1. Coleção PRATICANDO
MATEMÁTICA
PRATICANDO
6
ÁLVARO ANDRINI
MARIA JOSÉ VASCONCELLOS
EDIÇÃO RENOVADA
Matemática
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
ÁLVARO ANDRINI
Licenciado em Matemática.
Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais.
Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos.
Autor de diversos livros didáticos.
MARIA JOSÉ VASCONCELLOS
Licenciada em Matemática.
Coordenadora e professora de Matemática em escola da rede particular.
Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.
MANUAL DO PROFESSOR
3a
edição, São Paulo, 2012
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3. Você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor:
“Para que eu devo estudar Matemática?”
Há três respostas possíveis:
1. A Matemática permite que você conheça melhor a realidade.
2. A Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios.
3. A Matemática pode ajudar você a fazer descobertas.
Este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida.
O caminho para o conhecimento é você quem faz.
Os autores
PREZADO ALUNO
PREZADO ALUNO
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4. 4 P R A T I C A N D O M A T E M Á T I C A
“Não há ramo da Matemática,
por abstrato que seja, que não
possa um dia vir a ser aplicado
aos fenômenos do mundo real.”
Lobachevsky
Agradecemos ao professor
Eduardo Wagner pelos comentários
e sugestões que contribuíram
para a melhoria deste trabalho.
e sugestões que contribuíram
para a melhoria deste trabalho.
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5. Unidade 1
Sistema de numeração decimal
1. Um pouco da história dos números .........7
2. Criando símbolos e regras.....................10
3. O sistema de numeração decimal
e os algarismos indo-arábicos................14
4. Leitura e escrita de números no
sistema de numeração decimal..............16
5. Matemática – uma grande criação
da humanidade.....................................20
Unidade 2
Números naturais
1. Os números naturais e os processos
de contagem ........................................25
2. A reta numérica e os números naturais ....28
Unidade 3
Adição e subtração de
números naturais
1. As ideias da adição e da subtração ........35
2. O cálculo mental nas adições
e nas subtrações ...................................40
3. Estimando por arredondamento............42
Unidade 4
Multiplicação e divisão de
números naturais
1. As ideias da multiplicação .....................49
2. A divisão...............................................54
3. Expressões numéricas............................58
4. Propriedade distributiva da multiplicação...62
5. Vamos resolver mais problemas?...........64
6. Medindo o tempo.................................67
Unidade 5
Potenciação e raiz quadrada
de números naturais
1. Potenciação..........................................75
2. Quadrados, cubos e potenciações .........77
3. O expoente 0 e o expoente 1................78
4. Raiz quadrada.......................................80
Unidade 6
Múltiplos e divisores
1. Sequência dos múltiplos de
um número...........................................85
2. Fatores ou divisores de um
número natural.....................................87
3. Critérios de divisibilidade –
economizando cálculos .........................89
4. Números primos....................................93
5. Quando os múltiplos se encontram........97
6. Divisores comuns e o mdc...................100
Unidade 7
Dados, tabelas e gráficos
de barras
1. Para que servem os gráficos?............... 107
2. Vamos fazer uma pesquisa estatística?...113
SUMÁRIO
SUMÁRIO
Fernando
Favoretto
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6. Unidade 8
Observando formas
1. As formas da natureza e
as formas criadas pelo ser humano......117
2. Formas planas e não planas.................119
3. Investigando os blocos retangulares ....124
4. Perspectivas e vistas ............................127
Unidade 9
Ângulos
1. Falando um pouco sobre ângulos....... 135
2. Ângulos – elementos e representação .... 136
3. Medidas de ângulos........................... 138
4. Utilizando o transferidor .................... 141
5. Retas perpendiculares e retas paralelas .... 143
6. Os esquadros..................................... 145
Unidade 10
Polígonos e circunferências
1. Polígonos........................................... 151
2. Triângulos.......................................... 154
3. Quadriláteros..................................... 155
4. Polígonos regulares............................ 158
5. Perímetro........................................... 160
6. Circunferências.................................. 162
7. Simetria nos polígonos e no círculo .... 165
Unidade 11
Frações
1. Inteiro e parte do inteiro .................... 171
2. Frações de uma quantidade ............... 174
3. Números mistos e frações impróprias..... 176
4. Frações equivalentes ......................... 179
5. Comparação de frações ..................... 182
6. Operações com frações...................... 185
7. Inversa de uma fração........................ 190
8. Potenciação e raiz quadrada
de frações...................................................193
Unidade 12
Números decimais
1. A notação decimal............................. 199
2. Números decimais e o registro
de medidas........................................ 204
3. Números decimais na forma
de fração........................................... 206
4. Comparando números decimais ......... 206
5. Adição e subtração de
números decimais .............................. 208
6. Multiplicando por 10, 100, 1 000 ....... 210
7. Multiplicação de números decimais .... 212
8. Divisão de números naturais
com quocientedecimal....................... 215
9. Divisão de números decimais.............. 216
Unidade 13
Porcentagens
1. O que é porcentagem?....................... 225
2. Calculando porcentagens................... 228
3. A forma decimal das porcentagens..... 232
Unidade 14
Medidas
1. O que é medir?.................................. 237
2. Comprimentos no sistema
métrico decimal ................................. 239
3. Medindo superfícies........................... 244
4. A área do retângulo........................... 245
5. Volumes ............................................ 250
6. Quando usamos cada unidade?.......... 253
7. Medidas de massa ............................. 255
Sugestões de leitura e
de sites para o aluno.................. 267
Referências bibliográficas....... 270
Moldes e malha para as
atividades.......................................... 271
Respostas dos exercícios ......... 277
SUMÁRIO
SUMÁRIO
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7. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 7
A quantidade!
Hoje, podemos responder à pergunta acima com facilidade, mas nem sempre foi assim. A hu-
manidade levou centenas de milhares de anos para construir a ideia de número.
É isso mesmo! Antigamente, a Matemática não existia na forma que conhecemos hoje. Na maior
parte da história da humanidade, as pessoas não sabiam contar!
E como elas aprenderam?
Provavelmente a partir de suas necessidades práticas. Quando as antigas civilizações começa-
ram a criar animais e a plantar, contar passou a ser importante para que pudessem controlar o
que possuíam.
Você sabe o que cinco
pessoas, cinco flores e cinco
pedras têm em comum?
Sistema de
numeração decimal
1. Um pouco da história dos números
UNIDADE 1
UNIDADE
Lápis
Mágico
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8. 8
Aprendendo a contar
Veja uma situação que pode ter acontecido em um tempo bem distante...
De manhã, a pastora separava uma pedrinha para cada ovelha que levava para pastar. Essas
pedrinhas eram guardadas em um saquinho.
À tarde, a pastora comparava a quantidade de ovelhas que voltava do pasto com a quantidade
de pedrinhas do saquinho. Se não sobrassem pedrinhas após a passagem do rebanho, ela sabia
que todas as ovelhas haviam voltado.
Desde a utilização das pedrinhas, muito
tempo se passou. Várias civilizações contribuíram
criando métodos de contagem e símbolos para
representar quantidades. Hoje, usamos os números
para contar, medir, ordenar, identificar... Vale sem-
preapenalembrarquantoahumanidadetrabalhou
para chegar até aqui!
Número e numeral
Numeral é a forma usada para expressar um número.
O numeral pode ser um símbolo gráfico, uma palavra ou um gesto.
Sim, pois ele estabeleceu uma correspondência um a um; ou seja, cada carteira
corresponde a um aluno.
Faça esta atividade com um colega.
Em certa classe, o número de carteiras é
igual ao número de alunos. Um dia, ao chegar
na sala, o professor observou duas carteiras
vazias e comentou que dois alunos haviam
faltado. O comentário dele tem relação com o
processo de contagem usado pela pastora dos
quadrinhos acima? Justifiquem a resposta.
Para representar um mesmo número, podemos usar numerais diferentes.
Veja alguns numerais que representam o número cinco:
cinco five V 5
Na linguagem comum, costumamos usar a palavra número no lugar da palavra numeral.
Valéria
Vaz
Hélio
Senatore
Para cada ovelha que sai
para pastar, coloco uma
pedra no saquinho.
Para cada ovelha que volta,
no final do dia, retiro uma
pedra do saquinho.
Olga
Sapegina/Dreamstime.com
Lápis
Mágico
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9. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 9
Exercícios
3 Carlos gosta de brincar com palitos de fós-
foro usados. Para representar a quantidade de
palitos que reunia em cada caixinha, ele in-
ventou o seguinte código:
Para escrever um número, bastava somar os
valores de cada símbolo. Veja os exemplos:
10 10 5 1 1 1 28
5 1 1 10 17
Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno o
número representado em cada situação.
a) 24
b) 18
c) 26
d) 19
e) 35
f) 28
g) 29
4 Se vale 32 e
vale 45, quanto vale ? 27
1 Observe as ilustrações e responda.
anotação do cliente
anotação do garçom
a) Em qual situação há menos jogadores do
que bolas? I I
b) Em qual situação há mais jogadores do que
bolas? I I I
c) Em qual situação os jogadores são tantos
quantas são as bolas? I
d) Para responder a essas perguntas precisa
saber contar? Não.
Resposta pessoal.
Espera-se que o aluno responda que é a anota-
ção do garçom, porque os tracinhos foram agrupados de 5 em 5. 1 5 10
I
II
III
Foi fazendo a correspondência um a um
que durante muitos anos o ser humano pré-
-histórico pôde praticar a contagem, antes
mesmo de estabelecer o que é número.
Em qual dessas anotações é mais fácil ler o re-
sultado? Por quê?
2 A quantidade de latas de refrigerante con-
sumidas durante uma festa, num restaurante,
foi registrada de dois modos:
Hélio
Senatore
Ilustrações:
DAE
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10. 10
2. Criando símbolos e regras
Outra dificuldade que as pessoas provavelmente encontravam, há milhares de anos, era traba-
lhar com grandes quantidades. Afinal, registrar essas quantidades empilhando pedras ou fazendo
marcas na madeira era difícil e pouco prático.
Daí veio a ideia de agrupar, para visualizar melhor as quantidades, criando símbolos especiais
para esses agrupamentos e regras para registrar quantidades com esses símbolos. Surgiam, então,
os primeiros sistemas de numeração.
O sistema de numeração egípcio
Os antigos egípcios contavam formando grupos de 10 elementos.
Observe, na tabela, que cada símbolo representa 10 vezes o que o símbolo anterior representa:
Nesse sistema, um mesmo símbolo poderia ser repetido até 9 vezes. Cada agrupamento de 10
era trocado por um novo símbolo.
No sistema egípcio, a posição ocupada pelo símbolo não altera seu valor. Veja o exemplo:
23 23 23
José
Luis
Juhas
Símbolo
Valor um dez cem mil
dez
mil
cem
mil
um
milhão 10 10 10 10 10 10
Lápis
Mágico
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
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11. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 11
Representação do número 999 no sistema
egípcio:
Veja a adição 86 47 no sistema egípcio:
◆ A repetição de símbolos faz os registros ficarem longos!
◆ Fazer operações no sistema egípcio é trabalhoso!
◆ Pintura representando a colheita de linho no antigo Egito.A civilização
egípcia contribuiu bastante para o conhecimento matemático.
Deir
el-Medina,
Tebas
5 Com base nas informações do texto sobre
o sistema de numeração egípcio, responda em
seu caderno.
a) Quantos símbolos eram usados? 7 símbolos
b) Quantas vezes era permitido repeti-los?
c) Havia símbolo para o zero? Não.
d) A posição em que os símbolos eram colo-
cados para representar um número influía
no valor desse número? Não.
e) O valor do número era dado pela soma dos
valores dos símbolos usados? Sim.
f) Os números eram representados de forma
resumida (poucos símbolos)? Não.
g) Isso facilitava os cálculos (somar, subtrair etc.)?
Até 9 vezes.
Não.
6 Copie e complete a tabela.
53
26
204
1527
10231
7 O Nilo é um dos maiores rios do
mundo. Ele tem 6741 quilômetros de
extensão e corta o Egito de norte a
sul. Como os egípcios representavam esse nú-
mero antigamente?
Exercícios
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
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12. 12
No sistema romano encontramos:
VIII V III, ou seja,
8 é representado com 5 3.
No entanto, para representar o 9,
em vez de VIIII, escreve-se IX.
IX 9
10 – 1
Da mesma forma:
XL 40
50 – 10
X antes do L
XC 90
100 – 10
X antes do C
◆ Os romanos usaram a subtração para não repetir o mesmo
símbolo mais de três vezes seguidas.
Durante mais de 1000 anos, o sistema de numeração romano
foi utilizado na Europa. Por volta do século XIII, com a expansão do
comércio e das navegações, os símbolos romanos foram substituídos
pelos algarismos indo-arábicos.
Hoje, a numeração romana ainda é utilizada em algumas situações,
como nos mostradores de alguns relógios, na escrita dos números dos
séculos, na numeração de capítulos de livros e de leis, na designação
de reis e papas de mesmo nome etc.
O sistema de numeração romano
Os antigos romanos também possuíam um sistema de numeração formado por sete símbolos:
I V X L C D M
Observe os exemplos de números escritos em nosso sistema e no sistema romano:
Sistema de numeração romano
1 I 10 X 100 C 1000 M
2 II 20 XX 200 CC 2000 MM
3 III 30 XXX 300 CCC 3000 MMM
4 IV 40 XL 352 CCCLII 4000
—
IV
5 V 50 L 400 CD 5000
—
V
6 VI 60 LX 500 D 5700
—
VDCC
7 VII 70 LXX 600 DC 10000
—
X
8 VIII 80 LXXX 700 DCC 16500
—
XVID
9 IX 90 XC 800 DCCC 1000000
—
M
Observe o quadro anterior para descobrir as princi-
pais regras do sistema romano de numeração. Respon-
da às questões a seguir em seu caderno.
1. Os símbolos romanos podem ser repetidos no máxi-
mo quantas vezes seguidas? Três.
2. Todos os símbolos romanos podem ser repetidos? Não.
3. Quais os símbolos que podem ser repetidos? I, X, C e M
4. Quais os símbolos que não podem ser repetidos? V, L e D
5. O que acontece com o símbolo do número IV quando
colocamos um traço horizontal sobre ele?
6. A introdução do traço horizontal permitia aos ro-
manos escrever todos os números, menos um deles.
Qual é este número? O zero.
Fica multiplicado por 1000. Okeen/Dreamstime.com
I antes do X
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13. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 13
Exercícios
9 Descubra o segredo da sequência e conti-
nue-a.
a) V X XV
b) III VI IX
10 Em seu caderno, copie e complete a tabela:
26 XXVI
73 LXXIII
505 DV
802 DCCCII
1034 MXXXIV
1409 MCDIX
8 Sabemos que os antigos romanos utiliza-
vam a subtração para não repetir o mesmo
símbolo mais de três vezes seguidas.
a) Usando esse raciocínio, escreva como se
representa 900 no sistema romano. CM
b) O número CM tem o mesmo valor que MC? Não.
c) Observando o item anterior, podemos con-
cluir que no sistema romano a posição do
símbolo é importante? Sim.
d) Em que ano foi construída esta casa? 1911
12 Descubra o menor número que se pode es-
crever com os símbolos I , V , X e L .
13 Para escrever os séculos, por exem-
plo, usamos os símbolos romanos. Veja
a tabela e responda às questões a seguir
em seu caderno.
Ano Século
1 a 100 I
101 a 200 II
201 a 300 III
301 a 400 IV
e assim por diante…
a) Em que século nasceu Vítor? Século XX.
Nasci em 1992,
em São Paulo.
11 Estou lendo o capítulo 49 de um livro.
Como podemos representar esse número no
sistema romano? XLIX
XLIV
XX XXV XXX XXXV XL
XII XV XVIII XXI XXIV
b) Copie a tabela em seu caderno e escreva o
século referente às seguintes invenções:
Invenção Ano Século
telescópio 1609 XVII
bicicleta 1842 XIX
c) Em que século Pedro Álvares Cabral che-
gou ao Brasil? Século XV.
d) Em que ano começou e em que ano termi-
nará o século XXI? 2001 a 2100
e) E o século XXX? 2901 a 3000
14 O que você descobre neste quadrado?
II VII VI
IX V I
IV III VIII
Em qualquer linha, coluna ou diagonal, a soma é sempre 15.
Rubens
Chaves/Pulsar
Imagens
Hélio
Senatore
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14. 14
ZERO – A GRANDE SACADA!
Sem um símbolo para indicar a ausência de agrupamentos em determinada posição, fica difícil
diferenciar registros feitos com os mesmos algarismos, como: 23, 203, 2003, 230 etc.
3. O sistema de numeração decimal e os
algarismos indo-arábicos
Muitas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração. Um deles, criado na
Índia, deu origem ao sistema de numeração que hoje usamos. Depois de aperfeiçoado, esse sistema
apresentou características que o tornaram mais prático que os outros.
Vamos resumir essas características:
• As quantidades de 1 a 9 têm símbolos diferentes para representá-las.
• O sistema é decimal ou de base 10, ou seja, agrupamos de 10 em 10.
10 unidades 1 dezena
10 dezenas 1 centena
10 centenas 1 unidade de milhar
10 unidades de milhar 1 dezena de milhar
10 dezenas de milhar 1 centena de milhar
10 centenas de milhar 1 unidade de milhão, e assim por diante.
• Possui um símbolo (o zero) para representar no número a ausência de unidades, dezenas,
centenas etc.
• Com somente dez símbolos (os algarismos) é possível registrar todos os números, pois o mesmo
algarismo assume valor diferente de acordo com sua posição na escrita do número.
5 5 5 7 0 4 6
valor 500 valor 7000 valor 40 valor 6
valor 50
valor 5
15648 = 10000 + 5000 + 600 + 40 + 8
1 dezena de milhar
5 unidades de milhar
6 centenas
4 dezenas
8 unidades
o zero nesta posição indica
que não há centenas
Cada posição à esquerda vale
10 vezes a posição imediatamente à
direita. Sistemas de numeração em que
a posição do algarismo altera seu valor
são chamados sistemas posicionais.
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15. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 15
Exercícios
15 (Saresp) Numa farmácia, um medicamento
foi embalado em caixas onde cabem 1 000,
100, 10 e 1 unidades. O total de caixas utiliza-
das aparece na figura a seguir.
Quantas unidades desse medicamento foram
embaladas? 2 364 unidades
16 Numa gincana ficou acertado que:
✔ cada ponto valeria um cartão branco;
✔ quando uma equipe fizesse 10 pontos,
trocaria os cartões brancos por um cartão
azul;
✔ quando uma equipe juntasse 10 cartões
azuis, trocaria por 1 cartão vermelho.
Veja o resultado no final das provas:
a) Quantos pontos fez cada equipe?
b) Qual é a equipe vencedora? A equipe B.
c) Qual equipe fez menos pontos? A equipe A.
d) O que aconteceria com a equipe B se tives-
se conseguido mais 2 cartões brancos?
A: 254; B: 298; C: 266
17 Responda em seu caderno: verdadeiro ou
falso?
a) 35 centenas são 3500 unidades V
b) 1200 unidades são 12 dezenas F
c) 18 milhares são 108 centenas F
d) 23460 unidades são 2346 dezenas V
18 Escreva, no caderno, o número formado por:
a) 2 centenas mais 9 dezenas; 290
b) 1 milhar mais 5 dezenas; 1050
c) 8 milhares mais 6 centenas mais 6 unidades.
19 Qual número tem uma centena a mais que
13 centenas e 8 unidades? 1408
20 Copie e complete.
a) 5000 80 9
b) 8435 = 8000 +
400
+ 30 +
5
c) = 60 000 + 600 + 6
d) 13076 3000 70 6
e) 50555 500 50 5
f) 400000 30000 600 2
21 Considere o número 9580752 .
Quantas unidades representa o algarismo 5
que está à esquerda do 2? E o que está à es-
querda do 8? 50; 500000
22 Descubra o número: 2494
5089
60606
50000
10000
430602
Sou um número com 249 dezenas, e o meu
algarismo das unidades é o mesmo que o
das centenas.
Completaria 300 pontos e deveria trocar seus cartões brancos e azuis por mais
um cartão vermelho.
8606
Equipe A Equipe B Equipe C
cartões
vermelhos
cartões
azuis
cartões
brancos
Ilustra
Cartoon
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16. 16
4. Leitura e escrita de números no
sistema de numeração decimal
Cheques, recibos, notícias...
É preciso saber ler e escrever os
números corretamente para não ter
dificuldades na vida prática!
Segundo dados do IBGE (Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística), em
certo momento do ano de 2010 a po-
pulação brasileira era de 190732694 habitantes. Lê-se: cento e noventa milhões, setecentos e trinta
e dois mil, seiscentos e noventa e quatro habitantes. Esse número tem nove algarismos. Partindo
da direita para a esquerda, cada algarismo corresponde a uma ordem.
Note que também separamos os algarismos da direita para a esquerda em grupos de três ordens.
Cada grupo desses forma uma classe. Assim, temos:
ordem
das
unidades
ordem
das
dezenas
ordem
das
centenas
ordem
das
centenas
de milhar
ordem
das
unidades
de milhão
ordem
das
dezenas
de milhão
1
ordem
das
centenas
de milhão
classe dos milhões classe dos milhares
classe das
unidades simples
ordem
das
unidades
de milhar
ordem
das
dezenas
de milhar
9 0 7 3 2 4
9
6
Nas quantias em dinheiro,
devemos separar as classes
com um ponto.
À esquerda da classe dos milhões vem a classe dos bilhões, depois dela, a classe dos trilhões,
dos quatrilhões, e assim por diante.
Nas manchetes e reportagens de jornais e
revistas é comum encontrarmos números.
Em dupla com um colega, procurem, recor-
tem e colem no caderno:
1. um número que tenha 5 ordens;
2. um número que tenha o algarismo 4 na
ordem das centenas;
3. um número que tenha o algarismo 2 na
ordem das unidades de milhão;
4. um número que tenha o zero na ordem das
unidades de milhar;
5. um número que tenha a classe dos bilhões.
Escrevam por extenso cada um dos números
encontrados. Respostas pessoais.
Lápis
Mágico
Hélio
Senatore
Ilus
tra
Ca
rto
on
DAE
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17. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 17
Exercícios
23 Em seu caderno, copie e complete o quadro:
9660
8204
12004005
Agora entendi
o significado da
expressão: “um zero à
esquerda”.
P.S.
Studio
R$ 2.000.050,00 Oitocentos e doze mil, trezentos e cinco.
24 Quando emitimos um cheque, é
necessário escrevermos por extenso
o seu valor. Escreva, em seu caderno,
por extenso a quantia que deveria ser preen-
chida neste cheque. Trinta mil e dezoito reais.
26 No painel de controle dos automó-
veis podemos ler o número de quilôme-
tros que o veículo já percorreu. Observe:
27 Considere o número 81235.
a) Coloque um zero entre dois dos seus alga-
rismos, de modo a obter o maior número
possível. 812305
b) Escreva a leitura do número obtido.
25 Ao final de um jogo de futebol, o painel
eletrônico mostrou:
a) Como você escreveria por extenso esses
números?
b) E como escreveria com algarismos esta
outra renda:
✔ dois milhões e cinquenta reais?
Renda: quinhentos e quarenta mil, seiscentos e oitenta
e cinco reais; público pagante: vinte e seis mil e nove pessoas.
a) Quantos quilômetros esse automóvel já per-
correu? Escreva por extenso.
b) Qual é o maior número que esse marcador
de quilometragem pode mostrar? 999999
Sessenta mil, quatrocentos e vinte e três quilômetros.
20100
nove mil, seiscentos e sessenta
32062
oito mil, duzentos e quatro
1000001
doze milhões, quatro mil e cinco
vinte mil e cem
trinta e dois mil e sessenta e dois
um milhão e um
# 30.018,00 #
o emitente
Belo Horizonte, 2 abril 2011
Angela Sofia Santos
Ilustrações:
Ilustra
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Lápis
Mágico
Ilustra
Cartoon
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18. 18
28 O número da credencial de Sílvia tem seis
algarismos distintos. Entre os algarismos não
há 0, 4, 7 e 1. Os seis algarismos vão do me-
nor ao maior. Qual é o número da credencial
de Sílvia? 235 689
30 Relacione no caderno três círculos, um de
cada cor. Exemplo:
10 centenas 50 dezenas
50 milhares 5 milhões
500 1000
5000000 50000
5000 dezenas 50000 centenas
1 milhar 5 centenas
(B) (E) (L); (C) (H) (I); (D) (G) (J)
31 Considere o número: 8972056143. Nesse
número:
a) Qual algarismo ocupa a ordem das dezenas
de milhar? 5
b) Qual ordem o algarismo 8 ocupa?
c) A que classe pertence o algarismo 4? E o 9?
d) Quantas unidades vale o algarismo 2? 2 000 000
32 (CAP-UFPE) Sérgio tem um relógio digital
que marca horas e minutos, variando de 00:00
até 23:59. Quantas vezes em um dia os alga-
rismos 1, 2, 3 e 6 aparecerão todos juntos no
visor do relógio?
a) 5 vezes
b) 6 vezes
c) 7 vezes
d) 8 vezes
x
Unidades de bilhão.
Unidades; milhões.
12:36; 13:26; 16:23; 16:32; 21:36; 23:16
29 (CPII-RJ) Veja como o número de habitan-
tes do Brasil foi representado em um
jornal carioca:
a) Escreva o número de habitantes do Brasil,
utilizando apenas algarismos do sistema
de numeração decimal. 190 000 000
b) A quantos habitantes corresponde cada
da representação acima? 10 milhões ou 10 000 000
c) Na representação abaixo, cada correspon-
de a 20 milhões de habitantes.
Hoje, a população brasileira é de:
190 milhões de habitantes
Quantos habitantes estão representados?
220 milhões ou 220 000 000
A figura mostra uma
das possibilidades.
Hélio
Senatore
Ilustrações:
DAE
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19. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 19
História dos numerais indo-arábicos
Os hindus trouxeram muitas contribuições para a Matemática. O sistema de numeração decimal
posicional é a mais conhecida delas.
O primeiro registro que temos de um número nesse sistema é uma data (346) escrita em um
prato do ano 595.
Fonte: STRUIK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.
Veja como a grafia dos numerais indo-arábicos foi se modificando com o passar do tempo:
A forma de desenhar os numerais variava porque antigamente os livros e documentos eram todos
escritos à mão, obviamente com diferentes caligrafias. Somente depois da invenção da imprensa é
que os símbolos foram padronizados até chegar aos que utilizamos hoje, chamados de algarismos.
Por que o nome indo-arábico?
O sistema de numeração que hoje
usamos é conhecido como sistema de
numeração decimal, ou indo-arábico.
(Indo porque o antigo povo indiano foi
seu criador, e arábico porque os árabes
ajudaram a aperfeiçoá-lo e também foram
os responsáveis por sua divulgação, princi-
palmente na Europa). A palavra algarismo
vem do nome de um matemático árabe,
Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, que
escreveu e traduziu muitas obras matemá-
ticas levadas pelos árabes para o Ocidente.
O sistema de numeração decimal está
presente em inúmeras situações do nosso dia a dia. Escrevemos, lemos e fazemos operações com
números usando seus símbolos e regras. É difícil imaginar a vida sem ele.
O sistema de numeração que hoje usamos é uma das mais importantes invenções da humanidade.
Lembre-se sempre de quanto tempo e trabalho foram necessários para desenvolvê-lo!
século VI
(indiano)
século X
(árabe oriental)
século X
(europeu)
século XV
(árabe oriental)
século XV
(europeu)
um dois três quatro cinco seis sete oito nove zero
◆ Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi.
Ilustrações:
DAE
Lápis
Mágico
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20. Seção livre
5. Matemática – uma grande criação da
humanidade
É comum as pessoas imaginarem que a Matemática foi inventada por grandes gênios, que,
debruçados sobre seus livros, programavam suas criações.
Mas não é assim que as coisas acontecem... O conhecimento matemático vem sendo construído
pela humanidade ao longo de milênios. Além da necessidade de criar ferramentas matemáticas para
resolver problemas práticos, o ser humano é curioso por natureza. Gosta de investigar, descobrir e
explicar coisas que acontecem ao seu redor!
Por isso, a Matemática é construída com tentativas, erros e acertos. Portanto, com muito tra-
balho... A história da Matemática nos mostra épocas brilhantes, mas também longos períodos de
pouco ou nenhum progresso.
Claro que há nomes importantes, pessoas que contribuíram mais para o seu desenvolvimento.
No entanto, muitos dos conhecimentos que hoje utilizamos foram descobertos e aperfeiçoados na
prática pelas pessoas comuns.
Isto é o mais legal desta história: ela continua e nós também fazemos parte dela, pois podemos
aprender, aplicar no nosso cotidiano e ensinar aos outros o que sabemos de Matemática!
Pense nisso!
Hoje vou inventar os
números, amanhã as operações
e no domingo, algumas fórmulas
bem difíceis...
Faça dupla com um colega e inventem um sistema de numeração que se baseie em agrupa-
mentos de 10, como o egípcio e o nosso. Criem símbolos e regras para escrever os números, mas
lembrem-se: quanto mais simples for o sistema, melhor!
Você vai perceber como deve ter sido difícil para as antigas civilizações criar e aperfeiçoar seus
sistemas de numeração.
Depois de inventá-los e testá-los na prática, as duplas podem apresentar seus sistemas para os
demais alunos e a turma elegerá o mais eficiente, comparando-o com o sistema que usamos.
20
Lápis
Mágico
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21. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 21
Revisando
36 Veja o número representado no visor da
calculadora:
Léo
Burgos
33 É correto falar assim?
34 Reescreva a notícia representando os núme-
ros com algarismos. Dos 6000000000 de habitantes do planeta,
800000000 passam fome.
35 Os cientistas afirmam que a Terra existe há
cerca de quatro bilhões e seiscentos milhões
de anos.
a) Escreva esse número usando algarismos.
4600000000
b) Escreva, por extenso, o número de séculos
que tem a Terra. Quarenta e seis milhões de séculos.
37 Indique quantas vezes você vai usar a te-
cla 0 da sua calculadora para representar nela
cada um dos seguintes números:
a) nove mil e doze; Uma.
b) oitenta mil e oito; Três.
c) quatrocentos mil e quinze. Três.
Os telefones da minha cidade
têm 8 números.
Dos seis bilhões de habitantes do planeta,
oitocentos milhões passam fome.
38 Sim ou não?
a) Os números 6873 e 06873 são iguais? Sim.
b) O número 085 é considerado de dois alga-
rismos? Sim.
39 Veja a placa de um carro:
a) Quantos algarismos tem esta placa? 4
b) Escreva por extenso o número da placa.
c) Qual é o maior número que se pode escre-
ver utilizando todos esses algarismos? 9410
d) Nesta situação, o zero pode ser suprimido?
Não, aqui ele aparece como código.
Zero, um, nove, quatro: cento e noventa e quatro.
Valéria
Vaz
40 Considere os números:
Quais deles têm 77 centenas? 7700 e 7707
770 7 700 7 707
777 7 077 70 700
Escreva como se lê esse número.
Revisando
Três milhões, cinquenta mil, duzentos e sete.
Não. O correto é falar “oito algarismos”.
41 Uma turma de 8 alunos brincava com feijões.
Cada um tirou de uma caixa um cartão em que
aparece um número escrito. Em seguida, cada
um tirou, ao acaso, três feijões de um único saco
com feijões pretos, vermelhos e brancos.
Anteriormente, haviam combinado a seguinte
regra de cores:
Anteriormente, haviam combinado a seguinte
regra de cores:
• 1 feijão branco vale uma unidade;
• 1 feijão vermelho vale 10 feijões brancos;
• 1 feijão preto vale 10 feijões vermelhos.
No quadro seguinte, embaixo do nome de
cada participante, aparece o número que havia
no cartão e os três feijões extraídos.
Ari
3
Carla
12
Lucas
201
Sílvia
21
Pedro
30
Solange
111
Luís
300
Maria
102
Ganharia a brincadeira quem conseguisse
acertar com os três feijões o número escrito
no cartão. Quem ganhou? Lucas.
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
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22. 22
Desafios
Desafios
45 Um número de cinco algarismos apresenta:
• zero nas duas primeiras ordens;
• o algarismo de maior valor posicional é 3;
• o algarismo das centenas é 5;
• o algarismo 8 tem valor posicional 8 000.
Qual é esse número? 38500
46 No país dos quadrados, o povo desenha:
5
6
para representar 56 e
7
2
3 para representar 723.
42 O ábaco é um instrumento que permite
contar e calcular. No Brasil, ele é muito usado
nas escolas. Os japoneses são extremamente
hábeis para calcular com o ábaco, chamado
por eles de soroban.
Entre os vários tipos de ábaco, um deles é
composto de hastes verticais em que são en-
caixadas pequenas bolinhas. O valor de cada
bolinha muda de acordo com a posição da
haste na qual é colocada. A haste na 1a
po-
sição à direita representa a casa das unida-
des; na 2a
posição, a das dezenas; na 3a
po-
sição, a das centenas, e assim por diante.
Veja um número representado no ábaco:
43 Paulo, Mauro e Carlos deveriam representar
números num ábaco de acordo com a legenda:
b) Quantas unidades vale o algarismo 2? 200
c) Na escrita do número aparece duas vezes o
algarismo 3. Será que esse algarismo tem o
mesmo valor em ambas as posições?
Não. Um representa 30 unidades e o outro, 3000 unidades.
• Paulo: dois mil, cento e quatro
• Mauro: dez mil e cinquenta e três
• Carlos: cento e sete mil e dezoito
44 Represente no sistema de numeração de-
cimal o número formado por 1 centena de mi-
lhar mais 4 milhares mais 3 dezenas. 104030
47 (OBM) Num relógio digital que marca de
0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mos-
trador apresenta todos os algarismos iguais?
Valéria
Vaz
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
◆ Paulo ◆ Mauro ◆ Carlos
a) Como se lê esse número?
Cinquenta e três mil, duzentos e trinta e sete.
Que número está representado abaixo?
40832
0:00, 1:11, 2:22, 3:33, 4:44, 5:55, 11:11, 22:22
x
3 2
8 4
Quem errou? Mauro.
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
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23. S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 23
Exercícios
Autoavaliação Anote, em seu caderno, o número do exercício
e a letra correspondente à resposta correta.
S I S T E M A D E N U M E R A Ç Ã O D E C I M A L 23
48 Se somarmos 3 centenas com 30 dezenas
e com 300 unidades, quanto obtemos?
49 (Saresp) A população de uma cidade é de
um milhão, trezentos e oito mil e quarenta e
sete habitantes. Utilizando algarismos, o total
de habitantes dessa cidade é:
1o
ábaco
2o
ábaco
3o
ábaco
51 Em qual dos números abaixo o algarismo
das dezenas de milhar é igual ao das centenas?
55 (Saresp) Rubens contou e separou alguns
selos. Ele registrou a quantidade de cada tipo
de selo em 3 ábacos. Na ordem da figura,
quantos selos de cada tipo havia?
54 (OM-SP) No sistema decimal de numera-
ção, um número apresenta 3 classes e 7 or-
dens. Então, esse número tem:
56 Rodrigo deveria escrever vários números
usando as palavras quarenta, duzentos, mil e
quatro, uma só vez em cada número. Ele co-
meteu um erro em:
52 Em um número, o algarismo das unidades
é 8 e o das dezenas é 5. Colocando o algarismo
6 à esquerda deles, obtemos um novo número,
que é:
53 A diferença entre o maior número de 4 alga-
rismos diferentes e o menor número também de
4 algarismos diferentes é: 9 876 1023 8 853
a) 3 algarismos.
b) 7 algarismos.
c) 10 algarismos.
d) Nenhuma das anteriores.
a) 3890, 583, 750
b) 1426, 4302, 6050
c) 6421, 3402, 5070
d) 5735, 4374, 4700
a) 333
b) 660
c) 900
d) 963
x
50 Anunciou-se que o próximo prêmio da
Loto será de cinco milhões e cinquenta mil
reais. Qual é outra forma de escrever essa
quantia?
a) 1308407
b) 1308047
c) 1308470
d) 1380047
x
a) 239459
b) 655738
c) 835317
d) 428816
x
a) 658
b) 856
c) 586
d) 685
a) R$ 500.050,00
b) R$ 5.005.000,00
c) R$ 5.050.000,00
d) R$ 5.000.050,00
x
x
a) 8642
b) 8853
c) 8999
d) 9000
x
x
x
a) 4240
b) 1244
c) 40204
d) 4244
x
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
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24. 24
24
• Sílvio encontrou como resposta
7
10
.
• Cláudio encontrou como resposta
14
20
.
24
57 Qual das frases corresponde a uma leitura
do número 8540?
a) Oito mil e cinquenta e quatro unidades.
b) Oitocentos e cinquenta e quatro dezenas.
c) Oito mil e cinquenta e quatro centenas.
d) Oito centenas e cinquenta e quatro milhares.
58 Qual alternativa mostra o maior número
possível usando os mesmos algarismos do nú-
mero representado no ábaco da figura abaixo?
a) 70353 c) 43302
b) 53320 d) 35230
59 A leitura do número representado pela ex-
pressão
2 1 000 000 5 10 000 6 é:
a) dois milhões, quinhentos mil e seis.
b) dois milhões, cinco mil e seis.
c) duzentos mil e cinquenta e seis.
d) dois milhões, cinquenta mil e seis.
60 O número formado por 1 centena de milhar
mais 3 milhares mais 8 dezenas é:
a) 130 080 c) 103 080
b) 103 800 d) 1 308 000
61 (Saresp) Usando os algarismos 1, 2 e 3,
sem repetir nenhum, é possível formar:
a) dois números de três algarismos.
b) três números de três algarismos.
c) quatro números de três algarismos.
d) seis números de três algarismos.
x
x
x
x
x
62 Sou um número com o algarismo das uni-
dades 4 e tenho 218 dezenas. Quem sou eu?
a) 2184 c) 21844
b) 21804 d) 21884
63 (Prominp) Considere um sistema de repre-
sentação de quantidades em que vale 1 e
vale 3. Dessa forma, vale 4. Nesse siste-
ma, para representar 17, precisamos de:
a) 5 e 1
b) 5 e 2
c) 5 e 3
d) 4 e 3
64 Observe o número 68 734 219 e indique a
opção correta.
a) O número apresenta 3 ordens.
b) O algarismo da unidade de milhar é 8.
c) O algarismo da sexta ordem é o 7.
d) Os algarismos que formam a classe dos mi-
lhões são 7, 3 e 4.
65 (Saresp) No número 1372, foi colocado
um zero entre os algarismos 3 e 7. Pode-se
afirmar que, no novo número representado, o
valor do algarismo 3 ficou:
a) dividido por 1.
b) dividido por 10.
c) multiplicado por 10.
d) multiplicado por 100.
66 (Obmep) Cláudia inverteu as posições de
dois algarismos vizinhos no número 682479 e
obteve um número menor. Quais foram esses
algarismos?
a) 6 e 8 c) 8 e 2
b) 2 e 4 d) 4 e 7
x
x
x
x
x
Hélio
Senatore
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25. N Ú M E R O S N AT U R A I S 25
Enquanto coloca os pães no saquinho, o funcionário vai contando: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Para contar, usamos os números 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc. Eles são chamados de números naturais.
Alguns matemáticos, mais recentemente, optaram por incluir o zero nesta sequência. Escrevemos
a sequência dos números naturais assim: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
As reticências ao fim indicam que a sequência prossegue infinitamente, pois é sempre possível
escrever o sucessor de um número natural. Basta somar 1 a ele.
0, 1, 2, 3, 4, …
1 1 1 1
Observe que:
• o sucessor de 8 é 9;
• o sucessor de 13 é 14;
• o sucessor de 2345 é 2346, e assim por diante.
Repasse mentalmente suas
ações no dia de hoje. Você
utilizou os números naturais?
Em quais situações?
Números naturais
1. Os números naturais e os processos
de contagem
Muitas situações de nosso dia a dia envolvem contagens.
Dona Sílvia foi à padaria comprar oito pãezinhos.
UNIDADE 2
UNIDADE
Sucessor de um número
natural é o que vem
imediatamente depois dele.
Ilustrações:
Lápis
Mágico
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26. 26
Mais sobre os números naturais
◆ Documentos de
identificação,
que atribuem um
número para cada
pessoa.
◆ Os números naturais identificam endereços, telefones...
A HORA DA NOTÍCIA
Felipe Massa larga em
9o
no GP do Brasil
CAMPO GRANDE, 6 DE NOVEMBRO DE 2010.
Arq
uivo
par
ticu
lar
Valéria
Vaz
Conhecemos também a sequência dos números naturais pares:
E a sequência dos números naturais ímpares:
Veja outras situações em que empregamos os números naturais:
Com base no conceito de sucessor,
podemos entender o que é antecessor
de um número natural: é o número que
vem imediatamente antes dele.
• O antecessor de 10 é 9.
• O antecessor de 2413 é 2412,
e assim por diante.
E o que seriam números naturais
consecutivos?
Veja alguns exemplos:
• 7 e 8 são consecutivos;
• 23, 24 e 25 são consecutivos;
• 4 300, 4 301, 4 302 e 4 303 são
consecutivos.
◆ ... sentido de ordem.
◆ ... placa de automóveis...
Converse com um colega sobre as questões a se-
guir e anote as respostas em seu caderno.
1. Que número natural não possui antecessor?
2. Pensem em um número natural bem grande. Ele
possui sucessor?
3. Escrevam cinco números consecutivos compreen-
didos entre 12 e 20. Há mais de uma possibilidade
de resposta para esta questão? Procurem escrever
todas elas.
4. As palavras sucessor e antecessor aparecem na lin-
guagem comum. Os sentidos atribuídos a elas são
os mesmos da Matemática? Criem sentenças que
exemplifiquem a resposta de vocês.
O zero.
Sim.
Há três possibilidades de resposta: a) 13, 14, 15, 16, 17
b) 14, 15, 16, 17, 18 c) 15, 16, 17, 18, 19
Sim. Resposta pessoal.
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...
Fernando
Favoretto
DAE
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27. N Ú M E R O S N AT U R A I S 27
Exercícios
99, 319, 451 e 54683
1 Veja os números que aparecem nestas
quatro situações:
Quais deles representam números naturais?
2 Responda.
a) Qual é o menor número natural? O zero.
b) Existe o maior número natural? Não.
c) Quantos números naturais existem? Infinitos.
3 Copie no caderno e complete a tabela:
4 Responda.
a) Qual é o sucessor do zero? 1
b) Todo número natural tem sucessor? Sim.
c) O 4000 é sucessor de que número? 3999
d) O 1690 é antecessor de que número? 1691
5 Descubra os números que estão faltando:
6 Veja os números:
a) Qual é o maior deles? E o menor? 1110; 1001
b) Quais são menores que 1 010? 1001
c) Quais são maiores que 1 111? Nenhum.
d) Qual deles é sucessor de outro? 1101 é sucessor
de 1100
7 Dois números naturais consecutivos somam
325. Quais são eles? 162 e 163
Professor, estimule os alunos a descobrir a
solução por tentativas.
8 Numa rua, a numeração das casas é indica-
da pela prefeitura. Para quem segue do começo
para o fim da rua as casas do lado direito são
as de número par, e as do lado esquerdo, as de
número ímpar.
a) Qual será o número da casa azul? 328
b) Eu moro na casa de número 436. A casa
vizinha tem um número par ou ímpar? E a
casa de frente? Par; ímpar.
Invente um problema parecido e
peça a um colega para resolvê-lo.
Resposta pessoal.
199999
100100
3004998
1011 1101 1110 1100 1001
200001
100102
3005000
a)
b)
39
33
21
15
9
27 45
59
63
66
68
69
54 48
Antecessor Número Sucessor
200000
100101
3004999
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Ilustra
Cartoon
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Hélio
Senatore
Lápis
Mágico
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28. 28
2. A reta numérica e os números naturais
Para visualizarmos melhor a sequência dos números naturais, vamos representá-la em uma linha
reta que chamaremos de reta numérica.
• Escolhemos um ponto para representar o zero.
• Caminhando para a direita, a partir do zero, e considerando sempre a mesma distância, mar-
camos os pontos correspondentes aos números naturais 1, 2, 3, 4 e assim por diante.
Você já sabe comparar números naturais e dizer quando um é maior (), igual () ou menor ()
que outro. A reta numérica permite visualizar facilmente essa comparação.
Dados dois números, o maior número é o que estiver representado à direita do outro na reta
numérica.
Veja os exemplos:
• 4 2 (lemos: quatro é maior que dois) • 1 0 (um é maior que zero)
• 2 7 (dois é menor que sete) • 5 5 (cinco é igual a cinco)
0 1 2 3 4 5
Observe:
• Quais são os números naturais menores que 7?
Resposta: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.
• Quais são os números naturais maiores que 7?
Resposta: Existem infinitos números naturais maiores
que 7.
• Quantos números naturais há de 3 até 7?
Resposta: Há cinco números naturais: 3, 4, 5, 6 e 7.
• Quantos números naturais há entre 3 e 7?
Resposta: Há três números naturais: 4, 5 e 6.
Pense e responda.
• Quantos números há de 38 até 46? 9 números
• Quantos números há entre 38 e 46? 7 números
Confira suas respostas com as dos colegas e compare-as com os exemplos acima. Vocês desco-
briram padrões? Então calculem mentalmente quantos números há:
• de 124 a 345; 222 números
• entre 124 e 345. 220 números
0 1 2 3 4 5 6 7 maior menor igual
José
Luis
Juhas
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
de 3 até 7
ficam entre
3 e 7
Ilustra
Cartoon
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29. N Ú M E R O S N AT U R A I S 29
Exercícios
9 Copie as retas numéricas no caderno e
complete o número que corresponde a cada
um dos pontos assinalados.
10 Encontre todos os números naturais que
são maiores do que 35 e menores do que 42.
36, 37, 38, 39, 40, 41
11 Copie no caderno e preencha cada
com um dos números: 6600, 6006 ou 6660.
6000 6066 6606 6666
12 Antes de dormir, Sabrina sempre lê um
pouco. Sábado, ela leu do início da página 20
até o final da página 65 de um livro. Quantas
páginas Sabrina leu? 46 páginas
a)
b)
d)
c)
500
0
1000
750
250
300
200
0
100
35 x 42
6006 6600 6660
14 Descubra o nome de uma cidade paulista,
colocando os números indicados em ordem
decrescente. Boituva
Você acabou de escrever números
em ordem crescente.
8808 I 8088 U
8008 A
8800 T
8880 O
8888 B
8080 V
10
13 No quadro seguinte estão indicados os
preços de alguns modelos de automóvel e o
consumo de combustível aproximado, de cada
um, para percorrer 100 km.
Modelo
Preço
(em reais)
Consumo
(em litros)
A 28613 8
B 31584 7
C 37006 12
D 29508 10
E 56227 19
a) O modelo mais caro é o de menor consumo?
b) O modelo mais barato é o de maior con-
sumo?
c) Ordene os modelos de automóveis em or-
dem crescente de preços. A, D, B, C, E.
d) Ordene os modelos de automóveis em or-
dem decrescente de consumo. E, C, D, A, B.
Não.
Não.
Luminis/Dreamstime.com
0 3 6 9 12
0 2 4 6 8 12
DAE
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30. 30
15 Veja, na tabela abaixo, o resultado final de
uma corrida de 100 metros.
a) Quem foi o vencedor?
b) Quem correu com menor velocidade?
Dinei.
Zeca.
17 Escreva o número em que os três amigos
estão pensando.1555
É um número entre
1 000 e 2000.
Os seus três
últimos algarismos
são iguais.
Tenho a soma dos
seus algarismos
na camiseta.
18 Observe o gráfico.
Quantidade de habitantes em algumas
capitais brasileiras
a) Associe as cidades ao número que mais se
aproxima da população de cada uma delas.
I 785722
II 1678965
III 2469489
IV 530308
V 2258096
VI 1718584
Natal.
Curitiba.
Brasília.
Cuiabá.
Belo Horizonte.
Manaus.
b) Quais cidades têm menos de um milhão de
habitantes?
c) Quais cidades têm população entre 1 milhão
e 2 milhões de habitantes?
d) Qual cidade tem mais de dois milhões e
seiscentos mil habitantes?
Cuiabá e Natal.
Manaus e Curitiba.
Nenhuma.
Atleta Tempo
Lico 13 segundos
Zeca 16 segundos
Dinei 12 segundos
Dudu 15 segundos
Cuiabá
Natal
Curitiba
Manaus
Brasília
Belo
Horizonte
Greg
Brzezinski/iStockphoto.com
16 Considere todos os números naturais de três
algarismos diferentes, formados por 4, 5 e 9.
Responda.
a) Quais começam por 4?
b) Quais começam por 5?
c) Quais começam por 9?
d) Quantos são no total?
459, 495
549, 594
945, 954
Seis.
◆ Manaus,AM.
Fonte: Censo 2010/IBGE.
Lápis
Mágico
DAE
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31. N Ú M E R O S N AT U R A I S 31
Vale a pena ler
Senso numérico
Senso numérico é a capacidade de
reconhecer e comparar pequenas quan-
tidades.
Quando olhamos para a fruteira e di-
zemos que nela há 5 maçãs, normalmente
fazemos isso sem precisar contar: um,
dois, três, quatro, cinco. Estamos usando
o senso numérico, que é diferente da
capacidade de contar – capacidade mais
elaborada que, em todo reino animal,
somente o ser humano tem.
Os animais não sabem contar, mas
muitos têm senso numérico. Se retirarmos
dois ou três ovos do ninho, o pássaro o
abandona, pois percebe que a quantidade de ovos se alterou. As leoas são capazes de comparar a
quantidade de elementos de seu grupo com a de um grupo de leoas invasoras e avaliar se devem
defender seu território ou fugir. Podemos citar também uma espécie de vespa em que a fêmea é
maior do que o macho. Quando uma vespa mãe bota seus ovos, ela coloca ao lado de cada ovo
algumas larvas de inseto que servirão de alimento para quando o filhote nascer. O notável é que,
de alguma maneira, a mãe sabe se um dado ovo originará uma vespa macho ou fêmea e deixa
cinco larvas de insetos se for um ovo
de vespa macho e dez se for ovo de
vespa fêmea.
Professores da Universidade da
Pensilvânia fizeram um experimento
interessante com macacos. Eles ofe-
reciam ao macaco dois pratos com
pedaços de chocolate: um com sete
pedaços, um com seis pedaços. O
prato escolhido, na grande maioria
das vezes, era o com sete pedaços.
Os macacos começavam a errar
quando o número de pedaços ficava
maior do que dez, o que mostra que o senso numérico é limitado.
Por que será que a natureza, na evolução das espécies, dota os animais de senso numérico?
Sobrevivência!
A capacidade de distinguir e comparar pequenas quantidades presentes no meio ambiente ajuda
o animal a se alimentar melhor, fugir de seus predadores e controlar o número de filhotes de sua
ninhada, fatores importantes para a perpetuação da sua espécie. A natureza é mesmo maravilhosa!
Pixelspieler/Dreamstime.com
Steve
Byland/Dreamstime.com
N Ú M E R O S N AT U R A I S 31
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32. 32
19 Veja os números que aparecem neste texto:
Quais desses números citados são naturais? 23 e 65
20 Os números naturais nem sempre repre-
sentam quantidades. Em quais situações abai-
xo isso ocorre? 807, 10 e 46
a) c)
b) d)
b) C 3500 3000 D 2000
4500
4000
2500
c) 1099 E F 1129 1139
1089
1109 1119
21 Complete as sequências, substituindo as
letras pelos números convenientes:
a) 35 A 49 56 B
28
42 63
22 Observe os marcadores de quilometragem
de alguns carros:
A B
C D
a) Qual desses carros rodou mais?
b) E qual rodou menos?
c) Escreva todos esses números em ordem
crescente.
C
A
999, 7814, 32607, 80 001
23 No quadro estão registradas as
distâncias, em quilômetros, entre
algumas cidades brasileiras.
a) Quais são as distâncias representadas por A,
B e C? 716; 852; 434, respectivamente
b) Das cidades indicadas, qual é a mais próxi-
ma de São Paulo? E a mais afastada?
c) Indique duas cidades que distam uma da
outra mais de 1200 quilômetros.
Curitiba; Brasília.
Curitiba e Brasília.
Invente duas sequências e peça a
um colega que as complete.
Belo
Horizonte
Brasília
Curitiba
Rio
de
Janeiro
São
Paulo
Belo Horizonte A 1004 434 586
Brasília 716 1366 1148 1 015
Curitiba 1004 1366 B 408
Rio de Janeiro C 1148 852 429
São Paulo 586 1015 408 429
2500
Lúcio foi ao médico. Ele tem 23 anos, mede
1,67 metro de altura, pesa 65 quilos e está com
38,6 ºC de febre.
Revisando
Lápis
Mágico
Ilustrações:
Hélio
Senatore
DAE
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
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33. N Ú M E R O S N AT U R A I S 33
Desafios
Desafios
24 Veja:
Utilize os números representados acima e
indique no caderno qual deles:
25 Desenhe e recorte cartões como estes:
7
6
4 2
Arranje-os de modo a representar:
a) o maior número ímpar; 6427
b) o menor número par; 2476
c) o menor número ímpar maior que 6000;
d) o maior número par menor que 6000. 4762
6247
481 54
10243 699
60
998
374
999
10234
479
100
5400
a) é igual a cinco dúzias; 60
b) é o menor número; 54
c) é o maior número; 10 243
d) é o antecessor de 480; 479
e) é o sucessor de 480; 481
f) tem 100 unidades a mais que 274; 374
g) tem cinquenta e quatro centenas; 5400
h) forma com 700 um par de números conse-
cutivos; 699
i) é o menor número de 3 algarismos; 100
j) é o maior número par de 3 algarismos; 998
k) é o maior número de 3 algarismos; 999
l) é o menor número de 5 algarismos que se
pode escrever sem repetição. 10234
26 Dona Romilda acabou de lavar umas ca-
misetas. Para pendurar 5 camisetas no varal,
usou 6 prendedores de roupa.
Quantos prendedores são necessários para
pendurar:
27 Nos cartões abaixo estão escritos cinco nú-
meros. Qual é o menor número que você pode
formar ao juntar os cinco cartões? 34 095168
409 51 8
6 3
28 Quatro amigos querem saber o número
que os identifica como sócios de um clube.
396
825
137
972
Descubra o número de cada um, sabendo
que:
• os números de Paula e Rodrigo não são
pares;
• o número de Rodrigo não é o menor, nem o
maior de todos;
• o número de Luciana não é maior que o nú-
mero de Rui. Rodrigo: 825; Luciana: 396; Paula: 137; Rui: 972.
a) 8 camisetas?
b) 19 camisetas?
c) 40 camisetas?
d) n camisetas?
9 prendedores
20 prendedores
41 prendedores
n + 1 prendedores
Hélio
Senatore
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34. 34
Exercícios
Autoavaliação Anote, em seu caderno, o número do exercício
e a letra correspondente à resposta correta.
34
29 O sucessor do número setenta e três mi-
lhões, cento e nove mil e sessenta e nove é:
a) 73109070
b) 73109069
c) 73019070
d) 73109068
x
30 São números naturais consecutivos:
a) 0, 7, 14
b) 49, 50, 51
c) 4, 5, 6, 8
d) 100, 200, 300
x
31 (Saresp) Ana está escrevendo uma sequência
de sete números:
Os próximos números a serem escritos são:
a) 20 e 31 b) 22 e 33 c) 24 e 30 d) 24 e 31
x
32 Um produto ficou em promoção do dia 17
de maio ao dia 8 de junho. Quantos dias esse
produto ficou em promoção?
a) 21 dias b) 22 dias c) 23 dias d) 24 dias
x
34 A soma de três números naturais consecu-
tivos é igual a 90. Qual é o maior desses três
números?
35 (SEE-RJ) Quatro pacotes de farinha de trigo
foram entregues na padaria. O padeiro compa-
rou os quatro pacotes em uma balança e disse
que o mais pesado é o pacote:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
x
36 Na sequência dos números naturais, consi-
dere os:
• quatro primeiros números; 0, 1, 2, 3
• quatro primeiros números ímpares; 1, 3, 5, 7
• quatro primeiros números pares. 0, 2, 4, 6
Quantos números você considerou?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 12
x
37 A quantidade de números naturais com-
preendidos entre 300 e 400 que podemos for-
mar usando apenas os algarismos 3, 4 e 5, é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
x
333, 334, 335, 343, 344, 345, 353, 354, 355
38 Uma pessoa escreve os números natu-
rais entre 1 e 100. Quantas vezes ela escre-
ve o algarismo 6?
a) 10
b) 11
c) 19
d) 20
x
(6,16, 26, ..., 96) 10 (unidades)
(60, 61, 62, ..., 69) 10 (dezenas)
20
a) 28 b) 29 c) 31 d) 32
x
33 Alfredo está em uma fila de pessoas. Quan-
do as pessoas na fila são contadas de trás para
frente, Alfredo é o 6o
. No entanto, se contadas
da frente para trás, ele ocupa a 10a
posição.
Quantas pessoas há nessa fila? A
9 5
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17
x
34
Lápis
Mágico
Ilustra
Cartoon
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35. A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 35
Adição e subtração de
números naturais
1. As ideias da adição e da subtração
A tabela a seguir apresenta o número de peças de roupa produzidas por uma fábrica nos meses
de janeiro e fevereiro de 2011.
Para saber quantas calças foram confeccionadas no to-
tal, nos meses de janeiro e fevereiro, fazemos uma adição:
89 73 também é 162.
Mudar a ordem das parcelas
não altera a soma!
Peças Janeiro Fevereiro
calças 73 89
camisetas 130 110
bermudas 92 48
camisas 105 74
Adição
A adição está ligada à ideia de
juntar, acrescentar.
Veja: a cada par de parcelas, asso-
ciamos sua soma:
9 5 14
Subtração
Efetuamos subtrações para res-
ponder às perguntas:
✓ Quanto resta?
✓ Quanto falta?
✓ Quanto a mais?
Numa subtração, temos:
12 7 5
parcela parcela soma
minuendo subtraendo diferença
ou resto
73 89 162
UNIDADE 3
UNIDADE
Hélio
Senatore
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36. 36
Você lembra como funciona o algoritmo da adição?
Começamos pelas unidades:
• 3 unidades 9 unidades 12 unidades 1 dezena 2 unidades
Depois adicionamos as dezenas:
• 7 dezenas 8 dezenas 1 dezena (que veio da adição das unidades) 16 dezenas ou 1 centena e 6 dezenas
O total é de 1 centena, 6 dezenas e 2 unidades, ou seja, 162.
130 105 92 73 também
resulta em 400. A ordem das
parcelas não altera a soma!
Vou fazer: 89 + 110 = 199,
48 74 122 e finalmente
199 122 321.
Que legal! O resultado final foi o
mesmo!
Epa! Na subtração é
diferente! 321 400 não
resulta em um número
natural! Então não dá
para trocar minuendo por
subtraendo!
Lembrando algoritmos
Para saber a produção total de peças de cada mês, também utilizamos a adição:
A fábrica produziu mais peças em janeiro
do que em fevereiro. Para descobrir quantas
peças foram produzidas a mais, fazemos uma
subtração:
A produção de fevereiro foi de 321 peças.
A produção de janeiro foi de 400 peças.
73 130 92 105 400
89 110 48 74 321
400 321 79
1
7 3
8 9
1 6 2 Ilustrações:
Lápis
Mágico
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37. A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 37
Agora, observe o cálculo:
Vamos recordar as ideias envolvidas nesse cálculo?
Repare como no dia a dia há ações
que apresentam uma ação inversa:
• Subir 10 degraus. Descer 10 degraus.
• Dar 2 passos para a esquerda. Dar 2
passos para a direita.
• Engordar 1 kg. Emagrecer 1 kg.
• Começamos pelas unidades:
Quando trabalhamos com números naturais, não é possível tirar 1 de zero; então
recorremos às dezenas. Como também não há dezenas, fazemos:
4 centenas 3 centenas 10 dezenas 3 centenas 9 dezenas 10 unidades
Logo, 10 unidades 1 unidade 9 unidades.
• Em seguida, subtraímos as dezenas e as centenas:
9 dezenas 2 dezenas 7 dezenas 3 centenas 3 centenas 0 centena
A diferença é de 7 dezenas e 9 unidades, ou seja, 79.
Adição e subtração: operações inversas
400
– 321
79
3 9 1
40 11 29
29 11 40
40 29 11
Em certa escola, o 6o
ano A tem 28 alunos entre meninos e
meninas.
Quantos são os meninos? Quantas são as meninas?
Somente com esses dados não podemos responder às perguntas.
No entanto,
• se soubermos que são 12 meninas, podemos calcular o número de meninos: 12 28 28 12 16 meninos;
• se soubermos que são 16 meninos, podemos calcular o número de meninas:
16 28 28 16 12 meninas.
Veja:
15 22 50 60 64 7 28 10 4
Fernando
Favoretto
Se da soma de dois números subtraímos um deles, obtemos o outro.
A subtração é a operação inversa da adição. 7 28 10 4
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38. 38
Exercícios
Calcule e escreva no caderno os totais obtidos
com:
7077
7700 7707
7001
7770
1 Considere os seguintes números:
3 A figura mostra trechos de estradas de ro-
dagem. Os números indicam quantos quilô-
metros há em cada trecho.
Responda.
161
93
187
83
2 A diferença entre dois números é 68. Um
dos números é 100.
4 Tenho R$ 10,00 a mais do que você. Se eu
lhe der R$ 2,00, com quanto ficarei a mais que
você? R$ 6,00
5 Em seu último aniversário, Raquel foi pre-
senteada pelos familiares com dinheiro em no-
tas de 20, 10 e 5 reais. Qual é a quantidade
mínima de notas que ela precisa usar para pa-
gar um brinquedo que custa R$ 75,00 e não
receber troco? 5 notas; 20 + 20 + 20 + 10 + 5
6 Observe o quadro de um jogo e responda:
a) Quantos pontos Sílvia fez no jogo?
b) Quantos pontos Carlos fez na 1a
etapa?
c) Quantos pontos Maria fez na 2a
etapa?
d) Quantos pontos foram feitos na 1a
etapa?
e) Quantos pontos fizeram as meninas?
464 pontos
235 pontos
237 pontos
634 pontos
915 pontos
7 (Unicamp-SP) Minha
calculadora tem lugar para
8 algarismos. Eu digitei
nela o maior número pos-
sível, do qual subtraí o número de habitantes do
estado de São Paulo, obtendo, como resultado,
63033472. Qual era a população do estado de
São Paulo nesse ano? 36966527 habitantes
Léo
Burgos
99999999 – 63033472 = 36966527
Fonte: Censo 2000, IBGE.
Pontos na
1a
etapa
Pontos na
2a
etapa
Total
Sílvia 185 279
Carlos 193 428
Maria 214 451
a) a soma dos dois números menores; 14 078
b) a soma dos dois números maiores; 15 477
c) a soma do número maior com o menor.14 771
a) Qual é o outro? 32 ou 168
b) Quantas soluções haverá? Duas soluções.
a) Quantos quilômetros percorrerá um ônibus
para ir de A até C, passando por B? 254 quilômetros
b) Quantos quilômetros percorrerá um auto-
móvel para ir de A até C, passando por D?
c) Aviagemmaiscurtaéadoônibusouado auto-
móvel? A diferença é de quantos quilômetros?
Ônibus; a diferença é de 16 quilômetros.
270 quilômetros
Arquivo
particular
Hélio
Senatore
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39. A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 39
8 Quantos centímetros de moldura foram
gastos no quadro? 88 cm
19 cm
25 cm
9 Calcule o número que falta em:
a) 3 20 17
b) 49 85 36
c) 8 17 25
d) 85 71 14
10 Quando minha filha nasceu, eu tinha 28
anos. Hoje a minha filha fez 12 anos. Qual é a
soma de nossas idades? 52 anos
11 A soma de quatro dos seis cartões abaixo
dá como resultado 65:
Quais os dois cartões que ficam de fora dessa
soma? 20 e 15
12 (Saresp) O gráfico abaixo mostra a quanti-
dade de árvores de um sítio:
a) Quantas árvores estão plantadas nesse sítio?
b) Qual é o tipo de árvore mais plantada?
Quantas? Bananeira; 13 árvores.
c) Qual é a diferença entre o número de limo-
eiros e o de laranjeiras plantadas? 3 árvores
39 árvores
Classe Manhã Tarde
meninos meninas meninos meninas
6o
ano 98 124 137 108
7o
ano 84 101 86 52
8o
ano 70 85 54 39
9o
ano 65 71 28 18
13 A tabela abaixo mostra o número de
alunos (meninos e meninas) matriculados
numa escola:
a) Quantos alunos cursam o 9o
ano?
b) Quantas meninas cursam o 7o
ano?
c) Quantos meninos cursam o 8o
ano?
d) Em que período há mais meninas matri-
culadas?
e) Quantos meninos estão matriculados no
período da tarde?
182 alunos
153 meninas
124 meninos
Manhã.
305 meninos
14 Observe as figuras:
Quantos reais custa uma bola? 20 reais
15 Os quadrados abaixo são “mágicos”. Ne-
les, a soma dos números de qualquer linha,
coluna ou diagonal é sempre a mesma. Sa-
bendo disso, copie em seu caderno e complete
adequadamente cada quadrado.
25
30 40
20
10
35
5
15
45
4
5
1 3
6
8
0
2
7
5
4 2
8 6
9
1
3 7 50 reais
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
abacateiros limoeiros bananeiras laranjeiras
19 25 15 12 20 9 120 reais
Ojay
Barbee/Dreamstime.com
Ilustrações:
Hélio
Senatore
DAE
DAE
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40. 40
2. O cálculo mental nas adições e nas
subtrações
Você costuma calcular mentalmente?
Acompanhe a história dos irmãos Felipe e Carlos.
Certo dia, eles foram a uma loja de miniaturas comprar um novo carrinho para a coleção deles.
Cada um levou sua carteira com as economias que tinham. Felipe tinha R$ 34,00 e Carlos, R$ 25,00.
Logo encontraram uma miniatura sensacional! Seu preço: R$ 57,00.
Mentalmente, Felipe calculou:
34 + 25 = 34 + 20 + 5 = 54 + 5 = 59
Podemos comprar este
para nossa coleção!
É nosso!
54
Carlos também não perdeu tempo e pensou:
34 25 30 4 20 5 30 20 4 5 50 9 59
50 9
O cálculo mental é rápido. As passagens acontecem em nossa mente.
Observe agora algumas maneiras de efetuar subtrações mentalmente: 80 34 80 34 80 30 4 50 4 46 (Subtraímos 30 de 80 e depois subtraímos 4 do resultado.)
Podemos resolver essa mesma subtração usando a ideia de completar:
Portanto, faltam 46 ao 34 para completar 80.
E você? Como costuma efetuar adições
mentalmente? Resposta pessoal.
Felipe decompôs 25 em 20 5 para achar a
soma mais facilmente.
Já Carlos decompôs as duas parcelas:
34 30 4
25 20 5
de 34 para 40 6
de 40 para 80 40
Ilustrações:
Lápis
Mágico
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41. A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 41
Exercícios
16 Calcule mentalmente e anote os resultados
no caderno.
a) 12 7 19
b) 4 39 43
c) 13 45 58
d) 19 36 55
e) 480 25 505
f) 290 110 400
17 Continue calculando mentalmente.
18 Continue calculando mentalmente.
a) 83 – 9 74
b) 405 – 9 396
c) 170 – 11 159
d) 275 – 99 176
e) 546 – 98 448
f) 800 – 101 699
19 Observe as cenas abaixo:
O consumidor pagou a compra com uma nota
de R$ 100,00. Quanto o consumidor vai re-
ceber de troco da moça do caixa? Por que a
moça pediu R$ 2,00 ao comprador?
Receberá R$ 5,00; para facilitar o troco, pois 102 – 97 = 5.
20 Calcule mentalmente.
(19 11) (18 12) (17 13) (16 14) 15 135
11 12 13 14 15 16 17 18 19
21 Qual é o número desconhecido da tabela
abaixo? 160
Período Atendimentos
Manhã
Tarde 125
Noite 75
Total 360
22 Entrei em uma loja e comprei os três pro-
dutos da propaganda abaixo para pagar em
três prestações.
◆ Preço: R$ 75,00 ou
0 + 3 de R$ 25,00
◆ Total: R$ 75,00
Liquidificador TV
◆ Preço:R$600,00ou
0+3deR$200,00
◆ Total:R$600,00
Bicicleta
◆ Preço:R$540,00ou
0+3deR$180,00
◆ Total:R$540,00
Qual valor terei de pagar em cada presta-
ção? R$ 405,00
23 Lúcia saiu para
fazer compras com 2
notas de R$ 100,00
na carteira. Gastou
no supermercado R$ 142,00, na padaria
R$ 6,00 e no açougue R$ 32,00. Com quanto
Lúcia ficou após essas compras? R$ 20,00
a) 5 17 15 37 d) 790 43 110 943
b) 9 28 11 48 e) 320 590 10 + 80
c) 156 4 120 f) 69 77 31 + 23
1000
280
200
São 97 reais.
Tem 2 reais?
Sim.
Resolva os problemas a seguir “de cabeça”.
Qual é a forma
mais rápida de chegar
ao resultado?
Ilustrações:
Hélio
Senatore
Ilustra
Cartoon
Lápis
Mágico
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42. 42
3. Estimando por arredondamento
Observe, abaixo, uma vitrine de loja e pense na situação:
Você tem R$ 100,00 para gastar nessa loja e quer saber rapidamente se o dinheiro é suficiente
para comprar uma camiseta, uma calça e um par de tênis. Como fazer?
Uma soma aproximada, arredondando os preços para a dezena mais próxima, é uma alternativa.
18 para 20
24 para 20 20 20 50 90
47 para 50
Então, o dinheiro é suficiente.
Fizemos uma estimativa para o valor da compra.
Usamos estimativas quando queremos obter um valor aproximado para uma grandeza.
As estimativas utilizando arredondamentos podem nos auxiliar a detectar erros no resultado de
operações. Acompanhe:
12035 5828 =
Arredondando, fazemos uma estimativa para a soma:
12000 6000 18000
Assim, sabemos que o resultado deve estar próximo de 18000.
Efetuamos a operação 12035 5828 17863 e comprovamos que o resultado está bem pró-
ximo da estimativa inicial.
Se você estivesse usando uma
calculadora para efetuar a operação
acima e, sem querer, esquecesse de
digitar o zero do número 12 035, o
resultado no visor seria 7063, muito
longe da estimativa inicial.
Seria fácil perceber que houve
erro.
123
Vou usar os
arredondamentos para
estimar resultados e
evitar erros!
Esta é uma boa estimativa, pois o
valor exato da compra é R$ 89,00.
Par de tênis
R$ 47,00
Calça
jeans
R$ 24,00
Camiseta
R$ 18,00
Ilustra
Cartoon
Lápis
Mágico
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43. A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 43
Exercícios
50 20000 500
400 19000 40
21000 60 300
Daniel
Cymbalista/Pulsar
Imagens
25 Um trem leva 481 passageiros sentados e
57 em pé. Use o arredondamento do número de
passageiros para a dezena mais próxima para es-
timar quantas pessoas podem viajar nesse trem.
540 pessoas
26 Qual foi o consumo aproximado de água
no trimestre indicado no quadro? 13500 litros
R$ 1.530,00; R$ 1.527,00
Mês
Consumo de água
(em litros)
Janeiro 5175
Fevereiro 3804
Março 4485
27 Em cada uma das situações seguintes, faça
uma estimativa do custo total e, em seguida,
calcule o preço exato.
Arredonde cada preço para a dezena
mais próxima.
a) 92 38 50
b) 591 193 400
c) 25031 4920 20 000
R$ 130,00; R$ 132,00
24 Leia e faça o arredondamento dos seguintes
números para a centena exata mais próxima.
Arredonde cada número para a
centena mais próxima.
28 Para cada diferença, procure no quadro
abaixo o valor que corresponde à sua melhor
estimativa:
543 está
mais próximo
de 500 do
que de 600.
550
está no meio
de 500 e
600.
Quando um número
está precisamente no
meio, entre outros dois,
arredonda-se para a
centena seguinte.
a) 165 200
b) 312 300
c) 850 900
d) 10381000
e) 2050 2100
f) 6999 7000
g) 41684 41700
h) 380609 380600
575 está
mais próximo
de 600 do
que de 500.
R$ 78,00
R$ 33,00
R$ 21,00
R$ 587,00
R$ 812,00
R$ 128,00
Situação 2
Situação 1
Ilustrações:
Hélio
Senatore
Ilustrações:
Hélio
Senatore
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44. 44
Seção livre
Calculadora – usando as teclas de memória
Em nosso cotidiano, fazemos muitas contas, não é? Para isso, usamos cálculo mental,
papel e lápis e, quando necessário, a calculadora.
Para fazer bom uso da calculadora, precisamos aprender a operá-
-la, conhecendo seus recursos. As calculadoras, mesmo as mais
simples, têm as chamadas teclas de memória M, M e MRC .
• As teclas M e M servem para guardar na memória da
calculadora o resultado de uma operação que depois será usado
em outra operação.
• A tecla MRC resgata as informações da memória.
Aprenderemos a usá-las resolvendo um problema.
Luís e Márcio estão numa loja de brinquedos. Luís tem
R$119,00 e Márcio R$ 76,00. Juntaram essas quantias para comprar
três jogos que custam R$ 39,00, R$ 83,00 e R$ 54,00.
Quanto do dinheiro que levaram vai sobrar depois da compra?
Na calculadora, digitamos:
119 + 76 M Aparece 195.
(Somamos as quantias que eles possuem e guardamos na memória.)
Em seguida digitamos: 39 + 83 + 54 M Aparece 176.
(Somamos os preços dos jogos e guardamos o total na memória, avisando que será subtraído.)
Apertamos então a tecla MRC para chamar os dados da memória.
Aparece 19, pois a calculadora efetuou 195 – 176 = 19.
Sobrarão R$ 19,00 do dinheiro que Luís e Márcio levaram.
Terminado o cálculo, aperte a tecla MRC novamente para limpar a memória e a tecla ON/C
para voltar ao zero no visor.
Fácil e útil, não?
Use a calculadora e as teclas de memória
para resolver o problema a seguir.
• Priscila compra sapatilhas de uma fábrica
para revender em sua loja. Ela escolheu
uma dúzia de sapatilhas que custam
R$ 18,00 cada e duas dúzias de um
modelo mais caro: R$ 29,00 cada uma.
Quanto Priscila gastará no total?
12 18 M+ 24 29 M+ MRC
R$ 912,00
Thorsten
Rust/iStockphoto.com
Delfim
Martins/Pulsar
Imagens
◆ Linha de produção de indústria de calçados. Ivoti, RS.
44
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45. A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 45
Digital
Vision/Thinkstock
29 (OM-MG) Quanto é?
12345 2345 345 45 5
30 (Prominp) Cláudio estava no 6o
degrau
de uma escada. Desceu 4 degraus e, depois,
subiu 6. Para atingir o 7o
degrau, Cláudio deve:
a) subir 1 degrau. c) subir 2 degraus.
b) descer 1 degrau. d) descer 2 degraus.
31 Copie e complete as igualdades.
a) 629 1243
b) 309 5041
c) 8782 8072
32 (Fesp-RJ) Os pais de Carlos
casaram-se em 1988 e ele nas-
ceu três anos depois. Carlos
completou 18 anos no ano de:
a) 2006 c) 2009
b) 2008 d) 2010
33 (Saresp) A tabela mostra a distribuição dos
alunos dos 3 turnos de uma escola, de acordo
com o sexo.
1o
turno 2o
turno 3o
turno
Meninas 135 120 105
Meninos 120 115 125
É correto afirmar que:
a) a escola tem um total de 360 alunos.
b) todos os turnos têm o mesmo número de
alunos.
c) o número de meninas é maior que o de me-
ninos.
d) o terceiro turno tem 230 alunos.
10305
X
614
4732
710
X
X
34 (FESP-RJ) Uma pessoa quer trocar duas
cédulas de 100 reais por cédulas de 5 reais,
10 reais e 50 reais, recebendo cédulas de to-
dos esses valores e o maior número possível
de cédulas de 50 reais. Nessas condições,
qual é o número mínimo de cédulas que ela
poderá receber?
a) 8 c) 10
b) 9 d) 11
35 (IBGE) O primeiro censo brasileiro foi
realizado em 1872. Na época, o Brasil
era uma monarquia e ainda existia escra-
vidão. Foram contadas 9930480 pessoas, das
quais 1510806 foram declaradas escravas. Em
1872, quantas pessoas foram declaradas não es-
cravas no Brasil?
36 Observe o quadro com informações
do Censo 2010 e responda às questões
utilizando uma calculadora.
Cidade População
São Paulo 10931749
Rio de Janeiro 6143046
Belo Horizonte 2304377
Salvador 2593768
Fortaleza 2397176
Fonte: IBGE.
a) Qual é a cidade com maior população?
b) Qual é a população total dessas cidades?
c) Quantos habitantes Salvador tem a mais
que Belo Horizonte?
d) Qual é a diferença em número de habitantes
entre a cidade mais e a menos populosa?
X
8 419 674 pessoas
São Paulo.
24370116 habitantes
289391 habitantes
8627372 habitantes
Arquivo
particular
Andre
Vicente/Folhapress
Revisando
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46. 46
Desafios
Desafios
37 (Vunesp) Observe a pirâmide de números:
2
7
x
5
27
15
6
35
15
8
3
47
20
12
9
Qual é o número que deve substituir a letra x,
assim que a pirâmide for preenchida com nú-
meros naturais, de acordo com a regra fixada? 82
38 (NCE-UFRJ) Do lado de cá somos 84; do lado
de lá, são 72. Se 32 dos de cá forem para lá e 43
dos de lá vierem para cá, então a diferença entre a
quantidade final dos de cá e dos de lá será:
a) 23
b) 34
c) 38
d) 41
39 A rodovia que liga as cidades A e B mede
180 km. Percorrendo a rodovia, Ari saiu de A
para B e andou 87 km; Jair saiu de B em direção
a A e percorreu 52 km. Que distância os separa?
87 km 52 km
A 180 km B
40 Foi feita uma pesquisa entre os 50 alunos
de uma classe para saber quantos gostavam ou
não de MPB (Música Popular Brasileira). Parte
do resultado da pesquisa encontra-se na tabela:
38
5
22
Rapazes Garotas Total
Gostam de MPB 17
Não gostam de MPB 12
Total 28 50
21
7
a) Quantos rapazes gostam de MPB? 21 rapazes
b) Quantas garotas não gostam de MPB? 5 garotas
c) Qual é o total de garotas nessa classe? 22 garotas
Cá: 84 32
⎯→ 52 43
⎯→ 95
Lá: 72 32
⎯→ 104 43
⎯→ 61
Diferença 95 61 34
x
41 km
41 Fabiana tem 37 CDs. A sua amiga Flávia
disse-lhe: “Se você me desse 10 dos seus CDs,
ficaríamos as duas com o mesmo número de
CDs”. Quantos CDs tem Flávia? 17 CDs
42 (Obmep) Mariana, ao comprar uma blusa
de R$ 17,00, enganou-se e deu ao vendedor
uma nota de R$ 10,00 e outra de R$ 50,00. O
vendedor, distraído, deu o troco como se Ma-
riana lhe tivesse dado duas notas de R$ 10,00.
Qual foi o prejuízo de Mariana?
43 Uma professora quer comprar exatamen-
te 123 bombons. Na doceria, só há caixas de
dez, cinco ou dois bombons. Como ela poderá
fazer a compra?
Compare sua resposta com a de seus colegas.
44 (Obmep) O aniversário de Carlinhos é no
dia 20 de julho. Em agosto de 2005, ao pre-
encher uma ficha em sua escola, Carlinhos
inverteu a posição dos dois últimos algaris-
mos do ano em que nasceu. A professora que
recebeu a ficha disse: – Carlinhos, por favor,
corrija o ano de seu nascimento, senão as
pessoas vão pensar que você tem 56 anos!
Qual a idade de Carlinhos? 11 anos
R$ 40,00; 50 – 10 = 40
Existem várias soluções. Por exemplo:
10 caixas de 10 bombons 100
3 caixas de 5 bombons 15
4 caixas de 2 bombons 8 123
• 2005 – 56 = 1949
• Ele deveria ter escrito 1994.
• 2005 – 1994 = 11
Dica:
a b
ab
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
Hélio
Senatore
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47. A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 47
Exercícios
Autoavaliação Anote, em seu caderno, o número do exercício
e a letra correspondente à resposta correta.
45 (Obmep) Quanto é 99 999 + 9999?
a) 9997 c) 11007
b) 10997 d) 11097
46 (Prominp) A tabela abaixo apre-
senta a quantidade de calorias, por
100 gramas, de algumas frutas.
Fruta
Calorias
por 100 g
Abacaxi 52
Banana 88
Maçã 64
Mamão 67
Morango 39
Pêssego 52
Uva 78
Disponível em: www.terra.com.br/saude/calorias.htm.
Acesso: em maio 2011.
Para preparar meio quilo de salada de frutas,
Carla misturou 100 g de morango, 100 g de
banana, 100 g de abacaxi, 100 g de mamão e
100 g de uva. Levando-se em consideração os
dados apresentados na tabela, quantas calorias
tem a salada de frutas que Carla preparou?
a) 324 c) 362
b) 340 d) 388
47 (Vunesp) Um grande mágico se apresen-
tou no Teatro Municipal, cuja lotação é de 650
pessoas.
Observando a frequência do público (adultos e
crianças) na tabela, pode-se afirmar que o dia em
que o Teatro ficou completamente lotado foi:
5a
-
-feira
6a
-
-feira
Sábado Domingo
Adultos 239 228 297 252
Crianças 307 324 353 298
a) quinta-feira c) sábado
b) sexta-feira d) domingo
x
x
x
g é o símbolo
de grama
48 (Cesgranrio-RJ) O Bra-
sil começou o ano com um
forte ritmo de contratações
com carteira assinada. O
gráfico abaixo apresenta o
número de empregos com
carteira assinada criados em
alguns setores da economia,
em janeiro de 2010.
Quantas vagas com carteira assinada a cons-
trução civil ofereceu a mais do que o setor
agropecuário, em janeiro de 2010?
a) 49953 c) 51213
b) 50187 d) 53746
49 (Vunesp) A tabela mostra o clima durante
uma semana.
Dia da
semana
Manhã Tarde Noite
2a
sol nublado chuva
3a
nublado chuva chuva
4a
nublado nublado nublado
5a
sol sol estrelado
6a
sol sol nublado
sábado chuva nublado nublado
domingo sol sol estrelado
É correto afirmar que nessa semana o total de
períodos de chuva e de sol superam o total de
períodos nublados em:
a) 1 c) 3
b) 2 d) 4
x
x
Indústria de
transformação
68920
Serviços 57889
Construção Civil 54330
Agropecuária 4143
Serviços de
água, luz e gás
2538
Indústria extrativa 1192
A D I Ç Ã O E S U B T R A Ç Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 47
Arquivo
particular
DAE
Fernando
Favoretto/Criar
Imagem
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48. Exercícios
48
57 Daniel tem na sua carteira uma nota de
5 reais, uma moeda de 1 real e uma nota de
2 reais. Qual dos seguintes valores Daniel não
pode pagar sem receber troco?
50 A diferença entre o número cento e vinte
mil e o número trinta mil e dois é:
a) 89998
b) 80098
c) 90098
d) 90002
x
51 Mauro completou
a conta com os núme-
ros que faltavam.
Ele cometeu um erro na coluna de:
a) unidades.
b) dezenas.
c) centenas.
d) milhares.
x
52 Veja a representação de uma adição em que
os algarismos A, B e C são desconhecidos.
Qual é o valor da soma A + B + C?
A 7
B 9
C 5
a) 165
b) 19
c) 21
d) 26
x
53 Abaixo está representada uma subtração.
Os algarismos A, B, C e D são, respectivamente:
a) 2, 5, 9, 8
b) 4, 5, 8, 9
c) 4, 5, 1, 8
d) 4, 5, 9, 8
x
54 (OJM-SP) Dom Pedro II, imperador do
Brasil, que morreu em 1891, com
66 anos de idade, começou a reinar
quando fez 15 anos. Em que ano ele
começou a reinar?
55 (Cesgranrio-RJ) Uma pesquisa realizada
com 500 empresas mostrou que somente 120
utilizam papel reciclado. A diferença entre
o número de empresas pesquisadas que não
usam e que usam papel reciclado é:
a) 260
b) 300
c) 340
d) 380
x
56 Um dado comum foi lançado sobre uma
mesa.A soma de todas as faces visíveis vale 17. O
valor da face que está em contato com a mesa é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
x
a) 4 reais b) 6 reais c) 7 reais d) 8 reais
x
58 Um pai tem 35 anos, e seus filhos, 6, 7 e
9 anos. Daqui a 8 anos, a soma das idades dos
três filhos menos a idade do pai será de:
a) 2 anos.
b) 3 anos.
c) 11 anos.
d) 13 anos.
x
14 + 15 + 17 – 43 = 3
59 (Obmep) Considere dois números naturais,
cada um deles com três algarismos diferentes. O
maior deles só tem algarismos pares e o menor
só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre
eles é a maior possível, qual é essa diferença?
a) 507 b) 531 c) 777 d) 729
x
864 – 135 = 729
a) 1810
b) 1840
c) 1825
d) 1876
x
1891 – 66 = 1825
1825 + 15 = 1840
D 8 B 6 2 C 1 A
5 9 4 2
A 3 C 5 B 8
1 3 3 3
Fotos:
Arquivo
particular
Ilustra
Cartoon
Hélio
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49. M U LT I P L I C A Ç Ã O E D I V I S Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 49
Acompanhe:
• Temos 78 camisetas vendidas por R$ 12,00
cada:
Para simplificar o registro dessa operação,
fazemos:
Portanto, foram arrecadados R$ 936,00.
Existem dois sinais que indicam multiplicação: ou .
Usaremos com mais frequência o ponto, para
evitar que o sinal da multiplicação seja confundido
com a letra x.
Multiplicação e divisão
de números naturais
12 12 12 12 12 .... 12
78 parcelas iguais a 12
1. As ideias da multiplicação
A turma do 6o
ano de certa escola mandou confeccionar camisetas e pretende, com a venda
delas, conseguir dinheiro para uma excursão.
Foram vendidas 78 camisetas por R$ 12,00 cada uma. Quanto foi arrecadado?
78 12 78 12 936
UNIDADE 4
UNIDADE
78 12 936
Multiplicação
Usamos a multiplicação para registrar
uma adição de parcelas iguais.
3 3 3 3 4 3 12
4 parcelas iguais a 3
4 4 4 3 4 12
3 parcelas iguais a 4
Os números multiplicados são chama-
dos fatores e o resultado é o produto.
5 2 10 ou 5 2 10
fator fator produto
Lápis
Mágico
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Camisetas
Complementos
Além das camisetas, os alunos encomendaram chaveiros, bonés e porta-lápis. Montaram kits
contendo uma camiseta e um dos outros itens: boné, chaveiro ou porta-lápis.
Uma tabela mostra quantas opções diferentes de kits eles podem montar.
Com duas cores de camiseta e três tipos de complemento, os alunos podem montar seis opções
diferentes de kit:
Multiplicando o número de cores de camiseta pelo
número de tipos de complemento, obtivemos o número
de opções diferentes de kits com uma camiseta e um
complemento.
A multiplicação é aplicada na contagem de possibili-
dades.
Lembrando o algoritmo
Contando possibilidades
Com três cores de camiseta
e quatro tipos de complemento,
quantos kits diferentes poderiam
ser montados?
2 3 6
3 4 12; 12 kits
Nos algoritmos, usa-se o sinal para indicar multiplicação.
12 78 Veja como foi feito o cálculo ao lado:
96 8 vezes 12 unidades 8 unidades 12 unidades 96 unidades
840 70 vezes 12 unidades 7 dezenas 12 unidades 840 unidades
936 96 840 936
É comum usarmos nomes especiais para indicar algumas multiplicações. Exemplos:
• O dobro de 6 é o mesmo que 2 6.
• O triplo de 7 é o mesmo que 3 7.
• O quádruplo de 3 é o mesmo que 4 3.
• O quíntuplo de 2 é o mesmo que 5 2.
Ilustrações:
Hélio
Senatore
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51. M U LT I P L I C A Ç Ã O E D I V I S Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 51
Exercícios
1 Numa papelaria há
15 caixas com 12 lápis
em cada uma.
3 Escreva no caderno duas multiplicações que
representem o número de caixas de leite da figura.
5 2, 2 5 ou 10 1
4 Determine os produtos.
Responda no caderno.
a) 3 7
b) 7 3
c) 8 9
d) 9 8
e) O que você observa nos resultados dos
itens a e b? São iguais.
f) O que você observa nos resultados dos
itens c e d? São iguais.
g) O que você pode concluir?
Trocando a ordem dos fatores, o produto não se altera.
5 Calcule mentalmente.
6 O que acontece com o produto quando
um dos fatores da multiplicação é igual a zero?
O produto também é zero.
7 Sabendo que:
escreva o valor dos seguintes produtos, sem
efetuar cálculos:
a) Para calcular de forma
mais rápida o número
total de lápis, podemos
fazer uma operação. Que
operação é essa? Multiplicação.
b) Que nome se dá aos números 15 e 12 nessa
operação? Fatores.
c) Qual é o valor do produto? 180
2 Represente o número de xícaras:
a) usando o sinal ; 3 3 3 3
b) usando o sinal . 4 3
a) 15 37 555 b) 21 37 777
Nos itens a e b o produto é 21; em c e d o produto é 72.
3 37 111
6 37 222
9 37 333
12 37 444
a) 9 4 1 36 f) 25 60 0 0
b) 7 3 10 210 g) 63 2 50 6 300
c) 605 1000 605000 h) 2000 1 15
d) 2 18 5 180 i) 27 2 5 5 2
e) 39 4 25 3900 j) 96 200 5 96000
30000
2700
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
Hélio
Senatore
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52. 52
6 4 8 2 3
1 9 4 4
1 2 9 6
1 4 9 0 4
13 O piso de uma cozinha está sendo revesti-
do com cerâmica quadrada. Já foram colocadas
9 cerâmicas, como mostra a figura abaixo.
14 Quantas caixas de sapato estão empilha-
das na loja? 140 caixas
8 Calcule os produtos.
a) 6 · 10 60
b) 45 · 10 450
c) 4 · 100 400
d) 59 · 100 5900
e) 7 · 1000 7000
f) 82 · 1000 82000
g) O que você observa nos resultados dos
itens a e b?
h) O que você observa nos resultados dos
itens c e d?
i) O que você observa nos resultados dos
itens e e f?
Foi acrescentado um zero à direita do último alga-
rismo do primeiro fator.
Foram acrescentados dois zeros à direita do último
algarismo do primeiro fator.
Foram acrescentados três zeros à direita do último
algarismo do primeiro fator.
9 Um saco de cimento pesa 50 kg. Calcule
mentalmente.
a) Quanto pesam 10 sacos de cimento? 500 kg
b) Quanto pesam 100 sacos de cimento? 5 000 kg
10 Calcule mentalmente. 7280
a) 1958
b) 2050
c) 3958
d) 10066
x
11 O produto de dois números é 30. Multiplican-
do-se cada um dos fatores por 3 o produto fica:
a) o mesmo.
b) aumentado de 6 unidades.
c) multiplicado de 6.
d) multiplicado por 9.
x
12 Efetue a multiplicação no caderno comple-
tando-a com os algarismos representados por .
a) b)
1 3 7 5 2
2 7 4
6 8 5
7 1 2 4
Quantas cerâmicas faltam para cobrir o piso
da cozinha? 15 cerâmicas
15 Do triplo de dois mil e quatro, subtraindo-se
o dobro de dois mil e vinte e sete obtém-se:
16 Flávia tem 7 anos de idade e sua irmã Daniela
tem o dobro da sua idade. O pai das meninas
tem o dobro da idade das duas juntas. Quantos
anos tem o pai de Flávia e Daniela? 42 anos
17 Somandooquádruplode135comoquíntuplo
de 206, obtemos:
a) 1560
b) 1570
c) 1300
d) 1499
x
728 728 728 728 728 728 728 728 728 728
Responda no caderno.
6 8 3
1 9
1 9 6
1 9 0
1 3 7 2 7 4
7 1 2 4
Ilustra
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53. M U LT I P L I C A Ç Ã O E D I V I S Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 53
19 Uma loja oferece os seguintes carros com
as cores:
20 (Saresp) Para montar um sanduíche, tenho
disponíveis os seguintes ingredientes:
a) Em que dia da semana foram servidas menos
refeições? Quarta-feira.
b) Qual é o total de refeições servidas durante
a semana? 575 refeições
c) Se o custo de cada refeição é R$ 3,00,
quanto se gasta semanalmente? R$ 1.725,00
22 (OBM) A calculadora de Juliana é bem di-
ferente. Ela tem uma tecla D, que duplica o
número escrito no visor, e a tecla T, que apaga
o algarismo das unidades do número escrito
no visor. Assim, por exemplo, se estiver escri-
to 123 no visor e apertamos D, teremos 246;
depois, apertando T, teremos 24. Suponha que
esteja escrito 1999. Se apertarmos D, depois T,
em seguida D, depois T, teremos o número:
a) 96
b) 98
c) 79
d) 99
Quantas escolhas possíveis tem um consu-
midor? 3 · 4 = 12, ou seja, 12 escolhas
18 De quantas maneiras diferentes este garoto
pode ir de A até C, passando por B, sabendo-se
que: 6, pois 2 · 3 = 6
21 Observe o gráfico.
De quantas formas diferentes poderia montar
meu sanduíche combinando um ingrediente
de cada coluna? 8 formas
✓ de A para B existem 2 caminhos diferentes;
✓ de B para C existem 3 caminhos diferentes.
A B C
Pão Recheio
Verdura/
Legume
de forma queijo alface
de leite presunto tomate
aryaphoto1000/Dreamstime.com
x
Quantidade de refeições servidas
em uma escola
150
125
100
75
50
25
0
seg. ter. qua. qui. sex. Dia da
semana
Quantidade de refeições
(em unidades)
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
DAE
Hélio
Senatore
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54. 54
Com a venda dos kits, os alunos arre-
cadaram R$ 1.965,00. Quantos kits foram
vendidos, se cada um custava R$ 15,00?
A divisão permite descobrir essa quan-
tidade.
Como fazer essa divisão?
Não dá para dividir 1 por 15.
Mas 1 unidade de milhar 10 centenas e, como já temos 9 centenas
no número 1965, ficamos com 10 centenas 9 centenas 19 centenas.
Dividimos 19 centenas por 15. Dá 1 e restam 4 centenas.
4 centenas 40 dezenas
40 dezenas 6 dezenas 46 dezenas
Dividimos agora 46 dezenas por 15. Dá 3 e resta 1 dezena.
1 dezena 10 unidades
10 unidades 5 unidades 15 unidades
Finalmente dividimos 15 unidades por 15.
Dá 1 e resta zero.
Esta é uma divisão exata, pois o resto é zero.
Portanto, os alunos desse 6o
ano venderam 131 kits.
2. A divisão
Lembra-se dos kits dos alunos do 6o
ano? Ideias associadas à divisão
Usamos a divisão para repartir uma quan-
tidade em partes iguais ou descobrir quantas
vezes uma quantidade cabe em outra.
Numa divisão temos:
dividendo 20 8 divisor
resto 4 2 quociente
Com 20 podemos formar 2 grupos de 8 e
restam 4. Ou, ainda, 8 cabe 2 vezes em 20 e
restam 4.
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• •
• •
20 8 8 4 2 8 4
Lembre-se:
• o resto é sempre menor que o divisor;
• se o resto é zero, a divisão é exata.
1 965 15
46 1 3 1
15
0
1 965 15
1 965 15
4 1
1 965 15
46 1
1 965 15
46 1 3
15
1 965 15
46 1 3
1
1965 : 15 ?
Ilustrações:
Hélio
Senatore
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55. M U LT I P L I C A Ç Ã O E D I V I S Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 55
Para saber quantos kits foram vendidos, você também poderia raciocinar assim:
• Vendendo 100 kits, os alunos arrecadariam 15 100 1 500 reais:
1 965 15
1 500 100
465
1965 1500 465 (Ficam faltando 465 reais para completar o valor arrecadado.)
• Por aproximação, podemos colocar mais 30 kits, pois 30 15 450.
465 15
450 30
15
• Como 465 450 15, sobram 15 reais, que correspondem a mais 1 kit.
15 15 15 1
0
• Finalmente, 100 30 1 131.
Você quer sugerir outro
procedimento para efetuar
essa divisão? Vá em frente!
Mostre-o aos seus colegas!
Quem vai ao quadro cal-
cular quantos kits precisam
ser vendidos para arrecadar
R$ 3.120,00? 208 kits
Repare que, ao dividir 1965 por 15, qualquer dos raciocínios feitos levou ao mesmo
resultado: foram vendidos 131 kits.
Lápis
Mágico
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56. 56
Qual é o dividendo? Qual é o divisor?
? 12 77 ?
3 5 5 9
Nas divisões a seguir, o que aconteceu com o quo-
ciente quando multiplicamos o dividendo e o divisor
pelo mesmo número natural diferente de zero? Teste
suas observações em outros exemplos semelhantes.
8 2 24 6 240 60 480 120 etc.
quociente divisor resto dividendo
Veja exemplos:
• Divisão não exata
45 6
3 7
7 6 42
42 3 45, que é o dividendo.
• Divisão exata
24 8
0 3
8 3 24
24 + 0 = 24, que é o dividendo.
0 4 3 3 10 2 2 10
0 4
0 4 0 4
Multiplicação e divisão: operações inversas
A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Acompanhe:
: 4 : 6
7 28 5 30 4 6
Vamos recorrer à ideia de operação inversa para ver como o zero se comporta nas divisões.
Por exemplo, 0 : 4 0.
Veja que esse exemplo faz sentido: zero objeto dividido em 4 partes dá zero para cada parte,
pois 0 4 0. Até aí, tudo bem. E 4 : 0?
O resultado de 4 : 0 deveria ser o número que, multiplicado por zero, resultasse 4. Não há número
que, multiplicado por zero, dê 4. Então, é impossível efetuar 4 : 0.
Fizemos esse raciocínio para o caso particular de 4 : 0.
No entanto, ele é válido para qualquer outro exemplo de divisão por zero.
Relação fundamental da divisão
Em todas as divisões temos:
63 8
Conclusão: É impossível dividir por zero, ou seja, o zero nunca pode ser divisor.
Tente descobrir
mentalmente.
Quando multiplicamos o dividendo e o divisor pelo mesmo número natural
diferente de zero, o quociente não muda.
Ilustra
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Lápis
Mágico
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57. M U LT I P L I C A Ç Ã O E D I V I S Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 57
Exercícios
23 Observe as divisões e responda:
Estão certas ou erradas? Por quê?
Erradas; porque o resto é maior que o divisor.
29 4
1 7
121 17
2 7
a) Quais os valores possíveis do resto nesta di-
visão? 0, 1, 2 ou 3
b) Que números naturais podem ser escritos
no dividendo? 60, 61, 62 ou 63
26 Calcule mentalmente.
28 Complete o quadro no caderno sem efe-
tuar qualquer cálculo.
14 35 490 490 : 14 490 : 35 700 : 28 25 25 28 700 : 25 35 14
28
700
24 Um garoto sujou com tinta um papel no
qual estavam escritas duas divisões.
a) b)
Você consegue reconstituí-las?
25 O dividendo e o resto desta divisão foram
apagados:
a) 27 : 3 9
b) 80 : 4 20
c) 70 : 2 35
d) 120 : 6 20
e) 95 : 5 19
f) 74 : 74 1
g) 0 : 29 0
h) 420 : 7 60
i) 900 : 10 90
j) 6000 : 100 60
27 Calcule:
a) a soma de 28 com metade de 12; 34
b) a diferença entre o triplo de 7 e a terça par-
te de 30; 11
c) a quinta parte de metade de 120. 12
29 Nos jogos válidos de um campeonato de fu-
tebol, cada vitória dá ao time 3 pontos, enquanto
cada empate vale 1 ponto. Se perder, o time não
ganha pontos. Um jornal publicou uma tabela
com a classificação dos três melhores times. En-
tretanto, três números da tabela não puderam ser
identificados, sendo substituídos pelas letras x, y e
z, conforme é mostrado abaixo:
Time
Pontos
ganhos
No
de
vitórias
No
de
empates
Corinthians x 8 0
Vasco y 6 1
Cruzeiro 17 z 2
Calcule o valor de:
a) x 24 b) y 19 c) z 5
167 5 268 3
17 32 28 88
7 4
Alexandre
Tokitaka/Pulsar
Imagens
4
15
Ilustra
Cartoon
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58. 58
3. Expressões numéricas
Na língua portuguesa encontramos expressões como:
E muitas outras expressões.
Na Matemática, encontramos as expressões numéricas, que envolvem números e operações.
Quando efetuamos uma expressão numérica, chegamos a um número.
3 2 7 é uma expressão numérica que envolve adição e multiplicação. Como podemos
efetuá-la?
Sabemos que 2 7 7 7.
Então: 3 2 7 3 7 7 17
3 2 7 3 14 17
A multiplicação deve ser efetuada antes da adição.
Para resolver expressões numéricas, as operações devem
ser efetuadas na seguinte ordem:
1o
) As multiplicações e as divisões na ordem em
que aparecem na expressão (da esquerda
para a direita).
2o
) As adições e as subtrações na ordem em
que aparecem na expressão (da esquerda para a direita).
Silêncio!
Que calor! Até amanhã!
O número 3 deve ser
somado a 7 + 7.
Então, o
resultado da expressão
do nosso exemplo é 17, pois
devemos fazer primeiro a
multiplicação e depois
a adição.
Ilustrações:
Lápis
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59. M U LT I P L I C A Ç Ã O E D I V I S Ã O D E N Ú M E R O S N AT U R A I S 59
Que tal mais alguns exemplos? Observe:
Muitas vezes utilizamos uma expressão numérica para representar e resolver um problema.
Veja os exemplos:
1. Dona Zélia comprou 2 kg de muçarela e 3 kg de linguiça,
pagando por quilo o preço anunciado no cartaz ao lado.
Se ela pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, quanto
recebeu de troco?
Podemos descobrir a resposta resolvendo a expressão
numérica que representa o problema.
Dos R$ 50,00 devemos tirar:
• 2 kg de muçarela a R$ 7,00 o quilo: 2 7
• 3 kg de linguiça a R$ 4,00 o quilo: 3 4
A expressão fica:
50 2 7 3 4 (Vamos efetuar primeiro as multiplicações.) 50 14 12 36 12 24
Então, ela recebeu R$ 24,00 de troco.
No exemplo 2, vamos encontrar uma situação nova. Acompanhe.
2. Durante a semana, Ana preparou deliciosos pães de mel
para vender às freguesas no sábado e no domingo. Para con-
trolar a produção, utilizou a tabela ao lado.
Os pães de mel serão embalados em caixas com 6 unidades.
Ana precisa da nossa ajuda para calcular de quantas caixas ela
vai precisar.
Para resolver o problema, devemos calcular o total de
pães de mel produzidos na semana e, depois, dividir esse
total por 6.
No entanto, se escrevermos a expressão 47 59 42 44 54 : 6 e obedecermos às
regras que determinam a ordem das operações, teremos de efetuar primeiro a divisão e depois a
adição. Não é o que queremos!
Mas Ana não precisa se preocupar, pois existem regras para evitar esse tipo de erro.
Para indicar que certas operações devem ser feitas antes de outras, usaremos símbolos:
( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
2 9 : 3 5 18 : 3 5 6 5 1
18 3 : 3 7 3 2 18 1 21 2 17 21 – 2 38 2 36
Ilustrações:
Ilustra
Cartoon
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