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Uma volta completa do ponteiro grande (360 graus) corresponde ao movimento de 1/12 do ponteiro pequeno (30 graus). Como calcular o maior ângulo de um relógio?Primeiro, você precisa saber que entre um número no relógio e seu vizinho há 30∘ de separação (basta dividir 360÷12); desta maneira, entre o 2 e o ∘. Agora só falta saber a medida do ângulo y para somar com os 210∘.... Respostas (1)
Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio?Logo, se o ponteiro das horas descreve um ângulo de 5º em 10 minutos, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 10h10min é 115º. Qual é a medida do ângulo escrito pelo ponteiro das horas de um relógio no intervalo de tempo de uma hora?a) O ponteiro grande dá uma volta completa para descrever uma hora, logo, forma um ângulo de 360°. Qual é a medida dos dois ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às 5 horas?Os ângulos formados são 90º e 270º.
Qual é o maior ângulo do relógio?II - O menor ângulo formado pelos ponteiros pertence ao relógio B, sendo o seu maior ângulo igual à 270°. III - O maior ângulo formado pelos ponteiros do relógio C é igual à 210º. Qual o maior ângulo?Qual é a classificação dos ângulos?
Qual o valor do menor ângulo?Classificação dos ângulos Um ângulo pode ser classificado de acordo com a sua medida. Além de nulo (ângulo de 0º), um ângulo pode ser agudo, reto, obtuso, raso, côncavo ou inteiro. Ângulo agudo: quando sua medida é um número maior que 0 e menor que 90º.
Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando são 3 horas e 44 minutos *?180º anguthcagon está aguardando sua ajuda. Inclua sua resposta e ganhe pontos. Como identificar os ângulos dos relógios?
Como calcular o ângulo interno de um relógio?
Qual o ângulo recto do relógio?
Qual a medida dos ângulos do relógio analógico?
A trigonometria estuda as relações entre ângulos e lados de um triângulo. Para um triângulo retângulo definimos as razões: seno, cosseno e tangente. Essas razões são muito úteis para resolver problemas onde precisamos descobrir um lado e conhecemos a medida de um ângulo, além do ângulo reto e um dos seus lados. Portanto, aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de concursos. A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância? Considere: sen 40º = 0,64 cos 40º = 0,77 tg 40º = 0,84
Resposta correta: 5 120 m de altura. Vamos começar o exercício representando na figura a altura do avião. Para isso, basta desenhar uma reta perpendicular à superfície e que passa pelo ponto onde o avião se encontra. Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto oposto ao ângulo dado. Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura: Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura. Questão 2Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a medida x da largura casa. Considere: sen 55º = 0,82 cos 55º = 0,57 tg 55º = 1,43
Resposta correta: largura de 0,57 m ou 57 cm. Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, ao dividir a placa ao meio, a medida de cada lado do telhado será igual a 0,5 m. O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e uma reta na direção horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um triângulo isósceles (dois lados de mesma medida). Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a sua base em segmentos de mesma medida que chamamos de y, conforme figura abaixo: A medida y será igual a metade da medida de x, que corresponde a largura da casa. Desta forma, temos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e procuramos a medida de y, que é o cateto adjacente ao ângulo dado. Assim, podemos usar o cosseno de 55º para calcular esse valor: Como a largura da casa é igual a duas vezes essa medida, então temos: largura da casa = 2. 0,285 = 0,57 Assim, a maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm. Veja também: Seno, Cosseno e Tangente Questão 3Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500 m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto. Considere: sen 20º = 0,34 cos 20º = 0,93 tg 20º = 0,36
Resposta correta: 181,3 m. Observando o desenho, notamos que o ângulo visual é de 20º. Para calcular a altura do morro, iremos usar as relações do seguinte triângulo: Como o triângulo é retângulo, iremos calcular a medida x usando a razão trigonométrica tangente. Escolhemos essa razão, visto que conhecemos o valor do ângulo do cateto adjacente e estamos procurando a medida do cateto oposto (x). Assim, teremos: Como o menino tem 1,30 m, a altura do morro será encontrada somando-se este valor ao valor encontrado para x. Assim, teremos: h = 180 + 1,3 =181,3 Logo, a altura do morro será igual a 181,3 m. Veja também: Trigonometria no Triângulo Retângulo Questão 4Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.
Resposta correta: 21,86 m. No desenho, ao efetuarmos a projeção do ponto B no prédio que Pedro está observando, dando a ele o nome de D, criamos o triângulo isósceles DBC. O triângulo isósceles possui dois lados iguais e, portanto, DB = DC = 8 m. Os ângulos DCB e DBC possuem o mesmo valor, que é 45º. Observando o triângulo maior, formado pelos vértices ABD encontramos o ângulo de 60º, pois subtraímos o ângulo de ABC pelo ângulo de DBC. ABD = 105º - 45º = 60º. Sendo assim, o ângulo DAB é de 30º, já que a soma dos ângulos internos deve ser 180º. DAB = 180º - 90º - 60º = 30º. Utilizando a função tangente, , encontramos a medida do lado AD, que corresponde ao cateto adjacente do triângulo ABD. O cateto oposto possui o valor de 8m.
A altura do prédio representa a distância entre os vértices A e C, sendo assim: AC = = 13,86 m + 8 m AC = 21,86 m Portanto, a altura do prédio é de 21,86 m. Veja também: Razões Trigonométricas Questão 5João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.
Resposta correta: 12,5 cm. Como a escada forma um triângulo retângulo, o primeiro passo para responder à questão é encontrar a altura da rampa, que corresponde ao cateto oposto.
Se a altura da escada é de 1m e ela possui 8 degraus, então dividindo a altura por 8 encontraremos a altura de cada degrau.
Portanto, cada degrau apresenta a altura de 0,125 m ou 12,5 cm. Veja também: Trigonometria Questão 6O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados iguais e, consequentemente, dois ângulos iguais formados com a base. Observe a figura abaixo e determine a medida dos lados congruentes deste triângulo.
Resposta correta: Pela lei dos senos, em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:
Substituindo pelos valores da figura, podemos calcular o valor de x.
Para eliminar a raiz quadrada do denominador devemos racionalizá-lo.
Portanto, os lados congruentes possuem a medida de . Veja também: Relações Trigonométricas Questão 7Ana estava estudando trigonometria para prova. Ao fazer uma pausa, ela olhou para o relógio e percebeu que ele estava parado em 2h40 min, pois havia acabado a pilha. Para testar se realmente seus estudos estavam indo bem, Ana resolveu calcular a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros do relógio. Qual o ângulo formado quando o relógio marca 2h40 min?
Resposta correta: 160º. Um relógio é uma circunferência e, portanto, a soma dos ângulos internos resulta em 360º. Se dividirmos por 12, o número total escrito no relógio, encontramos que o espaço entre dois números consecutivos corresponde a um ângulo de 30º. Do número 2 ao número 8 percorremos 6 marcas consecutivas e, por isso, o deslocamento pode ser escrito da seguinte forma: A partir disso, podemos calcular o valor de , que corresponde ao ângulo de 2h40 min, fazendo subtração:
Sabendo que em 1h, ou 60 min, o ponteiro forma um ângulo de 30º, realizamos uma regra de três para encontrarmos o ângulo que corresponde a 40 min.
Sendo assim, o ângulo de 2h40 min é: Observe o triângulo acutângulo abaixo e determine o comprimento do lado AC e o ângulo formado no vértice A.
Resposta correta: b = 7,82 e ângulo 52º. Primeira parte: comprimento do lado AC Pela representação, observamos que temos as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado cuja medida queremos encontrar. Para calcular a medida de b, precisamos utilizar a lei dos cossenos:
Portanto: Segunda parte: medida do ângulo no vértice A Para determinar a medida do ângulo no vértice A, podemos utilizar a lei dos senos:
Consultando uma tabela trigonométrica, podemos observar que o resultado 0,7837 está mais próximo do seno de 52º. Portanto, 52º é o ângulo que estamos procurando. Veja também: Tabela Trigonométrica Questão 9Observe o triângulo abaixo e em função da medida b do lado AC, determine as medidas dos lados AB e BC. Considere: sen 45º = 0,707 sen 60º = 0,866 sen 75º = 0,966
Resposta correta: AB = 0,816b e BC = 1,115b. Como a soma dos ângulo internos de um triângulo deve ser 180º e já temos as medidas de dois ângulos, subtraindo os valores dados encontramos a medida do terceiro ângulo.
Pela lei dos senos, temos:
Calculando a medida de AB: Calculando a medida de BC:
Portanto, AB = 0,816b e BC = 1,115b. Veja também: Lei dos Senos Questões de vestibulares resolvidas e comentadasQuestão 10(Cefet/MG - 2017) Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é
Alternativa correta: . A tangente de um ângulo é igual a razão entre os seus catetos, assim:
Vamos chamar o cateto oposto ao ângulo de b e o cateto adjacente de c, então podemos escrever a seguinte relação: Logo, concluímos que b = 2c. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras, substituindo o valor de b por 2c, podemos encontrar o valor dos catetos: a2 = b2+c2 Sendo b = 2c, então b = 2√5. Agora, podemos calcular o valor do seno do ângulo:
Alternativa Questão 11(Epcar - 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo. Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a a) 6 +√3 b) 6(3 − √3 ) c) 9 √3 − √2 d) 9(√ 2 − 1)
Alternativa correta: b) 6(3 − √3 ). Podemos começar calculando o lado BA através das razões trigonométricas, visto que o triângulo ABC é retângulo e temos a medida do ângulo formado pelos lados BC e AC. O lado BA é oposto ao ângulo dado (30º) e o lado BC é adjacente a este ângulo, portanto, iremos calcular usando a tangente de 30º:
Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do lado AC, que é a hipotenusa do triângulo retângulo:
Agora que já conhecemos as medidas dos lados do triângulo ABC, podemos calcular a medida do lado CP através do teorema da bissetriz interna. Para isso, observe que o lado PA é igual a 12 - PC, aplicando o teorema da bissetriz interna, temos: Alternativa b: 6(3 − √3 ) Questão 12(Enem - 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será a) 1000 m b) 1000 √3 m c) 2000 √3/3 m d) 2000 m e) 2000 √3 m
Alternativa correta: b) 1000 √3 m. Após passar pelo ponto B, a menor distância ao ponto fixo P será uma reta que forma um ângulo de 90º com a trajetória do barco, conforme figura abaixo: Como α= 30º, então 2α= 60º, então podemos calcular a medida do outro ângulo do triângulo BPC, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º: 90º + 60º + x = 180º Podemos, ainda, calcular o ângulo obtuso do triângulo APB. Como 2α= 60º, o ângulo adjacente será igual a 120º (180º- 60º). Com isso, o outro ângulo agudo do triângulo APB, será calculado fazendo-se: 30º + 120º + x = 180º Os ângulos encontrados, estão indicados na figura abaixo: Assim, chegamos a conclusão que o triângulo APB é isósceles, pois possui dois ângulos iguais. Desta maneira, a medida do lado PB é igual a medida do lado AB. Conhecendo a medida de PB, vamos calcular a medida de PC, que corresponde a menor distância ao ponto P. O lado PB corresponde à hipotenusa do triângulo PBC e o lado PC o cateto oposto ao ângulo de 60º. Teremos, então:
Alternativa b: 1000 √3 m Questão 13(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras A, B, ..., L estão igualmente espaçadas (o ângulo central entre duas letras vizinhas é o mesmo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se encontra fechado, é a indicada. Para abrir o cofre, são necessárias três operações (o segredo), girando o disco menor (onde a seta está gravada), de acordo com as seguintes instruções, a partir da posição indicada: 1- Girar no sentido anti-horário 2- Girar no sentido horário 3- Girar no sentido anti-horário Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre será aberto quando a seta estiver: a) no ponto médio entre L e A b) na posição B c) na posição K d) em algum ponto entre J e K e) na posição H
Alternativa correta: a) no ponto médio entre L e A. Primeiramente, devemos somar as operações realizadas no sentido anti-horário.
Subtraindo a operação no sentido anti-horário da operação no sentido horário, encontramos a posição final da seta.
Utilizando a regra de três simples, encontramos a posição em graus.
Como a soma dos ângulos internos de uma circunferência resulta em 360º, se dividirmos por 12, o número total de letras escritas, encontramos que o espaço entre duas letras consecutivas corresponde a um ângulo de 30º. Como o ponteiro estava no A e o ângulo final é de 15º, que é a metade do ângulo formado com a letra subsequente, então ao final do movimento, a seta estará posicionada na ponto médio entre A e L. Veja também: Funções Trigonométricas Questão 14(Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) b) c) d) e)
Resposta correta: b) . Através dos dados apresentados na questão podemos observar que o triângulo formado entre Campinas, São Paulo e Sorocaba é um triângulo equilátero, ou seja, possui três lados iguais e cada ângulo interno tem o valor de 60º. Sendo assim, a distância entre São Paulo e Sorocaba é a mesma, 80 km, e o triângulo formado entre as cidades de São Paulo, Socoraba e Guaratiguetá é um obstusângulo, com ângulo de 150º (90º + 60º). Temos então as medidas de dois lados e um dos ângulos. Através disso, podemos calcular a hipotenusa do triângulo, que é a distância entre Guaratinguetá e Sorocaba, utilizando a lei dos cossenos. Pratique mais em Para saber mais, veja também: |