Aturan sinus dan aturan cosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, aturan sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan aturan cosinus. Selain itu, luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri, yaitu didasarkan pada besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya. Show
Aturan Sinus
Aturan sinus (law of sines atau sines law/rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan. Aturan Cosinus
Aturan cosinus (law of cosines atau cosines formula/rule) adalah teorema yang digunakan untuk menentukan panjang sisi depan suatu sudut dengan menggunakan hubungan dua panjang sisi pengapit sudut tersebut dan nilai cosinusnya. Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri
Misalkan $\triangle ABC$ segitiga sembarang seperti gambar. Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat! Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Dasar Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a = 4~\text{cm}$, $\angle A = 120^{\circ}$, dan $\angle B = 30^{\circ}$. Panjang sisi $c = \cdots \cdot$
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 2Pada $\triangle JKL$, diketahui $\sin L = \dfrac13$, $\sin J = \dfrac35$, dan $JK = 5$ cm. Panjang $KL$ adalah $\cdots~\text{cm}$.
Pada $\triangle JKL$, sisi depan sudut $L$ adalah $JK$, sedangkan sisi depan sudut $J$ adalah $KL$. Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh Soal Nomor 3Perhatikan gambar $\triangle ABC$ di bawah ini.
Perhatikan bahwa kita mencari panjang sisi di hadapan sudut yang telah diketahui besarnya. Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh Soal Nomor 4Pada $\triangle ABC$, diketahui $(b+c) : (c + a) : (a + b)$ $= 4 : 5 : 6$. Nilai dari $\sin A : \sin B : \sin C = \cdots \cdot$
Diketahui untuk suatu bilangan asli $k,$ berlaku: Soal Nomor 5Pada $\triangle ABC$, diketahui bahwa $\angle B = 70^{\circ}$, $\angle C = 80^{\circ}$, dan $BC = 2$ cm. Jika $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$, maka nilai $R = \cdots~\text{cm}$.
Menurut aturan sinus, Soal Nomor 6Panjang sisi-sisi pada $\triangle ABC$ berbanding $6 : 5 : 4$. Cosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 7Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4~\text{cm}$, $BC=6~\text{cm}$, dan $AC=5~\text{cm}$, sedangkan $\angle BAC = \alpha,$ $\angle ABC = \beta,$ dan $\angle BCA = \gamma,$ maka $\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots \cdot$
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 8Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari $8~\text{cm}$ dibuat segi-$12$ beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah $\cdots~\text{cm}.$ C. $8\sqrt{3-\sqrt2}$ D. $8\sqrt{3-\sqrt3}$ E. $8\sqrt{3 + \sqrt2}$
Perhatikan sketsa gambar berikut. Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aplikasi Trigonometri Soal Nomor 9Nilai $\cos \theta$ pada gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
Tarik garis dari titik $A$ ke titik $C$, sebut saja garis $AC$. Soal Nomor 10Perhatikan gambar segi empat $PQRS$ berikut.
Pada segitiga $PQS$, panjang $QS$ dapat dihitung dengan menggunakan aturan cosinus, yakni Soal Nomor 11Pada segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $AB = 15$ cm, $BC = 14$ cm, dan $AC = 13$ cm. Nilai $\tan C = \cdots \cdot$
Perhatikan sketsa segitiga $ABC$ berikut. Soal Nomor 12Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$ C. $(24\sqrt3+12)~\text{cm}^2$ D. $(96\sqrt3+48)~\text{cm}^2$ E. $(96\sqrt3+12)~\text{cm}^2$
Perhatikan segi-$12$ beraturan dan potongannya berupa segitiga sama kaki berikut. Soal Nomor 13Jika dalam segitiga $ABC$ berlaku hubungan $a^2(1+\cos A) = 2bc \sin^2 A$, maka segitiga $ABC$ berbentuk $\cdots \cdot$
Gunakan aturan cosinus bahwa $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$, serta identitas Pythagoras $\sin^2 A = 1-\cos^2 A$. Soal Nomor 14Luas segi empat $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
Perhatikan kembali gambar segi empat $ABCD$ berikut. Soal Nomor 15Sebuah mobil melaju dari tempat $A$ sejauh $16~\text{km}$ dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24~\text{km}$ ke tempat $B$ dengan arah $160^{\circ}$. Jarak $A$ dan $B$ adalah $\cdots \cdot$
Posisikan titik $C$ dan gunakan garis bantu seperti gambar di bawah. Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c Soal Nomor 16Keliling suatu segi enam beraturan adalah $84~\text{cm}$. Luas segi enam tersebut adalah $\cdots \cdot$
Ada dua cara untuk menentukan luas segi enam tersebut, yaitu menggunakan Teorema Pythagoras dan Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri. Soal Nomor 17Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan sketsa gambar segi-$\color{red}{12}$ berikut. Soal Nomor 18Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh $200$ mil dengan arah $35^{\circ}$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh $300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah $155^{\circ}$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil.
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 19Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh $120$ km, kemudian memutar kemudi pada jurusan $60^{\circ}$ sejauh $100$ km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\cdots$ meter.
Perhatikan gambar berikut. Soal Nomor 20Sukardi dan Lili berdiri di suatu pantai dengan terpisah jarak $6$ km antara keduanya. Garis pantai yang melalui mereka berupa garis lurus. Keduanya dapat melihat kapal laut yang sama dari tempat mereka berdiri. Misalkan sudut antara tempat Sukardi berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $45^{\circ}$. Sementara itu, sudut antara tempat Lili berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $15^{\circ}$. Jika jarak kapal laut dengan tempat Lili berdiri adalah $a\sqrt{b}$ km, dengan $a\sqrt{b}$ adalah bentuk akar paling sederhana, maka nilai $b-a = \cdots \cdot$
Perhatikan sketsa gambar berikut. Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri Soal Nomor 21Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah $160^{\circ}$. Jarak A dan B adalah $\cdots$ km.
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 22Diberikan segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Titik $D$ terletak pada sisi $AC$ sedemikian sehingga garis $BD$ membagi dua sudut $ABC$ sama besar. Diketahui panjang $AB = 3$ dan luas segitiga $ABD$ sama dengan $9$. Panjang sisi $CD$ sama dengan $\cdots \cdot$
Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ berikut. Soal Nomor 23Diketahui $a, b, c$ masing-masing adalah panjang sisi segitiga $ABC$. Jika $(a+b+c)(a-b+c) = 3ac$, maka besarnya sudut yang menghadap sisi $b$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Pembuktian Identitas Trigonometri Soal Nomor 24Sebuah heksagon (segi enam) diposisikan di dalam segitiga siku-siku seperti gambar berikut.
Misalkan kita memberi nama setiap titik sudut yang ada seperti berikut. Soal Nomor 25Diberikan segitiga $ABC$ dengan titik $D$ pada $AB$ dan titik $E$ pada $AC$ sehingga terbentuk ruas garis $DE.$ Jika $AD = 5,$ $DB = 3,$ $EC = 6,$ $AE = 4,$ dan $BC = 8,$ maka panjang ruas garis $DE$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan $\triangle ABC.$ Dengan menggunakan aturan cosinus ditinjau dari sudut $A,$ diperoleh Soal Nomor 26Pada gambar di bawah, terdapat dua persegi dengan panjang sisi masing-masing $4$ cm dan $5$ cm, sebuah segitiga dengan luas $8~\text{cm}^2,$ dan jajaran genjang yang terarsir. Luas jajaran genjang itu adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan segitiga yang panjang dua sisinya adalah $4$ cm dan $5$ cm. Misalkan sudut yang dibentuk oleh dua sisi tersebut adalah $x.$ Bagian Uraian Soal Nomor 1Pada suatu segitiga $ABC$, besar $\angle C$ tiga kali besar $\angle A$ dan besar $\angle B$ dua kali besar $\angle A$. Berapakah perbandingan panjang $AB$ dan $BC$?
Pada segitiga, jumlah sudutnya selalu $180^{\circ}$ sehingga ditulis $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. Karena $\angle C = 3\angle A$ dan $\angle B = 2\angle A$, maka kita peroleh $\begin{aligned} \angle A + 2 \angle A + 3 \angle A & = 180^{\circ} \\ 6 \angle A & = 180^{\circ} \\ \angle A & = 30^{\circ} \end{aligned}$ Ini berarti, $\angle B = 60^{\circ}$ dan $\angle C = 90^{\circ}$. Jadi, segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$. Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{\sin C}{\sin A} \\ AB : BC & = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} \\ & = 1 : \dfrac12 = 2 : 1 \end{aligned}$ Jadi, perbandingan panjang $AB$ dan $BC$ adalah $\boxed{2 : 1}$ |