Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que apresenta gabarito comentado para você tirar suas dúvidas.
Questão 1
Considerando os polinômios p(x) = x³ + 5x² – 10 e q(x) = – x² + 6x + 4, o valor de p(2) : q(1) é: A) 2 B) 5 C) 9 D) 15 E) 18
Questão 2
Analisando o polinômio 4x5 + 8x³ – x, podemos afirmar que o grau desse polinômio é igual a: A) 4 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
Questão 3
Considere o polinômio P(x) = x³ + 2x² – 5x – 3. O valor da expressão |2 · P(1)| é: A) 5 B) – 5 C) 0 D) – 10 E) 10
Questão 4
(Instituto Consulplan) Se R(x) é o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 3x3 + 2x – 3 pelo polinômio D(x) = x + 1, então o valor de R(x) é: A) B) 1 C) – 1 D) – 2
Questão 5
Considerando que – 3 é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x³ – 4kx + 24, então o valor de k é: A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0
Questão 6
(Imparh) Temos uma caixa no formato de um paralelepípedo retorretângulo com profundidade x − 1, comprimento x + 1 e largura x (em que x ≥ 1 é um número real). Qual polinômio expressa o volume, V(x), dessa caixa? A) V(x) = x² − 1 B) V(x) = x³ − 1 C) V(x) = x³ − x D) V(x) = x³ + 2x² +x
Questão 7
Qual deve ser o valor de k para que o polinômio P(x) = (k² – 81)x5 + (k – 9)x4 + kx³ + 3x² – 4x tenha grau 3? A) – 1 B) 3 C) – 3 D) ± 9 E) 9
Questão 8
O polinômio que representa o perímetro do trapézio a seguir é: A) 8x + 3 B) 11x C) 4x² + 2 D) x² + 11 E) 11x – 3
Questão 9
Considerando os polinômios a seguir:
O valor da soma X + Y – 2Z é igual a: A) y² + 2x² + 2 B) 2x³ C) 2x³ + x² + y² – 3 D) x² + 4y² + 3 E) x² + y²
Questão 10
Analise as afirmativas a seguir: I → O grau de um polinômio é dado pelo maior coeficiente de suas variáveis. II → O valor numérico de P(x) = 3x² – 4x + 2 quando x = 2 é 6. III → O polinômio p(x) = 4x³ + 2x² – 1 possui grau 4. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é verdadeira. B) Somente a afirmativa II é verdadeira. C) Somente a afirmativa III é verdadeira. D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 11
O perímetro do polígono a seguir pode ser expresso pelo seguinte polinômio: A) 2x – 1 B) 8x + 4 C) 11x – 3 D) 10x + 4 E) x³ + 3
Questão 12
(Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por A) 2xy B) 15 − 3x C) 15 − 5y D) −5y − 3x E) 5y + 3x − xy
Resposta - Questão 1
Alternativa A Calculando p(2): p(2) = 2³ + 5 · 2² – 10 p(2) = 8 + 5 · 4 – 10 p(2) = 8 + 20 – 10 p(2) = 28 – 10 p(2) = 18 Calculando q(1): q(1) = – 1² + 6 ⸳ 1 + 4 q(1) = – 1 + 6 + 4 q(1) = 9 A divisão entre p(2) e q(1) é então = 18 : 9 = 2.
Resposta - Questão 2
Alternativa B O grau do polinômio é o maior expoente da sua variável, que, nesse caso, é igual a 5.
Resposta - Questão 3
Alternativa E Calculando P(1): P(1) = 1³ + 2 ⸳ 1² – 5 · 1 – 3 P(1) = 1 + 2 – 5 – 3 P(1) = – 5 Então, |2 P(1)| = |2 · (– 5)| = |– 10| = 10
Resposta - Questão 4
Alternativa C Para encontrar o resto da divisão de P(x) por D(x), aplicaremos o teorema do resto de um polinômio, pois temos que: D(x) = x + 1 x + 1 = 0 x = – 1 Agora, calculando P(– 1): P(– 1) = (– 1)4 – 3(– 1)3 + 2(– 1) – 3 P(– 1) = 1 + 3 – 2 – 3 P(– 1) = – 1
Resposta - Questão 5
Alternativa D Sabendo que – 3 é raiz dessa equação, então temos que: p(– 3) = 2 (– 3)³ – 4 (– 3)k + 24 0 = 2 (– 27) + 12k + 24 0 = – 54 + 12k + 24 – 12k = – 54 + 24 – 12k = – 30 k = (– 30) : (– 12) k = 2,5
Resposta - Questão 6
Alternativa C Para encontrar o volume, multiplicamos as três dimensões: V(x) = (x – 1) ( x + 1)x V(x) = (x² – x + x – 1²)x V(x) = (x² – 1)x V(x) = x³ – x
Resposta - Questão 7
Alternativa E Para que o polinômio seja de grau 3, temos que: k – 9 = 0 e k² – 81 = 0. Resolvendo a primeira equação, temos que: k – 9 = 0 k = 9 Note que k = 9 também é solução da segunda equação, pois 9² – 81 = 0 81 – 81 = 0 0 = 0 Então, o único valor que faz com que esse polinômio seja de grau 3 é k = 9.
Resposta - Questão 8
Alternativa A Calculando o perímetro: P = 2x + 2 + 3x – 2 + 2x + x + 3 P = 8x + 3
Resposta - Questão 9
Alternativa E Realizando a soma, temos que: (2x³ + 4x² + 2y² + 4) + (– 7x² + y² + 2) – 2(x³ – 2x² + y² + 3) 2x³ + 4x² + 2y² + 4 – 7x² + y² + 2 – 2x³ + 4x² – 2y² – 6 Juntando os termos semelhantes, encontraremos: x² + y²
Resposta - Questão 10
Alternativa B
P(2) = 3 · 2² – 4 ⸳ 2 + 2 P(2) = 3 · 4 – 8 + 2 P(2) = 12 – 8 + 2 P(2) = 6
Resposta - Questão 11
Alternativa C Calculando o perímetro, temos que: P = 2x – 3 + x + 1 + 3x – 1 + 3x + 2 + 2x – 2 P = 11x – 3
Resposta - Questão 12
Alternativa E A área perdida pode ser separada em três retângulos. O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x. Note, porém, que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy, que está sendo contada tanto na área do primeiro retângulo quanto na do segundo retângulo. Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com o retângulo em azul menos a área em comum. 5y + 3x – xy
ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes –2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência –3x³ – 2x² + 7x – 3 EXERCÍCIOS 1) Efetue as seguintes adições de polinômios: a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1) b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10) c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2) d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1) e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8) f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x) g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²) h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2) i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3) j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13) SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS EXEMPLO (–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal –2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes –2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência 3x³ – 2x² + 3x – 1 EXERCÍCIOS 1) Efetue as seguintes subtrações: a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8) b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11) c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3) d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4) e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: 2a² +2a) f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x) g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3) h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0) i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10) MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS EXEMPLOS a)Multiplicação de polinômio por monômio Para entendermos melhor, observe o exemplo: (3x2) * (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 15x5 + 24x4 – 3x3 b) Multiplicação de polinômio por polinômio Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo: (x – 1) * (x2 + 2x - 6) x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1) (x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6) x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes. x³ + x² – 8x + 6 Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. EXERCÍCIOS 1) Calcule os produtos a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y) b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y) c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy) d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb) e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x) f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10) g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2) h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28) i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4) j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²) k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2) l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1) m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25) n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R: o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3) p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3) q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9) r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1) s) (x³-2).(x³+8) _______ (R: t) (x²+2).(x²+6) _______ (R: DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO Vamos efetuar as divisões: a) (8x⁵ - 6x⁴) : (+2x) = 4x⁴ - 3x³ b) (15x³ - 4x²) : (-5x) = -3x² + 4x/5 Conclusão:Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. EXERCÍCIOS 1) Efetue as divisões: a) ( 12x² - 8x) : (+2x) = b) (3y³ + 6y²) : (3y) = c) ( 10x² + 6x) : (-2x) = d) (4x³ - 9x) : (+3x) = e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²) f) (30x² - 20xy) : (-10x) g) (-18x² + 8x) : (+2x) h) (6x²y – 4xy²) : (-2x) 2) Efetue as Divisões: a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) = b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) = c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) = d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) = e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) = f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) = g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) = h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) = i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) = DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO Exemplo 1 Vamos efetuar a divisão: (2x² - 5x - 12) : ( x -4) Observe que os polinômios estão ordenados segundo as potências decrescentes de x. a)Coloque o polinômio assim: b) Divida o primeiro termo do dividendo (2x²) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quosciente (2x) c) Multiplique o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor , colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. A seguir , reduza só termos semelhantes: Exemplo 2 Vamos calcular a divisão Terminamos a divisão, pois o grau de x - 1 (resto) é inferior ao de 2x² - 3x + 1 (divisor) logo: quociente : 3x² - x - 6 resto: x -1 EXERCÍCIOS 1) Calcule os quocientes: a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2) b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2) c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1) d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3) e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4) f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3) g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1) h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5) i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1) j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1) (Material de referência http/jmpmat2.blogspot.com) |