Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsurnya

Lihat Foto

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

KOMPAS.com – Grafik fungsi kuadrat memiliki bentuk parabola yang membuka ke arah ataupun ke arah bawah. Grafik parabola tersebut merepresentasikan suatu fungsi kuadrat. Bagaimana cara mencari persamaan fungsi kuadrat dari grafik?

Cara menentukan persamaan fungsi kuadrat dari grafik dilakukan melalui langkah-langkah berikut ini!

Mengidentifikasi titik yang dilalui grafik

Langkah pertama untuk menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat adalah dengan mengidentifikasi titik-titik yang dilalui grafik. Titik yang dilewati grafik dapat berupa titik puncak, dua titik sembarang, maupun tiga titik sembarang.

Baca juga: Ciri-ciri Fungsi Kuadrat

Grafik yang melalui dua titik sembarang

Fungsi kuadrat dapat ditentukan jika grafik melalui dua titik sembarang pada sumbu x. Dilansir dari Mathematics LibreTexts, kedua titik tersebut merupakan perpotongan antara grafik dan sumbu y dengan koordinat y = 0.

Karena sama-sama memiliki koordinat y =0, maka koordinat titik pertama adalah (x1, 0) dan koordinat titik kedua adalah (x2, 0). Sehingga, fungsi kuadratnya dapat dicari dengan rumus:

y = a (x – x1) (x – x2)

Dengan,X1: koordinat titik pertama terhadap sumbu x

X2: koordinat titik kedua terhadap sumbu x

Lihat Foto

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Grafik fungsi kuadrat dengan dua titik yang berpotongan dengan sumbu x

Baca juga: Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik yang melalui tiga titik sembarang

Adapun, jika grafik melalui tiga buah titik sembarang baik yang berpotongan degan sumbu x, sumbu y, atau tidak berpotongan sama sekali, kita harus menggunakan bentuk umum fungsi kuadrat.

Dilansir dari Australian Mathematical Science Institute, bentuk umum persaman kuadrat adalah:

y = ax^2 +bx +c

Dengan,x: koordinat titik terhadap sumbu x

y: koordinat titik terhadap sumbu y

Lihat Foto

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Grafik fungsi kuadrat dengan tiga titik yang berpotongan pada sumbu x dan sumbu y

Tiga titik yang dilalui disebut sebagai titik (x1, y1), titik (x2, y2), dan titik (x3, y3). Yang harus kita lakukan adalah memasukkan masing-masing titik ke dalam fungsi kuadrat dan mendapatkan tiga buah persamaan.

Setelah didapatkan tiga buah persamaan, kita dapat melakukan metode substitusi dan eleminasi untuk mendapatkan nilai a, b, dan c. Setelah ketiga nilai tersebut didapatkan, kita tinggal memasukkannya ke bentuk umum persamaan kuadrat untuk mendapat fungsi grafiknya.

Baca juga: Soal Turunan: Mencari Koordinat Titik Balik Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik yang melalui titik puncak dan satu titik sembarang

Titik puncak adalah titik maksimum atau titik minimum dari suatu grafik fungsi kuadrat. Jika suatu grafik diketahui titik puncaknya dan satu titik sembarang, maka fungsi kuadrat dapat dicari dengan rumus:

y = a (x – xp)² + yp

Dengan,x: koordinat terhadap sumbu x titik sembarangy: koordinat terhadap sumbu y titik sembarangxp: koordinat terhadap sumbu x titik puncak

yp: koordinat terhadap sumbu y titik puncak

Lihat Foto

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Grafik fungsi kuadrat dengan titik puncak dan berpotongan dengan sumbu y

Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Kompas.com. Mari bergabung di Grup Telegram "Kompas.com News Update", caranya klik link https://t.me/kompascomupdate, kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel.

Hallo temen-temen??? Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung blog gue :). Slamat datang di blog paling bermanfaat sedunia. Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin blog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :) Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee..... Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.

Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Cara Menentukan Persamaan dari Grafik Fungsi Kuadrat, Tanpa panjang lebar lagi yo check it out !

Kali sebelumnya kita menggambar grafik atau parabola fungsi kuadrat berdasarkan sebuah persamaan, namun kali ini kebalikannya dari hal tersebut, yaitu menentukan persamaan dari grafik fungsi kuadrat. Tapi jangan khawatir teman-teman karena saya akan menjelaskan cara caranya secara detail, sehingga kalian bisa faham dan bisa menentukan persamaan dari grafik fungsi kuadrat.

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi - kondisi dibawah ini diketahui :

Grafik memotong sumbu x di ( x1, 0 ) dan ( x2, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x3, y3 ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x1 )( x - x2).
Grafik mempunyai titik balik ( xp, yp ) serta melalui titik sembarang ( x1, y1 ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - xp)2 + yp
Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) dan ( x3, y3), maka persamaannya adalah y = ax2 + bx + c.

Tentukan persamaan dari grafik fungsi di bawah ini :

Jawab :

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 1, yaitu "Grafik memotong sumbu x di ( x1, 0 ) dan ( x2, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x3, y3 ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x1 )( x - x2)".

Grafik di atas mempotong sumbu ( -2, 0 ) ( 3, 0 ) dan melalui titik ( 1, 6 ) pada grafik, maka persamaannya adalah :

y = a( x - x1 )( x - x2)

6 = a( 1 - (-2))( 1 - 3)

6 = a( 1 + 2 )( 1 - 3)

6 = a(3)(-2)

6 = -6a

a = 6/-6

a = -1

Kemudian substitusikan a ke y = a( x - (-2))( x - 3), maka :

y = -1( x - (-2))( x - 3)

y = -1(x2- 3x + 2x -6 )

y = -1(x2- x - 6 )

y = -x2 + x + 6

Jadi persamaan grafik di atas adalah y = -x2 + x + 6

Tentukan persamaan grafik yang mempunyai titik balik di titik ( 1, -1 ) serta melalui ( 2, 3 )!!!

Jawab :

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 2, yaitu "Grafik mempunyai titik balik ( xp, yp ) serta melalui titik sembarang ( x1, y1 ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - xp)2 + yp".

Grafik mempunyai titik balik ( 1, -1 ) serta melalui titik ( 2, 3), maka persamaannya adalah :

y = a(x - xp)2 + yp

3 = a( 2 - 1)2 + (-1)

3 = a(1)2 + (-1)

3 = a - 1

a = 4

Kemudian substitusikan a ke y = a( x- 1)2 + (-1), maka :

y = a( x - 1)2 + (-1)

y = 4( x - 1)2 + (-1)

y = 4( x2 - 2x + 1) + (-1)

y = 4x2 - 8x + 4 -1

y = 4x2 - 8x + 3

Maka persamaan dari grafik yang mempunyai titik balik ( 1, -1 ) serta melalui titik ( 2, 3 ) adalah y = 4x2 - 8x + 3

Tentukan persamaan dari grafik fungsi di bawah ini :

Jawab :

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 3, yaitu "Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) dan ( x3, y3), maka persamaannya adalah y = ax2 + bx + c".

Grafik fungsi di atas melalui tiga buah titik yaitu (-1, 3), (1, -3), dan (4, 0), maka persamaannya adalah :

y = ax2 + bx + c

Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke persamaan y = ax2 + bx + c, maka :

titik (-1, 3) : 3 = a(-1)2 + b(-1) + c
3 = a - b + c ...... 1)
titik (1, -3) : -3 = a(1)2 + b(1) + c
-3 = a + b + c ..... 2)
titik (4, 0) : 0 = a(4)2 + b(4) + c
0 = 16a + 4b + c........3)

Kemudian kita eliminasi persamaan 1) dan persamaan 2), maka didapat :

a - b + c = 3

a + b + c = -3 (-)

-2b = 6

b = 6/(-2)

b = -3

Kemudian kita eliminasi lagi persamaan 1) dan persamaan 3), maka di dapat :

16a + 4b + c = 0

a - b + c = 3 (-)

15a + 5b = -3

Kemudian kita substitusikan b = -3 ke 15a + 5b = -3, maka :

15a + 5(-3) = -3

15a -15= -3

15a = -3 + 15

15a = 12

a = 12/15

a = 4/5

Kemudian substitusikan a = 4/5 dan b = -3 ke persamaan 1) yaitu a - b + c = 3, maka :

(4/5) - (-3) + c = 3

(4/5) + 3 + c = 3

c = 3 - 4/5 - 3

c = -4/5

dan terakhir substitusikan a = 4/5, b = -3, dan c = -4/5 ke persamaan y = ax2 + bx + c, maka :

y = (4/5)x2 + (-3)x +(-4/5 )

y = 4/5x2 - 3x - 4/5

Jadi persamaan grafik di atas adalah y = 4/5x2 - 3x - 4/5

Jadi cara untuk menentukan persamaan dari sebuah grafik fungsi itu bisa dengan salah satu dari ketiga rumus ini, diantaranya :

y = a( x - x1 )( x - x2)
y = a(x - xp)2 + yp
y = ax2 + bx + c

Namun salah satu rumus tersebut bisa digunakan dengan syarat :

Grafik memotong sumbu x di ( x1, 0 ) dan ( x2, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x3, y3 ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x1 )( x - x2).
Grafik mempunyai titik balik ( xp, yp ) serta melalui titik sembarang ( x1, y1 ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - xp)2 + yp.
Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) dan ( x3, y3), maka persamaannya adalah y = ax2 + bx + c.