Jumlah sudut dari dua sudut keliling yang saling berhadapan di dalam lingkaran adalah

geometri universitas

Table of Contents Show

Apa itu Segiempat Tali Busur?
Sifat-sifat Segiempat Tali Busur
Hasil Kali Diagonal
Segiempat Talibusur Siku-siku
Segiempat Tali Busur = Persegi Panjang
Segiempat Tali Busur = Persegi
Jumlah Sudut Berhadapan = 1800
Contoh Soal dan Pembahasan Segiempat Tali Busur
Contoh Soal 1
Contoh Soal 2
Video yang berhubungan

Hai sobat matematika! Apakah Anda tahu apa yang dinamakan sudut keliling dan sudut pusat di suatu lingkaran? "Saya tahu mas, sudut keliling lingkaran itu sudut yang titik sudutnya di pinggiran lingkaran itu to? Sedangkan sudut keliling titik sudutnya yang berada di pusat lingkaran. Bener ga?" mungkin ini jawaban di antara Anda. Dari sini Anda tidak salah. Minimal Anda dapat memvisualisasikan apa itu sudut keliling dan sudut pusat suatu lingkaran. Definisi yang saya berikan berikut bisa jadi sebagai referensi lain buat Anda dalam memahami sudut keliling dan sudut pusat lingkaran.

Definisi 1. Sudut Keliling dan Sudut Pusat

Misalkan diberikan lingkaran $L$ dengan pusat $\odot O$. Sudut $\angle ABC$ dikatakan sudut keliling lingkaran $\odot O$ jika dan hanya jika ruas garis $\overline{AB}$ dan ruas garis $\overline{BC}$ adalah tali busur. Sudut $\angle AOC$ dikatakan sudut pusat dari lingkaran $\odot O$ jika dan hanya jika ruas garis $\overline{AB}$ dan ruas garis $\overline{BC}$ adalah jari-jari lingkaran. Perhatikan gambar dibawah!

Sudut keliling pada gambar di atas adalah sudut $\angle BAC$ dan sudut pusat adalah sudut $\angle BOC$. Pada gambar di atas terlihat jelas, interpretasi Anda persis dengan gambar. Anda tentunya masih ingat bahwa besar busur $\widehat{BC}$ didefinisikan dengan sama dengan besar sudut pusat yang menghadapinya yaitu $\angle BOC$. Selanjutnya pertanyaan yang muncul dalam benak Anda tentang sudut keliling dan sudut pusat lingkaran bisa jadi seperti ini "Adakah hubungan antara besar sudut keliling dengan sudut pusat lingkaran?". OK. Mari saya tunjukkan kepada Anda hubungan tersebut.

Teorema 2. Sudut Keliling

Ukuran sudut keliling sama dengan setengah ukuran busur yang dihadapinya.

Bukti. Untuk membuktikan teorema ini akan ditinjau tiga kasus. Kasus pertama seperti pada gambar di bawah ini.

Sudut keliling $\angle ABC$ menghadap busur $\widehat{AC}$ dengan salah satu kaki sudut $\overline{BC}$ merupakan diamater lingkaran $\odot O$. Pertama perhatikan segitiga $\triangle AOB$. Karena $AO=BO$ (jari-jari lingkaran) maka segitiga $\triangle AOB$ segitiga sama kaki dengan alas $\overline{AB}$. Akibatnya $m \angle BAO = m \angle ABO = \theta$. Di sisi lain sudut $\angle AOC$ adalah sudut eksterior segitiga $\triangle AOB$ sehingga $m \angle AOC = m \angle BAO + m \angle ABO = 2\theta$. Berdasarkan definisi besar busur, diketahui bahwa $m \widehat{AC} = m \angle AOC = 2\theta$. Oleh karena itu, besar sudut keliling $m \angle ABO = \theta$ adalah setengah dari besar busur $m \widehat{AC}=2\theta$ yang dihadapi sudut keliling $\angle ABC$.

Kasus kedua seperti pada gambar di bawah ini

Perhatikan bahwa definisi penjumlahan sudut menunjukkan bahwa $m \angle ABC = m \angle ABD + m \angle DBC$. Kasus pertama memberikan informasi bahwa $m\angle ABD = \frac{1}{2} m \widehat{AD}$ dan $m \angle DBC = \frac{1}{2} m \widehat{DC}$. Oleh karena itu $m \angle ABC = \frac{1}{2} \left(m \widehat{AD} + m \widehat{DC}\right)=\frac{1}{2} m \widehat{ADC}$.

Kasus ketiga seperti pada gambar di bawah ini

Perhatikan bahwa definisi pengurangan sudut menunjukkan bahwa $m \angle ABC = m \angle ABD + m \angle DBC$. Kasus pertama memberikan informasi bahwa $m\angle ABD = \frac{1}{2} m \widehat{AD}$ dan $m \angle DBC = \frac{1}{2} m \widehat{DC}$. Oleh karena itu $m \angle ABC = \frac{1}{2} \left(m \widehat{AD} - m \widehat{DC}\right)=\frac{1}{2} m \widehat{AC}$. $\blacksquare$ Akibat langsung dari teorema 2 melihatkan hubungan antara sudut keliling dan sudut pusat pada suatu lingkaran.

Akibat 3.

Besar sudut keliling sama dengan setengah besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

Bukti. Teorema 2 mengatakan bahwa sudut keliling mempunyai besar sama dengan setengah besar busur yang dihadapinya. Berdasarkan definisi besar busur yaitu sama dengan besar sudut pusat yang menghadpinya. Jadi sudut keliling mempunyai besar sudut setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama. $\blacksquare$

Teorema 2 juga dapat diaplikasikan dalam membuktikan sifat pada sudut keliling yang terbentuk pada poligon tali busur. Akibat berikut terjadi pada segiempat talibusur suatu lingkaran

Akibat 4.

Sudut berhadapan pada suatu segiempat tali busur merupakan pasangan suplemen.

Bukti. Misalkan diberikan segiempat tali busur $\lozenge ABCD$ seperti gambar dibawah.

Berdasarkan teorema 2 diperoleh besar sudut keliling $m \angle BAC = \frac{1}{2} m \widehat{BDC}$ dan sudut keliling yang berhadapan $m \angle BDC = \frac{1}{2} m \widehat{BAC}$. Karena $\widehat{BDC}$ dan $\widehat{BAC}$ membentuk keliling lingkaran sehingga $m\widehat{BDC}+m\widehat{BAC} = 360$. Jadi $m \angle BAC + m \angle BDC = \frac{1}{2} \left(m \widehat{BDC} + m \widehat{BAC}\right) = \frac{1}{2} \cdot 360 = 180$. Oleh karena itu $\angle BAC$ dan $\angle BDC$ saling suplemen. $\blacksquare$ Selanjutnya latihan berikut merupakan akibat yang lain dari teorema 2 di atas

Soal No. 1

Diberikan sudut pusat yang dibentuk dari dua diameter seperti gambar dibawah ini. Tunjukkan bahwa $m \angle BAC = \frac{1}{2} \left(x+y\right)$!

Pembahasan Soal No.1 Diketahui sudut $\angle BAC$ dan sudut $\angle DAE$ saling bertolak belakang sehingga $m \angle BAC = m \angle DAE$. Berdasarkan definisi besar busur maka $m \angle BAC = x$ dan $m \angle DAE = y$. Jadi $m \angle BAC + m \angle DAE = x+y = 2 m \angle BAC$. Oleh karena itu $m \angle BAC = \frac{1}{2} \left(x+y\right)$.

Soal No. 2

Diberikan lingkaran dan dua ruas garis potong lingkaran seperti gambar dibawah ini. Tunjukkan bahwa $m \angle BAC = \frac{1}{2} \left(x-y\right)$!

Pembahasan No.2 Tarik ruas garis $\overline{CE}$ sehingga, berdasarkan teorema 2, diperoleh $m \angle ACE = \frac{1}{2}y$ dan $m \angle CEB = \frac{1}{2}x$. Sudut $\angle CEB$ adalah sudut eksterior dari segitiga $\triangle ACE$. Berdasarkan sifat pada sudut eksterior diperoleh $m \angle BAC = m \angle CEB - m \angle ACE=\frac{1}{2} (x-y)$.

Soal No. 3

Diberikan lingkaran, garis singgung dan tali busur seperti pada gambar di bawah ini. Tunjukkan bahwa $m \angle BAC = \frac{1}{2}x$!

Pembahasan No. 3 Buat jari-jari $\overline{OA}$ dan $\overline{OC}$ dan membentuk segitiga sama kaki $\triangle OAC$ dengan alas $\overline{AC}$ dan besar sudut alas $ m \angle OAC = m \angle OCA = \theta$. Sifat garis singgung menyatakan bahwa $\overline{OA} \perp \overline{BA}$ sehingga $m \angle BAO = 90$ dan $m \angle BAC = 90 - \theta$. Pada segitiga sama kaki, besar sudut $m \angle AOC = m \widehat{AC} = 180 -2 \theta$. Oleh karena itu $m \angle BAC = 90 - \theta = \frac{1}{2} \left(180 - 2\theta\right)= m \widehat{AC} = \frac{1}{2}x$.

$$--\star \star \star--$$

Sudut Keliling dan Sudut Pusat Lingkaran

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 01, 2018

Pembahasan kali ini masih berkaitan dengan lingkaran. Ada banyak hal yang bisa dibahas mengenai lingkaran. Mulai dari sifat-sifat lingkaran, persamaan lingkaran, sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, garis singgung lingkaran, hingga sesuai dengan topic kali ini yaitu segiempat tali busur lingkaran.

Salah bagian dari lingkaran yaitu tali busur. Nah, tahukah kalian bahwa dari tali busur ini dapat dibuat suatu segiempat sehingga kita bisa menganalisis sudut-sudutnya? Berikut kita akan uraikan pembahasannya.

Apa itu Segiempat Tali Busur?

Masih ingatkah dengan tali busur lingkaran? Tali busur sendiri dapat diartikan sebagai garis yang menghubungkan dua titik sembarang pada busur lingkaran. Ketika ada empat tali busur yang terhubung maka akan terbentuk segiempat.

Secara sederhana segiempat tali busur dapat diartikan sebagai sebuah bangun datar yang mempunyai empat sisi dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur lingkaran. Jenis segiempat yang terbentuk bisa beraneka ragam, bisa membentuk persegi, persegi panjang, atau segiempat sembarang. Perhatikan gambar berikut.

Ruas garis KL, LM, MN, dan KN masing-masing adalah tali busur lingkaran. Sedangkan bidang KLMN merupakan segiempat tali busur.

Sifat-sifat Segiempat Tali Busur

Pada segiempat tali busur tersebut dapat ditarik dua garis diagonal. Dan dari dua garis diagonal ini dapat ditarik suatu hubungan sehingga bisa diturunkan menjadi suatu rumus segi empat tali busur. Berikut beberapa sifat segiempat tali busur terkait diagonal-diagonalnya.

Hasil Kali Diagonal

Pada segiempat tali busur, hasil kali diagonalnya sama dengan jumlah perkaian sisi-sisi yang berhadapan pada segiempat tersebut. Perhatikan gambar berikut

Diagonal-diagonal pada segiempat tali busur lingkaran di atas adalah ruas garis KL, LM, MN, dan KN. Maka akan berlaku hubungan hasil kali diagonal sebagai berikut:

KM × LN = (KL × MN) + (LM × KN)

Segiempat Talibusur Siku-siku

Sebuah segiempat tali busur disebut sebagai segiempat tali busur siku-siku jika salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran. Perhatikan gambar berikut.

Pada lingkaran dengan pusat O di atas, segiempat ABCD merupakan segiempat tali busur dengan tali busur penyusunnya adalah AB, BC, CD, dan AD. Pada segiempat ABCD terdapat dua diagonal penyusunnya yaitu AC dan BD. Perhatikan bahwa diagonal BD melewati titik pusat lingkaran O sehingga diagonal BD merupakan diameter lingkaran.

Ingat kembali bahwa sudut keliling yang menghadap ke diameter lingkaran adalah sudut siku-siku. Pada gambar di atas, ∠BAD dan ∠BCD merupakan sudut keliling yang menghadap diameter BD. Sehingga ∠BAD dan ∠BCD merupakan sudut siku-siku atau ∠BAD = ∠BCD = 900. Dan kemudian segiempat talibusur ABCD disebut sebagai segiempat talibusur siku-siku.

Segiempat Tali Busur = Persegi Panjang

Sebuah segiempat tali busur dalam lingkaran dapat berupa persegi panjang jika kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran. Pada segiempat tali busur yang merupakan persegi panjang akan memenuhi sifat persegi panjang yaitu ada dua pasang sisi yang saling sejajar dan sama panjang. Selain itu setiap sudut pada persegi panjang adalah sudut siku-siku. Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, diagonal AC dan diagonal BD merupakan diameter lingkaran. Ingat kembali bahwa sudut keliling yang menghadap diameter adalah sudut siku-siku. Sudut-sudut keliling yang menghadap diameter adalah ∠ABC dan ∠ADC yang menghadap diameter AC, sedangkan ∠BAD dan ∠BCD yang menghadap diameter BD. Maka ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD = ∠BCD = 900.

Dikarenakan keempat sudut pada segiempat tersebut siku-siku maka diperoleh kondisi AB ⫽ CD dan AD ⫽ BC, serta AB = CD dan AD = BC. Berdasarkan kondisi yang diperoleh maka bisa disimpulkan bahwa segiempat talibusur ABCD merupakan persegi panjang.

Segiempat Tali Busur = Persegi

Selain persegi panjang, sebuah segiempat tali busur dalam lingkaran juga dapat berupa persegi. Hal ini jika segiempat tali busur dalam lingkaran mempunyai diagonal-diagonal yang merupakan diameter lingkaran dan saling tegak lurus.

Pada gambar di atas, ruas garis KM dan LN merupakan diameter lingkaran dengan pusat O. Diameter KM dan LN juga saling tegak lurus. Perhatikan pula bahwa ∠KLM = ∠LMN = ∠KNM = ∠LKN = 900 karena ∠KLM dan ∠KNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter KM, sedangkan ∠LMN dan ∠LKN adalah sudut keliling yang menghadap diameter LN.

Pada segiempat talibusur KLMN, terbentuk empat segitiga siku-siku sekaligus sama kaki yaitu △KOL, △KON, △LOM, dan △MON. Keempat segitiga ini saling kongruen satu sama lain sehingga diperoleh KL = LM = MN = KN.

Dari kondisi yang telah diperoleh bahwa ∠KLM = ∠LMN = ∠KNM = ∠LKN = 900 dan KL = LM = MN = KN maka dapat disimpulkan bahwa segiempat talibusur KLMN adalah persegi.

Jumlah Sudut Berhadapan = 1800

Sifat segiempat tali busur selanjutnya mengenai sudut dalam segiempat tali busur. Sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur dalam lingkaran akan berjumlah 1800.

Pada segiempat tali busur ABCD di atas, ∠ABC berhadapan dengan ∠ADC dan ∠BAD berhadapan dengan ∠BCD. Perhatikan bahwa ∠ABC, ∠ADC, ∠BAD dan ∠BCD adalah sudut keliling. Besar ∠ABC dan besar ∠ADC dapat diperoleh dari

∠ABC = ½ (∠AOD + ∠DOC)
∠ADC = ½ (∠AOB + ∠BOC)

Sehingga diperoleh

∠ABC + ∠ADC = ½ (∠AOD + ∠DOC) + ½ (∠AOB + ∠BOC)∠ABC + ∠ADC = ½ (∠AOD + ∠DOC + ∠AOB + ∠BOC)

∠ABC + ∠ADC = ½ × 3600

∠ABC + ∠ADC = 1800

Besar ∠BAC dan besar ∠BCD dapat diperoleh dari

∠BAC = ½ (∠BOC + ∠COD)
∠BCD = ½ (∠BOA + ∠AOD)

Sehingga diperoleh

∠BAC + ∠BCD = ½ (∠BOC + ∠COD) + ½ (∠BOA + ∠AOD)∠BAC + ∠BCD = ½ (∠BOC + ∠COD + ∠BOA + ∠AOD)

∠BAC + ∠BCD = ½ × 3600

∠BAC + ∠BCD = 1800

Jadi bisa disimpulkan bahwa

∠ABC + ∠ADC = 1800 dan ∠BAC + ∠BCD = 1800

atau jumlah besar sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur dalam lingkaran sama dengan 1800.

Contoh Soal dan Pembahasan Segiempat Tali Busur

Agar lebih memahami mengenai materi segiempat tali busur dalam lingkaran, berikut disajikan beberapa contoh soal disertai dengan pembahasan lengkapnya.

Contoh Soal 1

Diketahui sebuah segiempat tali busur KLMN di dalam lingkarang dengan pusat O seperti pada gambar berikut.

Jika ∠AKB, ∠PLQ, ∠RMS, dan ∠XNY adalah sudut luar segiempat KLMN, maka tunjukkan bahwa besar ∠NMS sama dengan besar ∠LKN, dan tentukan besar ∠KNM dan besar sudut KNY jika diketahui besar ∠KLM = 800!

Pembahasan:

Akan ditunjukkan bahwa besar ∠NMS sama dengan besar ∠LKN (∠NMS = ∠LKN)

Perhatikan ∠LMN dan ∠NMS adalah dua sudut yang saling berpelurus. Ingat kembali sifat sudut yang saling berpelurus, yaitu jumlah dua sudut yang saling berpelurus sama dengan 1800. Sehingga diperoleh,

∠LMN + ∠NMS = 1800 ⇔ ∠LMN = 1800 – ∠NMS

Perhatikan ∠LMN dan ∠LKN adalah dua sudut yang saling berhadapan dalam segiempat tali busur KLMN sehingga jumlah besar kedua sudut ini sama dengan 1800. Sehingga diperoleh,

∠LMN + ∠LKN = 1800 ⇔ (1800 – ∠NMS) + ∠LKN = 1800 ⇔ – ∠NMS + ∠LKN = 1800 – 1800 ⇔ – ∠NMS + ∠LKN = 0 ⇔ ∠NMS = ∠LKN

Terbukti bahwa besar ∠NMS sama dengan besar ∠LKN (∠NMS = ∠LKN).

Akan ditentukan besar ∠KNM dan besar ∠KNY jika diketahui besar ∠KLM = 800

Pertama-tama perhatikan ∠KNM dan ∠KLM adalah dua sudut yang saling berhadapan dalam segiempat tali busur KLMN sehingga jumlah besar kedua sudut ini sama dengan 1800.

∠KNM + ∠KLM = 1800
⇔ ∠KNM + 800 = 1800
⇔ ∠KNM = 1800 – 800
⇔ ∠KNM = 1000

Perhatikan bahwa ∠KNM dan ∠KNY adalah dua sudut yang saling berpelurus sehingga jumlah kedua sudut tersebut sama dengan 1800. Sudah diketahui besar sudut ∠KNM= 1000 maka diperoleh

∠KNM + ∠KNY = 1800
⇔ 1000 + ∠KNY = 1800
⇔ ∠KNY = 1800 – 1000
⇔ ∠KNY = 800

Jadi, ∠KNM = 1000 dan ∠KNY = 800 .

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar berikut!

Tentukan besar ∠KLM jika diketahui besar ∠KOM = 1220!

Pembahasan:

Jika diperhatikan, segiempat KLMO pada gambar bukan merupakan segiempat tali busur. Hal ini karena ada satu titik yang tidak terletak pada busur lingkaran yaitu titik O. Selain itu, segiempat KLMO hanya memuat dua tali busur yaitu tali busur KL dan tali busur KM. Untuk ruas garis KO dan ruas garis MO merupakan jari-jari lingkaran dengan pusat O.

Agar memudahkan dalam menjawab soal ini, maka kita akan membuat garis bantu sehingga nantinya terbentuk segiempat tali busur. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari titik K dan titik M kita buat dua buah tali busur sehingga terbentuk tali busur KM dan KN. Sekarang kita sudah mempunyai segiempat tali busur KLMN. Berdasarkan sifat sudut pusat dan sudut keliling maka diperoleh,

∠KNM = ½ × ∠KOM
⇔ ∠KNM = ½ × 1220
⇔ ∠KNM = 610

Untuk menentukan besar ∠KLM, kita akan menggunakan salah satu sifat segiempat tali busur yaitu sudut-sudut yang berhadapan berjumlah 1800. Sehingga diperoleh,

∠KLM + ∠KNM = 1800
⇔   ∠KLM + 610 = 1800
⇔   ∠KLM = 1800 – 610
⇔   ∠KLM = 1190

Jadi, besar ∠KLM = 1190.

fbWhatsappTwitterLinkedIn