 8. Grafik y = –2x2 + 8 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 8) dan memiliki titik puncak maksimum. MATEMATIKA 914. Grafik yang berwarna merah dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y = x2 – 7x + 10. Grafik y = x2 – 7x + 10 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 10) dan memiliki titik puncak minimum.5. Grafik yang berwarna biru dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y = –x2 – 5x – 6. Grafik y = –x2 – 5x – 6 memotong sumbu-y pada koordinat (0, –6) dan memiliki titik puncak maksimum.6. Ayo Kita Tinjau Ulang1. Mengapa fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c disyaratkan a ≠ 0? Jelaskan alasanmu.2. Terdapat dua fungsi kuadrat, f(x) = ax2 + bx + c dan g(x) = –f(x) = –ax2 − bx − c. Apa yang dapat disimpulkan dari grafik f(x) dan g(x).3. Latihan 2.2 Grafik Fungsi Kuadrat1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. 11 a. y = 2 x2 c. y = - 2 x2 11 b. y = 4 x2 d. y = - 2 x2 2. Dari Soal 1, apa yang dapat kamu simpulkan mengenai grafik y = ax2 dengan |a| < 1 dan a ≠ 0?3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. a. y = x2 + 3x + 2 c. y = x2 + 5x + 6 b. y = x2 – 3x + 2 d. y = x2 – 5x + 6 4. Dari Soal 3, apa yang dapat kamu simpulkan mengenai perbandingan grafik y = ax2 + bx + c dengan y = ax2 – bx + c?5. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. a. y = x2 + 4x + 2 c. y = x2 – 5x + 5 b. y = -x2 + 2x + 3 d. y = –2x2 + 4x + 5 92 Kelas IX SMP/MTs6. Dari soal nomor 5, tentukan titik puncak tiap-tiap grafik. Tentukan pula hubungan titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + c dengan nilai −b . 2a7. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-x? Jelaskan alasanmu.8. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-y? Jelaskan alasanmu.9. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x pada tiga titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.10. Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-y pada dua titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu. 2.3 Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Pertanyaan Pentinga. Bagaimana kamu menentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat?b. Bagaimana menentukan nilai optimum fungsi kuadrat tersebut? Kegiatan 1 Pergeseran Grafik Fungsi Kuadrat Ayo Kita Amati1. Gambarlah dan amati grafik fungsi kuadrat di bawah ini pada bidang koordinat. a. f(x) = x2 d. f(x) = (x + 1)2 b. f(x) = (x − 1)2 e. f(x) = (x + 2)2 c. f(x) = (x − 2)2 2. Gambarlah dan amati grafik fungsi kuadrat di bawah ini pada bidang koordinat. a. f(x) = x2 d. f(x) = x2 − 1 b. f(x) = x2 + 1 e. f(x) = x2 − 2 c. f(x) = x2 + 2 MATEMATIKA 93Ayo Kita MenalarBerdasarkan kegiatan di atas, bandingkan grafik lima fungsi pada bagian (1) Grafik f(x) = (x − 1)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = (x − 2)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = (x + 1)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = (x + 2)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Bandingkan grafik dari lima fungsi pada bagian (2) Grafik f(x) = x2 + 1 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = x2 + 2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = x2 − 1 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Grafik f(x) = x2 − 2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan kegiatan di atas, maka1. Untuk s positif maka grafik f(x) = (x − s)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...2. Untuk s positif maka grafik f(x) = (x + s)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...3. Untuk t positif maka grafik f(x) = x2 + t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...4. Untuk t positif maka grafik f(x) = x2 − t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...5. Untuk s dan t positif maka grafik f(x) = (x − s)2 + t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh ... satuan ke ...

94 Kelas IX SMP/MTs