Persamaan lingkaran yang memiliki pusat 2 0 dan melalui 2 5 adalah

Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O(0,0) atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M(a,b). Lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan M(a,b) mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu banyak Anda temui pemanfaatan bentuk lingkaran, misalnya ban sepeda. Sebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap. Titik tetap itu disebut pusat lingkaran dan jarak titik tetap itu ke titik tertentu disebut jari-jari lingkaran.

Lingkaran dapat dibuat pada bidang Cartesius, yang terdiri dari sumbu x dan sumbu y. Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O(0,0) atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M(a,b). Lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan M(a,b) mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.

Perhatikan Gambar 1 di mana lingkaran berpusat pada O(0,0) dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P(x,y) terletak pada lingkaran. Menurut definisi:

Gambar 1. Lingkaran berpusat di O(0,0) dan jari-jari r

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan mempunyai jari-jari r adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan (i) berjari-jari 4; (ii) melalui titik (3,-2).

Pembahasan:

Persamaan lingkaran pada (i) adalah \(x^2+y^2=16\) (r=4)

Pada (ii), persamaan lingkaran \(x^2+y^2=r^2\) melalui titik (3,-2) sehingga x = 3 dan y = -2. Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu, yaitu:

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3,-2) adalah \(x^2+y^2=13\).

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M(a,b) dan Jari-jari r.

Amati Gambar 2 di mana Lingkaran berpusat pada M(a,b) dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P(x,y) terletak pada lingkaran.

Gambar 2. Lingkaran berpusat di M(a,b) dan jari-jari r

Menurut definisi:

Jadi, persamaan garis lingkaran yang berpusat di M(a,b) dan jari-jari r adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 2:

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan (i) berjari-jari 5; (ii) melalui titik (2,1).

Pembahasan:

Persamaan lingkaran pada (i) adalah

Persamaan lingkaran pada (ii) melalui titik (2,1) sehingga \(x = 2\) dan \(y = 1\). Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu yakni

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan melalui titik (2,1) adalah

\[ (x-4)^2+(y+3)^2=20 \]

Persamaan Umum Lingkaran

Lingkaran mempunyai persamaan umum, yaitu:

Titik pusatnya adalah (-A, -B) dan jari-jarinya adalah r yakni

Bukti:

Jika bentuk umum persamaan lingkaran yang digunakan adalah \[ x^2+y^2+Ax+By+C=0 \] maka pusat lingkarannya adalah

dan jari-jarinya adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 3:

Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan:

Pembahasan:

Persamaan lingkaran \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) merupakan bentuk umum persamaan lingkaran, yaitu \(x^2+y^2+2Ax+2By+C=0\). Dengan membandingkan letak nilai yang bersesuaian diperoleh:

Sehingga pusat lingkaran (-A,-B) = (2,-3) dan jari-jari lingkaran (r) adalah

Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan: \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) adalah (2,-3) dan 5.

Contoh 4:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,2), (-1,6) dan (-1,2).

Gambar 3. Lingkaran yang melalui titik (3,2), (-1,6) dan (-1,2).

Pembahasan:

Misalkan persamaan lingkaran:

Jika melalui titik (3,2), maka

Jika melalui titik (-1,6), maka

Jika melalui titik (-1,2) maka

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh

Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh

Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4), diperoleh

Nilai A dan B yang diperoleh dari perhitungan di atas disubstitusi ke persamaan (1) sehingga diperoleh:

Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah:

Cukup sekian penjelasan mengenai cara menentukan persamaan lingkaran dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Persiapan Ulangan  Harian Persamaan Lingkaran dan Persamaan Garis Singgung Lingkara  

Soal dan Pembahasan
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, –1) dan menyinggung sumbu y.

Penyelesaian: lingkaran menyinggung sumbu y, artinya bagian samping lingkarannya menempel pada sumbu y, dan jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya.

Jika lingkaran ini kita gambarkan, akan terlihat seperti berikut.

Dan pusat lingkaran P(a, b) = (3, –1), artinya a = 3 dan b = –1

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 3), nilai a = 3 dan b = –1 pada persamaan lingkaran dengan pusat O(a, b), sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 3)2 + (y – (–1))2 = 32
⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9

2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T(3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 20 = 0.

Penyelesaian:
Karena jari-jarinya masih belum diketahui, maka langkah pertama mengerjakannya adalah mencari jari-jarinya dengan menggunakan rumus jarak titik terhadap garis.

Pada soal diketahui titik pusat lingkarannya T(1,–2)
r = jarak titik ke garis

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran yang telah kita peroleh (r = 2), dan titik pusat lingkarannya T(1,–2) pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 1)2 + (y – (–2))2 = 22
⇔ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4

 ontoh Soal dan Pembahasan

3.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 6:

x2 + y2 = 62

x2 + y2 = 36

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan adalah x2 + y2 = 36.

4. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 9:

x2 + y2 = 92

x2 + y2 = 81

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan adalah x2 + y2 = 81.

5. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis y = 7. Jarak antara titik (0,0) dengan garia y = 7 adalah 7 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 satuan.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 7:

x2 + y2 = 72

x2 + y2 = 49

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7 adalah x2 + y2 = 49.

6.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis x = -10. Jarak antara titik (0,0) dengan garia x = -10 adalah 10 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 satuan.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 10:

x2 + y2 = 102

x2 + y2 = 100

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10 adalah x2 + y2 = 100.

7.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5:

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 52

(x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 25

x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0

x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan adalah x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0.

8. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8:

(x + 4)2 + (y – 3)2 = 82

(x2 + 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 64

x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 – 64 = 0

x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan adalah x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0.

9. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan melalui titik (-5, 12).

Jawaban :

Dalam menentukan persamaan lingkaran, unsur-unsur yang harus diketahui adalah titik pusat dan jari-jari. Pada soal di atas, jari-jari lingkaran belum diketahui. Perlu diingat bahwa jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik pada sekeliling lingkaran. Dengan demikian kita bisa menghitung jari-jari lingkaran dengan menentukan jarak titik (0, 0) ke titik (-5, 12).

Persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 1) dan berjari-jari 5:

(x - 4)2 + (y – 1)2 = 52

(x2 - 8x + 16) + (y2 – 2y + 1) = 25

x2 - 8x + 16 + y2 – 2y + 1 – 25 = 0

x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (4, 1) dan melalui titik (8, -2) adalah x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3).

Jawaban :

Titik (1, 3) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 10.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

x.x1 + y.y1 = 10

x.1 + y.3 = 10

x + 3y = 10

x + 3y – 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3) adalah x + 3y – 10 = 0.

10. . Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5).

Jawaban :

Titik (-2, 5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 29.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

x.x1 + y.y1 = 29

x.(-2) + y.5 = 29

-2x + 5y = 29

-2x + 5y – 29 = 0

2x – 5y + 29 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5) adalah 2x – 5y + 29 = 0.

11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3).

Jawaban :

Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

(x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17

(x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17

(x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17

-x + 3 + 4y + 4 = 17

-x + 4y + 7 – 17 = 0

-x + 4y – 10 = 0

x – 4y + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0.

12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 5)2 + (y + 2)2 = 52 di titik (-1, 4).

Jawaban :

Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

(x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17

(x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17

(x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17

-x + 3 + 4y + 4 = 17

-x + 4y + 7 – 17 = 0

-x + 4y – 10 = 0

x – 4y + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0.

Demikianlah sekilas materi tentang Persamaan lingkaran.

Untuk mempelajari materi tantang persamaan garis singgung lingkaran